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1、矩阵是线性代数中非常重要的理论之一，它贯穿了线性代数内容的始终。其主要内容包括：矩阵的乘法：可逆阵、转置矩阵、伴随矩阵：(1) 加法加法(2) 数乘数乘(3) 乘法乘法分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算推论推论 如果如果A 为为n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则 定理定理 方阵方阵A A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是存在有限存在有限 个初等方阵个初等方阵求方阵求方阵A 的逆矩阵的方法的逆矩阵的方法初等初等行行变换变换初等初等列列变换变换1. 构造构造B, 使使 AB=E2. 3.（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶
2、数最大的一个子式，开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩则这个子式的阶数就是矩阵的秩求矩阵的秩的基本方法求矩阵的秩的基本方法（）用初等变换（）用初等变换第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则大，第二种方法则较为较为简单实用简单实用三、关于秩的基本性质三、关于秩的基本性质第三章第三章线性方程组线性方程组用初等用初等行行变换化方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵，变换化方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵，根据根据dr+1不等于零或等于零判断原方程组是否有解，不等于零或等于零判断原方程组是否有解，如果如果dr+1
3、0，则有，则有 r (A) = r，而，而 r (A b) = r+1，即即 r (A) r (A b)，此时，此时(3.1)无解；无解；如果如果dr+1=0，则有，则有r (A) = r (A b) = r，此时，此时(3.1)有解。有解。当当r = n时，有唯一解；当时，有唯一解；当r n时，有无穷多个解。时，有无穷多个解。然后，回代求出解。然后，回代求出解。解线性方程组的步骤是：解线性方程组的步骤是：定理定理3.1 线性方程组有解的充分必要条件是：线性方程组有解的充分必要条件是：r (A b) = r (A)，且当，且当r (A b) = n时有唯一解；时有唯一解；当当r (A b) n
4、时有无穷多解。时有无穷多解。 定理定理3.2 齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 r (A) n.推论：当推论：当m n时，齐次线性方程组有非零解。时，齐次线性方程组有非零解。定理定理（1）（2）定理定理(4)(4)设设n n 个个n n 维维则则向量向量组组线线性相关的充分必要条件是：性相关的充分必要条件是：齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构1如果如果v1, v2是是Ax = 0的两个解，则的两个解，则v1 + v2也是它的解。也是它的解。2如果如果v是是Ax = 0的解，则的解，则cv也是它的解也是它的解(c为常数为常数)3如果如果v1, v2, , vs都是都是Ax
5、= 0的解，则其线性组合的解，则其线性组合 c1v1 + c2v2 + + csvs 也是它的解，其中也是它的解，其中c1, c2, , cs都是任意常数。都是任意常数。如果如果 v1, v2, , vs 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax = 0的解向量组的一个的解向量组的一个极大无关组极大无关组，则称，则称v1, v2, , vs是方程组的一个是方程组的一个基础解系基础解系。如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵的系数矩阵A的秩数的秩数r(A) = r n，则方程组的基础解系存在，且每，则方程组的基础解系存在，且每个基础解系中，恰含有个基础解系中，恰含有n r 个解
6、。个解。现对现对 取下列取下列 组数：组数：依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax = b与它的导出组与它的导出组Ax = 0的解之间的解之间有下列有下列性质性质：1如果如果u1是是Ax = b的一个解，的一个解，v1是是Ax = 0的一个解，的一个解， 则则u1+v1也是也是Ax = b的一个解；的一个解；2如果如果u1, u2是是Ax = b的两个解，则的两个解，则u1 - u2是其导出组是其导出组 (Ax = 0)的解。的解。 定理定理 如果如果u1是非齐次线性方程组的一个解，是非齐次线性方程组的一个解， v是其导出组的全部解，则是其导出组的全部解，则u = u1 + v是是 非齐次线性方程组的全部解。非齐次线性方程组的全部解。习题设设例例1818证明证明方法三方法三方法一方法一方法二方法二例20：P113，8方法一：利用定理3.9 ：向量组B（t个向量）有A（s个向量）线性表示，st 则B线性相关方法二：利用定理3.6 ：线性相关的充要条件是至少一个向量是其余向量的线性组合方法三：线性相关的定义精品课件精品课件！精品课件精品课件！
