高考数学中解排列组合问题的17种策略

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1、1 1、基本概念和考点、基本概念和考点、基本概念和考点、基本概念和考点2、合理分类和准确分步、合理分类和准确分步3 3、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题4 4、相邻相间问题、相邻相间问题、相邻相间问题、相邻相间问题5、定序问题、定序问题6、分房问题、分房问题7、环排、环排、多排问题多排问题多排问题多排问题1212、小集团问题、小集团问题、小集团问题、小集团问题10、先选后排问题、先选后排问题9 9、平均分组问题、平均分组问题11、构造模型策略、构造模型策略8、实验法（枚举法）、实验法（枚举法）13、其它特殊方法、其它特殊方法排列组合

2、应用题解法综述排列组合应用题解法综述（目录）（目录）排列组合应用题解法综述 计数问题中排列组合问题是最常见的，由于其解法往往是构造性的, 因此方法灵活多样, 不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。返回目录返回目录基基本本原原理理组合组合排列排列排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式组合数性质组合数性质应应用用问问题题 知识结构网络图：知识结构网络图：返回目录返回目录 名称名称内容内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定义义相同相同点点不同不同点点两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系：

3、做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有

4、m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法， 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.回目录回目录1.1.排列和组合的区别和联系：排列和组合的区别和联系：名名称称排排列列组组合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ，从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数回目录回目录2.掌握解决排列组合问题的常

5、用策略掌握解决排列组合问题的常用策略;能运能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力。学生解决问题分析问题的能力。 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合学会应用数学思想和方法解决排列组合问题问题.教学目标教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。类计数原理。返回目录返回目录完成一件事，有完成一件事，有n类办法，在第类办法，在第1类办法中类办法中有有 m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办法中有类办法中有m2 种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同

6、的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法种不同的方法1.1.分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) )返回目录返回目录 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2 种不同种不同的方法，的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有：那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法2.分步计数原理（乘法原理） 分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存，每步中的，每步中的方法完成事件的方法完成事件的一个阶段一个阶段，不能完成整个事

7、不能完成整个事件件3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种，任何一种方法都可以方法都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。返回目录返回目录1、某校组织学生分、某校组织学生分4个组从个组从3处风景点中选一处风景点中选一处去春游处去春游,则不同的春游方案的种数是（则不同的春游方案的种数是（ ）A. B. C. D. C回目录回目录2、将数字、将数字1、2、3、4 填入标号为填入标号为1、2、3、4 的的四个方格里四个方格里 , 每格填一个数字，则每个方格的标每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字都不相同的填法共有（号与所填的数字都不相同的填

8、法共有（ ）。）。 A. 6 种种 B. 9种种 C.11种种 D.23种种（ 331= 9. 可用框图具体填写）可用框图具体填写） B考点分析考点分析 从从考纲大纲考纲大纲看：高考对这部分的要求看：高考对这部分的要求还是比较高的还是比较高的.要重视两个计数原理、排列、要重视两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合计数模型不一定是排列或组合.画一画，数一画一画，数一数，算一算，是基本的计数方法，不可废弃数，算一算，是基本的计数方法，不可废弃. 例（例（2001年新课程卷）年新课程卷） 某赛季足球比赛的计分某

9、赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得规则是：胜一场，得3分；平一场，得分；平一场，得1分；负分；负一场，得一场，得0分分.一球队打完一球队打完15场，积场，积33分分.若不若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有：考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有： A 3种种 B 4种种 C 5种种 D 6种种.回目录回目录解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行,确定分多确定分多 少步及多少

10、类。少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题(有序有序)还是还是 组合组合(无序无序)问题问题,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多 少个元素少个元素.解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略回目录回目录判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合则集合A的含有的含有3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上个车站，则这条

11、铁路线上共需准备多少种车票共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次握手相互问候，共需握手多少次?组合问题组合问题(5)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个安排游览个安排游览,有有多少种不同的方法多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景个

12、风景点的游览顺序点的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题回目录回目录合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；进行分类，分类标准明确，不重不漏；按按事事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚楚.回目录回目录总的原则总的原则合理合理分类和分类和准确准确分步分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准分类，事情的发生的连续过程分步

13、，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。明确，分步层次清楚，不重不漏。解法解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例例16个同学和个同学和2个老师排成一排照相，个老师排成一排照相，2个个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有种方法种方法.2)若甲在第若甲在第2、3、6、7位，则位，

14、则排尾的排法有排尾的排法有种，种，1位的排法位的排法有有种种,第第2、3、6、7位的排法有位的排法有种种，根据分步计数，根据分步计数原理，不同的站法有原理，不同的站法有 种。种。再安排老师，有再安排老师，有2种方法。种方法。回目录回目录把握分类原理、分步原理是基础把握分类原理、分步原理是基础例例1如图，某电子器件是由三个电如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路阻组成的回路,其中有其中有6个焊接个焊接点点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那那么焊接点脱落的可能性共有（么焊接点脱落的可能性共有（

15、） A.63种种 B.64种种 C.6种种 D.36种种分析分析:由加法原理可知由加法原理可知由乘法原理可知：由乘法原理可知：2 22 22 22 22 22-1=632-1=63回目录回目录（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？且能被五整除的五位数？练练习习1分类：个位数字为分类：个位数字为5或或0：个位数为个位数为0：个位数为个位数为5：回目录回目录（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且大于字且大于31250的五位数？的五位数？分类：分类：引申引申1：31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无重

16、组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法）方法二：（直接法）引申引申2：由：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的组成的无重复数字的五位数中大于五位数中大于31250，小于，小于50124的数共有多少个？的数共有多少个？(2004全国全国12)在由数字在由数字1，2，3，4，5组成的所有组成的所有没有重复的没有重复的5位数中，大于位数中，大于23145且小于且小于43512的的数共有（数共有（）个）个58回目录回目录合理分类与分步策略例例. .在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,

17、其中其中8 8人能唱歌人能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出一个现要演出一个2 2人唱歌人唱歌2 2人伴舞的节人伴舞的节目目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?解： 1010演员中有演员中有5 5人只会唱歌，人只会唱歌，2 2人只会跳舞人只会跳舞 3 3人为全能演员。人为全能演员。 以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有

18、2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理共有原理共有_种。种。+ + +回目录回目录本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：* *以以3 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准* *以以3 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准* *以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到

19、标准明确。分步层次清楚，不重不步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。始终。回目录回目录有不同的数学书有不同的数学书7本，语文书本，语文书5本，本，英语书英语书4本，由其中取出不是同一本，由其中取出不是同一学科的书学科的书2本，共有多少种不同的本，共有多少种不同的取法？取法？（75 + 74 + 54 = 83）回目录回目录（4）（）（2005福建福建理）从理）从6人中选人中选4人分别到巴黎、人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游

20、览一个城市，且这一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A300种种B240种种 C144种种 D96种种B（直接法）分三种情况：（直接法）分三种情况：情况一情况一,不选甲、乙两个去游览不选甲、乙两个去游览:则有则有种选择方案种选择方案,情况二情况二:甲、乙中有一人去游览：有甲、乙中有一人去游览：有种选择方案种选择方案;情况三情况三：甲、乙两人都去游览甲、乙两人都去游览,有有种选择方案种选择方案,综上不同的选择方案共有综上不同的选择方案共有+=240 （间接法）回目录回目录1.从从4名男生和名男生和

21、3名女生中选出名女生中选出4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有不同的选法共有_ 3434 练习题2. 3成人成人2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1号船最多乘号船最多乘3人人, 2 号船最多乘号船最多乘2人人,3号船只能乘号船只能乘1人人,他们任选他们任选 2只船或只船或3只船只船,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船, 这这5人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法.2727回目录回目录特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个

22、没有重复数字 五位奇数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法用也是最基本的方法, ,若以元素分析为主若以元素分析为主, ,需先安排需先安排特殊元素特殊元素, ,再处理其它元素再处理其它元素. .若以位置分析为主若以位置分析为主, ,需需

23、先满足特殊位置的要求先满足特殊位置的要求, ,再处理其它位置。若有多再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件兼顾其它条件回目录回目录“特殊元素、特殊位置优先安排法特殊元素、特殊位置优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。素，再考虑其它元素。 例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三

24、位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，应优元素，应优先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；排在末尾和不排在末尾分为两类；1)0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个；2)0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有十位有 个；个；3)由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 个个.B解题技巧解题技巧回目录回目录学生要从六门课中选学两门：学生要从六门课中选学两门： （1）有两门课时间冲

25、突，不能）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？同时学，有几种选法？ （2）有两门特别的课，至少选）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？学其中的一门，有几种选法？回目录回目录解法一：解法二： （1）有两门课时间冲突）有两门课时间冲突,不能不能同时学，有几种选法？同时学，有几种选法？回目录回目录解法一：解法一：解法二：解法二： （2）有两门特别的课，至少）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？选学其中的一门，有几种选法？特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排例例 将将5 5列列车车停停在在5 5条条不不同同的的轨轨道道上上，其其中中a a列列车车不不停停在

26、在第第一一轨轨道道上上，b b列列车车不不停停在在第第二二轨轨道道上上，那么不同的停放方法有（那么不同的停放方法有（ ）（A A）120120种种 （B B）9696种种 （C C）7878种种 （D D）7272种种解：解：1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两种若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？练习题 （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？无重复数字的五位数？（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重可组

27、成多少个无重复数字的五位奇数？复数字的五位奇数？练练习习（3）(2005北京北京文文)五个工程队承建某项工程五个工程队承建某项工程的的5个不同的子项目，每个工程队承建个不同的子项目，每个工程队承建1项，其项，其中甲工程队不能承建中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建号子项目，则不同的承建方案共有（方案共有（）种。）种。（4）(2005全国全国II理理)在由数字在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有被整除的数共有_个个 解：不能被解：不能被5整除的有两种情况：情况整除的有两种情况：情况1、首位为、首位为5有有种，情

28、况种，情况2、首位不是、首位不是5的有的有种，故在由数字种，故在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有不能被整除的数共有+=192(个个) 192小结：小结：1 1、“在在”与与“不在不在”可以相互转化。可以相互转化。解决某些元素在某些位置上用解决某些元素在某些位置上用“定位法定位法”，解，解决某些元素不在某些位置上一般用决某些元素不在某些位置上一般用“间接法间接法”或转化为或转化为“在在”的问题求解。的问题求解。2 2、排列组合应用题极易出现、排列组合应用题极易出现“重重”、“漏漏”现象，而重现象，而重”、“漏漏”错误常

29、发生在该不该错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重重”堵堵“漏漏”，在做题时需认真分析自己做，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案核对答案回目录回目录相邻元素捆绑策略例例. 7. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看

30、成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题, ,可以用可以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题. .即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素, ,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列, ,同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列. .回目录回目录例例 5 5个男生个男生3 3个女生排成一排个女生排成一排,3,3个女生要排在一起个

31、女生要排在一起, ,有多少种不同的排法有多少种不同的排法? ? 解解 因为女生要排在一起因为女生要排在一起, ,所以可以将所以可以将3 3个女生看成个女生看成是一个人是一个人, ,与与5 5个男生作全排列个男生作全排列, ,有有 种排法种排法, ,其中女生其中女生内部也有内部也有 种排法种排法, ,根据乘法原理根据乘法原理, ,共有共有 种不同的种不同的排法排法. .结论结论 捆绑法捆绑法: :要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题, ,可以用捆绑法来解决问题可以用捆绑法来解决问题. .即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素, ,再与其它元素

32、一起作排列再与其它元素一起作排列, ,同时要注意合同时要注意合并元素内部也可以作排列并元素内部也可以作排列. .分析分析 此题涉及到的是排队问题此题涉及到的是排队问题, ,对于女生有特殊的限对于女生有特殊的限制制, ,因此因此, ,女生是特殊元素女生是特殊元素, ,并且要求她们要相邻并且要求她们要相邻, ,因此因此可以将她们看成是一个元素来解决问题可以将她们看成是一个元素来解决问题. .回目录回目录某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好有枪命中恰好有3 3枪连在一起的情形的不同种数为（枪连在一起的情形的不同种数为（ ）练习题20回目录回目录有有8本本互不相同的书互

33、不相同的书,其中数学书其中数学书3本本,外文书外文书2本本,其他书其他书3本本.若将这些书若将这些书排成一列放在书架上排成一列放在书架上,则数学书恰好则数学书恰好排在一起排在一起,外文书也恰好排在一起的外文书也恰好排在一起的排法共有排法共有_ 种种 (结果用数结果用数 值表示值表示).回目录回目录不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例3 3. .一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈, ,2 2个个相相声声, ,3 3个个 独独唱唱, ,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场, ,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？解解: :分两步进行第一步排分两步进行第一步排

34、2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种， 第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理由分步计数原理, ,节目的节目的不同顺序共有不同顺序共有 种种相相相相独独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端队再把不相邻元素插入中间和两端回目录回目录不相邻问题不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然

35、后再将不相邻的元素在已排好的元素元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。之间及两端的空隙之间插入即可。例例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析：可先让其余分析：可先让其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在这这4人之间及两端的人之间及两端的5个个“空隙空隙”中选三个位置让甲、中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有乙、丙插入，则有 种方法，这样共有种方法，这样共有 种不种不同的排法。同的排法。回目录回目录某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已

36、排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目. .如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（为（ ）30练习题回目录回目录（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？各站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，男生之间、男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：捆绑法：插空法：插空法：（3）(2005辽宁辽

37、宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有有_个（用数字作答）个（用数字作答） 练练习习回目录回目录(3)(2005辽宁辽宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有这样的八位数共有_个（用数字作答）个（用数字作答） 将与，与，与捆绑在一起排成一列将与，与，与捆绑在一起排成一列有有种，再将、插入种，再将、插入4个空位中的两个个空位中的两个有有种，故有

38、种，故有种种引申引申:用、组成没有重复数字用、组成没有重复数字的六位数，要求与相邻，与相邻，与的六位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，现将相邻，现将7、8插进去，仍要求与相邻，与插进去，仍要求与相邻，与相邻，与相邻，那么插法共有相邻，与相邻，那么插法共有_种种（用数字作答）（用数字作答） 回目录回目录“相邻相邻”用用“捆绑捆绑”，“不邻不邻”就就“插空插空”例例 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种）种960960种种 （B B）840840种种 （C C）720720种种 （D D

39、）600600种种解：解：另解：另解：回目录回目录练习练习 某城新建的一条道路上有某城新建的一条道路上有1212只路灯，为了节只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）（A A） 种（种（B B） 种种 （C C） 种种 （D D） 种种解：回目录回目录例例 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票1212张。张。8 8个学生，个学生，4 4个老师，要求老师在学

40、生中间，且老师互不个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？相邻，共有多少种不同的坐法？解解 先排学生共有先排学生共有 种排法种排法, ,然后把老师插入学生然后把老师插入学生之间的空档，共有之间的空档，共有7 7个空档可插个空档可插, ,选其中的选其中的4 4个空档个空档, ,共共有有 种选法种选法. .根据乘法原理根据乘法原理, ,共有的不同坐法为共有的不同坐法为 种种. .结论结论 插入法插入法: :对于某两个元素或者几个元素要求不相对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题邻的问题, ,可以用插入法可以用插入法. .即先排好没有限制条件的元即先排好没有限制条件的元

41、素素, ,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可空档之中即可. .分析分析 此题涉及到的是不相邻问题此题涉及到的是不相邻问题, ,并且是对老师有特殊并且是对老师有特殊的要求的要求, ,因此老师是特殊元素因此老师是特殊元素, ,在解决时就要特殊对待在解决时就要特殊对待. .所涉及问题是排列问题所涉及问题是排列问题. .回目录回目录小结：小结：以元素相邻为附加条件的以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即应把相邻元素视为一个整体，即采用采用“捆绑法捆绑法”；以某些元素不；以某些元素不能相邻为附加条件的能相邻为附加条件的, ,可采用

42、可采用“插空法插空法”。“插空插空”有同时有同时“插插空空”和有逐一和有逐一“插空插空”, ,并要注并要注意条件的限定意条件的限定. .回目录回目录例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？顺序固定问题用顺序固定问题用“除法除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排

43、列数排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。 分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只对应一种排法，对应一种排法，回目录回目录定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略例例4.74.7人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:( (倍缩法倍缩法) )对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题, ,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素

44、一起进行排列进行排列, ,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是： （空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法。方法。 1思考思考: :可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗? ?回目录回目录例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排

45、成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？顺序固定问题用顺序固定问题用“除法除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。 分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只对应一种排法，对应一种排法，回目录回目录（插入法插

46、入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4*5*6*74*5*6*7定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理空模型处理练习题1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？回目录回目录例例 期中安排考试科目期中安排考试科目9 9门门, ,语文要在数学之前考语文要在数学之前考, ,有有多少种不同的安排顺序多少种不同的安排顺序?

47、 ?解解 不加任何限制条件不加任何限制条件, ,整个排法有整个排法有 种种, ,“语文安排语文安排在数学之前考在数学之前考”, ,与与“数学安排在语文之前考数学安排在语文之前考”的排法的排法是相等的是相等的, ,所以语文安排在数学之前考的排法共有所以语文安排在数学之前考的排法共有 种种. .结论结论 对等法对等法: :在有些题目中在有些题目中, ,它的限制条件的肯定与它的限制条件的肯定与否定是对等的否定是对等的, ,各占全体的二分之一各占全体的二分之一. .在求解中只要求在求解中只要求出全体出全体, ,就可以得到所求就可以得到所求. .分析分析 对于任何一个排列问题对于任何一个排列问题, ,就

48、其中的两个元素来讲就其中的两个元素来讲的话的话, ,他们的排列顺序只有两种情况他们的排列顺序只有两种情况, ,并且在整个排列并且在整个排列中中, ,他们出现的机会是均等的他们出现的机会是均等的, ,因此要求其中的某一种因此要求其中的某一种情况情况, ,能够得到全体能够得到全体, ,那么问题就可以解决了那么问题就可以解决了. .并且也避并且也避免了问题的复杂性免了问题的复杂性. .回目录回目录住店法住店法解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作的元素看作

49、“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利，再利用乘法原理直接求解。用乘法原理直接求解。例例10 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）A. B. C D.分析：因同一学生可以同时夺得分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作将七名学生看作7家家“店店”，五项冠军看作，五项冠军看作5名名“客客”，每个，每个“客客”有有7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得 种。种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是注：对此类问

50、题，常有疑惑，为什么不是 呢？呢？用分步计数原理看，用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。是步骤数，自然是指数。回目录回目录A重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例. .把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法. .7 7把第二名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分种分法，法，依此类推依此类推, ,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法允许重复的排列问题的特点

51、是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m回目录回目录1. 1. 某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节目个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目单，开演前又增加了两个新节目. .如果将这两个如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ） 422. 2. 某某8 8层大楼一楼电梯上

52、来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法（ ）练习题回目录回目录环排问题线排策略环排问题线排策略例例6. 56. 5人围桌而坐人围桌而坐, ,共有多少种坐法共有多少种坐法? ? 解：解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 A AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！一般地

53、一般地,n,n个不同元素作圆形排个不同元素作圆形排列列, ,共有共有(n-1)!(n-1)!种排法种排法. .如果从如果从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素作个元素作圆形排列共有圆形排列共有回目录回目录练习题6 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？120多排问题直排策略多排问题直排策略例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排

54、成一排. 先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.回目录回目录有两排座位，前排有两排座位，前排1111个座位，后排个座位，后排1212个座位，现安排个座位，现安排2 2人就座规定前排人就座规定前排中间的中间的3 3个座位不能坐，并且这个座位不能坐，并且这2 2人人不左右相邻，那么不同排法

55、的种数不左右相邻，那么不同排法的种数是是_346练习题回目录回目录小集团问题先整体局部策略小集团问题先整体局部策略例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹其中恰有两个偶数夹1,1,在两个奇数之在两个奇数之 间间, ,这样的五位数有多少个？这样的五位数有多少个？解：把解：把,当作一个小集团与排队当作一个小集团与排队共有共有_种排法，再排小集团内部共有种排法，再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有种排法，由分步计数原理共有_种排法种排法.31524小集团小集团小集团排列问题中，先整体后局小集团排列问题中，先整体

56、后局部，再结合其它策略进行处理。部，再结合其它策略进行处理。回目录回目录.计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画, 排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为端，那么共有陈列方式的种数为_2. 5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女生也相邻的排法有生也相邻的排法有_种种回目录回目录元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略应用背景：相同元素的名额分配问题应用背景：相同元素的名额分配问题 不定方程的正整数解问题

57、不定方程的正整数解问题隔板法的使用特征：隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一个相同的元素分成若干部分，每部分至少一个元素相同问题隔板策略例例.有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一

58、种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）, ,每份至少一个元素每份至少一个元素, ,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数为为回目录回目录例例 高二年级高二年级8 8个班个班, ,组织一个组织一个1212个人的年级学生分会个人的年级学生分会, ,每班要求至少每班要求至少1 1人人, ,名额分配方案有多少种名额分配方案有多少种? ?解解 此题可以转化为此题可以转化为: :将将1212个相同

59、的白球分成个相同的白球分成8 8份份, ,有有多少种不同的分法问题多少种不同的分法问题, ,因此须把这因此须把这1212个白球排成一个白球排成一排排, ,在在1111个空档中放上个空档中放上7 7个相同的隔板个相同的隔板, ,每个空档最多每个空档最多放一个放一个, ,即可将白球分成即可将白球分成8 8份份, ,显然有显然有 种不同的放法种不同的放法, ,所以名额分配方案有所以名额分配方案有 种种. .结论结论 转化法转化法: :对于某些较复杂的、或较抽象的排列组对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想合问题，可以利用转化思想, ,将其化归为简单的、具体将其化归为简单的、具体的

60、问题来求解的问题来求解. .分析分析 此题若直接去考虑的话此题若直接去考虑的话, ,就会比较复杂就会比较复杂. .但如果但如果我们将其转换为等价的其他问题我们将其转换为等价的其他问题, ,就会显得比较清楚就会显得比较清楚, ,方法简单方法简单, ,结果容易理解结果容易理解. .回目录回目录练练习习（1 1）将）将1010个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给7 7个不同个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有案共有 （ ）种。）种。（2）不定方程）不定方程 的正整数解的正整数解共有（共有（ ）组）组回目录回目录练习题1.1.

61、1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中, ,每盒至少一每盒至少一2.2. 有多少装法？有多少装法？2 .x+y+z+w=1002 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解求这个方程组的自然数解 的组数的组数回目录回目录小结：小结：把把n n个相同元素分成个相同元素分成m m份每份份每份, ,至至少少1 1个元素个元素, ,问有多少种不同分法的问题问有多少种不同分法的问题可以采用可以采用“隔板法隔板法”得出共有得出共有 种种. .回目录回目录正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略例例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三这十个数字中取出三 个数，使

62、其和为不小于个数，使其和为不小于10的偶数的偶数,不同的不同的 取法有多少种？取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很的偶数很 困难困难,可用总体淘汰法。可用总体淘汰法。 这十个数字中有这十个数字中有5 5个偶数个偶数5 5个奇数个奇数, ,所取的三个数含有所取的三个数含有3 3个偶个偶数的取法有数的取法有_,_,只含有只含有1 1个偶数的取法个偶数的取法有有_,_,和为偶数的取法共有和为偶数的取法共有_再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共_符合条件的取法共有符合条件的取法共有_ 9 901301301501501701702302302502

63、5027027041041045045043043+- 9- 9+有些排列组合问题有些排列组合问题, ,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂, ,而它的反面往往比较简捷而它的反面往往比较简捷, ,可以先求出它的可以先求出它的反面反面, ,再从整体中淘汰再从整体中淘汰. .回目录回目录 例：用例：用0 0，1 1，2 2，3 3，4 4这五个数，组成没有重复这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中数字的三位数，其中1 1不在个位的数共有不在个位的数共有_种。种。间接法间接法 (总体淘汰法总体淘汰法,正难则反）正难则反） 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合对于含有否定词语的问题，还

64、可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。既不能多减又不能少减。 分析分析：五个数组成三位数的全排列有五个数组成三位数的全排列有个，个，0排在首位的排在首位的有有个个，1排在末尾的有排在末尾的有，减掉这两种不合条件的排，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为法数，再加回百位为0同时个位为同时个位为1的排列数的排列数（为什么？）（为什么？）故共有故共有种。种。例例 我们班里有我们班里有4343位同学位同学, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、副班长、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? ?解解

65、 4343人中任抽人中任抽5 5人的方法有人的方法有 种种, ,正副班长正副班长, ,团支部团支部书记都不在内的抽法有书记都不在内的抽法有 种种, ,所以正副班长所以正副班长, ,团支部书团支部书记至少有记至少有1 1人在内的抽法有人在内的抽法有 种种. .结论结论 去杂法去杂法: :有些问题有些问题, ,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂, ,而它而它的反面往往比较简捷的反面往往比较简捷, ,可以先求出它的反面可以先求出它的反面, ,再从整体中再从整体中排除排除. .分析分析 此题若是直接去考虑的话此题若是直接去考虑的话, ,就要将问题分成好几就要将问题分成好几种情况种情况, ,这样解

66、题的话这样解题的话, ,容易造成各种情况遗漏或者重容易造成各种情况遗漏或者重复的情况复的情况. .而如果从此问题相反的方面去考虑的话而如果从此问题相反的方面去考虑的话, ,不不但容易理解但容易理解, ,而且在计算中也是非常的简便而且在计算中也是非常的简便. .这样就可这样就可以简化计算过程以简化计算过程. .回目录回目录（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？在最左，乙不在最右，有几种不同方法？ （2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（乙不站第二个

67、位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72直接练练习习3回目录回目录 （3）用用间接法解例间接法解例1“6个同学和个同学和2个老师排成一个老师排成一排照相，排照相，2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？不站排尾，共有多少种不同的排法？”回目录回目录我们班里有我们班里有4343位同学位同学, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种? ?练习题回目录回目录平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略例12. 6本

68、不同的书平均分成本不同的书平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解: 分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出现但这里出现 重复计数的现象重复计数的现象,不妨记不妨记6本书为本书为ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),则则 中还有中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法 ,而而 这些分法仅是这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。平均分成

69、的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为为均分的组数均分的组数)避免重复计数。避免重复计数。回目录回目录1 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队, 有多少分法？有多少分法？2.10名学生分成名学生分成3组组,其中一组其中一组4人人, 另两组另两组3人人 但正副班长不能分在同一组但正副班长不能分在同一组,有多少种不同有多少种不同 的分组方法的分组方法 （1540）3.3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名

70、学生，要安排到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_ 回目录回目录分清排列、组合、等分的算法区别分清排列、组合、等分的算法区别例例 (1)(1)今有今有1010件不同奖品件不同奖品, ,从中选从中选6 6件分给甲一件分给甲一件件, ,乙二件和丙三件乙二件和丙三件, ,有多少种分法有多少种分法? ? (2) (2) 今有今有1010件不同奖品件不同奖品, , 从中选从中选6 6件分给三人件分给三人, ,其中其中1 1人一件人一件1 1人二件人二件1 1人三件人三件, , 有多少种分法有多少种分法? ?(3)

71、 (3) 今有今有1010件不同奖品件不同奖品, , 从中选从中选6 6件分成三份件分成三份, ,每每份份2 2件件, , 有多少种分法有多少种分法? ? 解：（1） （2）(3)回目录回目录练习练习 (1)(1)今有今有1010件不同奖品件不同奖品, ,从中选从中选6 6件分成三份件分成三份, , 二二份各份各1 1件件, ,另一份另一份4 4件件, , 有多少种分法有多少种分法? ?(2) (2) 今有今有1010件不同奖品件不同奖品, ,从中选从中选6 6件分给甲乙丙三件分给甲乙丙三人人, ,每人二件有多少种分法每人二件有多少种分法? ?解: (1)(2)回目录回目录小结：小结：排列与组

72、合的区别在于元素是排列与组合的区别在于元素是否有序否有序; m; m等分的组合问题是非等分情等分的组合问题是非等分情况的况的; ;而元素相同时又要另行考虑而元素相同时又要另行考虑. .回目录回目录构造模型策略构造模型策略例例. . 马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏, ,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏, ,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模

73、型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决回目录回目录练习题某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120回目录回目录八八. .排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例例. .有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 每盒至

74、少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. .解解: :第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法. .再把再把5 5个元素个元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法. .根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似吗?回目录回目录练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士, ,其中正副班长各其中正副班长

75、各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务, ,每人每人完成一种任务完成一种任务, ,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加, ,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种192192回目录回目录3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所所学校为学生体检学校为学生体检,每校分配每校分配 1 名医名医生和生和 2 名护士名护士,不同的分配方法共不同的分配方法共有多少种有多少种?先选后排问题的处理方法先选后排问题的处理方法 解法一：先组队后分校（先解法一：先组队后分校（先分堆后分配）分堆后分配）回目录回目录 解法二：依次确定到第一、

76、解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和第二、第三所学校去的医生和护士护士.回目录回目录 为支援西部开发为支援西部开发,有有3名教师去银川市名教师去银川市三所学校任教三所学校任教,每校分配每校分配1人人,不同的分不同的分配方法共有配方法共有_种种(用数字作答用数字作答).练习练习改为改为4名教师？名教师？改为改为5名教师？名教师？回目录回目录有甲、乙、丙三项任务有甲、乙、丙三项任务,甲需甲需2人承人承担担,乙、丙各需乙、丙各需1人承担人承担.从从10人中选人中选派派4人承担这三项任务人承担这三项任务,不同的选法不同的选法共有多少种共有多少种?回目录回目录四四名名同学分配到三个办公室去

77、搞卫同学分配到三个办公室去搞卫生生,每个办公室至少去一名学生每个办公室至少去一名学生,不不同的分配方法有多少种同的分配方法有多少种? 回目录回目录1 1、有甲、乙、丙三项工程，甲需要、有甲、乙、丙三项工程，甲需要 2 2 人承担，人承担，乙、丙各需乙、丙各需 1 1 人承担，从人承担，从 10 10 人中选派人中选派 4 4 人承担这人承担这三项任务，不同的承担方法共有三项任务，不同的承担方法共有_种；种；2 2、某办公室有、某办公室有 5 5 人办公，现要排一个周轮值表，人办公，现要排一个周轮值表，每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲肯定每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲肯定值

78、两天，则不同的排表方式有值两天，则不同的排表方式有_种；种；3 3、学校决定下周对高一年级进学校决定下周对高一年级进行教学情况抽测。决定基础科抽两门，行教学情况抽测。决定基础科抽两门，文科、理科各抽一门，技能科（音、文科、理科各抽一门，技能科（音、体、美、信）抽一门。则可能有体、美、信）抽一门。则可能有种抽取方法。种抽取方法。基础训练基础训练回目录回目录练习练习 某学习小组有某学习小组有5 5个男生个男生3 3个女生，从中个女生，从中选选3 3名男生和名男生和1 1名女生参加三项竞赛活动，每名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有项活动至少有1 1人参加，则有不同参赛方法人参加，则有不同参赛方法

79、_种种. .解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法: :回目录回目录小结：小结：本题涉及一类重要问题：问本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后问题，一般是先元素（即组合）后排列。排列。回目录回目录实验法（穷举法）实验法（穷举法） 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。步寻求规律有时也是行之有效的方法。 例例 将数字将数字1 1，2 2，3 3，4 4填入标号为填入标号为1 1，2 2，3 3，4 4的的四个方格内，每个方格填四个方格内，每

80、个方格填1 1个，则每个方格的标号与个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（所填的数字均不相同的填法种数有（ ）A.6 B.9 C.11 D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。可用实验法逐步解决。第一方格内可填第一方格内可填2或或3或或4。如填。如填2，则第二方格中内可填，则第二方格中内可填1或或3或或4。若第二方格内填若第二方格内填1，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填3。若第二方格内填若第二方格内填3，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第

81、四方格应填，第四方格应填1。同理，若第二方格内填同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填，则第三方格只能填1，第四方格应，第四方格应填填3。因而，第一格填。因而，第一格填2有有3种方法。种方法。不难得到，当第一格填不难得到，当第一格填3或或4时也各有时也各有3种，所以共有种，所以共有9种。种。回目录回目录实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例. .设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,5 3,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，

82、并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法？有多少投法？解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒345回目录回目录实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例. .设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,5 3,4

83、,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法？有多少投法？解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法, 同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有号球有也也只有只有1

84、种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 回目录回目录练练习习：（不对号入座问题）：（不对号入座问题）（1 1）（）（20042004湖北）将标号为湖北）将标号为1 1，2 2，3 3，1010的的1010个球放入标号为个球放入标号为1 1，2 2，3 3，1010的的1010个盒子中，个盒子中，每个盒内放一个球，恰好有每个盒内放一个球，恰好有3 3个球的标号与其所在盒子个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有的标号不一致的放入方法有_种种（2 2）编号为）编号为1 1、2 2、3 3、4 4、5 5的五个球放入编号为的五个球放入编号为1 1、2 2、3 3、4 4、5 5

85、的五个盒子里，至多有的五个盒子里，至多有2 2个对号入座的个对号入座的情形有情形有_种种109直接法：直接法：间接法：间接法：回目录回目录注意区别注意区别“恰好恰好”与与“至少至少”从从6 6双不同颜色的手套中任取双不同颜色的手套中任取4 4只，其中恰好有一双只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480(A) 480种（种（B B）240240种种 （C C）180180种种 （D D）120120种种小结：小结：“恰好有一个恰好有一个”是是“只有一个只有一个”的意思。的意思。“至少有一个至少有一个”则是则是“有一个或一个以上有一个或一个以上”，可

86、，可用分类讨论法求解，它也是用分类讨论法求解，它也是“没有一个没有一个”的反面，的反面，故可用故可用“排除法排除法”。解：回目录回目录练习练习 从从6双不同颜色的手套中任取双不同颜色的手套中任取4只，其中至只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有少有一双同色手套的不同取法共有_种种解：解：回目录回目录对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果图会收到意想不到的结果练习题1.1. 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来, ,

87、2.2. 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张3.3. 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)2.2.给图中区域涂色给图中区域涂色, ,要求相邻区要求相邻区 域不同色域不同色, ,现有现有4 4种可选颜色种可选颜色, ,则则 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种213457272回目录回目录分解与合成策略分解与合成策略例例. 30030. 30030能被多少个不同的偶数整除能被多少个不同的偶数整除分析：先把分析：先把3003030030分解成质因数的乘积形式分解成质因数的乘积形式 30030=230030=23 35 5 7

88、7 11111313依题依题 意可知偶因数必先取意可知偶因数必先取2,2,再从其余再从其余5 5个个 因数中任取若干个组成乘积，所有因数中任取若干个组成乘积，所有 的偶因数为：的偶因数为：例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线回目录回目录解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 体共有体共_每个四面体有_对异面直线,正方体中的8个顶点可连成_对异面直线3 3358=174分分解解与与合合成成策策略略是是排排列列组组合合问问题题的的一一种种最最基基本本的的解解题题策策略略, ,把把一一个个复复杂杂问问题题分分解解成成几几个个小小问问题题逐逐一一解解决决, ,然然后后依依据据问问题题分分解

89、解后后的的结结构构, ,用用分分类类计计数数原原理理和和分分步步计计数数原原理理将将问问题题合合成成, ,从从而而得得到到问问题题的的答答案案 , ,每每个个比比较较复复杂杂 的的 问问 题题 都都 要要 用用 到到 这这 种种 解解 题题 策策 略略回目录回目录化归策略化归策略例例. 25. 25人排成人排成5 55 5方队方队, ,现从中选现从中选3 3人人, ,要要 求求3 3人不在同一行也不在同一列人不在同一行也不在同一列, ,不同的不同的 选法有多少种？选法有多少种？解： 将这个问题退化成将这个问题退化成9 9人排成人排成3 33 3方队方队, ,现现从中选从中选3 3人人, ,要求

90、要求3 3人不在同一行也不在人不在同一行也不在同一列同一列, ,有多少选法有多少选法. .这样每行必有这样每行必有1 1人人从其中的一行中选取从其中的一行中选取1 1人后人后, ,把这人所在把这人所在的行列都划掉，的行列都划掉，回目录回目录从从5 55 5方队中选取方队中选取3 3行行3 3列有列有_选法选法所以从所以从5 55 5方队选不在同一行也不在同方队选不在同一行也不在同一列的一列的3 3人有人有_选法。选法。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，

91、从而进下一步的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题解决原来的问题如此继续下去如此继续下去. .从从3 33 3方队中选方队中选3 3人的方法人的方法有有_种。再从种。再从5 55 5方队选出方队选出3 33 3方队便可解决问题方队便可解决问题回目录回目录对应法对应法例例1111、在、在100100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？举行几场？ 分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰的所有选手

92、，即要淘汰9999名选手，淘汰一名选手需要名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰进行一场比赛，所以淘汰9999名选手就需要名选手就需要9999场比赛。场比赛。回目录回目录某城市的街区由某城市的街区由1212个全等的矩形区组成个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从其中实线表示马路，从A A走到走到B B的最短路的最短路径有多少种？径有多少种？练习题B BA A回目录回目录特征分析特征分析研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提供研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。 例例 由由1 1，2 2，3

93、3，4 4，5 5，6 6六个数字可以组成多少六个数字可以组成多少个无重复且是个无重复且是6 6的倍数的五位数？的倍数的五位数？分析数字特征：分析数字特征：6 6的倍数既是的倍数既是2 2的倍数又是的倍数又是3 3的倍数。其中的倍数。其中3 3的倍数又满足的倍数又满足“各个数位上的数字之和是各个数位上的数字之和是3 3的倍数的倍数”的特征。的特征。把把6 6分成分成4 4组，（组，（3 3，3 3），（），（6 6），（），（1 1，5 5），（），（2 2，4 4），每），每组的数字和都是组的数字和都是3 3的倍数。因此可分成两类讨论；的倍数。因此可分成两类讨论；第一类：由第一类：由1 1，

94、2 2，4 4，5 5，6 6作数码；首先从作数码；首先从2 2，4 4，6 6中任选中任选一个作个位数字有一个作个位数字有 ，然后其余四个数在其他数位上全，然后其余四个数在其他数位上全排列有排列有 ，所以，所以第二类：由第二类：由1，2，3，4，5作数码。依上法有作数码。依上法有回目录回目录（1）练习）练习:（徐州二检）从（徐州二检）从6人中选人中选4人组成人组成4100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？后一棒，有多少种选法？分析：（一）直接法分析：（一）直接法 （二）间接法（二）间接法（2）从正方体的从正方体的8个顶点中选个顶点中选4个

95、作四面个作四面体，则不同的四面体的个数为体，则不同的四面体的个数为 。练练习习58（3）一个三位数，其十位上的数字既一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字小于百位上的数字也小于个位上的数字， 且个位百位上的数字不重复（如等）且个位百位上的数字不重复（如等）那么这样的三位数有那么这样的三位数有 个个回目录回目录144240例例 袋中有袋中有5 5分硬币分硬币2323个个,1,1角硬币角硬币1010个个, ,如果从袋中取如果从袋中取出出2 2元钱元钱, ,有多少种取法有多少种取法? ?解解 把所有的硬币全部取出来把所有的硬币全部取出来,将得到将得到 0.0523+0.101

96、0=2.15元元,所以比所以比2元多元多0.15元元,所以剩所以剩下下0.15元即剩下元即剩下3个个5分或分或1个个5分与分与1个个1角角,所以共有所以共有 种取法种取法.结论结论 剩余法剩余法:在组合问题中在组合问题中,有多少取法有多少取法,就有多少种就有多少种剩法剩法,他们是一一对应的他们是一一对应的,因此因此,当求取法困难时当求取法困难时,可转可转化为求剩法化为求剩法.分析分析 此题是一个组合问题此题是一个组合问题, ,若是直接考虑取钱的问题若是直接考虑取钱的问题的话的话, ,情况比较多情况比较多, ,也显得比较凌乱也显得比较凌乱, ,难以理出头绪来难以理出头绪来. .但是如果根据组合数

97、性质考虑剩余问题的话但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话, ,就会很就会很容易解决问题容易解决问题. .回目录回目录小结小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件掌握。根据它们的条件, ,我们就可以选取不同我们就可以选取不同的技巧来解决问题的技巧来解决问题. .对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题, ,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。后续学习打下坚实的基础。