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1、三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法 第五节二、定积分的换元法二、定积分的换元法 定积分的积分法 第五五章 一、直接用牛顿一、直接用牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式 高等数学科学版D55定积分的积分法一、直接用牛顿一、直接用牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式 例例1. 计算解解: 原式例例2. 计算解解: 原式高等数学科学版D55定积分的积分法二、定积分的换元法二、定积分的换元法 定理定理1. 设函数单值函数满足:1)2) 在上证证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .是的原函数 , 因此有则则高等数学科学版D55定积分的积分法说明说明: :1) 当 ,
2、 即区间换为定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即或配元配元不换限高等数学科学版D55定积分的积分法例例3. 计算解解: 令则 原式 =且高等数学科学版D55定积分的积分法例例4. 计算解解: 令则 原式 =且 高等数学科学版D55定积分的积分法例例5.证证:(1) 若(2) 若偶倍奇零偶倍奇零高等数学科学版D55定积分的积分法例例6.证证:高等数学科学版D55定积分的积分法例例7.7. 计算解：解：由例 8 可得因而例例8.计算解：解：故高等数学科学版D55定积分的积分法例例9. 设 f (x) 是连续的周期
3、函数, 周期为T, 证明：解解: (1) 记并由此计算则即高等数学科学版D55定积分的积分法(2)并由此计算周期的周期函数则高等数学科学版D55定积分的积分法三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法 定理定理2. 则证证:高等数学科学版D55定积分的积分法例例10. 计算解解: 原式 =高等数学科学版D55定积分的积分法例例11. 证明证明证证: 令 n 为偶数 n 为奇数则高等数学科学版D55定积分的积分法由此得递推公式于是而故所证结论成立 .高等数学科学版D55定积分的积分法内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示: 令则高等数学科学版D55定积分的积分法2. 设解法解法1解法解法2对已知等式两边求导,思考思考:若改题为提示提示: 两边求导, 得得高等数学科学版D55定积分的积分法3. 设求解解:(分部积分分部积分)高等数学科学版D55定积分的积分法作业作业P163 2 (7) , (14) , (15) , (17); 3(1); 4; 7. 高等数学科学版D55定积分的积分法备用题备用题1. 证明 证：是以 为周期的函数.是以 为周期的周期函数.高等数学科学版D55定积分的积分法解：解：2.右端试证分部积分积分再次分部积分= 左端高等数学科学版D55定积分的积分法
