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1、上页 下页 返回 结束 第三章第三章 微分中值定理微分中值定理与导数的应用与导数的应用上页 下页 返回 结束 二、二、罗尔罗尔中值中值定理定理三、三、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理四、四、柯西中值定理柯西中值定理第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 第三章第三章 一、极值概念及费马引理一、极值概念及费马引理上页 下页 返回 结束 本节的几个定理都来源于下面的本节的几个定理都来源于下面的在一条平面连续曲线段在一条平面连续曲线段ABAB上上, ,则至少有一点处的切线则至少有一点处的切线, ,几何事实几何事实: :平行于两个端点的连线平行于两个端点的连线 , ,即平行于两端点所在的弦即平行于两端
2、点所在的弦有水平的切线有水平的切线除端点外除端点外, ,处处有处处有不垂直于不垂直于 轴的切线轴的切线 . .上页 下页 返回 结束 极值定义极值定义 一、极值概念及费马引理一、极值概念及费马引理如果对如果对 有有 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值. .函数的函数的极大值点与极小值点统称为极大值点与极小值点统称为极值点极值点. .为极大值点为极大值点为极小值点为极小值点注注: :函数的极大值和极小值是局部性概念。函数的极大值和极小值是局部性概念。 极值点一定在区间内部取得极值点一定在区间内部取得, ,不能在区间端点取得不能在区间端点取得. .极值点不唯一极值点不唯一
3、, , 极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大. . 最大最大( (小小) )值若在区间内部取得值若在区间内部取得, ,则它一定是极大则它一定是极大( (小小) )值值. .上页 下页 返回 结束 费马引理费马引理若若则则( (山峰、山谷若有切线必有水平切线山峰、山谷若有切线必有水平切线) )证证: :对对 都有都有 即即, ,由导数定义由导数定义 由极限的保号性由极限的保号性费马引理费马引理指出可导函数的极值点必定是该函数的驻点可导函数的极值点必定是该函数的驻点通常称导数为零的点通常称导数为零的点 为函数的为函数的驻点或稳定驻点或稳定点点上页 下页 返回 结束 罗尔罗尔定理定理(1)(
4、1)(2)(2)(3)(3)使得使得二、罗尔中值定理二、罗尔中值定理几何意义几何意义: :若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必有一条切线平行于轴，也即平行于两个端点的连线。有一条切线平行于轴，也即平行于两个端点的连线。在两个高度相同的点之间的连续曲线上在两个高度相同的点之间的连续曲线上上页 下页 返回 结束 罗尔罗尔定理定理(1)(1)(2)(2)(3)(3)使得使得费马引理费马引理: :若若则则证证: :所以最值不可能同时在区间端点取得所以最值不可能同时在区间端点取得. .使使由由费马引理费马引理, ,上页 下页 返回 结束 (1)
5、 (1) 定理条件不全具备定理条件不全具备, , 结论不一定成立结论不一定成立. . 罗尔罗尔定理定理(1)(1)(2)(2)(3)(3)使得使得(1),(2)(1),(2)满足满足(3)不满足不满足结论不成立结论不成立. . (1),(3)(1),(3)满足满足(2)不满足不满足结论不成立结论不成立. . (1),(2)(1),(2)满足满足(3)不满足不满足结论成立结论成立. . 注：注：上页 下页 返回 结束 例例1 1. .解解: :所以满足罗尔定理条件所以满足罗尔定理条件. .(1)(1)验证定理的假设条件满足验证定理的假设条件满足(2)(2) 结论正确结论正确有实根有实根注注: :
6、罗尔定理强调了罗尔定理强调了 的存在性的存在性, ,至于至于 等于什么并不重要等于什么并不重要, ,只要知道存在即可只要知道存在即可. .上页 下页 返回 结束 例例2 2. .证证: : 由零点定理由零点定理即方程有小于即方程有小于1 1的正实根的正实根. .(1)(1)存在性存在性(2)(2)唯一性唯一性上页 下页 返回 结束 例例2 2. .证证: :(2)(2)唯一性唯一性矛盾矛盾, , 故假设不真！故假设不真！上页 下页 返回 结束 注注拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理使得使得三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理(1)(1)(2)(2)几何
7、意义几何意义: :若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必有一条切线平行于两个端点的连线有一条切线平行于两个端点的连线. .在两个高度不相同的点之间的连续曲线上在两个高度不相同的点之间的连续曲线上拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 上页 下页 返回 结束 分析分析: :从所证等式入手找到一个满足罗尔定理的函数从所证等式入手找到一个满足罗尔定理的函数拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(1)(2)(2)使得使得欲证欲证只要证只要证只要证只要证只要证只要证( (利用导数的性质利用导数的性质) )上页 下页 返回 结束 证证: :作辅助函数作辅
8、助函数且且易知易知由此得由此得由罗尔中值定理，由罗尔中值定理，上页 下页 返回 结束 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(1)(2)(2)使得使得辅助函数辅助函数 的几何解释的几何解释: :上页 下页 返回 结束 说明说明:C 为任意常数为任意常数1.1.辅助函数辅助函数 的几何解释的几何解释2. 这样的辅助函数可有无穷多个这样的辅助函数可有无穷多个欲证欲证只要证只要证只要证只要证只要证只要证C为任意常数为任意常数3.3.书上辅助函数的做法书上辅助函数的做法上页 下页 返回 结束 4.Lagrange4.Lagrange公式公式的其它形式的其它形式: :恒等变形恒等变形拉格朗日中值定理又称
9、拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理. . 它精确的表达了函数增量和某点的它精确的表达了函数增量和某点的由由(3)(3)式看出式看出, ,导数之间的直接关系导数之间的直接关系. .有限增量公式有限增量公式上页 下页 返回 结束 设想为设想为拉格朗日中值定理的拉格朗日中值定理的物理解释物理解释把数把数中值定理是说，中值定理是说，函数在区间内部某一点处的瞬时变化率函数在区间内部某一点处的瞬时变化率一定等于整个区间上的平均变化率一定等于整个区间上的平均变化率. .例如例如: : 一位货车司机在收费亭处收到一张罚单一位货车司机在收费亭处收到一张罚单, ,说他在说他在罚单列出的违章理由是该司机超
10、速行驶罚单列出的违章理由是该司机超速行驶. .限速为限速为8080公里公里/ /小时收费道路上在小时收费道路上在2 2小时内走了小时内走了180180公里公里. .为什么？为什么？上页 下页 返回 结束 推论推论证：证：有有由假定由假定, ,即在即在区间区间I I内任意两点的函数值都相等内任意两点的函数值都相等, ,拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(1)(2)(2)使得使得上页 下页 返回 结束 例例3 3. .证证由由推论推论自证自证说明说明: :欲证欲证只需证在只需证在上上且且使使上页 下页 返回 结束 例例4 4证：证： 记记 满足拉氏定理的条件满足拉氏定理的条件, ,通常就想到微
11、分中值定理通常就想到微分中值定理. .如果如果 在某区间上可导在某区间上可导, ,要分析函数在该区间上任要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系意两点的函数值有何关系, ,上页 下页 返回 结束 例例5 5分析：分析：欲证上述不等式成立，欲证上述不等式成立，只须证：只须证：只须证：只须证：为此只须证：为此只须证： 关键！关键！构造构造上页 下页 返回 结束 例例5 5证明：证明：由上式得由上式得设设中值定理条件中值定理条件,因此应有因此应有由由上页 下页 返回 结束 柯西中值定理柯西中值定理(1)(1)(2)(2)使得使得四、柯西四、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理(3
12、)(3)柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义注意注意设曲线的设曲线的参数方程参数方程弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率上页 下页 返回 结束 显然显然柯西中值定理柯西中值定理(1)(1)(2)(2)使得使得(3)(3)拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 错错! !柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ? ?不一定相同不一定相同这两个这两个思考：思考：上页 下页 返回 结束 为此为此构构造辅助函数造辅助函数 分析分析欲证上式成立欲证上式成立, ,只须证只须证只须证只须证证明证明 满足罗尔定理即可满足罗尔定理即可. .上页 下页 返回 结束 例例6 6. .证法证法1:1:分析分析欲证上式成立，只须证欲证上式成立，只须证即即由柯西中值定理由柯西中值定理, , 使得使得上页 下页 返回 结束 例例6 6. .分析分析 欲证欲证只要证只要证只要证只要证即即记记证法证法2:2:由罗尔中值定理由罗尔中值定理, , 使得使得即即
