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1、目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移“大化小” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.目录 上页 下页 返回 结束 1) “大化小大化小”.2) “常代变常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和近似和”4) “取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)目
2、录 上页 下页 返回 结束 2. 定义定义.设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中,L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限记作目录 上页 下页 返回 结束 若 为空间曲线弧 , 记称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性
3、质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在, 且有目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x 为参数, 则解法解法2 取 y 为参数, 则从点的一段. 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中 L 为(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆
4、时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设在力场作用下, 质点由沿 移动到解解: (1)(2) 的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中 为 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧目录 上页 下页 返回 结束 4. 两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧 :目录 上页 下页 返回 结束 2. 已知为折线 ABCOA(如图), 计算提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P200 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8第三节
