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1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1 二维随机变量二维随机变量2 边缘分布边缘分布3 条件分布条件分布4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其及其分布分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的. 飞机的重心在空中的状态飞机的重心在空中的状态是由是由三个坐
2、标、机头仰角、机翼三个坐标、机头仰角、机翼测角五测角五个个r.v 来确定的等等来确定的等等. n个随机变量个随机变量所构成的整体所构成的整体, 叫叫n维随机维随机向量或向量或n维随机变量维随机变量1 二维随机变量二维随机变量 设随机试验设随机试验E的样本空间为：的样本空间为：Se, X(e)、Y(e) 为定义在为定义在S上的随机变量，由它们上的随机变量，由它们构成一个随机向量构成一个随机向量 (X、Y), 叫二维随机向量或叫二维随机向量或二维随机变量。二维随机变量。1. 二维随机变量的分布函数：二维随机变量的分布函数： 定义：设二维随机变量定义：设二维随机变量 (X，Y)，对任意实对任意实数数
3、x、y, 二元函数：二元函数： F(x, y)=PX x, Y y, 称为称为(X, Y)的的(联合联合)概率分概率分布函数。布函数。(x, y)YX0二维随机变量分布函数的性质：二维随机变量分布函数的性质：(1). F(x, y) 0, 1 (2).固定固定y, F(x, y)对对x单调不减，单调不减， 固定固定x, F(x, y)对对y单调不减单调不减.(3). F( , )= F( , y) = F(x, )= 0F(+ , + )=1YX0(x1, y1)(x2, y2)(x1, y2)(x2, y1)P(x1X x2 , y10， 20，| | 1是常数。记为：是常数。记为： (X,
4、 Y)N( 1、 2、 12、 22、 )2 边缘分布边缘分布 二维随机变量二维随机变量(X, Y)的分量的分量X、Y均为随均为随机变量，机变量，X与与Y的分布依次称为的分布依次称为(X，Y)关于关于X的边缘分布和关于的边缘分布和关于Y的边缘分布。的边缘分布。1.边缘分布函数：边缘分布函数：FX(x)=PX x=PX x, Y+ = F(x, + )类似：类似：FY(y)=F(+ , y)2. 离散型随机变量的边缘概率分布：离散型随机变量的边缘概率分布：例例4把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三为三次抛掷中正面出现的次数，而次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出为正面出现次
5、数与反面出现次数之差的绝对值，求现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的联合分布率的联合分布率 .解：（解：（ X, Y）可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2, Y=1)=3/8P(X=3, Y=0)=1/8列表如下列表如下 二维联合分布全面地反映了二维随机变二维联合分布全面地反映了二维随机变量量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律. 而单个随机而单个随机变量变量X,Y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布. 那么要问那么要问:二者之间有什么关系呢二者之
6、间有什么关系呢? 从表中不难求得从表中不难求得:P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意这两个分布正好是注意这两个分布正好是表表2的行和与列和的行和与列和. 如下表所示如下表所示 我们常将边缘概率函数写在联合概率函数我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词. 注意注意：由联合分布可以确定边缘分布：由联合
7、分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布. 例例5.袋内有标有号码袋内有标有号码1、2、2、 3的的4个球，个球，从中任取从中任取2个，分别以个，分别以X、Y表示取出两个球表示取出两个球的最小、最大号码，求：的最小、最大号码，求：(1). (X, Y)的联合概率分布，的联合概率分布，(2).关于关于X的边缘概率分布。的边缘概率分布。(3).关于关于Y的边缘概率分布。的边缘概率分布。 解：解：(1).PX=1 Y=2=1/ 3PX=1 Y=3=PX=2 Y=2=1/6PX=2 Y=3=(2). PX=1=PX=1 Y+ =PX=1 Y=2+PX=1
8、Y=3=1/2PX=2=PX=2 Y0.1 Y0.1 = 0.05 0.05= 0.1例例7 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。=5c/24=1,c =24/5解：解：(1)由由确定确定C例例7 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 两个边缘密度两个边缘密度 .注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 两个边缘密度两个边缘密度 .注意积分限注意积分限注意取值范围
9、注意取值范围xy01y=x即即 二二维维正正态态分分布布的的两两个个边缘分布仍是正态分布边缘分布仍是正态分布 .留给同学们自己证明留给同学们自己证明.第三节第三节 条件分布条件分布一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布 问题问题 某类日光灯管的使用寿命某类日光灯管的使用寿命X服从参数服从参数的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上小时以上, 求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率.定义定义(离散型离散型)., 2 , 1,的条件分布律的条件分布律条件下随机变量条件下随机变量为在为在X
10、yYippyYPyYxXPyYxXPjjijjjiji= = = = = = = = = =, 0,),(则称则称若若固定的固定的对于对于是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量设设jYPjYX = = L同理可定义同理可定义., 2 , 1, 0,的条件分布律的条件分布律条件下随机变量条件下随机变量为在为在则称则称对于固定的对于固定的YxXjppxXPyYxXPxXyYPxXPiiiijijiiji= = = = = = = = = = = = L解解求求Y=1 时时X 的条件分布的条件分布.例例1 1 已知分布律：已知分布律：因此在因此在Y=1的条件下的条件下X的分布律为的分布律为例例2
11、2 某射手进行射击某射手进行射击,命中为命中为p(0p 记为记为的条件概率密度的条件概率密度的条件下的条件下为在为在则称则称对于固定的对于固定的若若的边缘概率密度为的边缘概率密度为关于关于的概率密度为的概率密度为设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量因此有因此有说明说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布、边缘分布、条件分布的关系?联合分布联合分布边缘分布边缘分布条件分布条件分布联合分布联合分布解解不存在不存在.其它其它.例例3 设设 (X,Y) 的联合密度为的联合密度为正确解法正确解法其它其它.于是于是具有概率密度具有概率密度机变量机变量若二若二维随维随其面积为其面积为是平面上的有界
12、区域是平面上的有界区域设设例例),(.,4YXAG( () ).,1),(22yxfyxYXYX概率密度概率密度求求条件条件上服从均匀分布上服从均匀分布在圆域在圆域设设 + +又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为( () ) - - - - - -= =- -p pp p.,0,11,1211212222其它其它yxyyy= =)(yxfYX解解的概率密度的概率密度因为随机变量因为随机变量),(YX).(.)1 ,(,)10(,)1 , 0(5yfYxYxxXXY的概率密度的概率密度求求上随机取值上随机取值在区间在区间数数时时当当上随机取值上随机取值在区间在区间设数设数例例 = =解解的概率密
13、度的概率密度由题意知由题意知X - -= =., 0, 10,11)(其它其它yxxxyfXY的条件概率密度的条件概率密度Y4. 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 1. 定义定义 设设 F(x, y), FX(x), FY(y)分别为二分别为二维随机变量维随机变量(X, Y)的的(联合联合)分布函数和边缘分布分布函数和边缘分布函数，若对于所有函数，若对于所有x、y有：有： F(x, y) FX(x)FY(y)即：即： PX x, Y y=PX x PY y则称则称X与与Y相互独立。相互独立。 2. 定理：设定理：设 f(x, y), fX(x), fY(y)分别为连分别为连续续型二维随机变
14、量型二维随机变量(X, Y)的的(联合联合)密度函数和边密度函数和边缘缘密度函数，则密度函数，则 X、Y相互独立相互独立 f(x, y) fX(x) fY(y) 例例6.已知已知(X, Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x, y)如下如下, 求：求： (1). (X, Y)的联合概率密度及边缘密度。的联合概率密度及边缘密度。 (2). 判断判断X、Y是否相互独立？是否相互独立？ 0 x0或或y1 0 y 1 x 0 x 1, y11 x1, y1F(x,y)=解：解：(1).=1 0 x 1,0 y 10 其它其它 X、Y相互独立。相互独立。 (X, Y)N( 1、 2、 12、 22、 )
15、， X与与Y相互独立相互独立 0 3.定理定理 离散型随机变量离散型随机变量X、Y相互独立充相互独立充要条件是对于任意要条件是对于任意x、y有：有： PX=x, Y=y=PX=xPY=y例例7 设随机变量设随机变量X与与Y的概率分布分别为：的概率分布分别为：X 1 0 1 Y 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/2 1/2且且PXY=0=1，求：求：(1).X和和Y的联合概率分布。的联合概率分布。(2).X和和Y是否相互独立？为什么？是否相互独立？为什么？解：解：PXY=0=1 PXY 0=0故：故：X、Y的联合概率分布为：的联合概率分布为：X 1 0 1Y0 1PX=i 1/4 1/
16、2 1/4PY=j1/21/2 0 0 1/21/401/4PX=1PY=1 PX=1Y=1X与与Y不独立。不独立。 例例8：设随：设随机变量机变量X、Y相相互独立，其联互独立，其联合概率分布与合概率分布与边缘概率分布边缘概率分布如下表：试将其余数值填入表中空白处。如下表：试将其余数值填入表中空白处。X 1/8 1/8Y y1 y2 y3 PX=xiPY=yj 1/6 11/24 1/41/123/41/23/81/31/4x1x2 例例9. 随机变量随机变量X、Y相互独立相互独立,分别服从参分别服从参数为数为 、 的指数分布的指数分布.令令:Z1 当当X Y时时 0 当当XY时时求求Z的概率
17、分布。的概率分布。解：解：X与与Y相互独立，相互独立，X、Y的联合密度为：的联合密度为：分分别别服从参数为服从参数为 、 的指数分布。的指数分布。PZ=0=PXY= 例例10. 设某班车起点站上车人数设某班车起点站上车人数X服从参为服从参为 的的Poisson分布，每位乘客在中途下车的概为：分布，每位乘客在中途下车的概为： p (0p1), 且中途下车与否相互独立，以且中途下车与否相互独立，以Y表示表示在中途下车人数。求：在中途下车人数。求： (1). 在发车时有在发车时有n个乘客的条件下，中途有个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率。个人下车的概率。 (2). 二维随机变量二维随机变量(X，
18、Y) 的联合概率分布。的联合概率分布。PZ=1 Z 0 1P Z的概率分布为：的概率分布为：解：解： (X, Y)的联合概率分布为：的联合概率分布为： (1). PY=m/X=n=(2). PX=i, Y=j=PX=iPY=j / X=iPX=i, Y=j=i=0,1, 2, , t；j=0, 1, 2, , i例例11. 在在10件产品中有件产品中有2件一等品，件一等品，7件二等品和件二等品和1件次品。从件次品。从10件产品中无放回地抽取件产品中无放回地抽取3件，分件，分别用别用X、Y 表示其中的一、二等品数。表示其中的一、二等品数。求求:解解: (1)依题设知依题设知 X只能取只能取0,
19、1, 2; Y只能取只能取0, 1, 2, 3。(1).(X,Y)的分布律；的分布律；(2).X、Y的边缘分布律；的边缘分布律；(3).X和和 Y是否相互独立？是否相互独立？ (4).在在X=0 的条件下的条件下Y 的条件分布律。的条件分布律。 YX 0123X=i00021/120 35/12056/12010 14/120 42/120056/1202 1/1207/120008/120Y=j1/12021/120 63/120 35/1201(X,Y )的分布律如下表所示的分布律如下表所示PX=i,Y=j= 当当2 i+j 3 时时:i= 0, 1, 2; j= 0, 1, 2, 3;且
20、且2 i+j 3 .当当 i+j3 时时: PX=i,Y=j=0 ; (3)因为因为PX=0,Y=0=0，而，而PX=0PY=0 0所以所以X和和Y不相互独立不相互独立。 (4).在在 X=0的条件下，的条件下，Y的条件概率为：的条件概率为：j=1，2，3Y的条件分布律为下表：的条件分布律为下表：PY=j/X=0 23pj3/85/84. n维随机变量维随机变量: (自学自学)5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布1. 和的分布和的分布 设设(X，Y)的概率密度为的概率密度为: f(x, y), 求求ZXY的概率密度。的概率密度。 Z的分布函数：的分布函数：令：令：x=uyx+y
21、=zXY0所以：所以：fz(z) 例例12. 设随机变量设随机变量X、Y相互独立，分别服相互独立，分别服从参数为从参数为1/2、1/3的指数分别，求的指数分别，求ZX+Y的的分布密度。分布密度。解：解：(X,Y)的的密度：密度：z=yZY0当当 z0 时：时：当当 z 0时：时： 例例12. X、Y相互独立同分布，相互独立同分布，X服从服从0，1上均匀分布求上均匀分布求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。解：解：由已知：由已知：当当 z2时，时，当当0 z1时：时：= z当当1 z 2时：时：= 2-zZYz=yz-y=10 11解法解法2(分布函数法分布函数法)：先求先求Z的分布函数的分布函数
22、FZ(z)X1x+y=10Y1x+y=zx+y=z当当z2时时: FZ(z)1当当0 z1时时:当当1 z 2时：时： FZ(z)=z2/2 0 z1 0 z2解：解：依题意依题意 i=0,1,2,j=0,1,2, 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,分别服从参数为分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.r =0,1，2. 一般函数一般函数Zg(X, Y)的分布的分布已知已知(X, Y)的联合密度的联合密度 f(x, y),(1).求求Z的分布函数。的分布函数。(
23、2). 对对Z的分布函数求导得的分布函数求导得Z的密度函数。的密度函数。求求Zg(X, Y)的密度：的密度：解：解：(1).先求先求Z的分布函数。的分布函数。 FZ(z)=PZ z=P2X+Y z例例13.设设(X, Y)联合密度为：联合密度为：f(x, y)= y 0 x 1, y 00 其它其它求求Z=2X+Y的密度函数。的密度函数。PZ30XY12x+y=22x+y=z2x+y=zz/2z2当当z2时：时：(2). 对对Z的分布函数的分布函数 求导得求导得Z的密度函数的密度函数:PZ3=1PZ 3=1FZ(3) 0.1591 例例14. 设设X、Y、Z相互独立均服从相互独立均服从N(0,
24、 1), 求：求：U X2Y2Z2 的概率密度。的概率密度。解：解：(1)先求先求U的分布函数的分布函数FU(u).FU(u)=PU u=P X2Y2Z2 u当当 u0 时：时：当当 u 0 时时: FU(u) = 0 (2). 对对FU(u)求导求导得得U的密度函数：的密度函数： 设设:XN( 1, 12), YN( 2, 22)且且X、Y相相互独立，则互独立，则: Z=aX+bY+c N(a 1 +b 2+c, a2 12+b2 22).3. 最大值，最小值的分布：最大值，最小值的分布：(1). FM(z)=PM z=Pmax(X1,X2,Xn) z(2). FN(z)=PN z=Pmin(X1,X2,Xn) z=1 Pmin(X1,X2,Xn)z=1PX1z, X2z, , Xnz=1PX1zPX2z P Xnz 特别：若特别：若X X1 1，X X2 2，X Xn n独立且有相同的独立且有相同的分布函数，称分布函数，称X X1 1，X X2 2，X Xn n独立同分布，记独立同分布，记它们的分布函数为它们的分布函数为F(x)F(x)。此时则有：此时则有：FM(z)=F(z)nFN(z)=11F(z)n. 如果独立同分布的连续型随机变量且它们的如果独立同分布的连续型随机变量且它们的密度函数相同记为密度函数相同记为f(x)，此时此时M、N的概率密度的概率密度分别为分别为：
