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1、第三章第三章 微分中值定理与导数应用微分中值定理与导数应用内容提要内容提要一、中值定理一、中值定理1 1罗尔中值定理罗尔中值定理2 2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理3 3柯西中值定理柯西中值定理二、洛必达法则二、洛必达法则4 4泰勒中值定理泰勒中值定理三、泰勒公式三、泰勒公式1 1拉格朗日余项型的泰勒公式（泰勒中值定理）拉格朗日余项型的泰勒公式（泰勒中值定理）2 2佩亚诺余项型的泰勒公式佩亚诺余项型的泰勒公式四、导数应用四、导数应用1 1几何应用几何应用（1 1）一阶导数符号与单调性的关系）一阶导数符号与单调性的关系（2 2）二阶导数符号与凹凸性的关系）二阶导数符号与凹凸性的关系（3 3）极
2、值点的必要条件及充分条件）极值点的必要条件及充分条件（4 4）拐点的必要条件及充分条件）拐点的必要条件及充分条件（5 5）曲率与曲率圆、曲率半径）曲率与曲率圆、曲率半径（6 6）描绘函数的图形）描绘函数的图形2 2极值与最值极值与最值3 3证明不等式证明不等式（1 1）利用导数符号与单调性的关系）利用导数符号与单调性的关系（2 2）利用拉格朗日中值定理）利用拉格朗日中值定理（3 3）利用柯西中值定理）利用柯西中值定理（4 4）利用泰勒中值定理）利用泰勒中值定理（5 5）利用最值）利用最值（6 6）利用凹凸性）利用凹凸性4 4证明恒等式证明恒等式利用常函数的导数特征利用常函数的导数特征例题例题 证：证： 证：证： 证：证： 从而从而 解：解： 根据极限的保号性可知，根据极限的保号性可知， 证法证法1 1：证法证法2 2：由题设可得由题设可得 则有则有 证法证法3 3：证：证：即得所要不等式证毕即得所要不等式证毕 证：证：( (1)1)( (2)2)证毕证毕 证：证： 解：解： 证：（证：（1 1） 证：（证：（1 1） 证：（证：（2 2） 即即 证法证法1 1：等价于证明等价于证明 证法证法2 2：证法证法3 3：证：证：证：证：
