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1、4. 2 期望的性质及随机变量期望的性质及随机变量 函数的期望函数的期望期望的性质期望的性质小结小结 思考题思考题 随机变量函数的期望随机变量函数的期望一、期望的性质一、期望的性质性质性质1 1性质性质2 2性质性质3 3推论推论1 1为常数；为常数；为常数；为常数；推论推论2 2性质性质4 4推推 论论在上面各性质中，假设数学期望都存在在上面各性质中，假设数学期望都存在例例1 1解解若若 相互独立，相互独立，若若 相互独立，相互独立，的分布律为：的分布律为：设设 服从超几何分布，服从超几何分布， 求求则则则则则有则有 设想一个相应的抽样有设想一个相应的抽样有 个球，其中个球，其中 个白个白球
2、，球， 个黑球随机抽取个黑球随机抽取 个球，取出的白球数个球，取出的白球数为为 ，则，则 服从超几何分布服从超几何分布 因一次取因一次取 个球与不放回地取个球与不放回地取 次每次一只是次每次一只是等效的，故引进新的随机变量等效的，故引进新的随机变量 定义如下：定义如下：而而 的概率分布为的概率分布为所以所以例例2 2 设一台机器上有设一台机器上有3 3个部件，在某一时刻需要对部个部件，在某一时刻需要对部件进行调整，件进行调整，3 3个部件需要调整的概率分别为个部件需要调整的概率分别为0.10.1，不求分布律，运用性质不求分布律，运用性质3 3计算计算解解设设0.20.2，0.30.3且相互独立
3、记且相互独立记 为需要调整的部件数，为需要调整的部件数，求求则则故故而而 分别服从参数为分别服从参数为0.10.1，0.20.2，0.30.3的的0 01 1分布，分布， 在求随机变量在求随机变量 的数学期望时，许多情况下可的数学期望时，许多情况下可避免求复杂的概率分布，而是将避免求复杂的概率分布，而是将 分割成一系列简分割成一系列简单随机变量单随机变量 ( (常服从常服从0 01 1分布分布) )相加，再应用期相加，再应用期望的可加性求出最后结果望的可加性求出最后结果注：注：二、随机变量函数的期望二、随机变量函数的期望关于一元随机变量函数的期望我们给出下面的定理关于一元随机变量函数的期望我们
4、给出下面的定理定理定理1 1则有则有设设 ，是连续函数是连续函数（1 1）若）若 是离散型随机变量，分布律是离散型随机变量，分布律 ，且且则有则有 且且 （2 2）若）若 是连续型随机变量，概率密度是连续型随机变量，概率密度 例例3 3设设 服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布，求求解解的分布律为的分布律为关于二元随机变量函数的期望我们给出下面的定理关于二元随机变量函数的期望我们给出下面的定理定理定理2 2设设 ， 是连续函数是连续函数且且（1 1）若（）若（ ）是二维离散型随机变量，）是二维离散型随机变量，则有则有分布律为分布律为则有则有通过定理通过定理2 2可得到可得到离散型离散型
5、连续型连续型（2 2）若（）若（ ）是二维连续型随机变量，）是二维连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为 , ,且且例例6 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为试求试求XY的数学期望的数学期望.解解例例7 7且都服从区间且都服从区间1010，2020上的均匀分布商店每售上的均匀分布商店每售出一单位商品可获得利润出一单位商品可获得利润10001000元；若需求量超出元；若需求量超出了进货量，商店可从其它商店调剂供应，调剂来了进货量，商店可从其它商店调剂供应，调剂来 的商品每单位可获利的商品每单位可获利500500元计算商店经销该种元计算商店经销该种商品每周所得利润的期
6、望值商品每周所得利润的期望值一商店经销某种商品，每周进货的数量一商店经销某种商品，每周进货的数量 与顾客与顾客对该种商品的需求量对该种商品的需求量 是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，解解则则, , 的联合密度为的联合密度为设设 表示商店每周所得的利润，表示商店每周所得的利润，由图知由图知: :小结小结 本节给出了期望的几条性质，在求一些较复杂本节给出了期望的几条性质，在求一些较复杂随机变量的期望时应用性质能简化计算。关于随随机变量的期望时应用性质能简化计算。关于随机变量函数的期望也给出了相应的算法机变量函数的期望也给出了相应的算法.思考题思考题次次为为止止, ,设设每次射每次射击击的命中率的命中率为为 ，对对某一目某一目标连续标连续射射击击，直至命中，直至命中的数学期望的数学期望求消耗的子求消耗的子弹弹数数表示从第表示从第解解 设设次命中后至第次命中后至第次命中所消耗的子次命中所消耗的子弹弹数，数，则则且且服从几何分布，即服从几何分布，即 于是，于是，故故 思考题答案思考题答案
