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1、第九节离散型随机变量的均值与方差考考纲考情考情广广东五年五年4 4考高考指数考高考指数: :1.1.理解取有限个理解取有限个值的离散型随机的离散型随机变量的均量的均值、方差、方差的概念的概念2.2.能能计算算简单离散型随机离散型随机变量的均量的均值、方差、方差, ,并能解并能解决一些决一些实际问题五年五年考考题20132013T4T420122012T17T1720112011T17T1720092009T12T12考情考情播播报1.1.独立考独立考查随机随机变量的均量的均值、方差的、方差的题目出目出现的的较少少, ,但有但有时也会出也会出现, ,重点考重点考查均均值、方差的、方差的计算与算与
2、应用用, ,有有时会与会与实际问题结合合, ,考考查均均值、方差的、方差的实际应用用2.2.多以解答多以解答题的形式出的形式出现, ,重点考重点考查随机随机变量的均量的均值、方差方差【知识梳理知识梳理】1.1.离散型随机离散型随机变量的均量的均值与方差与方差(1)(1)离散型随机离散型随机变量量X X的分布列的分布列: :X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n(2)(2)离散型随机变量离散型随机变量X X的均值与方差的均值与方差: :均均值( (数学期望数学期望) )方差方差计算算公公式式E(X)=_E(X)=_D(X)=_
3、 D(X)=_ 作作用用反映了离散型随机反映了离散型随机变量量取取值的的_刻画了随机刻画了随机变量量X X与其均与其均值E(X)E(X)的的_标准准差差方差的算方差的算术平方根平方根 为随机随机变量量X X的的标准差准差 x x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+ + +x xi ip pi i+ + +x xn np pn n平均水平平均水平平均偏离程度平均偏离程度2.2.均均值与方差的性与方差的性质(1)E(aX+b)=_(1)E(aX+b)=_(a,ba,b为常数常数).).(2)D(aX+b)=_(a,b(2)D(aX+b)=_(a,b为常数常数).).aE(X)+baE(X
4、)+ba a2 2D(X)D(X)3.3.两点分布与二两点分布与二项分布的均分布的均值和方差和方差(1)(1)若随机若随机变量量X X服从两点分布服从两点分布, ,则E(X)=_,D(X)=_.E(X)=_,D(X)=_.(2)(2)若随机若随机变量量X X服从参数服从参数为n,pn,p的二的二项分布分布, ,即即X XB(n,pB(n,p),),则E(X)=_,D(X)=_.E(X)=_,D(X)=_.p pp(1-p)p(1-p)npnpnp(1-p)np(1-p)【考点自测考点自测】1.(1.(思考思考) )下面的下面的结论正确的是正确的是( () )期望期望值就是算就是算术平均数平均数
5、, ,与概率无关与概率无关; ;随机随机变量的均量的均值是常数是常数, ,样本的平均本的平均值是随机是随机变量量, ,它不确定它不确定; ;随机随机变量的方差和量的方差和标准差都反映了随机准差都反映了随机变量取量取值偏离均偏离均值的的平均程度平均程度, ,方差或方差或标准差越小准差越小, ,则偏离均偏离均值的平均程度越小的平均程度越小; ;均均值与方差都是从整体上刻画离散型随机与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况量的情况, ,因此因此它它们是一回事是一回事. .A. B. C. D.A. B. C. D.【解析解析】选选B.B.错误错误. .期望是算术平均值概念的推广期望是算术平均值概念
6、的推广, ,是概率意是概率意义下的平均值义下的平均值, ,反映了离散型随机变量取值的平均水平反映了离散型随机变量取值的平均水平. .正确正确. .由于随机变量的取值是确定值由于随机变量的取值是确定值, ,而每一个随机变量的概而每一个随机变量的概率也是确定的率也是确定的, ,因此随机变量的均值是定值因此随机变量的均值是定值, ,即为常数即为常数; ;而样本而样本数据随着抽样的次数不同而不同数据随着抽样的次数不同而不同, ,因此其平均值也不相同因此其平均值也不相同. .正确正确. .随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度均值的平均
7、程度, ,方差或标准差越小方差或标准差越小, ,则偏离均值的平均程度越则偏离均值的平均程度越小小; ;方差或标准差越大方差或标准差越大, ,则偏离均值的平均程度越大则偏离均值的平均程度越大. .错误错误. .均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况, ,均值反映了平均水平均值反映了平均水平, ,而方差则反映它们与均值的偏离情况而方差则反映它们与均值的偏离情况. .2.2.有有1010件件产品品, ,其中其中3 3件是次品件是次品, ,从中任取两件从中任取两件, ,若若表示取到次表示取到次品的个数品的个数, ,则E(E() )等于等于( ()
8、)【解析解析】选选A,A,由题意由题意, ,知知取取0,1,2,0,1,2,它取每个值的概率都符合它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式等可能事件的概率公式, ,即即3.3.已知某一随机变量已知某一随机变量的概率分布列如下的概率分布列如下, ,且且E(E()=6.3,)=6.3,则则a a的的值为值为( () )A.4A.4 B.5 B.5 C.6 C.6 D.7 D.7a a7 79 9P Pb b0.10.10.40.4【解析解析】选选A,A,由题意和概率的性质得由题意和概率的性质得0.4+0.1+b=1,b=0.5,0.4+0.1+b=1,b=0.5,且且E(E()=0.5a+7)=
9、0.5a+70.1+90.1+90.4=6.3,0.4=6.3,所以所以a=4,a=4,4.(20144.(2014潍坊模坊模拟) )设X X为随机随机变量量, , X XB(nB(n, ), )，若随机若随机变量量X X的数学期望的数学期望E(X)=2,E(X)=2,则P(X=2)P(X=2)等于等于( () )【解析解析】选选D.D.因为随机变量因为随机变量X XB(nB(n, ), )，所以其期望所以其期望E(X)=np=E(X)=np= n=2,n=2,所以所以n=6,n=6,所以所以P(X=2)=P(X=2)=5.5.随机抛掷一枚骰子随机抛掷一枚骰子, ,则所得骰子点数则所得骰子点数
10、的期望为的期望为( () )A.0.6A.0.6 B.1 B.1C.3.5C.3.5 D.2 D.2【解析解析】选选C.C.抛掷骰子所得点数抛掷骰子所得点数的分布列为的分布列为所以所以, ,E(E()=)=(1+2+3+4+5+6)=(1+2+3+4+5+6) =3.5. =3.5.1 12 23 34 45 56 6P P6.6.已知随机已知随机变量量的方差的方差D(D()=4,)=4,且随机且随机变量量=2+5,=2+5,则D(D()=)=. .【解析解析】由由D(a+bD(a+b)=a)=a2 2D(),D(),得得D(D()=D(2+5)=2)=D(2+5)=22 2D()=16.D(
11、)=16.答案答案: :1616考点考点1 1 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013广广东高考高考) )已知离散型随机已知离散型随机变量量X X的分布列的分布列为则则X X的数学期望的数学期望E(X)=(E(X)=() )A.A. B. 2 B. 2 C. C. D.3 D.3X X1 12 23 3P P(2)(2013(2)(2013上海高考上海高考) )设非零常数非零常数d d是等差数列是等差数列x x1 1,x,x2 2,x,x3 3, , ,x x1919的公差的公差, ,随机随机变量量等可能地取等可能地取值x x1
12、1,x,x2 2,x,x3 3, ,x,x1919, ,则方差方差D(D()=)=. .【解题视点解题视点】(1)(1)考查离散型随机变量的期望公式考查离散型随机变量的期望公式, ,可以直接代可以直接代入计算入计算. .(2)(2)利用等差数列的前利用等差数列的前n n项和公式和数学期望的计算公式即可得项和公式和数学期望的计算公式即可得出出E(E(),),再利用方差的计算公式即可得出再利用方差的计算公式即可得出D(D().).【规范解答规范解答】(1)(1)选选A. E(X)= A. E(X)= (2)(2)由题意可得由题意可得E()=E()=所以所以x xn n-E()=x-E()=x1 1
13、+(n-1)d-(x+(n-1)d-(x1 1+9d)=(n-10)d+9d)=(n-10)d，所以所以D(D()= )= (-9d)(-9d)2 2+(-8d)+(-8d)2 2+ +(-d)+(-d)2 2+0+d+0+d2 2+(2d)+(2d)2 2+ + +(9d)(9d)2 2= (1= (12 2+2+22 2+ +9+92 2) )= =30d= =30d2 2. .答案：答案：30d30d2 2【互互动探究探究】第第(1)(1)题条件不条件不变, ,求求E(2X+3)E(2X+3)的的值. .【解析解析】由均值的性质由均值的性质E(aX+bE(aX+b)=)=aE(X)+ba
14、E(X)+b得得E(2X+3)=2E(X)+3=2E(2X+3)=2E(X)+3=2 +3=6. +3=6.【规律方法规律方法】求离散型随机变量求离散型随机变量的均值与方差的步骤的均值与方差的步骤(1)(1)理解理解的意义的意义, ,写出写出可能的全部值可能的全部值. .(2)(2)求求取每个值的概率取每个值的概率. .(3)(3)写出写出的分布列的分布列. .(4)(4)由均值的定义求由均值的定义求E(E().).(5)(5)由方差的定义求由方差的定义求D(D().).均值与方差的性质的推导均值与方差的性质的推导若若Y=Y=aX+baX+b, ,其中其中a,ba,b是常数是常数,X,X是随机
15、变量是随机变量, ,则则(1)E(aX+b)=(1)E(aX+b)=aE(X)+baE(X)+b. .证明证明:E(Y)=(ax:E(Y)=(ax1 1+b)p+b)p1 1+(ax+(ax2 2+b)p+b)p2 2+ +(+(axaxi i+b)p+b)pi i+ + (+ (axaxn n+b)p+b)pn n=a=a(x(x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+ + +x xi ip pi i+ +x+xn np pn n)+b(p)+b(p1 1+p+p2 2+ + +p pi i+ + +p pn n)=)=aE(X)+baE(X)+b. .(2)D(aX+b)=a(2)D
16、(aX+b)=a2 2D(X).D(X).证明证明:D(Y)=(ax:D(Y)=(ax1 1+b-aE(X)-b)+b-aE(X)-b)2 2p p1 1+(ax+(ax2 2+b-aE(X)-+b-aE(X)-b)b)2 2p p2 2+ +(ax+(axi i+b-aE(X)-b)+b-aE(X)-b)2 2p pi i+ +(ax+(axn n+b-aE(X)-b)+b-aE(X)-b)2 2p pn n= =a a2 2(x(x1 1-E(X)-E(X)2 2p p1 1+(x+(x2 2-E(X)-E(X)2 2p p2 2+ +(x+(xi i-E(X)-E(X)2 2p pi i
17、+ + +(x(xn n-E(X)-E(X)2 2p pn n= a= a2 2D(X).D(X).【变式式训练】已知某随机已知某随机变量量X X的分布列如下的分布列如下( (aRaR):):则随机变量则随机变量X X的数学期望的数学期望E(X)=E(X)=, ,方差方差D(X)=D(X)=. .X X1 12 23 3P Pa a【解析解析】根据所给分布列，可得根据所给分布列，可得所以所以所以随机变量所以随机变量X X的分布列如下：的分布列如下：所以所以答案：答案：X X1 12 23 3P P【加固训练加固训练】1.(20131.(2013湖北高考湖北高考) )如图，将一个各面都如图，将一
18、个各面都涂了油漆的正方体，切割为涂了油漆的正方体，切割为125125个同样大个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为一个小正方体，记它的油漆面数为X X，则，则X X的均值的均值E(X)=( )E(X)=( )【解析解析】选选B.B.P(0)=P(0)=E(X)=E(X)=2.2.已知某离散型随机变量已知某离散型随机变量X X服从的分布列如表，则随机变量服从的分布列如表，则随机变量X X的的方差方差D(X)D(X)等于等于( )( )X X0 01 1P Pm m2m2m【解析解析】选选B.B.由题意可得：由题意可得：m+2
19、m=1m+2m=1，所以，所以所以所以E(X)=E(X)=所以所以D(X)=D(X)=3.3.已知离散型随机变量已知离散型随机变量X X的分布列如表所示，若的分布列如表所示，若E(X)=0E(X)=0，D(X)=1D(X)=1，则，则a-b=( )a-b=( )X X-1-10 01 12 2P Pa ab bc c【解析解析】选选A.A.由题知由题知E(X)=-a+c+ =0.E(X)=-a+c+ =0.D(X)=(-1-0)D(X)=(-1-0)2 2a+(1-0)a+(1-0)2 2c+(2-0)c+(2-0)2 2 =1, =1,考点考点2 2 与二项分布有关的期望和方差与二项分布有关
20、的期望和方差【典例【典例2 2】(1)(1)已知随机已知随机变量量X XB(10,0.6),B(10,0.6),则E(X)E(X)与与D(X)D(X)分分别为( () )A.2.4,4A.2.4,4B.6,2.4B.6,2.4C.4,2.4C.4,2.4D.6,4D.6,4(2)(2)若若X XB(n,pB(n,p),),且且E(X)=6,D(X)=3,E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)P(X=1)的的值为( () )A.3A.32 2-2-2B.2B.2-4-4 C.3 C.32 2-10-10 D.2 D.2-8-8【解题视点解题视点】(1)(1)已知随机变量符合二项分布已知随机变
21、量符合二项分布, ,根据二项分布根据二项分布的期望和方差的公式和已知条件的期望和方差的公式和已知条件, ,得到得到E(X)E(X)与与D(X)D(X)的值即可的值即可. .(2)(2)根据二项分布的期望和方差的计算公式根据二项分布的期望和方差的计算公式E(X)=E(X)=np,D(Xnp,D(X)= )= np(1-p),np(1-p),可求得可求得p p和和n n的值的值, ,根据根据P(X=k)= P(X=k)= p pk k1-p1-pn nk k，即即可求得可求得P(X=1)P(X=1)的值的值. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.因为因为X X服从二项分布服从二项分布,
22、,所以所以E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=2.4.E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=2.4.(2)(2)选选C.E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,C.E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,所以所以p=p= ,n=12.,n=12.则则P(X=1)=P(X=1)=【规律方法规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法与二项分布有关的期望、方差的求法(1)(1)求随机变量求随机变量的期望与方差时的期望与方差时, ,可首先分析可首先分析是否服从二项是否服从二项分布分布, ,如果如果B(n,p),B(n,p),则用公式则用公式E()=np,D()=n
23、p(1-p)E()=np,D()=np(1-p)求解求解, ,可大大减少计算量可大大减少计算量. .(2)(2)有些随机变量虽不服从二项分布有些随机变量虽不服从二项分布, ,但与之具有线性关系的另但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布一随机变量服从二项分布, ,这时这时, ,可以综合应用可以综合应用E(a+bE(a+b)= )= aE()+baE()+b以及以及E(E()=)=npnp求出求出E(a+bE(a+b),),同样还可求出同样还可求出D(a+bD(a+b).).【变式训练变式训练】设设B(nB(n，p)p)，如果，如果E(E()=12)=12，D(D()=4)=4，则，则n=_
24、,p=_.n=_,p=_.【解析解析】因为因为 解得解得答案：答案：【加固训练加固训练】如果随机变量如果随机变量B(nB(n，p)p)，且，且E(E()=7)=7，D(D()=6)=6，则，则p p等等于于( )( )【解析解析】选选A.A.如果随机变量如果随机变量B(nB(n，p)p)，则，则E(E()=)=npnp，D(D()=np(1-p)=np(1-p)，又，又E(E()=7)=7，D(D()=6)=6，所以所以npnp=7=7，np(1-p)=6np(1-p)=6，所以，所以考点考点3 3 均值与方差的应用均值与方差的应用 【考情考情】从近几年的高考从近几年的高考试题来看来看, ,离
25、散型随机离散型随机变量的均量的均值与与方差是高考的方差是高考的热点点, ,题型型为填空填空题或解答或解答题, ,属中档属中档题. .常与排列常与排列组合、概率等知合、概率等知识综合命合命题, ,既考既考查基本概念基本概念, ,又注重考又注重考查基本基本运算能力和运算能力和逻辑推理、理解能力推理、理解能力. .高频考点高频考点通关通关 【典例典例3 3】(1)(2013(1)(2013浙江高考改浙江高考改编) )设袋子中装有袋子中装有a a个个红球球,b,b个黄球个黄球,c,c个个蓝球球, ,且且规定定: :取出一个取出一个红球得球得1 1分分, ,取出一个黄球取出一个黄球得得2 2分分, ,取
26、出一个取出一个蓝球得球得3 3分分. .从从该袋子中任取袋子中任取( (每球取到的机会每球取到的机会均等均等)1)1个球个球, ,记随机随机变量量为取出此球所得分数取出此球所得分数. .若若E(E()= )= D(D()= )= 则abcabc= =. .(2)(2013(2)(2013新新课标全国卷全国卷)一批一批产品需要品需要进行行质量量检验, ,检验方案是方案是: :先从先从这批批产品中任取品中任取4 4件作件作检验, ,这4 4件件产品中品中优质品的件数品的件数记为n.n.如果如果n=3,n=3,再从再从这批批产品中任取品中任取4 4件作件作检验, ,若若都都为优质品品, ,则这批批产
27、品通品通过检验; ;如果如果n=4,n=4,再从再从这批批产品中品中任取任取1 1件作件作检验, ,若若为优质品品, ,则这批批产品通品通过检验; ;其他情况其他情况下下, ,这批批产品都不能通品都不能通过检验. .假假设这批批产品的品的优质品率品率为50%,50%,即取出的每件即取出的每件产品是品是优质品品的概率都的概率都为 且各件且各件产品是否品是否为优质品相互独立品相互独立. . 求这批产品通过检验的概率求这批产品通过检验的概率; ;已知每件产品检验费用为已知每件产品检验费用为100100元元, ,且抽取的每件产品都需要检且抽取的每件产品都需要检验验, ,对这批产品作质量检验所需的费用记
28、为对这批产品作质量检验所需的费用记为X(X(单位单位: :元元),),求求X X的的分布列及数学期望分布列及数学期望. .【解题视点解题视点】(1)(1)根据计算数学期望与方差的公式计算根据计算数学期望与方差的公式计算, ,寻找寻找a,b,ca,b,c之间的关系求解之间的关系求解. .(2)(2)由事件的独立性和互斥性由事件的独立性和互斥性, ,并结合产品通过检验的情形确并结合产品通过检验的情形确定这批产品通过检验的概率定这批产品通过检验的概率; ;根据题意根据题意, ,先确定先确定X X的可能取值的可能取值, ,然后求出相应的概率然后求出相应的概率, ,列出分列出分布列布列, ,利用期望公式
29、求出期望利用期望公式求出期望. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题意知由题意知的分布列为的分布列为1 12 23 3P P所以所以abcabc=321.=321.答案：答案：321321(2)(2)设第一次取出的设第一次取出的4 4件产品中恰有件产品中恰有3 3件优质品为事件件优质品为事件A A1 1, ,第一第一次取出的次取出的4 4件产品全是优质品为事件件产品全是优质品为事件A A2 2, ,第二次取出的第二次取出的4 4件产品全件产品全是优质品为事件是优质品为事件B B1 1, ,第二次取出的第二次取出的1 1件产品是优质品为事件件产品是优质品为事件B B2 2, ,这这批产品通过检
30、验为事件批产品通过检验为事件A.A.依题意有依题意有A=(AA=(A1 1B B1 1)(A)(A2 2B B2 2),),且且A A1 1B B1 1与与A A2 2B B2 2互斥互斥, ,所以所以P(A)=P(AP(A)=P(A1 1B B1 1)+P(A)+P(A2 2B B2 2) ) X X可能的取值为可能的取值为400400，500500，800, P(X=500)=800, P(X=500)=P(X=800)=P(X=800)=P(X=400)=P(X=400)=所以所以X X的分布列为的分布列为X X400400500500800800P P【通关通关锦囊囊】 高考指数高考指
31、数重点重点题型型破解策略破解策略已知均已知均值和方和方差求其他量差求其他量利用均利用均值、方差的公式构造方、方差的公式构造方程程组求解参数即可求解参数即可根据概率分布根据概率分布类型求均型求均值和和方差方差分析随机分析随机变量的分布量的分布类型型, ,如果如果服从常用的分布服从常用的分布( (如两点分布、如两点分布、二二项分布等分布等),),可直接利用它可直接利用它们的均的均值、方差公式求解、方差公式求解【关注题型关注题型】利用均利用均值和和方差估方差估计实际问题对实际问题进行具体分析行具体分析, ,一般一般要将要将问题中的随机中的随机变量量设出来出来, ,再再进行分析行分析, ,求出随机求出
32、随机变量的概量的概率分布率分布, ,然后按定然后按定义计算出随机算出随机变量的均量的均值、方差或、方差或标准差准差; ;再再作出判断作出判断【特别提醒特别提醒】在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式公式. .【通关通关题组】1.(20141.(2014临沂模沂模拟) )一个一个篮球运球运动员投投篮一次得一次得3 3分的概率分的概率为a,a,得得2 2分的概率分的概率为b,b,不得分的概率不得分的概率为c(a,b,c(0,1),c(a,b,c(0,1),已知他已知他投投篮一次得分的均一次得分的均值为2,2,则 的最小的最小值为( () )【解析解析】选选
33、D.D.由题意得投篮一次得分由题意得投篮一次得分X X的分布列为的分布列为E(X)=0E(X)=0c+2b+3a=2,c+2b+3a=2,即即3a+2b=2,3a+2b=2,X X0 02 23 3P Pc cb ba a2.(20132.(2013山山东高考高考) )甲、乙两支排球甲、乙两支排球队进行比行比赛, ,约定先定先胜3 3局者局者获得比得比赛的的胜利利, ,比比赛随即随即结束束. .除第五局甲除第五局甲队获胜的概的概率是率是 外外, ,其余每局比其余每局比赛甲甲队获胜的概率是的概率是 假假设每局比每局比赛结果互相独立果互相独立. .(1)(1)分分别求甲求甲队以以30,31,323
34、0,31,32胜利的概率利的概率. .(2)(2)若比若比赛结果果为3030或或31,31,则胜利方得利方得3 3分分, ,对方得方得0 0分分; ;若若比比赛结果果为32,32,则胜利方得利方得2 2分、分、对方得方得1 1分分, ,求乙求乙队得分得分X X的的分布列及数学期望分布列及数学期望. .【解析解析】(1)(1)记记“甲队以甲队以3030胜利胜利”为事件为事件A A1 1, ,“甲队以甲队以3131胜胜利利”为事件为事件A A2 2, ,“甲队以甲队以3232胜利胜利”为事件为事件A A3 3, ,由题意由题意, ,各局比各局比赛结果相互独立赛结果相互独立, ,所以甲队以所以甲队以
35、3030胜利、以胜利、以3131胜利的概率都为胜利的概率都为 甲队以甲队以3232胜利的概率为胜利的概率为(2)(2)设设“乙队以乙队以3232胜利胜利”为事件为事件A A4 4, ,由题意由题意, ,各局比赛结果相互独立各局比赛结果相互独立, ,所以所以由题意由题意, ,随机变量随机变量的所有可能的取值为的所有可能的取值为0,1,2,3,0,1,2,3,根据事件的互斥性得根据事件的互斥性得P(=0)=P(AP(=0)=P(A1 1+A+A2 2)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)=)=又又P(=1)=P(AP(=1)=P(A3 3)=)=P(=2)=P(AP(=2)=P(A
36、4 4)=)=P(P(=3)=1-P(=3)=1-P(=0)-P(=0)-P(=1)-P(=1)-P(=2)=2)=故故的分布列为的分布列为所以所以E()=E()=X X0 01 12 23 3P P3.(20133.(2013福建高考福建高考) )某某联欢晚会晚会举行抽行抽奖活活动, ,举办方方设置了置了甲、乙两种抽甲、乙两种抽奖方案方案, ,方案甲的中方案甲的中奖率率为 中中奖可以可以获得得2 2分分; ;方案乙的中方案乙的中奖率率为 中中奖可以可以获得得3 3分分; ;未中未中奖则不得分不得分. .每每人有且只有一次抽人有且只有一次抽奖机会机会, ,每次抽每次抽奖中中奖与否互不影响与否互
37、不影响, ,晚会晚会结束后凭分数束后凭分数兑换奖品品. .(1)(1)若小明若小明选择方案甲抽方案甲抽奖, ,小小红选择方案乙抽方案乙抽奖, ,记他他们的累的累计得分得分为X,X,求求X3X3的概率的概率. .(2)(2)若小明、小若小明、小红两人都两人都选择方案甲或都方案甲或都选择方案乙方案乙进行抽行抽奖, ,问: :他他们选择何种方案抽何种方案抽奖, ,累累计得分的数学期望得分的数学期望较大大? ?【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得: :小明中奖的概率为小明中奖的概率为 小红中奖的概率小红中奖的概率为为 且两人中奖与否互不影响且两人中奖与否互不影响, ,记记“这这2 2人的累计得分人
38、的累计得分X3X3”的事件为的事件为A,A,则则A A事件的对立事件为事件的对立事件为“X=5X=5”, ,因为因为P(X=5)=P(X=5)=所以所以P(A)=1-P(X=5)=P(A)=1-P(X=5)=所以这两人的累计得分所以这两人的累计得分X3X3的概率为的概率为(2)(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X X1 1, ,都选择方案都选择方案乙抽奖中奖的次数为乙抽奖中奖的次数为X X2 2, ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为学期望为E(2XE(2X1 1),),选择方案乙抽奖累计得分的数学期
39、望为选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3XE(3X2 2),),因为因为E(2XE(2X1 1)E(3X)E(3X2 2),),所以他们都选择方案甲进行抽奖时所以他们都选择方案甲进行抽奖时, ,累计得分的数学期望最大累计得分的数学期望最大. . 【加固加固训练】1.(20131.(2013辽宁高考宁高考) )现有有1010道道题, ,其中其中6 6道甲道甲类题,4,4道乙道乙类题, ,张同学从中任取同学从中任取3 3道道题解答解答. .(1)(1)求求张同学至少取到同学至少取到1 1道乙道乙类题的概率的概率. .(2)(2)已知所取到的已知所取到的3 3道道题中有中有2 2道甲道甲类题,1
40、,1道乙道乙类题. .设张同学同学答答对每道甲每道甲类题的概率都是的概率都是 答答对每道乙每道乙类题的概率都是的概率都是且各且各题答答对与否相互独立与否相互独立. .用用X X表示表示张同学答同学答对题的个数的个数, ,求求X X的分布列和数学期望的分布列和数学期望. .【解析解析】(1)(1)记事件记事件A=A=“张同学所取的张同学所取的3 3道题至少取到道题至少取到1 1道乙类道乙类题题”, ,则则 = =“张同学所取的张同学所取的3 3道题全为甲类题道题全为甲类题”; ;事件事件 = =“张同学所取的张同学所取的3 3道题全为甲类题道题全为甲类题”共有共有 种取法种取法; ;而而“从从1
41、010道题中任取道题中任取3 3道题道题”共有共有 种取法种取法, ,所以所以所以张同学至少取到所以张同学至少取到1 1道乙类题的概率为道乙类题的概率为 (2)(2)张同学答对题的个数张同学答对题的个数X X的可能值为的可能值为0 0，1 1，2 2，3.3.X=0X=0表示张同学答对表示张同学答对0 0道题，道题，P(X=0)=P(X=0)=X=1X=1表示张同学答对表示张同学答对1 1道题，包含以下两种可能，道题，包含以下两种可能，“答对答对1 1道甲道甲类题类题”“”“答对答对1 1道乙类题道乙类题”，X=2X=2表示张同学答对表示张同学答对2 2道题，包含以下两种可能，道题，包含以下两
42、种可能，“答对答对2 2道甲道甲类题类题”“”“答对答对1 1道甲类题和道甲类题和1 1道乙类题道乙类题”，X=3X=3表示张同学所取的表示张同学所取的3 3道题全部答对，道题全部答对，因此因此P(X=3)=P(X=3)=所以所以X X的分布列为的分布列为故故X X的数学期望为的数学期望为E(X)=E(X)=X X0 01 12 23 3P P2.(20132.(2013重重庆高考高考) )某商某商场举行的行的“三色球三色球”购物摸物摸奖活活动规定定: :在一次摸在一次摸奖中中, ,摸摸奖者先从装有者先从装有3 3个个红球与球与4 4个白球的袋中任意个白球的袋中任意摸出摸出3 3个球个球, ,
43、再从装有再从装有1 1个个蓝球与球与2 2个白球的袋中任意摸出个白球的袋中任意摸出1 1个球个球, ,根据摸出根据摸出4 4个球中个球中红球与球与蓝球的个数球的个数, ,设一、二、三等一、二、三等奖如下如下: :奖级摸出摸出红、蓝球个数球个数获奖金金额一等一等奖3 3红1 1蓝200200元元二等二等奖3 3红0 0蓝5050元元三等三等奖2 2红1 1蓝1010元元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. .(1)(1)求一次摸球恰好摸到求一次摸球恰好摸到1 1个红球的概率个红球的概率. .(2)(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额求摸奖者在一次摸
44、奖中获奖金额X X的分布列与期望的分布列与期望E(X).E(X).【解析解析】设设A Ai i表示摸到表示摸到i i个红球个红球, ,B Bj j表示摸到表示摸到j j个蓝球个蓝球, ,则则A Ai i(i(i=0,1,2,3)=0,1,2,3)与与B Bj j(j(j=0,1)=0,1)独立独立. .(1)(1)恰好摸到恰好摸到1 1个红球的概率为个红球的概率为(2)X(2)X的所有可能值为的所有可能值为0,10,50,200,0,10,50,200,且且P(X=200)=P(AP(X=200)=P(A3 3B B1 1)=P(A)=P(A3 3)P(B)P(B1 1)=)=P(X=50)=
45、P(AP(X=50)=P(A3 3B B0 0)=P(A)=P(A3 3)P(B)P(B0 0)=)=P(X=10)=P(AP(X=10)=P(A2 2B B1 1)=P(A)=P(A2 2)P(B)P(B1 1)=)=P(X=0)=P(X=0)=综上知综上知,X,X的分布列为的分布列为 X X200200505010100 0P P 从而有从而有E(X)=E(X)=3.(20133.(2013北京高考北京高考) )下下图是某市是某市3 3月月1 1日至日至1414日的空气日的空气质量指数量指数趋势图, ,空气空气质量指数小于量指数小于100100表示空气表示空气质量量优良良, ,空气空气质量
46、指数量指数大于大于200200表示空气重度表示空气重度污染染. .某人随机某人随机选择3 3月月1 1日至日至3 3月月1313日中日中的某一天到达的某一天到达该市市, ,并停留并停留2 2天天. .(1)(1)求此人到达当日空气重度污染的概率求此人到达当日空气重度污染的概率. .(2)(2)设设X X是此人停留期间空气质量优良的天数是此人停留期间空气质量优良的天数, ,求求X X的分布列与数的分布列与数学期望学期望. .(3)(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? ?( (结论不要求证明结论不要求证明) )【解析解析】(1)(
47、1)某人随机选择某人随机选择3 3月月1 1日至日至3 3月月1313日中的某一天到达该日中的某一天到达该市市, ,共有共有1313种可能种可能. .到达当日空气重度污染有到达当日空气重度污染有2 2种可能种可能. .所以概率所以概率为为(2)X(2)X可能取值为可能取值为0,1,2.0,1,2.分布列如下分布列如下X X0 01 12 2P P E(X)=E(X)=(3)5,6,7(3)5,6,7三天三天. .【规范解答规范解答1919】均值和方差在实际问题中的应用均值和方差在实际问题中的应用 【典例典例】(12(12分分)(2013)(2013新新课标全国卷全国卷)经销商商经销某种某种农产
48、品品, ,在一个在一个销售季度内售季度内, ,每售出每售出1t1t该产品品获利利润500500元元, ,未售出的未售出的产品品, ,每每1t1t亏亏损300300元元. .根据根据历史史资料料, ,得到得到销售季度内市售季度内市场需求量的需求量的频率分布直方率分布直方图, ,如如图所示所示. .经销商商为下一个下一个销售季度售季度购进了了130 t130 t该农产品品. .以以X(X(单位位:t,100X150):t,100X150)表示下一个表示下一个销售季度内的市售季度内的市场需求量需求量.T(.T(单位位: :元元) )表示下一个表示下一个销售季度内售季度内经销该农产品的利品的利润. .
49、(1)(1)将将T T表示表示为X X的函数的函数. .(2)(2)根据直方根据直方图估估计利利润T T不少于不少于5700057000元的概率元的概率. .(3)(3)在直方在直方图的需求量分的需求量分组中中, ,以各以各组的区的区间中点中点值代表代表该组的的各个各个值, ,需求量落入需求量落入该区区间的的频率作率作为需求量取需求量取该区区间中点中点值的概率的概率( (例如例如: :若需求量若需求量X100,110),X100,110),则取取X=105,X=105,且且X=105X=105的概的概率等于需求量落入率等于需求量落入100,110)100,110)的的频率率),),求求T T的
50、数学期望的数学期望. .【审题审题】分析信息分析信息, ,形成思路形成思路信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)每售出每售出1t1t该产品获利润该产品获利润500500元元, ,未未售出的产品售出的产品, ,每每1t1t亏损亏损300300元元. .经经销商为下一个销售季度购进了销商为下一个销售季度购进了130t,X(130t,X(单位单位:t,100X150):t,100X150)表表示需求量示需求量.T(.T(单位单位: :元元) )表示利润表示利润. .将将T T表示为表示为X X的函数的函数根据题意购进了根据题意购进了130t,130t,应分两段进行求解应分两段进行求解, ,写写
51、成分段函数成分段函数(2)(2)已知直方图已知直方图, ,并根据直方图估计并根据直方图估计利润利润T T不少于不少于57 00057 000元的概率元的概率运用得出的函数结合运用得出的函数结合频率分布直方图求出频率分布直方图求出范围范围估计概率估计概率信息提取信息提取思路分析思路分析(3)(3)以各组的区间中点值代表该组的以各组的区间中点值代表该组的各个值各个值, ,需求量落入该区间的频需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的率作为需求量取该区间中点值的概率概率, ,求求T T的数学期望的数学期望找出找出T T的取值的取值列出分列出分布列布列求出数学期望求出数学期望【解题解题】规范步骤
52、，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)当当XX100,130)100,130)时，时，T=500XT=500X300(130300(130X)X)=800X=800X39 00039 000，当当XX130,150130,150时，时，T=500T=500130=65 000.130=65 000.所以所以 4 4分分(2)(2)由由(1)(1)知利润知利润T T不少于不少于57 00057 000元当且仅当元当且仅当120X150.120X150.由直方图知需求量由直方图知需求量X120,150X120,150的的频率为频率为0.7,0.7,所以下一个销售季度内的所以下一个销售季度内的利润
53、利润T T不少于不少于57 00057 000元的概率的估计元的概率的估计值为值为0.7.0.7.7 7分分(3)(3)依题意可得依题意可得T T的分布列为的分布列为 所以所以E(T)E(T)45 00045 0000.1+53 0000.1+53 0000.2+61 0000.2+61 0000.3+65 0000.3+65 0000.4=59 400. 0.4=59 400. 1212分分T T45 00045 00053 00053 00061 00061 00065 00065 000P P0.10.10.20.20.30.30.40.4【点题点题】失分警示失分警示, ,规避误区规避误
54、区失分点失分点防范措施防范措施处忽略定义域的端处忽略定义域的端点导致失分点导致失分在写分段函数时首先要确定定义域在写分段函数时首先要确定定义域的分段的分段, ,一定注意端点是否有意义一定注意端点是否有意义处会因为直接加了处会因为直接加了纵坐标的值而导致失纵坐标的值而导致失分分用频率估计概率用频率估计概率, ,而频率而频率= = 组距组距, ,不能忘记乘组距不能忘记乘组距处会出现不能确定处会出现不能确定T T的值而失分的值而失分根据实际获利和亏损确定根据实际获利和亏损确定T T的值的值, ,再再求概率和期望求概率和期望【变题变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2012(2012新新课标全
55、国卷全国卷) )某花店每天以每枝某花店每天以每枝5 5元的价格从元的价格从农场购进若干枝玫瑰花若干枝玫瑰花, ,然后以每枝然后以每枝1010元的价格出售元的价格出售, ,如果当天如果当天卖不完不完, ,剩剩下的玫瑰花作垃圾下的玫瑰花作垃圾处理理. .(1)(1)若花店一天若花店一天购进1616枝玫瑰花枝玫瑰花, ,求当天的利求当天的利润y(y(单位位: :元元) )关于关于当天需求量当天需求量n(n(单位位: :枝枝, ,nNnN) )的函数解析式的函数解析式. . (2)(2)花店记录了花店记录了100100天玫瑰花的日需求量天玫瑰花的日需求量( (单位单位: :枝枝),),整理得下表整理得
56、下表: :以以100100天天记录的各需求量的的各需求量的频率作率作为各需求量各需求量发生的概率生的概率. .若花店一天若花店一天购进1616枝玫瑰花枝玫瑰花,X,X表示当天的利表示当天的利润( (单位位: :元元),),求求X X的分布列的分布列, ,数学期望及方差数学期望及方差; ;若花店若花店计划一天划一天购进1616枝或枝或1717枝玫瑰花枝玫瑰花, ,你你认为应购进1616枝枝还是是1717枝枝? ?请说明理由明理由. .日需求日需求量量n n1414151516161717181819192020频数数1010202016161616151513131010【解析解析】(1)(1)
57、当当n16n16时时,y=16,y=16(10-5)=80.(10-5)=80.当当n15n15时时,y=5n-5(16-n)=10n-80,y=5n-5(16-n)=10n-80,得得: :(2)X(2)X可取可取60,70,80.60,70,80.P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X X的分布列为的分布列为 X X606070708080P P0.10.10.20.20.70.7E(X)=60E(X)=600.1+700.1+700.2+800.2+800.7=76.0.7=76.D(X)=16D(X)=162 20.1+60.1+62 20.2+40.2+42 20.7=44.0.7=44.购进购进1717枝时枝时, ,当天的利润为当天的利润为y=(14y=(145-35-35)5)0.1+(150.1+(155-25-25)5)0.2+(160.2+(165-5-1 15)5)0.16+170.16+175 50.54=76.4,0.54=76.4,由由76.476,76.476,得应购进得应购进1717枝枝. .
