多元函数的极值

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1、第六节第六节 多元函数的极值多元函数的极值一 多元函数的极值二 多元函数的最值三 条件极值一一 多元函数的极值多元函数的极值1 极值的定义极值的定义 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任意点有定义，如果对于该邻域内任意点 都有都有则称函数则称函数 在点在点P0处取得极大值处取得极大值如果有如果有则称函数则称函数 在点在点P0处取得极小值处取得极小值 函数的极大值和极小值统称为函数的极大值和极小值统称为极值极值，使函数取，使函数取得极值的点称为得极值的点称为极值点极值点。 例如函数例如函数 在点（在点（0，0）处取得极小值，）处取得极小值，如下左图：如下左图

2、：oxyzoxyz 函数函数 在点（在点（0，0）处取得极大）处取得极大值，如上右图：值，如上右图： 如何求极值？如果能将有可能使函数取得极值如何求极值？如果能将有可能使函数取得极值的点找到，这个问题就基本解决了。的点找到，这个问题就基本解决了。2 二元函数极值存在的必要条件二元函数极值存在的必要条件 定理定理1 设函数设函数 在点在点 处取得处取得极值，且两个偏导数都存在，则在点极值，且两个偏导数都存在，则在点 有有证明：证明：因为因为 是函数是函数 的极值，的极值，若固定若固定则则 是是 一个一元函数，一个一元函数， 则该则该函数在函数在 处取得极值，处取得极值，又因为又因为 对对处可导，

3、故处可导，故同理可证同理可证 将二元函数的两个偏导数为零的点称为将二元函数的两个偏导数为零的点称为驻点驻点，则必要条件可叙述为：则必要条件可叙述为： 可微函数的极值点一定是驻点，但驻点不一可微函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。定是极值点。3 极值存在的充分条件极值存在的充分条件 定理定理1 设函数设函数 在点在点 的某个邻的某个邻域内具有二阶连续的偏导数，且点域内具有二阶连续的偏导数，且点 是函数是函数的驻点，即的驻点，即设设则则（1） 当当点点 是极值点，是极值点，且且 时，时， 点点 是极大值点，是极大值点，点点 是极小值点。是极小值点。且且 时，时， （2） 当当 时，点时，

4、点 不是极不是极值点。值点。 （3）当）当 时，时， 是否为极值点。是否为极值点。 不能确定点不能确定点总结：求极值的步骤：总结：求极值的步骤：第一步：第一步：确定定义域（若未给出）；确定定义域（若未给出）；第二步：第二步：解方程组解方程组求得一切实数解，可得一切驻点。求得一切实数解，可得一切驻点。 第三步：第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数的值对每个驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C。 第四步：第四步：定出定出 的符号，按充分条件的结的符号，按充分条件的结论做出结论。论做出结论。例例1 求函数求函数 的极值。的极值。解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为解方程组解方程组解得驻点（解得驻点（

5、0，1），又），又所以所以故函数在点（故函数在点（0，1）取得极小值，为取得极小值，为0。例例2 求函数求函数 的极值。的极值。解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为解方程组解方程组解得驻点解得驻点P1(-1,-1)， P2(0,0)， P3(-1,-1)，又又列表讨论如下：列表讨论如下： 驻点驻点参数参数P1（-1，-1）P2（0，0）P3（1，1）ABCB2-ACz10101010-2-2-2-2-2-96-960-2 极小值极小值0 不能确定不能确定-2 极小值极小值 例例3 求证函数求证函数 有无穷多有无穷多个极大值点而无一个极小值点。个极大值点而无一个极小值点。解：此函数的定义域为

6、解：此函数的定义域为解方程组解方程组得得又又所以所以故当故当 为奇数时，为奇数时，无极值。无极值。故当故当 为偶数时，为偶数时，-20 ，函数，函数z有极大值，即当有极大值，即当 时，时， 且且A=函数函数 有极大值。有极大值。 由于由于 取整数，取整数，所以函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值所以函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值点。点。二二 多元函数的最值多元函数的最值 函数函数 如果在有界闭区域如果在有界闭区域D上连续，上连续，则一定在该区域上可以取得最大值和最小值。二元则一定在该区域上可以取得最大值和最小值。二元函数的最值，也可能在区域函数的最值，也可能在区域D内的驻点、不可微点

7、内的驻点、不可微点或区域的边界上取得。或区域的边界上取得。求二元函数最值的方法是：求二元函数最值的方法是： 将函数在所讨论的区域内的所有驻点的函数将函数在所讨论的区域内的所有驻点的函数值，不可微点的函数值以及函数在区域边界上的最值，不可微点的函数值以及函数在区域边界上的最值相比较，其中的最大者就是函数的最大值，最小值相比较，其中的最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值者就是函数的最小值。 例例4 求函数求函数 在闭区域在闭区域 上的最值。上的最值。 解：由于函数解：由于函数z在区域在区域D内处处可微，解方程组内处处可微，解方程组得驻点（得驻点（6，-8），函数在该点处的值为），函数在该

8、点处的值为在在D的边界上，将的边界上，将代入函数中得代入函数中得由于由于 所以在边界上函数的最大值为所以在边界上函数的最大值为125，最小值为，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上。故该函数在此有界闭区域上的最大值为的最大值为125，最小值为，最小值为-100。 例例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等的圆要制作一个中间是圆柱，两端为相等的圆锥形中空浮标，如图。锥形中空浮标，如图。在体积在体积V是一定量的情况是一定量的情况下，如何选择圆柱和圆锥下，如何选择圆柱和圆锥的尺寸，才能使制作的材的尺寸，才能使制作的材料最省？料最省？ 解：设圆柱的底面半径为解：设圆柱的底面半径为 ，高为，高为H，圆

9、锥，圆锥的高为的高为 ，由题意得，由题意得所以所以又又定义域为定义域为解方程组解方程组解得驻点解得驻点代入代入H H 的的表达式得表达式得 。 从实际考虑，此浮标在体积从实际考虑，此浮标在体积V一定的条件一定的条件下，存在最小的表面积。下，存在最小的表面积。 故制作时应取故制作时应取才能使制作材料最省。才能使制作材料最省。总结求实际问题的最值步骤如下：总结求实际问题的最值步骤如下：第一步：建立函数关系式，确定定义域；第一步：建立函数关系式，确定定义域；第二步：求出所有驻点；第二步：求出所有驻点；第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。三三 条件极值条件极

10、值先看如下的例子：先看如下的例子：在在 的条件下，求函数的条件下，求函数 的极值。的极值。解：解：从从 中解出中解出并代入并代入中得中得 这是一个一元函数，可用一元函数这是一个一元函数，可用一元函数求极值的方法解，不难得到在点求极值的方法解，不难得到在点 处取得极值处取得极值为为 这类问题称为这类问题称为条件极值条件极值， 称为称为约束条约束条件件。 当把约束条件代入函数（称目标函数）时，当把约束条件代入函数（称目标函数）时，条件极值化为无条件极值。条件极值化为无条件极值。 对于条件极值问题，我们经常采用所谓对于条件极值问题，我们经常采用所谓Lagrange乘数法乘数法，步骤如下：，步骤如下：

11、第一步第一步：构造辅助函数（构造辅助函数（Lagrange函数）；函数）；第二步：第二步：解方程组解方程组第三步：第三步：判断所有驻点是否为极值点。判断所有驻点是否为极值点。 例例6 某厂生产甲乙两种产品，计划每天的总某厂生产甲乙两种产品，计划每天的总产量为产量为42件，如果生产甲产品件，如果生产甲产品 件，生产乙产品件，生产乙产品 件，则总成本函数为件，则总成本函数为单位为元，求最小成本。单位为元，求最小成本。解：约束条件为解：约束条件为构造构造 Lagrange 函数：函数：解方程组：解方程组：得驻点（得驻点（25，17）。）。 由于驻点是唯一的，所以在此点处函数取得由于驻点是唯一的，所以在此点处函数取得最小值，即应计划每天生产甲产品最小值，即应计划每天生产甲产品25件，乙产品件，乙产品17件，才能取得最小的成本，为：件，才能取得最小的成本，为：C（25，17）=8252-2517+12172 =8043（元）（元）这个方法还可以推广：这个方法还可以推广：（1 1）如：目标函数为：）如：目标函数为：约束条件为：约束条件为： ，可设，可设Lagrange函数：函数：然后解下面方程组讨论。然后解下面方程组讨论。（2）如目标函数为：）如目标函数为：约束条件有约束条件有两个：两个：可设可设Lagrange函数：函数：然后解右侧方程然后解右侧方程组加以讨论。组加以讨论。