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1、第八章空间解析几何与向量代数 本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间基本图类基本图类平面，直线，常用的曲面和曲线。平面，直线，常用的曲面和曲线。重点重点向量及其坐标表示向量及其坐标表示向量的数量积，向量
2、积向量的数量积，向量积直线与平面方程直线与平面方程难点难点空间图形的想象能力和描绘能力空间图形的想象能力和描绘能力基本要求基本要求弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的距离弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的距离.掌握向量概念，会用坐标表示向量掌握向量概念，会用坐标表示向量掌握向量代数的基本知识掌握向量代数的基本知识熟记两向量平行、垂直及三向量共面的条件并能正确熟记两向量平行、垂直及三向量共面的条件并能正确 运用运用.掌握平面方程的各种形式，会求平面方程，会判断两掌握平面方程的各种形式，会求平面方程，会判断两平面是否平行、垂直，会求两平面的夹角及点到平面的平面是否平行、垂直，会求两平面的夹角及点
3、到平面的距离距离.掌握直线方程的各种形式，会求直线方程，掌握两直掌握直线方程的各种形式，会求直线方程，掌握两直线平行、垂直的条件，直线与平面平行、垂直的条件，线平行、垂直的条件，直线与平面平行、垂直的条件，两直线的夹角，直线和平面的夹角两直线的夹角，直线和平面的夹角.掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面和曲线方程掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面和曲线方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程.第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第八章第八章一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、
4、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1 1、定义、定义：既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量. .在数学中在数学中, ,用用有向线段有向线段表示向量表示向量. .有向线段的长度有向线段的长度表示表示向量的大小向量的大小, ,有向线段的方向有向线段的方向表示表示向量的方向向量的方向. .一、向量的概念一、向量的概念2、自由向量：、自由向量： 在数学上只考虑向量的在数学上只考虑向量的大小和方向大小和方向, ,而不而不 考虑向量的起点考虑向量的起点. .这种这种与起点无关与起点无关的向量的向量 叫做叫做自由向量自
5、由向量.经过平行移动后能经过平行移动后能完全重合完全重合的向量是的向量是相等相等的的. .4 4、向量的模、向量的模：5 5、单位向量、单位向量：6 6、零向量：、零向量：3 3、相等向量、相等向量：零向量的起点与终点重合，它的方向可以看做是任意的.7 7、向量的夹角、向量的夹角零向量与任何向量都平行零向量与任何向量都平行.8 8、向量平行、向量平行9 9、向量垂直、向量垂直 当两个平行向量的当两个平行向量的起点起点放在同一点时，它们的放在同一点时，它们的终点和公共起点终点和公共起点应在一条直线上，因此，两向量平应在一条直线上，因此，两向量平行，又称向量共线行，又称向量共线. 设有设有 k（k
6、 3）个向量，当把他们的个向量，当把他们的起点起点放放在同一点时，如果在同一点时，如果 k 个终点和公共起点个终点和公共起点在一个平在一个平面上，就称这面上，就称这 k 个向量共面个向量共面.1010、向量共线、向量共线1010、向量共面、向量共面1. 1. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则或平行四边形法则或平行四边形法则运算规律运算规律 :交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .二、向量的线性运算二、向量的线性运算BACABCD多个向量相加的情况多个向量相加的情况三角不等式三角不等式2. 2. 向量的减法向量的减法规定规定 : :总之总
7、之, ,3. 3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 ( ( 数乘数乘 ) )4、向量与数的乘积的运算规律、向量与数的乘积的运算规律向量的加减法及数乘统称为向量的加减法及数乘统称为向量的线性运算向量的线性运算. .任一非零向量总可以写成它自身的模与一个与它同任一非零向量总可以写成它自身的模与一个与它同方向的单位向量的数乘方向的单位向量的数乘. .5、 由于平行四边形的对角线互相平分由于平行四边形的对角线互相平分, , 例例1 1解：解：补例补例 化简化简解：解：补例（补例（P12 2） 试用向量方法证明：对角线互相平试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形分的四边形必是平行四边形.
8、.证证与与 平行且相等平行且相等, , 结论得证结论得证.定理定理1 16、数轴与向量、数轴与向量数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴.Ox如图，如图，点点O O 及单位向量及单位向量确定了数轴确定了数轴 Ox .P在轴上任取一点在轴上任取一点P P, , 则有则有 ，从而存在唯一从而存在唯一的的 x R 使得使得 且有且有三个坐标轴的正方三个坐标轴的正方向符合向符合右手法则右手法则. .三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系面面面面面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直
9、角坐标系共有八个卦限.各卦限中点的坐标的特点各卦限中点的坐标的特点一一对应一一对应向量的坐标表示向量的坐标表示面面在直角坐标系下点的坐标在直角坐标系下点的坐标点点 M有序数组有序数组向径向径称为点称为点 M 的的坐标坐标.BC空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点坐标轴坐标轴 : 坐标面坐标面 :设设则则平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例: :四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算解解： 例例2 2. .2 3 , 得得代入代入得得如图所示如图所示, , 由于由于这就是这就是M点的坐标点的坐标.例例3 3解：解： 得得定比分点公式定比分点公式: :点点 M M 为为 ABAB 的中点的中点 , ,于是得于是得中点公式中点公式说明说明: :作业:P124、6、8、9、11
