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1、线性代数（第二版）第四节矩阵级数线性代数（第二版）第四节矩阵级数一、矩阵序列和一、矩阵序列和定理定理 4.5 设设设设 A A( (k k) ) 为实数域上的矩阵：为实数域上的矩阵：为实数域上的矩阵：为实数域上的矩阵：A A(1)(1) , , A A(2)(2) , , , , A A( (k k) ) , , 称为称为称为称为矩阵序列矩阵序列，简记为，简记为，简记为，简记为 A A( (k k) ) . .矩阵级数的收敛性质矩阵级数的收敛性质如果矩阵序列如果矩阵序列如果矩阵序列如果矩阵序列 A A( (k k) ) 的对应元的序列的对应元的序列的对应元的序列的对应元的序列 a aij ij
2、( (k k) ) 都有极限，即都有极限，即都有极限，即都有极限，即则则则则称矩阵序列称矩阵序列 A(k) 有极限有极限 A = ( aij )m n , 或或或或这时，也称这时，也称这时，也称这时，也称矩阵序列矩阵序列 A(k) 收敛于收敛于 A .记为记为记为记为否则否则否则否则称称称称矩阵序列矩阵序列 A(k) 发散发散.如果把如果把 n 维列向量看作维列向量看作 n 1 矩阵，则可类似地矩阵，则可类似地定义向量序列定义向量序列 (k) 的收敛性，其中的收敛性，其中 (k) = ( a1(k) , a2(k) , , an(k) )T ( k = 1, 2, ) .例例 1 设设试讨论向
3、量序列试讨论向量序列 (k) 的敛散性的敛散性.例例 2 设设对于矩阵序列对于矩阵序列 A(k) ，可以考虑其各项的和，可以考虑其各项的和的敛散性问题的敛散性问题.一般，一般，称称称称为为为为矩阵无穷级数矩阵无穷级数，简称，简称，简称，简称矩阵级数矩阵级数. .的前的前的前的前 k k项的和项的和项的和项的和称为该矩阵级数的称为该矩阵级数的称为该矩阵级数的称为该矩阵级数的 k 项部分和项部分和. .显然，显然， S(k) 仍是仍是 m n 矩阵序列矩阵序列.如果如果如果如果 S S( (k k) ) 收敛于收敛于收敛于收敛于 S S , , 即即即即时，称时，称时，称时，称该该该该矩阵级数收敛
4、矩阵级数收敛. .否则，称该否则，称该否则，称该否则，称该矩阵级数发散矩阵级数发散. .当矩阵级数当矩阵级数当矩阵级数当矩阵级数收敛于收敛于收敛于收敛于 S S 时，就称时，就称时，就称时，就称 S S 是该是该是该是该矩阵级数的矩阵级数的矩阵级数的矩阵级数的和和. .记作记作记作记作对于对于 n 维维 (列列) 向量序列向量序列 (k) ，可以类似地定，可以类似地定义向量无穷级数及其敛散性义向量无穷级数及其敛散性.例例 3 讨论向量无穷级数讨论向量无穷级数的敛散性的敛散性.其中其中二、矩阵幂级数的收敛性二、矩阵幂级数的收敛性在许多实际应用问题中，常遇到矩阵幂级数在许多实际应用问题中，常遇到矩
5、阵幂级数其中其中 Ak 是是 n 阶矩阵阶矩阵 A 的的 k 次幂，次幂，ak ( k = 1, 2, ) 为为常数常数.定理定理 4.15 设设设设 A A 是是是是 n n 阶矩阵，则阶矩阵，则阶矩阵，则阶矩阵，则 A Ak k O O( ( k k ) ) 的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是 A A 的任一特征值的模都的任一特征值的模都的任一特征值的模都的任一特征值的模都小于小于小于小于 1 . 1 .定理定理 4.16 设设设设 A A 是是是是 n n 阶矩阵，矩阵幂级数阶矩阵，矩阵幂级数阶矩阵，矩阵幂级数阶矩阵，矩阵幂级数收敛的充分必要条件是收敛的充分
6、必要条件是收敛的充分必要条件是收敛的充分必要条件是 A Ak k O O ( ( k k ) . ) .且当且当且当且当收敛时，有收敛时，有收敛时，有收敛时，有本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课,
7、请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内
8、容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本
9、堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.
