高量电子的相对论运动方程ppt课件

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1、 这里主要里主要讨论符合相符合相对论要求的要求的单电子自旋子自旋1/21/2的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相对论量子量子力学力学为主。主要内容有：主。主要内容有： 1. 1.建立狄拉克方程以及假建立狄拉克方程以及假设干有关的概念，干有关的概念，为进一步一步学学习全面的相全面的相对论实际打根底；打根底； 2. 2.以以单电子子为研研讨对象，象，给出其哈密出其哈密顿，求得狄拉，求得狄拉克方程的克方程的严厉解。解。 在本章的在本章的处置中置中电磁磁场仍看作外仍看作外场，并按照，并按照经典典场处置。置。第三章第三章 狄拉克方程狄拉克方程15 电子的相子的相对

2、论运运动方程方程15.2 克莱因克莱因-高登方程和狄拉克方程高登方程和狄拉克方程不符合狭不符合狭义相相对论要求，由于其中的要求，由于其中的H是根据是根据经典典非相非相对论分析力学写出来的分析力学写出来的. 如今如今义务是改写是改写这个个原理中的运原理中的运动方程，使之符合相方程，使之符合相对论的要求。的要求。 在前面所引在前面所引见的量子力学的五个根本原理中，的量子力学的五个根本原理中，只需原理只需原理4 4，即，即 微观系统的形状微观系统的形状 随时间的变化规律是薛定随时间的变化规律是薛定谔方程谔方程将此式与将此式与经典典单粒子的粒子的动能与能与动量的关系式量的关系式一一.克莱因克莱因-高登

3、方程的推高登方程的推导 按照相按照相对论的的时空空对等性要求和方程在洛等性要求和方程在洛伦兹变换下的不下的不变性要求，我性要求，我们在坐在坐标表象下表象下讨论这个个问题。相比较，发现相比较，发现 与与 相对应，而相对应，而 与与 相对应。相对应。在坐在坐标表象下，外表象下，外场下下单粒子的薛定粒子的薛定谔方程方程为 第一个相第一个相对论运运动方程正是仿照方程正是仿照这种种对应方式而方式而得到的。得到的。根据相根据相对论关系关系并思索上述并思索上述对应关系关系这个方程称个方程称为克莱因克莱因- -高登方程。高登方程。在克莱因在克莱因- -高登方程提出后立刻高登方程提出后立刻发现其有其有许多多问题

4、：(1) (1) 不是正定的不是正定的, ,无法解释为粒子的位置概率；无法解释为粒子的位置概率；( (令令 , ,假设对恣意假设对恣意 , , 那么那么 为正为正定定) )并并对恣意波函数恣意波函数发生作用，有生作用，有5这一方程除了一方程除了V=0的自在方式外，无法的自在方式外，无法纳入量子入量子 力学已有的体系之中，即无法写成含力学已有的体系之中，即无法写成含时薛定薛定谔方方 程的方式。程的方式。(2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将呵斥总能量有负的本征值，而且没有下限，这将呵斥 严重的困难。由于在量子实际中存在自发跃迁的严重的困难。由于在量子实际中存在自发跃迁的 概念，因此这个方程

5、的一切定态解将不断自发辐概念，因此这个方程的一切定态解将不断自发辐 射到射到 的能级；的能级；(3)这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需 要初始时辰的要初始时辰的 外外, 还需求还需求 作为初始条件；作为初始条件；4用此方程用此方程计算算H原子能原子能级与与实验值符合得不好；符合得不好； 总之，克之，克- -高方程无法高方程无法纳入入现有量子力学的框架，而有量子力学的框架，而且至少且至少对于于电子是不适用的。然而又不能子是不适用的。然而又不能简单地否地否认。由于：由于：1这个方程的非相对论极限这个方程的非相对论极限 正是薛定谔方程正是薛定谔方程2

6、从从这一方程可以一方程可以导出一个延出一个延续性方程性方程其中其中而上述流密度表达式与非相而上述流密度表达式与非相对论的表达式的表达式非常非常类似。似。 如此看来，既然克莱因如此看来，既然克莱因- -高登方程符合相高登方程符合相对论的要的要求，那么很能求，那么很能够是是态函数不函数不对：即即态函数函数虽然然满足克足克- -高方程，但高方程，但还要要满足另一个比此足另一个比此方程要求更高的方程。方程要求更高的方程。这个要求更高的方程就是狄拉克方程。个要求更高的方程就是狄拉克方程。二二. 狄拉克方程狄拉克方程 基于克基于克- -高方程的上述情况，狄拉克开高方程的上述情况，狄拉克开场他他寻觅这个方程

7、的任个方程的任务。他希望。他希望 1 1这首先是一个首先是一个对时间的一的一阶方程，以便方程，以便纳入入已有的量子力学框架；已有的量子力学框架；2 2同同时又要求它的解依然又要求它的解依然满足克足克- -高方程。高方程。 于是狄拉克假于是狄拉克假设自在自在电子正确的相子正确的相对论方程方程应取下取下列方式：列方式：或或简写成写成式中式中 和和 是四个与时间和位置无关的待是四个与时间和位置无关的待定常量定常量,c,c是光速。引人是光速。引人c c的目的是保证的目的是保证 无量纲。无量纲。为了使了使满足此方程的足此方程的态函数仍能函数仍能满足克足克- -高方程，用高方程，用从左从左边作用到作用到1

8、5.5上，并与克上，并与克-高方程高方程V=A=0相比相比较，得待定常数，得待定常数应满足足其中其中对于自在于自在电子，有子，有既是时间和位置的一阶方程，其解既是时间和位置的一阶方程，其解 又满足克又满足克-高方程。高方程。详细过程看曾程看曾谨言言? ?量子力学量子力学? ?卷卷II p349II p349在此情况下在此情况下, 式式上式就称上式就称为狄拉克方程。写成含狄拉克方程。写成含时薛定薛定谔方程方式方程方式为假设假设 不含时间，那么狄拉克方程也有定态解不含时间，那么狄拉克方程也有定态解而而 满足满足 从从15.915.9式可以看出，式可以看出， 显然不能够是普通显然不能够是普通的数，除

9、了满足下式，的数，除了满足下式，还应该是厄米的，以保是厄米的，以保证哈密哈密顿算符的厄米性。算符的厄米性。对电磁磁场中的中的电子，有子，有 由于哈密顿算符的构成单元由于哈密顿算符的构成单元 与单电子与单电子哈密顿算符的构成单元哈密顿算符的构成单元 有很大差别，算有很大差别，算符符 的作用空间显然不是单电子的函数空间，而的作用空间显然不是单电子的函数空间，而是另外一个新的空间。是另外一个新的空间。 这样，电子的态函数这样，电子的态函数 应是在单电子的函应是在单电子的函数空间和这新的空间的直积空间中的矢量。下一节数空间和这新的空间的直积空间中的矢量。下一节我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系

10、的。我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系的。 以后我们把以后我们把 笼统地写成笼统地写成 ，以强调它不，以强调它不是单纯的时空的标量函数，而是这种标量函数空间是单纯的时空的标量函数，而是这种标量函数空间和另一个空间的直积空间中的矢量。和另一个空间的直积空间中的矢量。三三. 狄拉克方程的狄拉克方程的协变方式方式概念：概念：1 1罗仑兹变换在洛在洛仑兹变换下具有确定的下具有确定的变换性性质。2 2协变 为了展了展现方程的相方程的相对论不不变性，常把方程写成性，常把方程写成协变的方式。的方式。为此，令此，令这些算符在后面的推些算符在后面的推导中非常重要中非常重要将狄拉克方程写成如下方式将狄拉克

11、方程写成如下方式定定义4D方式的方式的动量算符量算符为并且定并且定义四个新的算符四个新的算符用用 左乘左乘15.1215.12式，利用式，利用 可可证明明这里不里不证Dirac方程在洛方程在洛伦兹变换、空、空间反演和反演和时间反演下确反演下确实是是协变的。的。这样就得到狄拉克方程的就得到狄拉克方程的协变方式方式式式引进的四个新算符引进的四个新算符 满足以下关系满足以下关系再定义再定义 ：那么有那么有 称为称为 算符。由于常以矩阵的方式出现，又常之算符。由于常以矩阵的方式出现，又常之为为 矩阵。矩阵。 既然既然 都是厄米算符，根据前面的定义，都是厄米算符，根据前面的定义， 算符算符和和 算符也是

12、厄米的。此外由厄米性及式算符也是厄米的。此外由厄米性及式可知四个可知四个 算符以及算符以及 都是幺正的。都是幺正的。(15.13)式式代入代入15.3 自旋算符自旋算符 前面在建立前面在建立Dirac方程的过程中引入了算符方程的过程中引入了算符 ，这就是说，在整体运动的位形这就是说，在整体运动的位形Hilbert空间之外又发现空间之外又发现了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。一一. 自旋算符的自旋算符的寻觅1. 从从对易关系入手易关系入手 设电子的自旋算符子的自旋算符为S，它，它应满足角足角动量量对易关系易关系和自旋算符的反和自旋算符的反

13、对易关系。易关系。令令 ，那么，那么 的三个分量应满足的三个分量应满足 为了了寻觅满足足这些关系的些关系的也称自旋算符，也称自旋算符，试用用 来构造。来构造。由前面所得结论可知，算符由前面所得结论可知，算符 满足满足但不满足但不满足假设取两个假设取两个 的乘积，一定满足的乘积，一定满足15.1915.19式：式：留意：留意：c c 是待定常数，不是光速！是待定常数，不是光速！为使使15.1815.18式得到式得到满足，足，c c可以是可以是ii。对于对于由于由于所以只需取所以只需取 ，那么找到了满足正确对易关系的自，那么找到了满足正确对易关系的自旋算符：旋算符：也可写成也可写成紧凑的方式凑的方

14、式容易容易验证，上式即，上式即利用式利用式可推知反过来的关系可推知反过来的关系对于上面于上面给出的算符，容易出的算符，容易证明明2.一些算符的关系一些算符的关系此外，有此外，有利用 设设A,B是位形空间的算符，因此与新的自旋空间的是位形空间的算符，因此与新的自旋空间的算符算符 对易，即对易，即以上各式利用有关算符的定以上各式利用有关算符的定义及算符的运算公式比及算符的运算公式比较容易推出。容易推出。另外另外还有有1.自旋角自旋角动量能否守恒量？量能否守恒量？二二. 自在自在电子的守恒量子的守恒量自在自在电子的哈密子的哈密顿为所以自在所以自在电子的自旋并不是守恒量。子的自旋并不是守恒量。利用利用

15、利用利用2. 轨道角道角动量能否守恒量？量能否守恒量？所以自在所以自在电子的子的轨道角道角动量不是守恒量。量不是守恒量。3. 总角角动量能否守恒量？量能否守恒量？由前可知，对角动量由前可知，对角动量 所以总角动量是守恒量。对于自在电子，这是一个所以总角动量是守恒量。对于自在电子，这是一个必然的结果，这阐明自旋算符的构造必然的结果，这阐明自旋算符的构造 是正确的。是正确的。4. 自在自在电子的子的动量量P能否守恒量？能否守恒量？由由 前可知前可知故自在故自在电子的子的动量量P显然是守恒量。然是守恒量。利用5. 自在自在电子的螺旋度能否守恒量？子的螺旋度能否守恒量？定定义螺旋度螺旋度为自旋在自旋在动量方向上的投影，即量方向上的投影，即所以自在所以自在电子的螺旋度是一个守恒量。子的螺旋度是一个守恒量。