第六章点的运动学

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1、第六章第六章 点的运动学点的运动学 61 描述点运动的矢量法描述点运动的矢量法 62 描述点运动的直角坐标法描述点运动的直角坐标法 63 描述点运动的弧坐标法描述点运动的弧坐标法 结论与讨论结论与讨论点的运动学点的运动学 矢量法矢量法矢量法矢量法6-1 矢量法矢量法1 1、点的运动方程、点的运动方程、点的运动方程、点的运动方程变矢量形式变矢量形式变矢量形式变矢量形式MMMMMMO Ox xy yz z 动点动点动点动点M M 在空间运动时，矢径在空间运动时，矢径在空间运动时，矢径在空间运动时，矢径 r r 的的的的末端将描绘出一条连续曲线，称为末端将描绘出一条连续曲线，称为末端将描绘出一条连续

2、曲线，称为末端将描绘出一条连续曲线，称为矢径端图矢径端图矢径端图矢径端图，它就是动点运动的轨迹，它就是动点运动的轨迹，它就是动点运动的轨迹，它就是动点运动的轨迹。 运动方程用点在任意瞬时运动方程用点在任意瞬时运动方程用点在任意瞬时运动方程用点在任意瞬时t t的位置的位置的位置的位置矢量矢量矢量矢量r r( (t t) )表示。表示。表示。表示。 r r( (t t) )简称为简称为简称为简称为位矢位矢位矢位矢。oxyzoxyz参考系参考系参考系参考系r r动点动点动点动点M M 相对于原点相对于原点相对于原点相对于原点O O的位置矢量（矢径）的位置矢量（矢径）的位置矢量（矢径）的位置矢量（矢径

3、）点的运动学点的运动学 矢量法矢量法矢量法矢量法2 2、点的速度矢量、点的速度矢量、点的速度矢量、点的速度矢量 （1 1）点的平均速度）点的平均速度）点的平均速度）点的平均速度MMMMO O t t 时间间隔时间间隔时间间隔时间间隔内矢径的改变量内矢径的改变量内矢径的改变量内矢径的改变量点点点点MM的位移的位移的位移的位移动点动点动点动点MM在时间间隔在时间间隔在时间间隔在时间间隔t t 内的平均速度内的平均速度内的平均速度内的平均速度 （2 2）点的瞬时速度）点的瞬时速度）点的瞬时速度）点的瞬时速度速度速度速度速度 描述点在描述点在描述点在描述点在 t t 瞬时瞬时瞬时瞬时运动快慢和运动方向

4、的力学量。速度的运动快慢和运动方向的力学量。速度的运动快慢和运动方向的力学量。速度的运动快慢和运动方向的力学量。速度的 方向沿着运动轨迹的切方向沿着运动轨迹的切方向沿着运动轨迹的切方向沿着运动轨迹的切 线；指向与点的运动方向一致；速度大线；指向与点的运动方向一致；速度大线；指向与点的运动方向一致；速度大线；指向与点的运动方向一致；速度大小等于矢量的模。小等于矢量的模。小等于矢量的模。小等于矢量的模。点的运动学点的运动学 矢量法矢量法矢量法矢量法3 3、点的加速度矢量、点的加速度矢量、点的加速度矢量、点的加速度矢量MMMMO O 速度端图速度端图速度端图速度端图O O （1 1）点的平均加速度）

5、点的平均加速度）点的平均加速度）点的平均加速度 t t 时间间隔时间间隔时间间隔时间间隔内速度的改变量内速度的改变量内速度的改变量内速度的改变量动点动点动点动点MM在时间间隔在时间间隔在时间间隔在时间间隔t t 内的平均速度内的平均速度内的平均速度内的平均速度 （2 2）点的瞬时加速度）点的瞬时加速度）点的瞬时加速度）点的瞬时加速度加速度加速度加速度加速度 描述点在描述点在描述点在描述点在 t t 瞬时瞬时瞬时瞬时速度大小和方向变化率的力学量。加速度速度大小和方向变化率的力学量。加速度速度大小和方向变化率的力学量。加速度速度大小和方向变化率的力学量。加速度的方向为的方向为的方向为的方向为 v

6、v的极限方向的极限方向的极限方向的极限方向( (指向与轨迹曲线的凹向一致指向与轨迹曲线的凹向一致指向与轨迹曲线的凹向一致指向与轨迹曲线的凹向一致) ) 加速度大小等加速度大小等加速度大小等加速度大小等于矢量于矢量于矢量于矢量 a a 的模。的模。的模。的模。直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法点的运动学点的运动学6-2 直角坐标法直角坐标法 1 1、点的运动方程和轨迹方程、点的运动方程和轨迹方程、点的运动方程和轨迹方程、点的运动方程和轨迹方程 不受约束的点在空间有不受约束的点在空间有不受约束的点在空间有不受约束的点在空间有3 3个自由度，个自由度，个自由度，个自由度，在直角坐标系中，点在空

7、间的位置在直角坐标系中，点在空间的位置在直角坐标系中，点在空间的位置在直角坐标系中，点在空间的位置由由由由3 3个方程确定：个方程确定：个方程确定：个方程确定：x xz zy yO Oy yx xz zMM （1 1 1 1）点的运动方程和轨迹方程）点的运动方程和轨迹方程）点的运动方程和轨迹方程）点的运动方程和轨迹方程 （2 2 2 2）点的轨迹方程）点的轨迹方程）点的轨迹方程）点的轨迹方程 （与时间（与时间（与时间（与时间t t无关）无关）无关）无关）平面曲线平面曲线平面曲线平面曲线直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法点的运动学点的运动学 2 2、点的速度、点的速度、点的速度、点的速度

8、( (O Oxyzxyz) )为定参考系为定参考系为定参考系为定参考系 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间 的一阶导数。的一阶导数。的一阶导数。的一阶导数。x xz zy yO Oy yx xz zMM直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法点的运动学点的运动学速度的大小：速度的大小：速度的大小：速度的大小：速度的方向余弦：速度的方向余弦：速度的方向余弦：速度的方向余弦：x xz zy yO Oy yx xz zM

9、M直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法点的运动学点的运动学 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数对时间的二阶导数对时间的二阶导数对时间的二阶导数。 3 3、点的加速度、点的加速度、点的加速度、点的加速度 x xz zy yO Oy yx xz zMM设：设：设：设：加速度的大小：加速度的大小：加速度的大小：加速度的大小：加速度的方向余弦：加速度的方向余弦：加速度的方向余弦：加速度的方向余弦：直角坐标法直角坐标法直

10、角坐标法直角坐标法点的运动学点的运动学问题：问题：问题：问题：如何求点运动方程、运动轨迹以及点的速度如何求点运动方程、运动轨迹以及点的速度如何求点运动方程、运动轨迹以及点的速度如何求点运动方程、运动轨迹以及点的速度和加速度的大小与方向？和加速度的大小与方向？和加速度的大小与方向？和加速度的大小与方向？ 几何性质几何性质几何性质几何性质运动方程运动方程运动方程运动方程运动轨迹运动轨迹运动轨迹运动轨迹点的点的点的点的速度速度速度速度点的点的点的点的加速度加速度加速度加速度直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法点的运动学点的运动学例题例题例题例题1 1 椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄椭圆规的

11、曲柄OAOA可绕定轴可绕定轴可绕定轴可绕定轴O O转动，端点转动，端点转动，端点转动，端点A A以铰链连接于规以铰链连接于规以铰链连接于规以铰链连接于规尺尺尺尺BCBC；规尺上的点规尺上的点规尺上的点规尺上的点B B和和和和C C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点上任一点上任一点上任一点M M 的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。A AC CB By yO Ox xMMx xy y已知已知已知已知: : : :直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法点的运动学点的运动学 考

12、虑任意位置，考虑任意位置，考虑任意位置，考虑任意位置， MM点的坐标点的坐标点的坐标点的坐标 x x，y y可以表示成可以表示成可以表示成可以表示成消去上式中的角消去上式中的角消去上式中的角消去上式中的角，即得，即得，即得，即得MM点点点点的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程: :解解解解: :A AC CB By yO Ox xMMx xy y轨轨轨轨 迹迹迹迹 演演演演 示示示示直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法点的运动学点的运动学思考：思考：思考：思考：MM点的轨迹是什么曲线点的轨迹是什么曲线点的轨迹是什么曲线点的轨迹是什么曲线 ？直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法点的运

13、动学点的运动学轨轨轨轨 迹迹迹迹 演演演演 示示示示例题例题例题例题2 2 半径为半径为半径为半径为 r r 的轮子沿直线纯滚（不滑动），轮转角的轮子沿直线纯滚（不滑动），轮转角的轮子沿直线纯滚（不滑动），轮转角的轮子沿直线纯滚（不滑动），轮转角 = = t t ( ( 为常量），求轮上任一点为常量），求轮上任一点为常量），求轮上任一点为常量），求轮上任一点MM的运动方程、速度和加速度。的运动方程、速度和加速度。的运动方程、速度和加速度。的运动方程、速度和加速度。直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法点的运动学点的运动学xC CO Oy y MME Ev v解：取解：取解：取解：取MM点与地

14、接触，开始时该点点与地接触，开始时该点点与地接触，开始时该点点与地接触，开始时该点与直角坐标轴原点重合与直角坐标轴原点重合与直角坐标轴原点重合与直角坐标轴原点重合, ,建立图示建立图示建立图示建立图示直角坐标系。直角坐标系。直角坐标系。直角坐标系。直角坐标表示的直角坐标表示的直角坐标表示的直角坐标表示的MM点运动方程：点运动方程：点运动方程：点运动方程：由纯滚动条件由纯滚动条件由纯滚动条件由纯滚动条件自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学道路转弯中的力学问题道路转弯中的力学问题道路转弯中的力学问题道路转弯中的力学问题双曲线双曲线双曲线双曲线6-3 自然法自然法自然法自然法自然法自然法点的

15、运动学点的运动学列车沿铁轨行驶列车沿铁轨行驶列车沿铁轨行驶列车沿铁轨行驶 若将列车视为质点若将列车视为质点若将列车视为质点若将列车视为质点且运动轨迹已知。且运动轨迹已知。且运动轨迹已知。且运动轨迹已知。M问题问题问题问题: : : : 质点质点质点质点MM沿椭圆轨道匀沿椭圆轨道匀沿椭圆轨道匀沿椭圆轨道匀速率运动，如何确定其加速速率运动，如何确定其加速速率运动，如何确定其加速速率运动，如何确定其加速度的大小和方向？度的大小和方向？度的大小和方向？度的大小和方向？问题问题问题问题: : : :如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时如果已知点的运动轨迹和点的

16、速度的大小随时如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时间的变化规律，如何确定点的加速度间的变化规律，如何确定点的加速度间的变化规律，如何确定点的加速度间的变化规律，如何确定点的加速度? ? ? ?自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学1 1、弧坐标要素与运动方程、弧坐标要素与运动方程、弧坐标要素与运动方程、弧坐标要素与运动方程思路：如果点沿着思路：如果点沿着思路：如果点沿着思路：如果点沿着已知的轨迹已知的轨迹已知的轨迹已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用运动，则点的运动方程，可用运动，则点的运动方程，可用运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长点在已知轨迹上所走过的弧长点在已

17、知轨迹上所走过的弧长点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。随时间变化的规律描述。随时间变化的规律描述。随时间变化的规律描述。 弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素：（1 1 1 1）有坐标原点）有坐标原点）有坐标原点）有坐标原点( ( ( (一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点) ) ) )；（2 2 2 2）有正、负方向）有正、负方向）有正、负方向）有正、负方向( ( ( (一般以点的运动方向作为正向一般以点的运动方向作为正向一般以点

18、的运动方向作为正向一般以点的运动方向作为正向) ) ) )；（3 3 3 3）有相应的坐标系）有相应的坐标系）有相应的坐标系）有相应的坐标系( ( ( (自然轴系自然轴系自然轴系自然轴系) ) ) )。s = f (t)MM(+(+) )(- (-) )O Os s 弧坐标形式的运动方程：弧坐标形式的运动方程：弧坐标形式的运动方程：弧坐标形式的运动方程：? ?自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学2 2、自然轴系、自然轴系、自然轴系、自然轴系（1 1）密切面）密切面）密切面）密切面 当当当当M M M M 点无限接近于点无限接近于点无限接近于点无限接近于M M M M点点点点时，过这两点

19、的切线所组时，过这两点的切线所组时，过这两点的切线所组时，过这两点的切线所组成的平面，称为成的平面，称为成的平面，称为成的平面，称为M M M M点的密点的密点的密点的密切面切面切面切面。 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟一的。空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟一的。空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟一的。空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟一的。 空间曲线上的任意点无穷小邻域内一段弧长，可以看作是位空间曲线上的任意点无穷小邻域内一段弧长，可以看作是位空间曲线上的任意点无穷小邻域内一段弧长，可以看作是位空间曲线上的任意点无穷小邻域内一段弧长，可以看作是位 于密切面内的平

20、面曲线。于密切面内的平面曲线。于密切面内的平面曲线。于密切面内的平面曲线。 对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的平面。对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的平面。对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的平面。对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的平面。结论：结论：结论：结论：自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学s-s+P PT T( (切线切线切线切线) )N N( (主法线主法线主法线主法线) )（2 2）自然轴系）自然轴系）自然轴系）自然轴系B B( (副法线副法线副法线副法线) )自然轴系自然轴系自然轴系自然轴系P P nbnb

21、 P P 空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；T T 过动点过动点过动点过动点P P的密切面内的切的密切面内的切的密切面内的切的密切面内的切 线，其正向指向弧坐标正向；线，其正向指向弧坐标正向；线，其正向指向弧坐标正向；线，其正向指向弧坐标正向；N N 密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线 的直线，其正向指向曲率中心；的直线，其正向指向曲率中心；的直线，其正向指向曲率中心；的直线，其正向指向曲率中心；B B 过动点过动点过动点过动点P P垂直于切线和主法垂直于切线和主法垂直于切线和主法垂直于切线和主法 线的直线，其正向由线

22、的直线，其正向由线的直线，其正向由线的直线，其正向由B BT T N N确定确定确定确定。 n nb b自然轴系的自然轴系的自然轴系的自然轴系的基矢量基矢量基矢量基矢量： 、n n、b b b=b= n n自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学 nb自然轴系的特点自然轴系的特点自然轴系的特点自然轴系的特点：跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。：跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。：跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。：跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。 自然轴系的单位矢量自然轴系的单位矢量自然轴系的单位矢量自然轴系的单位矢量 、n n、b b 是方向在不断变化的单位矢量。是方向在不断变化的单位矢量。是

23、方向在不断变化的单位矢量。是方向在不断变化的单位矢量。固定的直角坐标系的单位矢量固定的直角坐标系的单位矢量固定的直角坐标系的单位矢量固定的直角坐标系的单位矢量i i、j j、k k。则是常矢量。则是常矢量。则是常矢量。则是常矢量。 自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学3 3、点的速度、点的速度、点的速度、点的速度MMMM O O经过经过经过经过t t 时间间隔，点沿轨迹由时间间隔，点沿轨迹由时间间隔，点沿轨迹由时间间隔，点沿轨迹由M M 到到到到 MM （1 1）速度大小）速度大小）速度大小）速度大小（2 2）速度方向）速度方向）速度方向）速度方向当当当当t t00时，时，时，时，|

24、|r r | = | = |s s| |自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学，v v 和和和和 分别表示速度的大小与方向分别表示速度的大小与方向分别表示速度的大小与方向分别表示速度的大小与方向。（2 2）式中）式中）式中）式中有关有关 两点讨论：两点讨论：两点讨论：两点讨论：, ,则则则则，即点沿着即点沿着即点沿着即点沿着s+s+的方向运动的方向运动的方向运动的方向运动；反之点沿着反之点沿着反之点沿着反之点沿着s s的方向运动的方向运动的方向运动的方向运动。（1 1）若）若）若）若 点的速度在切线轴上的投影点的速度在切线轴上的投影点的速度在切线轴上的投影点的速度在切线轴上的投影等于弧坐

25、标对时间的一阶导数。等于弧坐标对时间的一阶导数。等于弧坐标对时间的一阶导数。等于弧坐标对时间的一阶导数。MMMM O O自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学4 4、点的、点的、点的、点的加速度加速度加速度加速度反映加速度大小的变化，记为反映加速度大小的变化，记为反映加速度大小的变化，记为反映加速度大小的变化，记为反映加速度方向的变化，记为反映加速度方向的变化，记为反映加速度方向的变化，记为反映加速度方向的变化，记为（1 1）反映加速度大小变化的加速度）反映加速度大小变化的加速度）反映加速度大小变化的加速度）反映加速度大小变化的加速度方向沿轨迹切线。称为方向沿轨迹切线。称为方向沿轨迹切线

26、。称为方向沿轨迹切线。称为切向加速度。切向加速度。切向加速度。切向加速度。自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学（2 2）反映加速度方向变化的加速度）反映加速度方向变化的加速度）反映加速度方向变化的加速度）反映加速度方向变化的加速度 根据矢量导数定义：根据矢量导数定义：根据矢量导数定义：根据矢量导数定义：MMMM 曲率定义曲率定义曲率定义曲率定义：曲线切线的转角：曲线切线的转角：曲线切线的转角：曲线切线的转角对弧长的一阶导数的绝对值。对弧长的一阶导数的绝对值。对弧长的一阶导数的绝对值。对弧长的一阶导数的绝对值。曲率的倒数称为曲率的倒数称为曲率的倒数称为曲率的倒数称为曲率半径。曲率半径。曲

27、率半径。曲率半径。曲率半径用曲率半径用曲率半径用曲率半径用 表示。表示。表示。表示。自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学MM MM t t和和和和 以及以及以及以及 同处于同处于同处于同处于MM点的密切面点的密切面点的密切面点的密切面内，内，内，内， 的极限方向垂直于的极限方向垂直于的极限方向垂直于的极限方向垂直于 ，亦即亦即亦即亦即n n方向方向方向方向。自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度法向加速度法向加

28、速度自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学几几点点讨讨论论切向加速度切向加速度切向加速度切向加速度表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；表明加速度表明加速度表明加速度表明加速度 a a 在副法线在副法线在副法线在副法线方向没有分量；方向没有分量；方向没有分量；方向没有分量；还表明速度矢量还表明速度矢量还表明速度矢量还表明速度矢量v v和加速度矢量和加速度矢量和加速度矢量和加速度矢量

29、a a都位于密切面内。都位于密切面内。都位于密切面内。都位于密切面内。点的加速度的大小和方向点的加速度的大小和方向点的加速度的大小和方向点的加速度的大小和方向 自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学若若若若 a at t = = 恒量，则动点的运动称为恒量，则动点的运动称为恒量，则动点的运动称为恒量，则动点的运动称为曲线匀变速运动曲线匀变速运动曲线匀变速运动曲线匀变速运动由由由由d dv v = = a at t d d t t积分得积分得积分得积分得 v = vv = v0 0 + + a at t t t同同同同理，得理，得理，得理，得 s = ss = s0 0 + v+ v0 0

30、t +t + a at t反映点作曲线运动的运动速度大小变化。反映点作曲线运动的运动速度大小变化。反映点作曲线运动的运动速度大小变化。反映点作曲线运动的运动速度大小变化。曲线匀速运动：曲线匀速运动：曲线匀速运动：曲线匀速运动： a at t = 0 = 0 注意：曲线运动中，除注意：曲线运动中，除注意：曲线运动中，除注意：曲线运动中，除 v v = 0= 0的瞬时外，点的法向加速度总不的瞬时外，点的法向加速度总不的瞬时外，点的法向加速度总不的瞬时外，点的法向加速度总不为零。直线或曲线的拐点处为零。直线或曲线的拐点处为零。直线或曲线的拐点处为零。直线或曲线的拐点处 ，法向加速度等于零。法向加速度

31、等于零。法向加速度等于零。法向加速度等于零。几几点点讨讨论论自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、加例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、加例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、加例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。速度的大小和运动轨迹的曲率半径。速度的大小和运动轨迹的曲率半径。速度的大小和运动轨迹的曲率半径。运动方程运动方程运动方程运动方程: :解：解：解：解：自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学s解解解解（1 1）建立图示弧坐标）建立图示弧坐标）建立图示弧坐标）建立图示弧坐标OMAB2C

32、加速度加速度加速度加速度速度速度速度速度运动方程运动方程运动方程运动方程va例题例题例题例题3 3 已知：已知：已知：已知：R R， = = t ( t ( 为为为为常数），常数），常数），常数），求：求：求：求：(1)(1)小环小环小环小环MM的运动方程、的运动方程、的运动方程、的运动方程、速度、加速度；速度、加速度；速度、加速度；速度、加速度；(2)(2)小环小环小环小环MM相对于相对于相对于相对于 AB AB 杆的速度、加速度杆的速度、加速度杆的速度、加速度杆的速度、加速度(2) (2) 建立图示直角坐标系建立图示直角坐标系建立图示直角坐标系建立图示直角坐标系加速度加速度加速度加速度速度

33、速度速度速度运动方程运动方程运动方程运动方程OMAB2Cxy自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学例题例题例题例题4 4 销钉销钉销钉销钉B B可沿半径等于可沿半径等于可沿半径等于可沿半径等于R R的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道DEDE和摆杆的直槽中滑和摆杆的直槽中滑和摆杆的直槽中滑和摆杆的直槽中滑动，动，动，动，OA=R=0.1 mOA=R=0.1 m。已知摆杆的转角已知摆杆的转角已知摆杆的转角已知摆杆的转角 （时间以（时间以（时间以（时间以s s计，计，计，计， 以以以以radrad计），试求销钉在计），试求销钉在计），试求销钉在计），试求销钉在t t1 1

34、=1/4 s=1/4 s和和和和t t2 2=1 s=1 s时的加速度。时的加速度。时的加速度。时的加速度。R RO O R RE ED DB BC CA A 运运运运 动动动动 演演演演 示示示示自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学已已已已知知知知销销销销钉钉钉钉B B的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹是是是是圆圆圆圆弧弧弧弧DEDE，中中中中心心心心在在在在A A点点点点，半半半半径径径径是是是是R R。选选选选滑滑滑滑道道道道上上上上O O 点点点点作作作作为为为为弧弧弧弧坐坐坐坐标标标标的的的的原原原原点点点点，并并并并以以以以O O D D为为为为正正正正向向向向。则则则则B B点点点

35、点在在在在任一瞬时的弧坐标任一瞬时的弧坐标任一瞬时的弧坐标任一瞬时的弧坐标这就是这就是这就是这就是B B点的自然形式的运动方程。点的自然形式的运动方程。点的自然形式的运动方程。点的自然形式的运动方程。解：解：解：解： 但但但但是是是是，由由由由几几几几何何何何关关关关系系系系知知知知 ，且且且且 ，将其代入上式，得，将其代入上式，得，将其代入上式，得，将其代入上式，得 R RO O R RE ED DB BC Cs sO O A A -s -s+s+s自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学R RO O R RE ED DB BC Cs sO O A A -s -s+s+sB B点的速度在

36、切向上的投影点的速度在切向上的投影点的速度在切向上的投影点的速度在切向上的投影v vt tB B点的加速度点的加速度点的加速度点的加速度 a a 在切向的投影在切向的投影在切向的投影在切向的投影而在法向的投影而在法向的投影而在法向的投影而在法向的投影a at ta an n自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学且且且且a a1 1沿切线的负向。沿切线的负向。沿切线的负向。沿切线的负向。当当当当 时时时时, , , , ，又又又又 , , 。 可见可见可见可见 , , 这时这时这时这时B B点的加速度大小点的加速度大小点的加速度大小点的加速度大小 当当当当 t t1 1= = 1 s1 s

37、 时时时时, , 又又又又 可见，这时点可见，这时点可见，这时点可见，这时点B B的加速度大小的加速度大小的加速度大小的加速度大小且且且且 a a2 2 沿半径沿半径沿半径沿半径 B B2 2A A。a a2 2= =a a1n1nA AD DB B1 1B B2 2R R 1 1E Ea a1 1= =a a1t1t自然法自然法自然法自然法点的运动学点的运动学 点沿着一螺旋线自外点沿着一螺旋线自外点沿着一螺旋线自外点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧向内运动。点所走过的弧向内运动。点所走过的弧向内运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。长与时间的一次方成正比。长与时间的一次方成正比。长

38、与时间的一次方成正比。请判断点的运动性质：请判断点的运动性质：请判断点的运动性质：请判断点的运动性质：(A) (A) (A) (A) 越跑越快；越跑越快；越跑越快；越跑越快；(C) (C) (C) (C) 加速度越来越大；加速度越来越大；加速度越来越大；加速度越来越大；(D) (D) (D) (D) 加速度越来越小。加速度越来越小。加速度越来越小。加速度越来越小。(B) (B) (B) (B) 越跑越慢；越跑越慢；越跑越慢；越跑越慢； 思考思考思考思考结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论点的运动学点的运动学 描述点运动的三种方法比较描述点运动的三种方法比较描述点运动的三种方法比较描述点运动

39、的三种方法比较 变矢量法变矢量法变矢量法变矢量法结果简明，具有概括性，且与坐标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。对于实际问题需将变矢量及其导无关。对于实际问题需将变矢量及其导无关。对于实际问题需将变矢量及其导无关。对于实际问题需将变矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。数表示成标量及其导数的形式。数表示成标量及其导数的形式。数表示成标量及其导数的形式。 直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法实际问题中，一种广泛应用的方法。实际问题中，一种广泛应用的方法。实际问题中，一种广泛应用的方法。实际问题中，一种广泛应用的

40、方法。 弧坐标法弧坐标法弧坐标法弧坐标法应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义化率区分开来，使得数学表达式的含义 更加清晰。更加清晰。更加清晰。更加清晰。结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论点的运动学点的运动学 点的运动学应用的两类问题

41、点的运动学应用的两类问题点的运动学应用的两类问题点的运动学应用的两类问题 第一类问题：第一类问题：第一类问题：第一类问题：已知运动轨迹，确定速度与加速度；已知运动轨迹，确定速度与加速度；已知运动轨迹，确定速度与加速度；已知运动轨迹，确定速度与加速度；给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。 第二类问题：第二类问题：第二类问题：第二类问题：已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和运动轨迹第一类问题的反运算。运动轨迹第一类问题的反运算。运动轨迹第一类问题的反运算。运动轨迹第一类问题的反运算。结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论点的运动学点的运动学 速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别速度大小速度大小速度大小速度大小速度方向速度方向速度方向速度方向速度大小的变化率速度大小的变化率速度大小的变化率速度大小的变化率速度方向的变化率速度方向的变化率速度方向的变化率速度方向的变化率