孙会元固体物理基础第三章能带论39布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动ppt课件

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1、3.9 布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动本节主要内容：本节主要内容：二、二、 均匀磁场中自在电子的量子化实际均匀磁场中自在电子的量子化实际三、三、 德哈斯德哈斯- -范阿尔芬效应范阿尔芬效应四、四、 盘旋共振方法盘旋共振方法一、一、 恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动1 .1 .恒定磁恒定磁场中的准中的准经典运典运动准准经典运典运动的两个方程：的两个方程：一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动所以，在所以，在 空间中，波矢空间中，波矢 满足满足 ： 1). 垂直于 的方向 2). (波矢的变化)垂直

2、于 的方向 阐明明电子沿着等能面运子沿着等能面运动 因此因此,在在k空空间,电子子总是沿着是沿着垂直于磁垂直于磁场的的平面和等能面平面和等能面的交的交线运运动.阐明明k k沿磁沿磁场方向的分量和方向的分量和电子的能量是运子的能量是运动常量常量 自在自在电子的等能面是球面子的等能面是球面,与与 kz 垂垂直的平面与等能面的交直的平面与等能面的交线就是一系列就是一系列圆.(1)电子在电子在 空间的运动图象空间的运动图象 在在k空空间，电子子总是沿着垂直于是沿着垂直于磁磁场的平面和等能面的交的平面和等能面的交线运运动以自在电子为例加以讨论：以自在电子为例加以讨论： kz 坚持不持不变,在在 kx k

3、y 面内做匀面内做匀速速圆周运周运动,回回转的的频率率 (2)电子在实空间的运动图象电子在实空间的运动图象 电子在电子在r 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，盘旋频率为做匀速圆周运动，盘旋频率为 以上讨论的是自在电子，对于布洛赫电子，由于以上讨论的是自在电子，对于布洛赫电子，由于晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但方晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但方式上仍可写成：式上仍可写成：相相应的周期的周期为： 设(k)是垂直于磁是垂直于磁场的的轨道平面内能量道平面内能量为和和 + 两两个等能面个等能面间法法线间隔。隔。 如图：如图

4、：由由 得：得： 与与 比较可知：比较可知： 它与只和它与只和电子子态有关的有关的电子的有效子的有效质量不一定一量不一定一样。对方程对方程 两边用两边用 叉乘，得：叉乘，得：所以所以,电子在实空间的轨道可由在电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁空间的轨道绕磁场轴旋转场轴旋转90度度,并乘以因子并乘以因子 得到得到.电子在实空间的轨道可由在电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转空间的轨道绕磁场轴旋转90度度,并乘以因子并乘以因子 得到得到.二、均匀磁场中自在电子的量子化实际二、均匀磁场中自在电子的量子化实际 思索思索边长为 L 的立方体的立方体,以它以它们的的边长为 x,y,z 轴

5、,外磁外磁场平行于平行于z 轴且均匀且均匀. 即：即： 自在自在电子在外加磁子在外加磁场(沿沿z轴方向方向)的哈密的哈密顿算算符符为：电子的运动学动量，：电子的运动学动量，：电子的场动量，：电子的场动量，：矢量势：矢量势1. 朗道能朗道能级级那么由于那么由于 且且 中不含中不含x，z,所以它和算符所以它和算符 及及 是对易的。根据量子力学，可选是对易的。根据量子力学，可选 的本征波函的本征波函数同时为数同时为 的本征波函数。的本征波函数。可令可令 这时波函数可以写成：波函数可以写成：代入方程代入方程 得到得到: 与量子力学中与量子力学中谐振子方程比振子方程比较可知，上式是可知，上式是一个中心在

6、一个中心在y0的的谐振子振子动摇方程。方程。谐振子能量谐振子能量盘旋频率盘旋频率电子的能量电子的能量由量子力学知由量子力学知从准延续的能量从准延续的能量 变成变成(n+1/2)c沿磁场沿磁场B方向方向,电子坚持自在运动电子坚持自在运动,相应的动能为相应的动能为 在与磁在与磁场垂直的垂直的kz常数的平面内常数的平面内,轨道是量子化的道是量子化的.这些量子化的能些量子化的能级称称为朗道能朗道能级。在垂直磁在垂直磁场的的x-y平面上平面上,电子的运子的运动是量子化的是量子化的 电子的能量子的能量 因此，电子的能量从准延续的因此，电子的能量从准延续的能谱变成一维的磁次能带能谱变成一维的磁次能带如图如图

7、,每个磁次能带是一条抛物线每个磁次能带是一条抛物线,开口向上开口向上.磁次能带磁次能带的能量极小值是：的能量极小值是： 由于能量由于能量波矢关系的改波矢关系的改动,在在k空空间描写形状的代表点的分描写形状的代表点的分布也改布也改动了了.在没有外磁场时在没有外磁场时,形状的代表点形状的代表点在在 平面是均匀分布的平面是均匀分布的,每每个代表点占据的面积为：个代表点占据的面积为： 在有外磁场在有外磁场B时，时， 平面上的能量变为：平面上的能量变为： 变成了谐振子，其中心位置在变成了谐振子，其中心位置在 ,代表电子的平均位置代表电子的平均位置, 可以位于晶体中不同可以位于晶体中不同的地点。所以：的地

8、点。所以： 这个数目代表由于个数目代表由于线性性谐振子中心位置的不同而振子中心位置的不同而产生的生的简并度。并度。可知可知,当当n等于某整数时等于某整数时,在在 平面内是一个圆环平面内是一个圆环,称为朗道环称为朗道环.两个相邻圆环之间的面积为：两个相邻圆环之间的面积为：是一个正比于外磁场的常量是一个正比于外磁场的常量 在此面在此面积中含有的原来没有外磁中含有的原来没有外磁场时的形状数的形状数为： 即即简并度。并度。包含了一切的简并态。包含了一切的简并态。加了外磁加了外磁场后，后，这些代表点都聚合到了些代表点都聚合到了圆周上。周上。无外磁场无外磁场 有外磁场有外磁场 由于沿磁场方向由于沿磁场方向

9、 仍准延续变化仍准延续变化,所以在三维所以在三维k空间空间的代表点将聚集到一系列圆柱面上的代表点将聚集到一系列圆柱面上,每一个圆柱面对每一个圆柱面对应一个确定的量子数应一个确定的量子数n，最后构成所谓的朗道管。，最后构成所谓的朗道管。 n一定，一定，电子的能子的能带是一条抛物是一条抛物线，n=0是最低的次能是最低的次能带，n添加，添加，次能次能带向上移，如向上移，如图给出磁次能出磁次能带的的简图。 如下如下图，在波矢空，在波矢空间构成一系列构成一系列“圆柱柱面，每一个面，每一个圆柱面柱面对应一个确定的量一个确定的量子数子数n，可以看成是一个子，可以看成是一个子带，在每一个，在每一个子子带中只需

10、一中只需一维自在度自在度 kz 。 电子的能量由准延子的能量由准延续的能的能谱变成一成一维的磁次能的磁次能带。n=3n=2n=1n=0B=00 0自在电子在磁场自在电子在磁场中的能量中的能量 不同的不同的y0并不影响并不影响谐振子的本征振子的本征值，而，而y0又依又依赖于于波矢分量波矢分量kx，因此不同的形状能，因此不同的形状能够会是会是简并并态。其其简并度是多少呢？并度是多少呢？2. 2. 朗道能级简并度朗道能级简并度 该范范围内的波矢数内的波矢数为：朗道能级简并度朗道能级简并度(思索自旋思索自旋)： 此此简并度与磁感并度与磁感应强度度B和晶体在垂直于磁和晶体在垂直于磁场方向方向的截面的截面

11、积成正比，与能成正比，与能级序号无关，即无序号无关，即无论n为何何值，简并度不并度不变。有外磁场有外磁场 无外磁场无外磁场 在恒定磁在恒定磁场下下构成朗道能构成朗道能级，实践上只是量践上只是量子子态的一种重的一种重新分布，量子新分布，量子态的的总数是不数是不变的。的。3. 布洛赫电子的轨道量子化布洛赫电子的轨道量子化 对于布洛赫于布洛赫电子，子，电子的半子的半经典典闭合合轨道将按玻道将按玻尔量子化条件来量子化。即：量子化条件来量子化。即： 可以可以证明：布洛赫明：布洛赫电子的子的闭合合轨道在道在k空空间所所围面面积也是以也是以 这与自在电子一样这与自在电子一样, 相邻闭合轨道的能量差为相邻闭合

12、轨道的能量差为: 三、三、 德哈斯德哈斯- -范阿尔芬效应范阿尔芬效应(de Hass-Van Alphen (de Hass-Van Alphen effect)effect) 德哈斯德哈斯-范阿范阿尔芬效芬效应,是是1930年年de Hass和和Van Alphen在低温、在低温、强磁磁场中研中研讨铋单晶的磁化率晶的磁化率时发现的的.他他们发现,低温下低温下强磁磁场中金属的磁化率随磁中金属的磁化率随磁场倒数倒数(1/B)周周期性振期性振荡,人人们把把这种景象称种景象称为德哈斯德哈斯-范阿范阿尔芬效芬效应. 后来后来,人人们进一步研一步研讨发现,电导率、比率、比热等物理量在等物理量在低温下低

13、温下强磁磁场中也有中也有类似的振似的振荡景象景象,这些景象同金属些景象同金属费米面附近米面附近电子在子在强磁磁场中的行中的行为有关有关,因此它是研因此它是研讨金属金属费米面的一种有力工具。米面的一种有力工具。 在磁在磁场中中,电子的能子的能级构成一系列高度构成一系列高度简并的分立能并的分立能级,类似于似于简谐振振动的能量量子化的能量量子化,使得使得电子气系子气系统能量能量随磁感随磁感应强度度发生生变化化,从而从而导致磁化率随磁致磁化率随磁场的振的振荡.这就是就是产生德哈斯生德哈斯-范阿范阿尔芬效芬效应的的缘由由下面我们以二维自在电子系统为例对德哈斯下面我们以二维自在电子系统为例对德哈斯-范阿尔

14、芬范阿尔芬效应进展简单阐明。效应进展简单阐明。 由于由于绝对零度零度时，电子子系系统的最高能量的最高能量为费米米能量，它所包能量，它所包围的面的面积就是就是费米米圆的面的面积。 加上磁加上磁场后后,费米米圆内的形状收内的形状收缩到朗道到朗道环上上,但但总形状形状数目不数目不变.外磁外磁场B的的变化化,将引起朗道能将引起朗道能级间距的距的变化化. 因此，因此，总可以可以经过改改动磁磁场的大小，使得的大小，使得费米园内米园内的形状恰好填的形状恰好填满某一朗道能某一朗道能级。 磁磁场增大增大,朗道朗道环上的上的简并度添加并度添加,而而总电子子态数目一数目一定定,所以所以,随着磁随着磁场的增大的增大,

15、电子子对应的填的填满的朗道能的朗道能级的的级次次变小小,即即n变小小.图图3.32 朗道能级填充情况随磁场增大的变化朗道能级填充情况随磁场增大的变化 随着磁随着磁场延延续变化，相化，相邻两两个系个系统能量增量能量增量为零的范零的范围对应一个能量周期。一个能量周期。 假假设以以电子系子系统能量增能量增值为零的两个相零的两个相邻1/B值之之差，表示系差，表示系统能量能量变化的周期化的周期. 那么：那么： 由于由于对二二维自在自在电子系子系统：为常数。常数。所以，系统能量变化的周期为：所以，系统能量变化的周期为：由于系由于系统的磁化的磁化强度和度和单位体位体积的自在能的自在能满足：足： 亦即和磁亦即

16、和磁场垂直的垂直的费米米圆面面积随周期的随周期的变化而化而变化，化，周期大，那么周期大，那么对应费米面米面积小。小。 所以所以,系系统的磁化率也将以的磁化率也将以1/B为变量振量振荡。所以所以, 磁化磁化强度将以度将以1/B为变量振量振荡.由于系由于系统的磁化率的磁化率为：系统的磁化率随系统的磁化率随1/B变化的周期也将是：变化的周期也将是： 在低温下，从实验上测出在低温下，从实验上测出 随随1/B变化的周变化的周期，便可确定期，便可确定 ,即垂直磁场方向的费米面的即垂直磁场方向的费米面的极值面积。因此，只需从实验上测定磁化率极值面积。因此，只需从实验上测定磁化率 在不同方向上随在不同方向上随

17、1/B的变化周期，便可确定沿的变化周期，便可确定沿不同晶向的费米面，进而得到金属费米面的外不同晶向的费米面，进而得到金属费米面的外形。形。对于二于二维自在自在电子系子系统, ,朗道能朗道能级简并度：并度：小结：小结： 所以所以, ,磁磁场B B增大增大, ,那么朗道那么朗道能能级的的简并度并度变大大, ,也就是每也就是每一朗道能一朗道能级上上电子数目子数目变多多. . 假假设,当磁当磁场B=B1时,电子恰好填子恰好填满了了n-1个朗个朗道能道能级;而磁而磁场B=B2时,电子恰好填子恰好填满了了n个朗个朗道能道能级; 那么那么B2 B1 ,磁磁场B越越强,那么那么N个个电子子所需占据的朗道能所需

18、占据的朗道能级的的级次越小次越小. 每当每当调理磁理磁场恰好填恰好填满一个一个级次次, ,那么相那么相应能能量增量量增量为零零; ;而当一个而当一个级次的能量恰好和次的能量恰好和费米能米能量相等量相等, ,那么相那么相应能量增量最大能量增量最大. .两次最大或最小两次最大或最小间相相应的的(1/B)(1/B)即即为所求的周期所求的周期. .对于三维情况，我们不再讨论。对于三维情况，我们不再讨论。 总之总之,对于自在电子系统对于自在电子系统,磁场的引入磁场的引入,导致系导致系统能量增大统能量增大,能量的增量依赖于能量的增量依赖于 这就就导致能量增量随致能量增量随1/B发生周期性生周期性变化化,从

19、从而而导致磁化致磁化强度或磁化率随度或磁化率随1/B发生周期性生周期性变化化. 变化的周期决议于费米面在垂直磁场方向的变化的周期决议于费米面在垂直磁场方向的最大截面最大截面(称为极值截面称为极值截面 ,测定磁场沿测定磁场沿各种不同晶向时德哈斯各种不同晶向时德哈斯-范阿尔芬效应的周期范阿尔芬效应的周期,便便可确定沿不同晶向的极值截面面积可确定沿不同晶向的极值截面面积,从而勾画出从而勾画出金属费米面的外形金属费米面的外形. 变化的周期与费米面在垂直磁场方向的最大截变化的周期与费米面在垂直磁场方向的最大截面面 的关系为：的关系为：四、四、 盘旋共振方法旋共振方法(cyclotron resonanc

20、e) (cyclotron resonance) 在恒定外磁在恒定外磁场作用下作用下,费米面上由一个米面上由一个电子子的的k矢量所描画的矢量所描画的轨道道,就是就是费米面与一个垂直米面与一个垂直于于B的平面的交的平面的交线.对于一个于一个闭合合轨道道,具有确定具有确定的的盘旋旋频率：率：这是一切研是一切研讨费米面方法的中心米面方法的中心. 盘旋共振实验盘旋共振实验,是在施加磁场的同时是在施加磁场的同时,在垂直磁场方在垂直磁场方向加上频率为向加上频率为 的微波场的微波场,经过与微波场的共振来察经过与微波场的共振来察看盘旋频率看盘旋频率 c. 实践上的程序是践上的程序是坚持微波持微波场的的频率率

21、不不变,而改而改动磁磁场的大小的大小, 当当 = c时,微波微波场的能量将迅速被的能量将迅速被电子共振吸收，子共振吸收，从一个朗道能从一个朗道能级跳到另一个高能量的朗道能跳到另一个高能量的朗道能级上上.这样,丈量磁丈量磁场与微波吸收功率的关系曲与微波吸收功率的关系曲线,就可得就可得电子沿子沿闭合合轨道运道运动的的盘旋旋频率率 c .进而得到而得到电子的有效子的有效质量量.盘旋共振实验是一个很精致的实验盘旋共振实验是一个很精致的实验,它要求：它要求： (1) 样品很品很纯真；真； (2) 丈量温度极低而磁丈量温度极低而磁场很很强； 这两个条件是两个条件是为了保了保证在目前可在目前可实现的磁的磁场

22、范范围内内, ,让电子在两次相子在两次相邻的碰撞的碰撞时间间隔内隔内, , 绕B B旋旋转许多多圈，构成位相相关的圈，构成位相相关的盘旋旋轨道道. .从而察看到明从而察看到明显的吸收的吸收峰峰( (较小的吸收小的吸收线宽和和较大的吸收大的吸收强度度).).金属金属资料的各种物理料的各种物理过程，大部分都与程，大部分都与费米面附近的米面附近的电子行子行为有关，所以，从有关，所以，从实验上上测出出费米面就很重要了。目前，用得最米面就很重要了。目前，用得最多的多的实验是德哈斯是德哈斯-范阿范阿尔芬效芬效应和和盘旋共振法。旋共振法。 不不过，这些效些效应仅仅对闭合合轨道有效，比如可以道有效，比如可以测出金属出金属铜费米面存在米面存在“肚子、肚子、“脖子、脖子、“狗骨狗骨头等外形。但是等外形。但是对于于一个多一个多连通的通的费米面，米面，还存在开存在开轨道，开道，开轨道的信息可由高道的信息可由高场磁致磁致电阻效阻效应的丈量来判的丈量来判别。