《2023北京丰台高三（上）期末数学（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023北京丰台高三（上）期末数学（教师版）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023北京丰台高三（ 上）期末数 学2023.01考生须知1 . 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“ 条形码粘贴区” 贴好条形码.2 . 本次练习所有答题均在答题卡上完成. 选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项. 非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.3 .请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答， 超出答题区域书写的答案无效， 在练习卷、草稿纸上答题无效.4 . 本练习卷满分共150分，作答时长120分钟.第
2、一部分 （ 选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .已知全集/ = 1 , 集合A = x - l 0 ） 过点41 ,0） ，焦点为凡 若点3 （ 九 （ ） ） 满足|4尸|= |8/| ,则加的值为（ ）A . 2 B . V 2 + 1 C . 2 或 T D.及 + 1 或 1一夜7 . 已知函数/（ x ） = 31o g 2 X 2 （ x l ） ,则不等式/（ 幻 0的解集是（）A . （ 1, 4 ） B . （ -8 , l ） U（ 4 , + 8 ）C . （ 0 ） 5 4,+。） D
3、. （ 0 , 4 ）2 28 . 设双曲线（ 7:5年 = 1（ “ 0 8 0 ） 的右焦点为尸，过点尸的直线/ 平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P ,与双曲线C交于点0 ,若 。为线段b P 的中点，则双曲线C的离心率为（）A. ： B . c . V 2 D.2 2 59 .如图，在四棱锥P A BCO中，底面A 8CO是边长为3 的正方形，平面A 8CO,点 M为底面上的动点，用到P Q 的距离记为，若| M C | = 2d,则点/ 在底面正方形内的轨迹的长度为（）2 兀 八 二 3 7 1A. 2 B . C . J 5 D .3 41 0. 市场占有率指在一定时
4、期内，企业所生产 产品在其市场的销售量（ 或销售额）占同类产品销售量（ 或销售额）的比重. 一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（ 即顾客的流动，不会影响市场占有率） ，此时的市场占有率称为“ 稳定市场占有率” . 有 4 B, C三个企业都生产某产品，2 02 2 年第一季度它们的市场占有率分别为：4 0%, 30%, 3 0 % . 经调查，2 02 2 年第二季度Z , B, C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2 02 2 年第二季
5、度相同，则当市场出现稳定的平衡状态,第2 页/ 共1 9 页最终达到“ 稳定市场占有率时，/企业该产品的“ 稳定市场占有率” 为 ()A. 4 5 % B . 4 8 % C . 5 0% D. 5 2 %第 二 部 分 (非选择题110分)二、填空题共5 小题，每小题5分，共 25分 .H .函数/ (制= 一一 + JTTT的定义域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 - 11 2 .在等差数列 % 中，公 差 1不 为 0, 4=9,且 q , % ， % 成等比数列，则= ；当=时，数列 凡 的前n项和S“ 有最大值.1 3 .已知集合 A = (x , y )| x -
6、y - m = 0, x , y e R , B = 1 (x , y )| x2+ / - 2 x + 2 y = 0, x , y e R j, 若 A cB为 2 个元素组成的集合，则实数? 的取值范围是.1 4 .已知函数/ (x ) = s i n 8 + 聿 (0 0 ) , 若， 且 f (x )在区间( 2 , / ) 上有最小值无最大值，则 g=.1 5 .已知函数/ (x ) = a l n x (x l )2 ( a e R ) 存 在 两 个 极 值 点 芭 ( 0 .其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是 .三、解答题共6 小题，共 85分. 解答应写出文字说
7、明，演算步骤或证明过程.1 6 . 如图，已知正方体A B C 。中，点 E 是 棱 的 中 点 .( 1 ) 求证：8 。 7 平面OGE ；( 2 ) 若点尸是线段8 的中点，求 直 线 与 平 面 OGE 所成角的正弦值.1 7 . 在 4ABe 中，2 a s inB = .( 1 ) 求小第3 页/ 共1 9 页 若b = 2亚,从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得. ABC存在且唯一确定，求 , A B C 的面积.条件：c o s C = -12；条件:条件:sin B =5注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.1 8 . 非物质文化遗产( 简称“ 非遗” )是优
8、秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志. 随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天. 为研究非遗短视频受众的年龄结构， 现从各短视频平台随机调查了 1 0 0 0 名非遗短视频粉丝, 记录他们的年龄，将数据分成6 组： 1 0 , 2 0 ) , 2 0 , 3 0 ) , 3 0 , 4 0 ) , 4 0 , 5 0 ) , 5 0 , 6 0 ) , 6 0 , 7 0 ,并整理得到如下频率分布直方图：频率0 . 0 2 80 . 0 2 4O 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 年舲( 岁)( 1
9、) 求 。的值；( 2 ) 从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过4 0 岁的人数为X,用频率估计概率，求 X的分布列及数学期望E ( X ) ；( 3 ) 在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为机，若中位数的估计值为，写出加与的大小关系. ( 结论不要求证明)1 9 . 已知椭圆 : ， +m = l ( a b 0 ) 过点4 -2 , 0 ) , 离心率为孝.( 1 ) 求椭圆E 的方程；( 2 ) 设点P (2 , 机) (机 0 ) , 直线PA 与椭圆E 的另一个交点为C, O为坐标原点，8
10、 为椭圆E 的右顶点 . 记 直 线 0尸的斜率为占，直 线 的 斜 率 为 左 2,求证：人, % 为定值.2 0 .已知函数/ (x ) = l n 尤 + s in x .(1 )求曲线y = / (x ) 在点(1 , 7 (I) ) 处的切线方程；( 2 ) 求函数/ a ) 在区间 l , e 上的最小值；( 3 ) 证明函数/ a ) 只有一个零点.2 1 . 设 2为正实数，若各项均为正数的数列 4 满足：V e N * ，都有+ 则称数列 % 为第4 页/ 共1 9 页P(数列.(1 )判断以下两个数列是否为尸(2 )数列：数列 A ： 3 , 5 , 8, 1 3 , 2
11、1 ；数列 8 ： l o g2 5 ,兀,5 , 1 0 .(2 )若数列也 满足仇0且而石- 而I ,是否存在正实数4,使得数列出 是 口数列？若存在，求2的取值范围；若不存在，说明理由.(3 )若各项均为整数的数列 4是尸数列，且 % 的前加(加2 2 )项 和 卬 +4+4+ + 品 为1 5 0 ,求% + 用 的最小值及取得最小值时的所有可能取值.第5页/ 共1 9页参考答案第 一 部 分 (选 择 题40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共4 0分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .【 答案】B【 解析】【 分析】根据补集概念求解即可.【 详解】因为U
12、 = R , A = x |-l x 4 -2 令4 2 r = 0,解得r = 2,所以展开式的常数项为1= 4 C ； = 2 4故选：B4 .【 答案】A【 解析】【 分析】由a /必 可求出九= 五 ，再由充分性和必要性的定义即可得出答案.【 详解】若。/ / 人 则2 x 1 - %=0,解得：2 = + V 2 .所以/ = a / /。，而a / 匕推不出丸=g.故 几=J 5 ”是 a I lb ” 的充分而不必要条件故选：A.第6页/ 共1 9页5.【 答案】D【 解析】【 分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析.【 详解】选项A由令y = l -x2的定义域为R，且
13、/ （一% ） = 1 _ （一切2 = 2 ,由函数为二次函数开口向下，对称轴为y轴，所以在（ o,+ 。） 单调递减，故函数在区间（ o/）上单调递减，故A错误，由y = t a n x的定义域为 x | x H+ E , 女w z j ,关于原点对称且 / （ X） = t a n （ 一 无 ） = 一 t a n 尤=- f （ x） ,所以y = t a n x 奇函数，故选项B错误，由旷= 。05 %的定义域为R ,且 / （ -X） = （ -x ） cos （ 一X） = -x cos X - - / （ JC） ,所以y = x cos x为奇函数，故C错误，由丁 = ，
14、+ 6 - *定义域为R,且 f （ -x ） = e * + e* = fx） ,所以y = e* + e T为偶函数，/xx,x2 e( O, l) ,且 再 X2 ,所以/ （ 3）一/（ ） =9 +6小= e” e* 1 因为e （ 0, l） ,且看尤2 ,因为y = e 在R上单调递增,所以e* -e* 2 0，leV | e, l e2 0 )过点4 1,、 历) ，可求出人 即 可 表 示 出 尸 再 由I A F |=| B F | ,即可求出加的值.【 详解】因为抛物线C: y 2 = 2 p x S O)过点4 1, 0) ,所以 2 = 2 p = = 1,所以抛物线
15、C ： y 2 = 2 x ,则呜, ( ) 1,又因为| A f | =| 8尸所以= J故选：C.7 .【 答案】A【 解析】【 分析】将不等式问题转化为函数图象问题，【 详解】依题意/( x ) = 3 1og2 X 2 ( x l)0P = lg2 X 优=1 优=4由 2(一解得 或一。 y = o 3= 22画出y = log2 x , y = q( x l)的图象如下图所)由图可知，不等式/( x ) 0的解集是( 1, 4 ) .故选：A8 .【 答案】C【 解析】b【 分析】首先根据题意得到直线/： y = ( x -a加一，解得：机= 2或 = T结合图象求得正确答案.，1
16、幅 % (1 ) ，K ,c) ,与 另 一 条 渐 近 线 联 立 得 到 根 据 。为线段12 2a第8页/共19页外的中点得到。匕( 3 c Fbe,再代入双曲线方程求解即可.【 详解】由题知：F ( c, O) ,平行的一条渐近线为y = x ,ab则直线/: y = ( x c) ,ab (、y = _( x - c)a =by = xaCx = 2bey = -2a即尸(W( 3 c be因为。为线段仪的中点，所以下工Q， 2 2化 简 得 济 -9=1，即1= 2,则e = J5 .166r a-故选：C9 .【 答案】B【 解析】【 分析】在平面中求得” 点的轨迹方程，从而求得
17、轨迹的长度.【 详解】由于PO_L平面ABC D O M u平面A 8。 。，所以尸所以 | DM| = d , | MC| = 2 d .在正方形A B C。中，建立平面直角坐标系如下图所示，“ 3 , 0) ,设M( x , y ) ,则需= ；，翳= ：， . C=4Q M.( x -3 )2 + y2 =4x2 +4y2, x2 + , 2+ 2 x -3 = 0, ( x + 1)2 + y2 = 4,所以M点的轨迹是以E ( -1, 0)为圆心，半径为2的圆.第9页/共19页由（ x + l） 2 + V = 4 令 x = 0 ,解得 y = G ，则 网0, -由于| 。闵 =
18、1 ,所 以 /QE F = 1,j r 2 7r所以用点的轨迹在底面正方形内的长度是- x 2 = .3 31 0 .【 答案】D【 解析】【 分析】根据市场占有率转移情况求得正确答案.【 详解】最终达至 稳定市场占有率“ 时，/ 企业该产品的“ 稳定市场占有率 为：0 . 4 x （ l - 0 . 3 - 0 . 3 ） + 0 . 3 x 0 . 6 + 0 . 3 x 0 . 6 = 0 . 52 = 5 2 % .故选：D第 二 部 分 （ 非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 .1 1 .【 答案】卜付2 - 1且x w O 【 解析】【 分析】根据题意得到
19、 求解即可.x + l 02, 1。0【 详解】由题知： 且x x O .x + l 0故答案为：x |x N - l且x /0 .1 2.【 答案】 - 2 . 5【 解析】【 分析】根 据 等 比 数 列 得 到= 4%，解得1 = 一2 ,再计算4= 10，4=一1 0 , % = 1 0 , 6 = - 1 0 ,故 = 5时，S“ 有最大值.故答案为：- 2； 51 3 .【 答案】（ 0 , 4 ）【 解析】【 分析】集合A表示直线上的点，集合B表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围.【 详解】集合A表示直线天一y一， = 0上 点 ，集合8表示圆（ x - l+（y + l
20、） 2 = 2上的点，圆心为M。, 1 ） ,半径R = 0,A c B为2个元素组成的集合，故直线和圆相交, 即1 =V2 ,解得0机 - = ,69 O ,2/3 6 6由于。0,所以的值为4 .故答案为：41 5 .【 答案】 0【 解析】【 分析】求出函数定义域以及导函数/ （ * ） = 2 一2龙 一 由 1 ） = 0可说明正确; 由已知，X尸（ x ） = 0有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出”的范围，判断；根据求根公式，解出 巧 ，结合中解出的a的范围，可得到 0- Q n中2 = - 0 = ( - 2) 2- 4 x 2x ( - a ) = 8 a + 4
21、 0,解 得 一 故 错 误 ;2对于，解方程2 / -2x - a = 0可得，x= 2 /8 + 4 = 1缶 + 1 ,因为苍 / ，所以4 2 J + + l ，由知一, 。0,所以0 2。+ 1 1 ,所以，1,故错误;2 2 2对于，由/ X 0可得，即2 / - 2 x “ 0 ,所以 七，所以/ （ X）在（ 玉, & ） 上单调递增；解八x ） 0可得，0无为或x ,所以/ （ x ）在（ O , x J上单调递减，在（ 乙， +8）上单调递减由知（ 彳2 1 ,所 以 /（ ） /（1 ） = 0，故 正确.故答案为：.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算
22、步骤或证明过程.1 6 .【 答案】（ 1 ）证明见解析也3【 解析】【 分析】（ 1）连接CR交G。 于H ，连接E” ，证明即可.（ 2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面。的法向量为 = （ 2, - 1, 1） ,根据向量的夹角公式计算得到答案.【 小 问1详解】如图所示：连接C。交G。 于 “，连接E” ，第12页/ 共19页DG是CQ中点，E是BC的中点，故u 平面OG石且8 A G E的法向量为 = ( x , y , z ) ,则 ，- n DCt=2y + 2z = 0取y = - i得到= (2 , - i , i ) , = ( 1, 1, 1) ./ n-D F 2
23、 V2直线DF与平面 C , E所成角的正弦值为c os DF) = - 口 = 6 娓 =-17 .【 答案】（ 1） 4 =：或4 = , ；4 4（ 2）答案见解析.【 解析】【 分析】（ 1）由正弦定理边化角可得s in A =匹，即可求出结果；2（ 2）若选：根据已知可得C为钝角，则A为锐角，s inC = s i n A ，三角形唯一，根据两角和10第13页/ 共19页的正弦公式可求出sin 8 =正，根据正弦定理求出a的值，根据S ABc=LbsinC即可求出面积；若选52：根据正弦定理可求出sin B = l, B为直角，三角形唯一确定，可求出C = A ,即可求出1OS AB
24、C = ac = 2 ；若选：由sin A sin B ,可知4 = 3或4 = ，有两解.2 4 4【 小 问1详解】由 2a sin B = 6 b 可得，2sin Asin B = 6 , sin B .因为sinB oO ,所以sinA = 1,又()A兀，所以4 = 1或4 =生 .24 4【 小问2详解】若选：cosC = -Y .10因为0 sin A = sin ( 兀 - A)，7T又一 兀 一 A兀，所以。/5 ,sin 5 sinC smB V5T所以 S ABC cib sin C = x 2x 2/2 x 3y= 6 ；2 2 10若选：a = 2.因为。= 2加 a
25、 ，所以A = ；，由正弦定理一一 = ， 一可得， . D bsinA 2也文三 .4 sin A sin 6 sin 8 = -= - = 1a 2T T因为0 8 si n B，所以/ B ,此时4 = 5或4 =也 ，24 4所以，此 时A B C存在但不唯一.18 .【 答案】( 1)。=0. 018( 2)分布列详见解析，E ( X ) = 0. 6( 3) n m【 解析】【 分析】( 1)根据频率之和为1求得d( 2)根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.( 3)根据平均数、中位数的求法求得加， ，并比较出两者的大小关系.【 小 问1详解】( 0. 004 + 0. 012
26、 + 0. 014 + 0. 024 + 0. 028 + a ) x l0 = l,解得 a = 0. 018 .小问2详解】不超过4 0岁的人的频率为( 0. 004 + 0. 012 + 0. 014 ) x 10 = 0. 3,所以X 8 ( 2, 0. 3) , X的可能取值为01, 2,P( X = 0) = C ； x 0. 3 x 0. 72 = 0. 4 9 ,P( X = 1) = C 2X0. 3X0. 7 = 0. 4 2,P( X = 2) = C ； x 0. 32 x 0. 7 = 0. 09 ,所以X的分布列为：X012P0. 4 90.420. 09所以 E
27、（ X） = 2x 0. 3 = 0. 6 .【 小问3详解】加= 15 x 0. 04 + 25 x 0. 12 + 35 x 0. 14 + 4 5 x 0. 24 + 5 5 * 0. 28 + 6 5 x 0. 18 = 4 6 . 4 岁 .0. 04 + 0. 12 + 0. 14 = 0. 3, 0. 04 + 0. 12 + 0. 14 + 0. 24 = 0. 5 4 , “ c 0. 2 ， 八 25 14 5所以 =4 0 H- - - - - x 10 = 4 0 H- - -=- - - m .0. 24 3 32 219 .【 答案】（ 1） +匕= 14 2（ 2
28、）证明见解析【 解析】第15页/ 共19页【 分析】( 1)根据过点和离心率计算得到椭圆方程.m 2( 2)计算直线方程，联立方程得到。点坐标，再 计 算 勺 = 一 ，k2=- 一 ，相乘得到答案.2 m【 小 问1详解】椭圆七：5+， = 1( 0匕0)过点4 ( - 2, 0) ,离 心 率 为 也 ，故 = 2, g = = = , c - y/2，h yJa2 c2 / 2，椭圆方程为 + = 1 -a 2 2 4 2【 小问2详解】, m + 八、kAP f 直线 AP ： = 了 ( +2) ，联立方程m / 7丁 =小 +2)2 2-1 - - 1I 4 2得到( 8 + /+
29、 4m2x + 4 m2 - 32 = 0,A - 0 加 2方程的一个解为- 2 ,故另外一个解为 一 .8 + 当 16 - 2加2当 x =- - - - - H J,8 + 8 ( 2, 0) , k=R,m ( 16 - 2w2 A 8 机-4- -(- -8- +- - - + 2 ) = 8 + W716 - 2/ 8m、8 + / 8 + ，即C8 m8 + m216 - 2加 28 + m2- 1 ,得证2 0 .【 答案】( 1) ( l + c os l) x - y - l + s inl- c os l = 0( 2) / ( l) = s inl( 3)见解析【 解
30、析】【 分析】( 1)对/ a )求导，求出/ ( l) = s inl, / ( l) = l + c os l,由点斜式方程即可求出答案；( 2)令g ( x ) = / ( x ) = g + c os x , g ( x ) = -5 s inx ,得出g ( x )在 l, e 的单调性，结合零点存在性定理可得“ X )在无 1, a )上单调递增，在x e ( a , e )上单调递减，再 比 较 / ( e )的大小，即可得出答案.( 3)利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论0 x W l , l 乃时，f ( x )的正负，即可得出证明.【 小 问1详解】f(x)
31、 = In x + si n x的定义域为( 0, + 功 ，第16页/ 共19页故 /Xx) = + cosx , /(1) = sin 1, / l) = 1 + cos 1,x所以曲线y = /(x)在点( 1,/)处的切线方程为：y sinl=(l+cosl)(x-1),化简得：(l + cosl)x-y-l + sinl-cosl = 0【 小问2详解】令g( 九 ) = /(x) = ! + cosx, g(x) = - - V -sinx,当xw l,e时，g (x) = ；sinx 0,/ 1 1 2- I 1g (e) = + cos e- + cos = - 0；当 x e
32、(a,e)时，g(x) = /(x ) /(l),所以函数/(x)在区间 l,e上的最小值为/(l) = sinl.【 小问3详解】/(x) = Inx + sinx , x e ( 0,+oo),若0 c x Wl, /,(x) = + cosx0 ,x( 、 1所以/ “ ) 在区间( 0,1上单调递增，又y(l) = sinl0, f = - 1 + sin (),sinxN(),则/(x ) 0 ,若 % 乃 ，因为lnxln% 12-sin光，所以/(x ) 0 ,综上，函数/ * ) 在( 0,+力) 有且仅有一个零点.【 点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调
33、性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.2 1 .【 答案】( 1 )数列A是，数列B不是；( 2 )不存在，理由见解析；( 3 )答案见解析.第17页/ 共19页【 解析】【 分析】（1）根据定义验证% + 1-4 2 2 是否恒成立，即可判断；（2）假设存在，则由已知2 + + J + 3 + 1可推得 + | 一4 -j= .7rl当+时，bn + l-bn = A , 这与假设矛盾，所以不存在；（ 3）根据已知推出a+| Na“ +1 , 进而推出之加， 2 , 21-13 = 82 2 均满足，所以数列A 是PQ） 数列：对于
34、数列8 , 因为5- 兀 bn+ A , 即bn + l-bn A 恒成立.因为 bn+i = bn + + 3 y/n + I ,所 以 %也 =而一心二高 +21 , , 1当“后 时 ，。 , + 1一d 为,所 以 - 4 aM i - 1，am_2 am_x- am- 2 , am_3 am_2- l am- 3）,a2ay- l am - （ zn - 2）, tz, a2- l am - （ /n-1） ,第18页/ 共19页所以q + 2m 2 23/ n 1 1 59- - - - -=3U - - - = 2 2 2 2因为数列 4, 是整数列，所以册+ 机的最小值不小于3
35、0. 八 2 1 。 (假设 a ” + ? = 30,必有I - - - - - - 30 ) 解得 m 12 ,m 2 2 3因为机e N * ,所以机可取9 , 10, 11, 12.当机= 9时， = 21,存在满足条件的数列.10, a ? =1 4 ,=1 5 ,=1 6,。5 = 1 7 ,。6 = 18, c i - j = 19 , 4 Z g 20, c i g = 21；当初= 10时，= 20,存在满足条件的数列.q = 6 , 4= 12, % = 13, % = 14, a5 = 15 , & = 16 , % = 17 , 4 = 1 8 ,佝 =19 , al0
36、 20 ；当机= 11时，。 ,“ =19 ,存在满足条件的数列.q = 5, a, = 1 0 , = 1 1 , “ 4 = 12,。5 = 13, c i = 14, = 15, = 16 , a。= 17 , 6 。= 18,a ” = 19 ；当初= 12时，% = 18,存在满足条件的数列.q = 7 , a、= 8 , c i y = 9 , c i = 10, c i = 11, c% = 12, a1 = 13, = 14, c i g = 15, % o = 16 ,a 1 = 17 , 6 ? 1 2 18.以上都是am + m = 30的充分条件.所以a , “ +根的最小值为30,此时品的所有可能的取值为18, 19 , 20, 21.第19页/ 共19页
