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1、二次函数复习二次函数复习（1） 温州育英实验学校形如yax2bxc （a、b、c是常数，a0）的函数叫做x的二次函数 。如： yx2， y2x24x3 ， y1005x2，y=2x25x3 。1.什么叫二次函数什么叫二次函数 ?例如，例如，1、二次函数、二次函数 y=-x2+58x-112 的的二次项系数为二次项系数为 ，一次项系数为一次项系数为 ，常数项常数项 。2、二次涵数、二次涵数y=x2的的二次项系二次项系 ,一次项系数一次项系数 ，常数项常数项 。a=-1b=58c=-112a=b=0c=0下列函数中下列函数中,哪些是二次函数哪些是二次函数?做一做做一做:是不是是是不是2. 特殊的二
2、次函数y=ax2 (a0) )的图象特点和函数性质画一画：请画出y=x2的图象(1)是一条抛物线；是一条抛物线；(2)对称轴是对称轴是y轴；轴；(3)顶点在原点；顶点在原点；(4)开口方向开口方向:a0时时,开口向上；开口向上；a0时，时，y轴左侧，轴左侧，函数值函数值y随随x的增大而小的增大而小 ； y轴右侧，函数值轴右侧，函数值y随随x的增的增大而增大大而增大 。 a0时，时，ymin=0 a0时时,开口向上；开口向上； a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x- )，函数值，函数值y随随x的增大而的增大而增大增大 。 a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x- )，函数值，函数值y随随x的增大而
3、的增大而减小减小 。 （2） a0时，时，ymin= a0时，时，ymax=2ab2ab2ab2ab4a4ac-b24a4ac-b2二次函数二次函数 y=ax2+bx+c(a0)0)的函数性质的函数性质：解：解：因此，抛物线的对称轴是直线因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（顶点坐标是（3，2）。）。例例 求求抛物线抛物线的对称轴和顶点坐标的对称轴和顶点坐标。1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：做一做做一做:2。自变量。自变量x在什么范围内时，在什么范围内时，y随随x的增大而增大，的增大而增大，何时何时y随随x的增大而减小？并求出
4、函数的最大值或最小的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值？值？3:填空：填空：(1)抛物线抛物线yx23x2与与y轴的交轴的交点坐标是点坐标是_，与，与x轴的轴的交点坐标是交点坐标是_；(2)抛物线抛物线y2x25x3与与y轴的轴的交点坐标是交点坐标是_，与，与x轴轴的交点坐标是的交点坐标是_ (0,2)(1,0)和(2,0)(0,-3)(1,0)和（3/2，0）时，图象将发生的变化时，图象将发生的变化.4、二次函数、二次函数y=axy = a(x+m)2y = a(x+m)2 +k1、顶点坐标？、顶点坐标？（0，0）（m，0）（ m，k ）2、对称轴？、对称轴？y轴（直线轴（直线x=0）（
5、直线（直线x= m ）（直线（直线x= m ）3、平移问题？、平移问题？一般地，函数一般地，函数y=ax的图象先向右（当的图象先向右（当m0）平移平移|m|个单位可得个单位可得y = a(x+m)2的图象；若再向上（当的图象；若再向上（当k0 ）或或向下向下 （当（当k0, 点点A,点点B在原点同侧在原点同侧x1x20, x=h时时,y有最小值为有最小值为kxh表示在对称轴的左侧表示在对称轴的左侧当当k=0时顶点在时顶点在x轴上轴上khxyo当当ah表示在对称轴的右侧表示在对称轴的右侧当当h=0时时,顶点在顶点在y轴上；轴上；xyohkkhhxyoh-hk-k(h, k)若若a0, h0, k
6、0把把y=ax2的图象向右平移的图象向右平移h个单位得到个单位得到向左平移向左平移h个单位得到个单位得到向上平移向上平移k个单位得到个单位得到向下平移向下平移k个单位得到个单位得到向右平移向右平移h个单位并向上平移个单位并向上平移k个单位得到个单位得到y=a(x+h)2y=ax2+ky=ax2-ky=a(x-h)2+ky=a(x-h)2( 1 )图象过图象过A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点 一一: 已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件满足下列条件,求函数的解析式求函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析式为）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c图象
7、过图象过A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点y= -2x2+3x+1xyo解：解：A(1，0)，对称轴为，对称轴为x=2抛物线与抛物线与x轴另一个交点轴另一个交点C应为应为（3，0）设其解析式为设其解析式为y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）-3=a（0-1）（）（0-3）a= -1y= -(x-1)(x-3)（2）图象经过）图象经过A（1，0）、）、B（0，-3），且对称轴是直线），且对称轴是直线x=21AB -3C32（3）图象顶点是（）图象顶点是（-2，3），且经过点（），且经过点（-1，5）解：解：图象顶点是（图象顶点是（-2，3）设其解析式为设其解析式为y=
8、a（x+2）2+3经过点（经过点（-1，5）5=a（-1+2）2+3a=2y=2（x+2）2+3（4）图象和）图象和x轴交于（轴交于（-2，0）、（）、（4，0）两点且顶）两点且顶点为（点为（1，-9/2）解：由于题中告诉了图象与解：由于题中告诉了图象与x轴的交点坐标，又告诉轴的交点坐标，又告诉了顶点坐标，所以既可以用双根式又可以用顶点式来了顶点坐标，所以既可以用双根式又可以用顶点式来设其解析式设其解析式设双根式为：设双根式为：y=a(x+2)(x-4)-9/2=a(1+2)(1-4)顶点为（顶点为（1，-9/2） a= -1/2y= -1/2(x+2)(x-4)（5）图象顶点是）图象顶点是M
9、（1，16）且与）且与x轴交于两点，已知轴交于两点，已知两交点相距两交点相距8个单位。个单位。解：解： 顶点顶点M坐标为（坐标为（1，16），对称轴为），对称轴为x=1，又交点，又交点A、B关于直线关于直线x=1对称，对称，AB=8A（-3，0）、）、B（5，0）此函数解析式可设为此函数解析式可设为 y=a（x-1）2+16 或或y=a（x+3）（）（x-5）xyo116AB- 35二二:求满足下列条件的抛物线的解析式求满足下列条件的抛物线的解析式(1)经过点经过点A（2，4），），B（-1，0）且在）且在x轴轴上截得的线段长为上截得的线段长为2解：解： B（-1，0）且在）且在x轴上截得的线
10、段长为轴上截得的线段长为2抛物线与抛物线与x轴的另一个交点坐标为轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或）或C（1，0）设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（）（x- x2）当抛物线经过当抛物线经过B、C三点时，三点时，解析式为解析式为y=a（x+1）（）（x+3）又又抛物线经过抛物线经过A（2，4）4=a（2+1）（）（2+3）当抛物线经过当抛物线经过B、C 三点时，解析式为三点时，解析式为y=a（x+1）（）（x-1）xyoB-1- 31CCa=y= （x+1）（）（x+3）(2)交交x轴于轴于A（x1，0），），B（x2，0），顶点为），顶点为P（1，-4），且），且x1
11、2+x22=10解： =1 =2 x12+x22=10x1= -1 ; x2=3 A（-1，0），），B（3，0）抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=a（x+ 1）（）（x- 3）又抛物线的顶点为抛物线的顶点为P （1，-4）-4=a（1+1）（）（1- 3）a=1y = （x+ 1）（）（x- 3）xyo1-4AB-13Pxyo1-3-2三三: 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示的图象如图所示对称轴对称轴x=_顶点坐标顶点坐标:_当当x=_时时,y有最有最_值是值是_函数值函数值y0时时,对应对应x的取值范围是的取值范围是_函数值函数值y=0时时,对应对应x的取值范围是的取值
12、范围是_当当x_时时,y随随x的增大而增大的增大而增大.-1(-1,-2)-1 小小-2-3x1x1-3或或1-1 四 :已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示示,下列结论下列结论a+ b + c0 abc0 b=2a。其中正确的结论的。其中正确的结论的个数是（个数是（ ）A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个xyO-11mnD课堂小结：课堂小结：1. 抛物线的三种解析式？抛物线的三种解析式？3. 各种解析式对称轴、顶点坐标求法？各种解析式对称轴、顶点坐标求法？2. 如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？4. 二次函数的最值的求法？二次函数的最值的求法？5. 抛物线的平移规律？抛物线的平移规律？6. 抛物线与抛物线与x轴两交点距离的求法？轴两交点距离的求法？
