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1、一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量2.连续的定义连续的定义例例1 1证证由定义由定义2知知3.单侧连续单侧连续定理定理例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,二、函数的间断点二、函数的间断点1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解2.可去间断点可去间断点注意注意 可去间断点只要改变或者补
2、充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.解解例例如如跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点3.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解例例7 7解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.例例8 8解解三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类
3、间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx闭区间上连续函数的性质：闭区间上连续函数的性质：一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义: :例如例如,定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.定
4、定理理2(2(有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界. .证证二、介值定理二、介值定理定义定义: :几何解释几何解释:几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1证证由零点定理由零点定理,例例2 2证证由零点定理由零点定理,三、小结三、小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续
5、函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即2 导数的概念导数的概念二、导数的定义二、导数的定义定义定义其它形式其它形式即即关于导数的说明：关于导数的说明：注意注意: :2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左
6、导数左导数:三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解更一般地更一般地例如例如,例例4 4解解例例5 5解解例例6 6解解四、导数的几何意义四、导数的几何意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例7 7解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证例例8 8解解六、小结六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义导数的几
7、何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题思考题解答思考题解答3 微分：微分：问题的提出问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.二、微分的定义二、微分的定义定义定义( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :三、可微的条件三、可微的条件定理定理证证
8、(1) 必要性必要性(2) 充分性充分性例例1 1解解微分的求法微分的求法求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例例2 2解解例例3 3解解六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性例例4 4解解例例3 3解解例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.七、小结七、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:
