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1、2.3双曲双曲线线2.3.1双曲线及其标准方程121.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距.名师点拨理解双曲线的定义,应重点抓住它与椭圆的不同点:(1)双曲线的定义中是动点到两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数,而不是差等于非零常数,否则轨迹只能为双曲线的某一支,而不是完整的双曲线,这一点不同于椭圆.(2)双曲线的定义中,常数应小于两个已知定点间的距离且不等于0,否则,若常数等于|F1F2|,则轨迹变为两条射线;若常数等于0,则轨迹为线段F
2、1F2的垂直平分线;若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在,这一点也与椭圆不同.12【做一做1】(1)给出下列条件,其中动点轨迹为双曲线的是()A.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差的绝对值等于8B.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差等于6C.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之差的绝对值等于4D.动点P到点(3,0)及点(-3,0)的距离之和等于4(2)动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是()A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线解析：(2)因为|PM|-|PN|=2,且|MN|=2,所以点P在线段MN的延长线上
3、.答案：(1)C(2)D122.双曲线的标准方程 12名师点拨1.双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴.们的形状、大小都相同,都有a0,b0,a2+b2=c2;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.3.双曲线的焦点在x轴上标准方程中x2项的系数为正;双曲线的焦点在y轴上标准方程中y2项的系数为正,这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法.12轴上,焦点坐标为.(2)已知a=5,c=10,焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为. 12思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)平面内
4、与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线. ()(2)对于双曲线标准方程,三个参数a,b,c中,最大的一定是c. ()答案：(1)(2)(3)(4) 探究一探究二探究三思维辨析对对双曲双曲线线定定义义的理解的理解 A.椭圆B.双曲线C.两条射线 D.双曲线的一支答案：B 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟根据定义判断动点的轨迹是否为双曲线,务必要考虑定义中的条件:到两个定点的距离的差的绝对值等于常数,且这个常数既要不等于0,又要小于两个定点之间的距离.不能一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是个常数,就认定其轨迹为双曲线.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练1已知两定点F1(-
5、3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,是双曲线的是()A.|PF1|-|PF2|=5B.|PF1|-|PF2|=6C.|PF1|-|PF2|=7D.|PF1|-|PF2|=0解析：A中,因为|F1F2|=6,所以|PF1|-|PF2|=5|F1F2|,所以动点P的轨迹不存在;D中,因为|PF1|-|PF2|=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,故选A.答案：A 探究一探究二探究三思维辨析对对双曲双曲线标线标准方程的理解准方程的理解 (1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;(2)若该方程表示焦点在y轴上的
6、双曲线,求实数k的取值范围.思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析表示焦点在x轴上的双曲线的条件是m0,n0,表示焦点在y轴上的双曲线的条件是m0,n0.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练2(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn0,则该方程表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线(2)若方程x2sin -y2cos =1(0)表示双曲线,则的取值范围是.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析求双曲求双曲线线的的标标准方程准方程 思路分析先根据已知
7、条件设出双曲线的标准方程,再构造关于a,b的方程组,求得a,b即得,要注意对双曲线焦点位置的分析以及平方关系c2=a2+b2的运用. 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求双曲线标准方程的一般方法与步骤(1)定位置:根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论.(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b,c(或m,n)的值代入所设方程即为所求.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练3求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是
8、(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;探究一探究二探究三思维辨析易错分析解答本题时,容易将m-2看作a2,将m-7看作b2,而造成漏解.探究一探究二探究三思维辨析解因为双曲线的焦距等于6,即2c=6,所以c=3,即a2+b2=c2=9. 探究一探究二探究三思维辨析纠错心得当双曲线的焦距已知时,并不能确定其焦点在x轴上还是在y轴上,因此应进行分类讨论,在解决双曲线有关问题时,务必注意分类讨论思想方法的应用.探究一探究二探究三思维辨析跟踪训练跟踪训练若双曲线x2-3y2=k的焦距等于8,则实数k=.答案：12或-12 123451.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为() A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线解析：因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当a=3时,2a=6|F1F2|,为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,为一条射线.答案：D12345答案：C 12345A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件 答案：B 123454.双曲线的焦点为(-2,0)和(2,0),且b=1,则双曲线的标准方程是.12345
