随机分析课件

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1、第第第第5 5 5 5章随机分析章随机分析章随机分析章随机分析5.1 5.1 二阶矩随机变量空间的基本性质二阶矩随机变量空间的基本性质5.2 5.2 随机过程的均方极限与均方连续随机过程的均方极限与均方连续 5.3 5.3 随机过程的均方导数随机过程的均方导数 5.4 5.4 随机过程的均方积分随机过程的均方积分课后作业课后作业随机分析的统计特征的统计特征. .5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 二阶矩随机变量空间的基本性质二阶矩随机变量空间的基本性质二阶矩随机变量空间的基本性质二阶矩随机变量空间的基本性质二阶矩随机变量空间的基本性质二阶矩随机变量空间的基本性质泛的应用泛的应用.

2、.二阶矩过程是一类重要的随机过程，在物理、生二阶矩过程是一类重要的随机过程，在物理、生物、通讯与控制、系统工程与管理科学等方面，有广物、通讯与控制、系统工程与管理科学等方面，有广许多实际问题通过对二阶矩的讨论就足以了解过程许多实际问题通过对二阶矩的讨论就足以了解过程随机分析二阶矩的随机变量的全体组成的集合二阶矩的随机变量的全体组成的集合为为二阶矩随机变量空间二阶矩随机变量空间. .定义定义 称定义在概率空间称定义在概率空间上的具有有限上的具有有限若若 , , 则称则称 X 与与 Y 相等，相等， 定理定理1 1 H 是一个线性空间是一个线性空间, 即设即设 X, YH, 则对任意则对任意证明证

3、明 由许瓦兹不等式由许瓦兹不等式 随机分析引理引理1 1可知可知 证明证明 由许瓦兹不等式易证由许瓦兹不等式易证 ( (1),),在在( (1) )中取中取 Y = 1 得得( (2 ).).随机分析引理引理2 2 如上定义的如上定义的是是范数范数, 即有即有 证明证明 (1)(1)和和(2)(2)显然显然 .下面证(3)(3).( (3) ) | X+Y | 2 = E | X+Y | 2 E|X|2+2 E|XY|+ E|Y|2非负性非负性非负性非负性齐次性齐次性齐次性齐次性三角不等式三角不等式三角不等式三角不等式随机分析定理定理定理定理2 2 2 2 对任意对任意 X, Y H, 令令则

4、则 d d ( (X X, , Y Y) ) 是是 HH 中的距离中的距离. 即对任意即对任意 X X, , Y Y, , Z Z HH, , 有有非负性非负性非负性非负性对称性对称性对称性对称性三角不等式三角不等式三角不等式三角不等式综上可知，综上可知，H 构成一个构成一个线性赋范空间线性赋范空间. .由此可知，由此可知， H 构成一个构成一个距离空间距离空间. .由引理由引理2 2 易知下面的定理成立易知下面的定理成立. .随机分析定义定义 设设 Xn , XH，n=1, 2 , , 如果如果称称 Xn 均方收敛于均方收敛于X , 均方极限具有均方极限具有唯一性唯一性 , , 即即随机分析

5、定理定理3 (3 (柯西均方收敛准则柯西均方收敛准则) ) H 中随机变量序列中随机变量序列 Xn 二重极限二重极限证明证明 仅证必要性仅证必要性. . 均方收敛的充要条件为均方收敛的充要条件为这个定理说明这个定理说明 H 是完备的线性赋范空间是完备的线性赋范空间.均方收敛基本列均方收敛基本列 或或 柯西列柯西列柯西均方收敛准则亦称为二阶矩随机变量空间柯西均方收敛准则亦称为二阶矩随机变量空间 H 的的完备性定理完备性定理. .随机分析例例1 1 考察下面的相互独立随机变量序列的均方收敛性考察下面的相互独立随机变量序列的均方收敛性. .解解随机分析为为，方差为，方差为1，定义，定义证明证明 例例

6、2 2 设设 是相互独立同分布随机变量序列，均值是相互独立同分布随机变量序列，均值随机分析定理定理4 (4 (均方极限的线性性质均方极限的线性性质 ) ) 随机变量序列的均方极限性质随机变量序列的均方极限性质随机变量序列的均方极限性质随机变量序列的均方极限性质证明证明随机分析定理定理5 (5 (均方极限的数字特征均方极限的数字特征 ) )随机分析证明证明 1 1）仅证实随机变量的情形）仅证实随机变量的情形. . 在在1）中令）中令Yn1，得，得 2 ).). 在在1）中令）中令YnX n，得，得 3 ).). 由由1）与与 2 ) ) 可证可证 4 ).).随机分析数列，方差数列及特征函数列也

7、收敛数列，方差数列及特征函数列也收敛. .小结小结 随机变量序列随机变量序列 X Xn n 均方收敛均方收敛, , 其相应的数学期望其相应的数学期望随机分析定理定理6 (6 (洛易夫均方收敛判别准则洛易夫均方收敛判别准则) )将随机变量序列的均方收敛性转化为自相关函数的将随机变量序列的均方收敛性转化为自相关函数的证明证明 必要性必要性 . . 由定理由定理5 之之1 ) )即得即得. 由柯西均方收敛准则知由柯西均方收敛准则知Xn均方收敛均方收敛.存在存在. .极限极限随机变量序列随机变量序列均方收敛的充分必要条件是均方收敛的充分必要条件是收敛性问题收敛性问题. .随机分析由均方收敛准则知由均方

8、收敛准则知例例3 3均方收敛的条件均方收敛的条件. .随机变量序列随机变量序列解解随机分析例例4 4的均方极限服从泊松分布的均方极限服从泊松分布. .证明证明由定理由定理5 之之 2）可知，）可知，亦即亦即 X 服从泊松分布服从泊松分布. .又由定理又由定理 5 5 之之 5 5）可知）可知随机分析本节将随机变量序列的均方收敛定义及前述各定理本节将随机变量序列的均方收敛定义及前述各定理5.2 5.2 5.2 5.2 随机过程的均方极限与均方连续随机过程的均方极限与均方连续随机过程的均方极限与均方连续随机过程的均方极限与均方连续推广到连续参数集的情形，并引进均方连续的概念推广到连续参数集的情形，

9、并引进均方连续的概念. .定义定义 洛易夫均方收敛准则的推论洛易夫均方收敛准则的推论 柯西收敛准则的推论柯西收敛准则的推论随机分析定义定义 定理定理1 ( (均方连续准则均方连续准则) )证明证明 由均方连续的定义和洛易夫均方收敛准则可得由均方连续的定义和洛易夫均方收敛准则可得随机分析角线上连续角线上连续, , 则它在则它在 上连续上连续 . . 均方连续准则的意义及两个重要结论均方连续准则的意义及两个重要结论均方连续准则的意义及两个重要结论均方连续准则的意义及两个重要结论 二阶矩过程二阶矩过程 在在 上均方连续等价于其相关函上均方连续等价于其相关函 二阶矩过程二阶矩过程 的相关函数的相关函数

10、 在在 的对的对数数 在在 的对角线上连续的对角线上连续. .由均方极限的乘积性质可得由均方极限的乘积性质可得证明证明反之显然真反之显然真. .随机分析o ot ts s 两个重要结论的几何说明两个重要结论的几何说明两个重要结论的几何说明两个重要结论的几何说明 二二阶阶矩矩过过程程的的均均方方连连续续可可由由其其相相关关函函数数的的普普通通意意义义下下的的连连续续性来确定性来确定. .随机分析例例 5 5为参数为为参数为的泊松过程的泊松过程, 则则N N( (t t ) )t to o泊泊松松过过程程的的每每一一条条样样本本函函数数都都是是跃跃度度 为为 1 1的的 阶阶梯函数梯函数 . .

11、均方连续过程的样本函数可能不连续均方连续过程的样本函数可能不连续. .样本函数样本函数样本函数样本函数 ？随机分析例例 6 6为参数为为参数为 2 的维纳过程的维纳过程, 则则其自相关函数其自相关函数显然其对任意显然其对任意 t 0 在在(t , t )处连续，维纳过程均方连续处连续，维纳过程均方连续 . .均值函数均值函数自相关函数自相关函数定理定理2 2 若二阶矩随机过程若二阶矩随机过程 X(t ) , tT 均方连续，则其均方连续，则其均值函数、方差函数也在均值函数、方差函数也在T上连续上连续. . 证明留作作业证明留作作业. .随机分析则称则称 X( t ) 在在 t 处处 均方可微均

12、方可微均方可微均方可微( ( ( (可导可导可导可导) ) ) )，称，称 Y 为为 X( t ) 在在 t 处的处的5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 随机过程的均方导数随机过程的均方导数随机过程的均方导数随机过程的均方导数随机过程的均方导数随机过程的均方导数定义定义均方导数均方导数均方导数均方导数, , 记为记为其均方导数过程其均方导数过程 仍是二阶矩过程仍是二阶矩过程. .随机分析类似地类似地, ,可定义可定义 的均方导数过程的均方导数过程将随机过程的均方导数转移到实数域进行讨论分析将随机过程的均方导数转移到实数域进行讨论分析, ,引进广义二阶导数概念引进广义二阶导数概念.定

13、义定义 函数函数 f f ( (s s , , t t ) ) 称为在称为在 ( (s s , , t t ) ) 处广义二阶可微处广义二阶可微, , 若极限若极限存在存在, , 称此极限为称此极限为 f f( (s s , , t t) ) 在在 ( (s s, , t t ) ) 处的处的广义二阶导数广义二阶导数. .广义二阶导数是二重极限广义二阶导数是二重极限, ,而二阶混合偏导是二次而二阶混合偏导是二次极限极限, , 一般情况下二者不相等一般情况下二者不相等. .随机分析命题命题 若二元函数若二元函数 f (s , t ) 关于关于s , t 的一阶偏导存在的一阶偏导存在, , 二阶二

14、阶定理定理1(1(均方可微准则均方可微准则) )广义二阶导数为广义二阶导数为混合偏导存在并连续混合偏导存在并连续, , 则则 f ( s , t ) 一定是广义二阶可微的且一定是广义二阶可微的且二阶矩过程二阶矩过程在在处均方可微的充要处均方可微的充要条件是它的相关函数条件是它的相关函数在在处广义二阶可微处广义二阶可微 . 证明留作作业证明留作作业. .随机分析证明证明 由均方收敛定义及准则可知由均方收敛定义及准则可知 , X( t ) , t T 在在 t0 处处均方可微均方可微随机分析二阶矩过程二阶矩过程的相关函数的相关函数推论推论随机分析证明证明随机分析证明证明随机分析证明证明提示提示随机

15、分析相关函数的其广义二阶导数为相关函数的其广义二阶导数为例例 7 7证明证明随机分析解解 X X( (t t ) ) 的自相关函数为的自相关函数为例例 8 8随机分析证明证明均方可导必均方连续均方可导必均方连续均方可导必均方连续均方可导必均方连续. . . .性质性质1 1其逆不真其逆不真其逆不真其逆不真. .性质性质2 2证明证明 由均方极限的惟一性可得由均方极限的惟一性可得. .均方导数在概率为均方导数在概率为1 1 的意义下惟一的意义下惟一. .随机分析均方导数具有线性性均方导数具有线性性. a X(t ) + bY(t ) , t T , a , b C证明证明 记记性质性质3 3若若

16、 X X( (t t ) , ) , Y Y( (t t ) ) 均方可微均方可微，则则也均方可微也均方可微, 且且随机分析性质性质5 5是均方可微过程是均方可微过程, ,则则也是可微过程也是可微过程, ,且且性质性质4 4具有相等均方导数的两个随机过程，它们最多仅相差具有相等均方导数的两个随机过程，它们最多仅相差具有相等均方导数的两个随机过程，它们最多仅相差具有相等均方导数的两个随机过程，它们最多仅相差一个随机变量一个随机变量一个随机变量一个随机变量. . . . 亦即亦即性质性质4 4和性质和性质5 5的证明留作作业的证明留作作业. .随机分析 例例9 9 参数为参数为2 的的 Wiene

17、rWiener过程过程 WW( (t t) , ) , t t 00是均方连续是均方连续解解 Wiener过程的均方连续已证过程的均方连续已证. .因为因为Wiener过程均方不可微过程均方不可微. .的的, ,但不是均方可微的但不是均方可微的. .随机分析5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 随机过程的均方积分随机过程的均方积分随机过程的均方积分随机过程的均方积分随机过程的均方积分随机过程的均方积分定义定义定义定义函数函数函数函数 , , 任意取分点任意取分点任意取分点任意取分点分成分成分成分成 n n 个小区间个小区间个小区间个小区间 , , 做和做和做和做和若均方极限若均方极限

18、若均方极限若均方极限 存在存在存在存在, , , ,且与区间且与区间且与区间且与区间 a a , , b b 的分法及的分法及的分法及的分法及t t * * * * 的取法无关的取法无关的取法无关的取法无关, , , ,则称其为二阶则称其为二阶则称其为二阶则称其为二阶矩过程矩过程矩过程矩过程 f f ( (t t ) )X X( (t t ) ) 在在在在 a a , , b b 上的上的上的上的均方积分均方积分均方积分均方积分, , , ,记为记为记为记为随机分析称为随机过程称为随机过程称为随机过程称为随机过程 X X( (t t ) ) 在在在在 a ,a , b b 上的上的上的上的均方

19、积分均方积分均方积分均方积分. .定理定理1 证明（证明（充分性充分性） 的二重积分存在的二重积分存在, ,且且 对对a , ba , b的任意分割的任意分割及任意及任意随机分析存在存在存在存在 , , , , 其中其中其中其中随机分析由均方收敛准则知由均方收敛准则知由均方收敛准则知由均方收敛准则知 f f( ( t t ) ) X X( ( t t ) ) 在在在在 a , ba , b 上均方可积上均方可积上均方可积上均方可积. . . .（必要性）（必要性）（必要性）（必要性） 由洛易夫判别准则由洛易夫判别准则由洛易夫判别准则由洛易夫判别准则，若均方积分若均方积分若均方积分若均方积分 存

20、在存在存在存在，则下列极限存在则下列极限存在则下列极限存在则下列极限存在, , , ,且且且且 存在，即存在，即存在，即存在，即随机分析重要公式重要公式重要公式重要公式推论推论 若若若若X X( (t t ) )在在在在 a a , , b b 上均方连续上均方连续上均方连续上均方连续, , , ,则则则则X X( (t t ) )在在在在 a a , , b b 上均方可积上均方可积上均方可积上均方可积. . . .证明证明证明证明 根据均方连续性准则，根据均方连续性准则，根据均方连续性准则，根据均方连续性准则， 若若若若 X X( (t t ) ) 均方连续，则均方连续，则均方连续，则均方

21、连续，则 X X( (t t ) )的自相关函数的自相关函数的自相关函数的自相关函数 R R( (s s , , t t ) ) 在在在在 a ,a , b b a ,a , b b 上连续，进而上连续，进而上连续，进而上连续，进而 R(s , t ) 在在在在a , ba , b上可积，上可积，上可积，上可积， 所以所以所以所以X( t )在在在在a , b上均方可积上均方可积上均方可积上均方可积. .随机分析定义（广义均方积分）定义（广义均方积分）存在的充分必要条件是广义二重积分存在的充分必要条件是广义二重积分存在的充分必要条件是广义二重积分存在的充分必要条件是广义二重积分推论推论 广义均

22、方积分广义均方积分广义均方积分广义均方积分存在且有限存在且有限存在且有限存在且有限. . . .随机分析定理定理2 2 均方积分具有以下性质均方积分具有以下性质 均方积分是惟一的均方积分是惟一的, , 即即若 均方积分具有均方积分具有线性性质线性性质, , 若若 X(t ) ,Y(t ) 在在a , b上上均方可积均方可积, , 则则特别有特别有特别有特别有 随机分析许瓦兹不等式许瓦兹不等式许瓦兹不等式许瓦兹不等式 均方积分具有对积分区间的均方积分具有对积分区间的均方积分具有对积分区间的均方积分具有对积分区间的可加性可加性可加性可加性以上各条性质类似于普通黎曼积分以上各条性质类似于普通黎曼积分

23、以上各条性质类似于普通黎曼积分以上各条性质类似于普通黎曼积分. . . . 设设设设 X X( (t t ) ) 在在在在 a , ba , b 均方连续均方连续均方连续均方连续, , , , 则则则则证明留作作业证明留作作业. .证明证明证明证明 由定理由定理由定理由定理1 1 1 1之推论之推论之推论之推论重要公式重要公式重要公式重要公式随机分析若若若若 f(t ) X(t ) 在在在在a, b上均方可积上均方可积上均方可积上均方可积, , , , 则有则有则有则有定理定理定理定理3 3 3 3 均方积分的矩均方积分的矩均方积分的矩均方积分的矩证明证明证明证明 （1 1 1 1）（2 2

24、2 2） 见定理见定理见定理见定理1 1 1 1之必要性的证明之必要性的证明之必要性的证明之必要性的证明. . . .随机分析 例例例例1 1 1 1 设设设设 X(t )=Acosat+Bsinat , t0 , a为常数为常数为常数为常数 a0 , A与与与与BR RX X ( (s s , , t t ) ) = E= E X X( (s s ) )X X( (t t ) )= = E E A A2 2coscosasas coscosat + Bat + B2 2sinsinasas sinsinat at 解解解解= = 2 2 coscosa a ( (t t - - s s) )

25、在在在在0,+0,+上连续上连续上连续上连续 . . 所以所以所以所以 X(t ) 对所有对所有对所有对所有 t0 均方连续均方连续均方连续均方连续 , , 从而均方可积从而均方可积从而均方可积从而均方可积. .相互独立相互独立相互独立相互独立 , 均服从均服从均服从均服从 N( (0, 2) ) , 判断判断判断判断 X(t ) 是否均方可积是否均方可积是否均方可积是否均方可积. . . .随机分析随机分析 例例例例2 2 2 2 设设设设 A, B 独立同分布于独立同分布于独立同分布于独立同分布于N N(0(0, , 2 2) ) , , X X( (t t ) )=At+B=At+B ,

26、 , t t 0, 10, 1 , 解解解解试求下列随机过程的数学期望试求下列随机过程的数学期望试求下列随机过程的数学期望试求下列随机过程的数学期望. . . .随机分析定义定义定义定义 设设设设X(t) 在在在在a , b在上均方连续在上均方连续在上均方连续在上均方连续 , , 称为称为称为称为X(t )在在在在a , b上的均方不定积分上的均方不定积分上的均方不定积分上的均方不定积分. . . .设设设设X( t )在在在在a , b上均方连续上均方连续上均方连续上均方连续 , , 则其在则其在则其在则其在a , b上的均上的均上的均上的均定理定理定理定理4 4 4 4方不定积分方不定积分

27、方不定积分方不定积分 Y(t ) 在在在在a , b上均方可导上均方可导上均方可导上均方可导, , 且且且且证明留作作业证明留作作业. .随机分析定理定理定理定理5 5 5 5 ( ( ( (牛顿牛顿牛顿牛顿- - - -莱布尼兹公式莱布尼兹公式莱布尼兹公式莱布尼兹公式) ) ) ) 设设设设 X(t )在在在在a , b上均方可导上均方可导上均方可导上均方可导, , 证明证明证明证明定理定理4 4之之随机分析例例3 3 设设其中其中其中其中, , , ,Y(t )是一个已知的均方连续二阶矩过程，求是一个已知的均方连续二阶矩过程，求是一个已知的均方连续二阶矩过程，求是一个已知的均方连续二阶矩过

28、程，求X(t ) ，解解 直接积分并代入初始条件直接积分并代入初始条件直接积分并代入初始条件直接积分并代入初始条件, , , , 得得得得并求其数字特征并求其数字特征并求其数字特征并求其数字特征. . . .随机分析例例例例4 4 4 4 设设设设W(t),t0为参数为为参数为为参数为为参数为2的维纳过程的维纳过程的维纳过程的维纳过程, , , ,求积分过程求积分过程求积分过程求积分过程的均值函数和相关函数的均值函数和相关函数的均值函数和相关函数的均值函数和相关函数. . . .解解stuvu=v随机分析由由由由 s 与与与与 t 的对称性的对称性的对称性的对称性 小结小结 维纳过程是均方连续

29、维纳过程是均方连续维纳过程是均方连续维纳过程是均方连续, , , , 均方不可导均方不可导均方不可导均方不可导, , , , 均方可积的均方可积的均方可积的均方可积的二阶矩过程二阶矩过程二阶矩过程二阶矩过程. . . . 均方可导均方可导均方可导均方可导 均方连续均方连续均方连续均方连续 均方可积均方可积均方可积均方可积小结小结小结小结 二阶矩过程的极限、连续、导数、积分，其统计二阶矩过程的极限、连续、导数、积分，其统计特征主要由相关函数表征特征主要由相关函数表征. .随机分析求正态过程的导数或积分是常见的问题求正态过程的导数或积分是常见的问题 . .定理定理6 6 正态随机变量序列的均方极限

30、仍为正态分布随机正态随机变量序列的均方极限仍为正态分布随机则则 X X 是正态随机变量是正态随机变量. . 实值正态过程是重要的二阶矩过程实值正态过程是重要的二阶矩过程 . .变量变量. .为正态随机变量序列，且为正态随机变量序列，且 即若即若证明证明 随机分析根据均方收敛性质，由根据均方收敛性质，由的均方极限仍为的均方极限仍为 n n 维正态随机向量维正态随机向量. . 定理定理7 7 n n 维正态随机向量序列维正态随机向量序列即若即若证明留作作业证明留作作业. .随机分析仍为仍为 mm 维正态随机向量维正态随机向量, , 当当随机向量的线性变换仍为正态随向量，进而随机向量的线性变换仍为正态随向量，进而证明证明 对于任意对于任意 m 11，任取，任取由定理由定理7 7知知是是 n n 维正态随机向量，维正态随机向量，定理定理8 8为一个正态过程为一个正态过程, ,且在且在 T T 上均方上均方可微可微 , , 则其导数过程则其导数过程随机分析也是正态过程也是正态过程. .是均方连续的正态过程是均方连续的正态过程, ,则则 定理定理9 9证明证明进行分割进行分割是正态随机变量，是正态随机变量，且且由定理由定理7 7知知 是是mm 维正态随机向量，维正态随机向量，进而进而随机分析 课后作业课后作业注意前面的“证明留作作业”.随机分析