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1、第三章第三章 地下水向完整井的稳定运动地下水向完整井的稳定运动肖 长 来吉林大学环境与资源学院2006-33.1 水井的分类及井流特征3.1.1 水井分类水井（water well）是常用的集水建筑物，用以开采、排泄地下水。可分为水平集水建筑物（排水沟、集水管、集水廊道等）和垂直集水建筑物（钻孔、水井、竖井等）。(1) 按井径大小和成井方法：管井、筒井。管井（pipe well）是直径通常小于0.5m、深度比较大、采用钻机开凿的水井。筒井是直径通常大于0.5m甚至数米、深度比较浅、通常用人工开挖的水井。(2)按揭穿含水层的程度及进水条件：完整井、非完整井完整井(fully penetratin
2、g well)：贯穿整个含水层，在全部含水层厚度上都安装有过滤器并能全断面进水的井。揭穿整个含水层，并在整个含水层厚度上都进水的井。非完整井(partially penetrating well)：未揭穿整个含水层、只有井底和含水层的部分厚度上能进水或进水部分仅揭穿部分含水层的井。未完全揭穿整个含水层，或揭穿整个含水层，但只有部分含水层厚度上进水的井。(3)按揭穿含水层的类型：潜水井、承压水井潜水井潜水井(well in a phreatic aquifer)：揭露潜水含水层的水井。又称无压井。承压水井承压水井(well in a confined aquifer)：揭露承压含水层的水井。又称
3、有压井。当水头高出地面自流时又称为自流井自流井（artesian well,flowing well）；当地下水埋深很大时，可出现承压承压-无压井无压井。(4) 按井工作的方式：抽水井、注水井抽水井抽水井（pumping well）是从井中抽取地下水的水井。注水井注水井（injection well）是将水注入地下的水井。(5) 按井工作时相互影响的程度：单井、干扰井实际上，水井类型可交叉命名，如承压水完整井、潜水非完整井等。图3-1完整井和非完整井（a）-潜水井；（b）-承压水井3.1.2 地下水向井的运动特征3.1.2.1 基本概念(1)水位降深：从井中抽水时，井周围含水层中的地下水向井中
4、运动，井中和井附近的水位降低。设某点（x,y）的初始水头为H0(x,y,0)，抽水t时间后的水头为H(x,y,t)，则该点的水头降低值为s，s= H0(x,y,0)- H(x,y,t),将 S称为水位降深，简称降深(drawdown)。降深亦即抽水井及其周围某时刻的水头比初始水头的降低值。(2)水位降落漏斗：水位降深S在不同的位置上是不同的，井中心降深最大，离井越远，降深越小，抽水井周围总体上形成的漏斗状水头下降区；亦即由抽水（排水）而形成的漏斗状的水头（水位）下降区，称为降落漏斗（cone of depression）。影响半径(radius of influence)是从抽水井到实际观测不
5、到水位降深处的径向距离。DRAWDOWN(1) The act, process, or result of depleting, as a liquid or body of water as in the lowering of the water surface level due to release of water from a reservoir. (2) The magnitude of lowering of the surface of a body of water or of its piezometric surface as a result of withdraw
6、al of the release of water therefrom. (3) The decline of water below the static level during pumping. (4) (Water Table) The lowering of the elevation of the Groundwater Table, usually from pumping wells, but can occur naturally during periods of prolonged drought. At the well, it is the vertical dis
7、tance between the static and the pumping level.CONE OF DEPRESSION (COD)/CONE OF INFLUENCE (COI)A cone-like depression of the water table or other piezometric surface that has the shape of an inverted cone and is formed in the vicinity of a well by withdrawal of water. The surface area included in th
8、e cone is known as the area of influence of the well. Also referred to as the Pumping Cone and the Cone of Drawdown.RADIUS OF INFLUENCEThe radial distance from the center of a well bore to the point where there is no lowering of the water table or Potentiometric Surface (the edge of its Cone of Depr
9、ession).(3) 稳定井流的形成条件：存在补给且补给量等于抽水量。可能形成地下水稳定运动的两种水文地质条件。 有侧向补给的有限含水层中，当降落漏斗扩展到补给边界后，侧向补给量和抽水量平衡时，地下水向井的运动便可达到稳定状态； 在有垂向补给的无限含水层中，随降落漏斗的扩大，垂向补给量不断增大。当其增大到与抽水量相等时，将形成稳定的降落漏斗和地下水的稳定运动；一般，对于无补给的无限含水层，不能达到稳定井流，但在实际观察中，随着抽水时间的延长，水位降深的速率会越来越小，降落漏斗的扩展及其缓慢，当降落漏斗范围内的水位降深在一个较短的时间段内几乎观测不到明显的水位下降，若延长观测时间间隔，仍可以看
10、到水位在缓慢下降，此时，漏斗区内的水流可看作稳定处理，这种状态称为似稳定状态。(4)对于不同类型的抽水井，水量的组成不同。潜水井：降落漏斗在含水层内部扩展，抽水量主要来自含水层的疏干量。承压水井：降落漏斗不在含水层内部发展，而是形成一个承压水头的降低区，抽水量主要靠含水层的弹性释水量来提供。上述抽水过程随着抽水时间的延续，降深不断增大，降落漏斗不断扩展，如无补给源，地下水向井的运动则一直处于非稳定状态。(5)水跃：抽水井中的水位与井壁外的水位之间存在差值的现象（seepage face）。井损（well loss）是由于抽水井管所造成的水头损失。产生水跃的原因：井损的存在：渗透水流由井壁外通过
11、过滤器或缝隙进入抽水井时要克服阻力，产生一部分水头损失h1。水进入抽水井后，井内水流井水向水泵及水笼头流动过程中要克服一定阻力，产生一部分水头差h2。井壁附近的三维流也产生水头差h3。通常将（h1+h2+h3）统称为水跃值.3.1.2.2 潜水井流与承压井流的区别(1) 潜水井流特征： 流线与等水头线都是弯曲的曲线，井壁不是等水头面，抽水井附近存在三维流，井壁内外存在水头差值； 降落漏斗位于含水层内部，水位降落漏斗的曲面就是含水层的上部界面，导水系数T随时间t和径向距离r变化； 潜水含水层水位下降伴有弹性释水和重力疏干，为缓慢排水过程，抽水量主要来源于含水层疏干，称为潜水含水层的迟后效应。(2
12、) 承压水井流特征：流线与等水头线在剖面上的形状不相同，等水头线近似直线，等水头面即为铅垂面，降深不太大时承压井流为二维流；降落漏斗在含水层外部，成虚拟状态变化，但导水系数不随时间t变化；承压井流的抽水量来自承压含水层水头降落漏斗范围内由于减压作用造成的弹性释放，是瞬时完成的。3.1.2.3 稳定井流与非稳定井流的区别稳定井流中，当无垂向补给时，地下水流向井的过程中任一断面的流量都相等，并等于抽水井流量，地下水位h不随时间t变化。非稳定井流中，地下水流向井的过程中，沿途不断得到含水层释放补给，通过任一断面的流量都不相等，井壁处流量最大并等于抽水井流量，地下水位h随时间t而变化，初期变化大，后期
13、变化减小。3.2 地下水向承压水井和潜水井的稳定流动3.2.1承压水井的Dupuit公式3.2.1.1 假设（水文地质概念模型）(1) 含水层为均质、各向同性，产状水平、厚度不变（等厚）、，分布面积很大，可视为无限延伸；或呈圆岛状分布，岛外有定水头补给；(2) 抽水前地下水面是水平的，并视为稳定的；含水层中的水流服从Darcys Law，并在水头下降的瞬间将水释放出来，可忽略弱透水层的弹性释水；（3）完整井，定流量抽水，在距井一定距离上有圆形补给边界，水位降落漏斗为圆域，半径为影响半径；经过较长时间抽水，地下水运动出现稳定状态；(4)水流为平面径向流，流线为指向井轴的径向直线，等水头面为以井为
14、共轴的圆柱面，并和过水断面一致；通过各过水断面的流量处处相等，并等于抽水井的流量。3.2.1.2 数学模型的建立及求解 （3-1）对上式进行积分，得 （3-2a）或 （3-2b）式中：sw井中水位降深(m)； Q抽水井流量(m3/d)；M含水层厚度(m)； K渗透系数(m/d)；rw井半径(m)；R影响半径（圆岛半径）(m)；上式即为承压水井的Dupuit公式。距离抽水井中心r处有一观测孔，其对应水位为H，在rw和r两断面上积分，得到 （3-5）若存在两个观测孔，距离井中心的距离分别为r1,r2,水位分别为H1,H2,在r1 到r2区间积分得： （3-6） 式中 s1、s2分别为r1和r2处的
15、水位降深。式(3-6)也称为Theim公式。它与非稳定井流在长时间抽水后的近似公式完全一致。这表明，在无限承压含水层中的抽水井附近，确实存在似稳定流区。若将(3-3)和(3-6)联立起来，则可得到抽水井附近的承压水水头分布方程或降落曲线方程： （3-7） 式中没有包含Q和K，表明水流相对稳定时，只有给定井内水位和边界水头，抽水井附近的水头分布就确定了，不管渗透系数和抽水量的大小。3.2.2 潜水井的潜水井的Dupuit公式公式如图所示为无限分布的潜水含水层中的一个完整井，经长时间定流量抽水后，在井附近形成相对稳定的降落漏斗。由于降落漏斗是在潜水含水层中发展，存在着垂向分速度，等水头面不是圆柱面
16、，而是共轴的旋转曲面，为空间径向流，对于这类问题用解析法很难求解。为实用目的，对上述潜水井应用Dupuit假设，认为流向井的潜水流是近似水平的，因而等水头面仍是共轴的原柱面，井和过水断面一致，这一假设，在距抽水井r1.5H。的区域是足够准确的。同时认为，通过不同过水断面的流量处处相等，并等于井的流量。这时，漏斗区潜水流的水头分布满足 式。如以潜水含水层的底板作基准面，h=H，并用柱坐标形式表示，则方程简化为 （3-8） 其边界条件和承压水井相似，为h=hw , 当r=rw时，h=H0，当r=R时，对（3-8）式进行积分，得因各断面流量相等,根据通过任意断面的流量可得积分常数： ，故有： 分离变
17、量,按给出的边界条件对上式积分得： （3-9） （3-10） 式中R为潜水井的影响半径,其含义和承压水井的相同。式（3-9）和(3-10)称为潜水井的Dupuit公式。同理,可以分别给出有一个观测孔和两个观测孔时的计算式: （3-11） （3-12） 式（3-12）也称潜水井的Thiem公式。它同Theis公式在长时间抽水后的近似式完全一致。联立求解(3-9)和(3-11)式,同样可得潜水位分布方程(或称为浸润曲线方程)： （3-13） 结果表明,潜水位的分布,同样由边界水位决定,而与流量和渗透系数无关。计算的浸润曲线,仅在rH。区域同实际曲线一致。在rH。区,特别是在井壁处，Dupuit浸润
18、曲线总是低于实际浸润曲线,如图3-4所示。这是因为Dupuit公式没有考虑潜水井存在渗出面,采用了Dupuit假设造成的。下面讨论在三种常见水文地质条件下,如何推广应用Dupuit公式的问题。(1)巨厚含水层中的潜水井。井中降深仅占潜水层厚度的很小部分,在供水井常遇到这种情况。此时,可将潜水井Dupuit公式改写为：当井中降深于是得近似式:可见，已转化为承压水井公式（3-3）。这表明,当含水层很厚而降深相对较小时,潜水含水层可近似地按承压含水层来处理。设距潜水井井r1和r2处的降深分别为S1和S2,则按式(3-12)，有： （3-15） （3-16） 或变为 式中s称为修正降深。这个降深可以出
19、现在等效的承压含水层中。对潜水含水有时采用这种线性化的方法。（2）承压-潜水井公式。在承压水井中大降深抽水时，如果井中水位低于含水层顶版，井附近就会出现无压水流区，变成承压-潜水井。用于疏干的水井常出现这种情况，见图3-5。 图3-5 承压-潜水井可用分段法计算流向井的流量。设距井r=a处为由承压水转变为无压水区，按式（3-11）有： 在径向距离a以外为承压区，按式（3-3）有：从二式中消去lna，即得承压-潜水井公式： （3-16）（3）注水井或补给井。当进行地下水人工补给或利用含水层人工贮能时,有时需要向井中注水。在某些情况下,为了求得含水层参数,也需要进行注水试验。注水井的工作情况正好和
20、抽水井相反。井水位最高,周围水位逐渐降低,成锥体状,如图3-6所示。地下水的运动为发散的径向流。如作粗略的估算,只要把前面几节公式中的水位降深换成水位升高，便适用于注水井。例如,对承压水注水井有: （3-17）对于潜水注水井有： （3-18）二式中的hw-H0为井中的水位升高值。注水和抽水的不同，除了一个是发散的径向流者，一个是收敛的径向流外,还要强者物理条件的区别。抽水时,因井周围的过水断面小,流速大,含水层中的细颗粒将进入井内,因而在井周围常形成一个渗透性增高的地带;而注水井的情况正好相反。井注入的水向井外流动,速度逐渐减小,水流携带的杂质将在一定距离内沉淀在含水层中。水中的某些溶解物质可
21、能和固体骨架或含水层中原有水起作用,产生阻塞。某些细菌也可能在过滤器上生长。因此,在注水井周围往往形成一个渗透性降低的地带。3.2.3 Dupuit公式的应用前面导出的可解决以下两类问题：(1)确定水文地质参数承压井： （3-19） （3-20）潜水井： （3-21） （3-22）利用以上求参公式，将抽水试验趋近稳定时的Q及抽水井或观测孔的水位降深s代入各式，可以直接求出K或T。对于单井抽水条件下，R常采用经验值，也可采用第四章中利用Theis公式导出的近视式进行估算。由于经验值可能给求参结果带来一定的误差，但由于R在公式中以对数的形式出现，因此，对求参的结果影响不大。建议在抽水试验时，应选择
22、在抽水井附近达两个观测孔，利用观测孔的降深资料按Theim公式计算参数。可以避免R值的求取，也可减少抽水井附近井损的影响，求得的参数比较可靠。但两个观测孔不要相距太近，否则当抽水时间不足时，通过观测孔过水断面的流量比抽水井的流量小得多时求出的K会偏大。利用观测孔资料求参，可利用以下公式：对于承压井，利用观测孔1资料，则有：如利用观测孔1和2，则有： 联立求解以上二式，得： （3-23）对于潜水井，采用同样的方法可得： （3-24）利用以上公式求得的R 既可用于条件类似地区只用单井实验的计算中，又可作为设计合理井距的依据。(2) 预报流量或降深根据Dupuit公式，在已知含水层厚度和参数的情况下
23、，只要给出设计的合理降深，既可预报井的开采量；也可按需要的流量，预报开采后的可能降深值。但应注意，利用以上公式预报时，含水层必须有补给源，且能和抽水量平衡，达到稳定流条件；否则，不可能出现稳定流，利用稳定流公式进行预报，所得到的结果是错误的。3.2.4 Dupuit公式的讨论公式的讨论(1)井径和流量的关系Dupuit公式中井径和流量的关系,并不完全符合实际情况。按Dupuit公式,井径对流量的影响不太大,因为井半径rw以对数形式出现在公式中,井径增大时流量增加很少。如井径增大一倍,流量约增加10%；井径增大10倍,流量仅增加40%左右。但实际情况远非如此,井径对流量的影响比Dupuit公式反
24、映的关系要大得多。如冶金工业部勘察总公司在北京南苑试验场进行的井径和流量关系的对比试验,其loonm、l50mm、200mm三种井径的Q-sw关系曲线表示在图3一7中,并得出如下认识:当降深sw相同时,井径增加同样的幅度,强透水岩层中井的流量增加得比弱透水层中的井多;对于同一岩层,井径增加同样的幅度,大降深抽水的流量增加得多,小降深抽水时流量增加得少；对于同样的岩层和降深,小井径时,由井径增加(如100mm增至150mm,或150mm增到200mm)所引起的流量增长率大；中等井径时(如300mm至5OOmm时),增长率减小;大井径时,流量随井径的增加就不明显了。这种现象,理论解释不一。有些学者
25、认为,这是由于井周围的紊流和三维流的影响所致。也有人认为,研究井径和流量的关系,应考虑含水层内流动和井管内流动两个方面。这两个方面是地下水先从含水层流至井壁,再通过井管壁流入管内,并向上运动至吸水口。两种流动是串联关系。前者取决于含水层的透水能力,后者受井管过水能力的制约。如果仅考虑含水层中水的流动,则Dupuit公式中井径和流量的关系是正确的。当含水层的透水性较好或水位降深较大时,含水层有可能提供较大的流量；但受井管的过水能力所限,井径增加时,流量明显增大。这对小口径井特别明显。但当井径已经足够大或含水层的透水性较差时,井管的过水能力对流量的影响已居次要地位,井径和流量的关系就比较符合Dup
26、uit公式。(2) 渗出面(水跃)及其对Dupuit公式计算结果的影响在第一章介绍Dupuit假设时,曾谈到潜水的出口处一般都存在渗出面。当潜水流入井中时也存在渗出面,也称水跃,即井壁水位h,高于井中水位hw(图3一8),而潜水井的Dupuit公式并没有考虑渗出面的存在。渗出面的存在有两个作用:井附近的流线仁等水头面是曲面,只有当井壁和井中存在水头差时,图3一8中阴影部分的水才能进入井)；渗出面的存在,保持了适当高度的过水断面，以保证把流量Q输入井内。否则,当井中水位降到隔水底板时,井壁处的过水断面将等于零,就无法通过流量了。早期,某些学者认为,潜水井的只能降到含水层厚度的一半,并认为此时井的
27、流量最大。这种看法没有考虑渗出面的存在。那么,Dupuit潜水井公式用井内水位hw，是否正确?要不要用井壁水位hs来代替井内水位hw？下面分别从浸润曲线和流量两个方面加以说明。因渗出面的存在,按Dupuit公式算出的浸润曲线(以下简称Dupuit曲线)在井附近低于实际的浸润曲线。杨式德(1949)曾对一潜水井的例子用张弛法求得精确解。结果表明，当 时, Dupuit曲线与用精确解算出的曲线完全一致;当 时,二者开始偏离，到井壁处,实际的浸润面高悬于井内动水位之上。一般说来,在rrw，1/R的数值很小，可以忽略不计，故（3-25）式可以简化为： （3-26）考虑更一般的情况，当地下水运动服从 ，
28、有： 分离变量，并积分得： 令常数a=1/K，则上式可化为： （3-27）如果地下水运动满足Darcy定律，则上式右端第二项为零，即为Dupuit公式。如满足Chezy 公式，则上式右端第一项为零。如令常数 ，rR，HH0，则上式又变为（3-26）式。3.2.5.23.2.5.2潜水井潜水井其流量表示为：同承压井类似，也可导出相应的公式。如1/R可以忽略不计，该式可进一步简化为： （3-28）3.3 3.3 越流含水层中地下水向承压井的稳定流动越流含水层中地下水向承压井的稳定流动3.3.1 地下水运地下水运动动的数学方程及其解的数学方程及其解图3-9表示有越流补给时，在无限承压含水层中的一口完
29、整井。因从井中抽水，造成水头降低，和相邻含水层(图中为潜水含水层)之间产生水头差或将原有的水头差扩大，相邻含水层中的水通过弱透水层越流补给抽水含水层。当抽水延续一定时间后，进入抽水含水层降落漏斗范围内的越流量和抽水量平衡时，水流达到稳定状态。 图3-9 有越流补给时承压含水层中的完整井此时假设:发生越流的潜水含水层,有足够的补给量维持初始水位不变;弱透水层的弹性释放量很小,可以忽略不计,且流向井的水流基本上仍保持水平流动。在此假设条件下,抽水含水层内的水头满足方程（1-84）。对于稳定流动,与该方程相应的以柱坐标表示的方程为： （3-29）把水头改用降深表示,令H。- H = s,并代入上式,
30、经变量代换后得: （3-30）相应的边界条件为:s=0，当r时; ， 当r=rw时方程(3-30)是零阶虚宗量Bessel方程。其通解为： （3-31）式中，为待定系数， 分别为零阶第一类和第二类虚宗量Bessel函数。由边界条件知，当r时， =0，而 0，把它们代入（3-31）式可得a=0。因而有：再考虑井壁边界条件：得：最后得： （3-32）式中的 为一阶第二类虚宗量Bessel函数。在一般越流含水层中,越流因素B都有相当大的值,故实际上rw/B1。对于Bessel函数函数,当x1时，xK1(x)=1(如当x0.02时,误差小于1%)。因此，（3-32）式可简化为 （3-33）式(3-33
31、)式称为Hantus-Jacob 公式。为了便于应用（3-32）式和（3-33）式，列出简单的虚宗量Bessel函数表（3-1）。在抽水井附近，rw/B1。对于第二类虚宗量Bessel函数，当x1时，xK1(x) =ln(1.123/x)。故(3-33)式又可简化为: （3-34）采用此式计算，误差不大。当r/B0.35时，误差小于5%；当r/B0.1时，误差小于1%。下面讨论一下越流量占抽水量的比例。设Qr代表径向距离r处的侧向流入量，则有井的流量为： 取二式比值，并注意当rw/B1时， ，因而有： （3-35）上式表明,侧向流入量占抽水井流量的比例,仅仅和径向距离r与越流因素B的比值有关。
32、 图3-10 Qr/Q与r/B关系曲线（据J. Bear）图3-10为Qr/Q与r/B的关系曲线。由图可以看出,当r=4B时，Qr/Q=0.05，表示侧向流入量（来自该断面到无穷远处的越流量）只占抽水井流量的5%，而95%的抽水井流量是来自r4B地段的越流量。3.3.2 含水层参数计算方法可利用式（3-33）和式（3-34）,根据稳定流抽水试验资料求参数。此时,要求有距抽水井不同距离r的若干个观测孔。测得各观测孔的水位降深后,可用下述方法求导水系数T，越流因素B和越流系数。（1）配线法图3-11 越流含水层稳定流抽水试验的标准曲线（据W.C.Walton）对式 两边取对数，得： 因为 和lgB
33、均为常数，故在双对数纸上， 曲线和 s-r曲线的形状相同因此，在求参时，可先根据表3-1在双对数纸上 做 标准曲线（图3-11），再根据不同的r值，在模数相同的透明双对数 纸上做s-r实际曲线。把实际曲线叠合在标准曲线上，保持二者的坐标轴平行，移动坐标轴，直到二曲线重合时为止。然后在图上任取一点作为匹配点，读出匹配点在二张图上的坐标s、r、K0(r/B)和r/B值，代入以上二式，即可求出参数值。 （3-36） （3-37）(2)直线图解法由近似式（3-34）有: 此式表明,在单对数纸上,s和r为线性关系。如将实测的s取普通坐标、r取对数坐标做图,则应为一直线。直线的斜率 。由此可求得导水系数。
34、 （3-38）直线在零降深线上的截距为r。,即: 显然，只有 =0或 ，由此求得B=0.89r0。3.4 流量和水位降深关系的经验公式前已提到,在评价小型水源地或勘探开采井的单井出水量时,可用理论公式预报。但因水文地质条件的差异性、水流状态和井损的影响,实际抽水中的流量和降深关系，并非完全像理论公式: 所显示的那样为一过原点的直线(承压水井)和二次抛物线潜水井,而常常表现为各种各样的曲线。因此,为使预报的流量符合实际情况,常根据多次降深(或落程)抽水试验得出的Q-sw关系建立经验公式,进行流量预报。大量抽水井的实际资料证明,常见的几种Q-sw曲线类型有直线型、抛物线、幂函数曲线型和对数曲线型。
35、下面分别对这几种曲线类型的经验公式、判别方法、确定用范围加以讨论。3.4.1 直线型反映直线型关系的表达式为: （3-40）它和承压水井Dupuit公式一致。其中,q为待定系数。首先,用图解法判别抽水试验得出的Q-Sw关系曲线的类型。将不同落程的Qi和sw资料点绘在坐标纸上。如果这些点分布在一条直线上,并通过坐标原点时，即可判定为直线型，符合式(3-40)。然后确定系数q。当资料不多，且资料点基本分布在同一直线上时，可直接取直线的斜率确定q值；当资料较多，且点沿直线两侧分布较分散时，可采用最小二乘法确定q值，即使残差平方和为最小,则有： 由此求得待定系数： （3-43）式中，n为抽水试验降深的
36、次数。将所求q值代回(3-40)式,给出井中设计降深se,即可预报流量。3.4.2 抛物线型反映这种曲线的经验公式为: 式中a,b为待定系数。如将公式两边除以Q,则得代表抛物线关系的方程: 由此可见，当用图解法判别抽水试验的关系类型时,只要以sw/Q为纵坐标,以Q为横坐标即可判定为抛物线型,符合经验公式（3一42）。在sw/Q轴上的截距为a,直线斜率为b。当有n个抽水落程时,也可按最小二乘法求待定系数a和b。此时, （3-44） （3-45）3.4.3 幂函数曲线型反映这种曲线的经验公式为：式中，q0, m为待定系数。对上式两边取对数,得: 由此可见，如在双对数坐标纸上绘出Q-sw关系曲线为一
37、直线,则可判定其为函数曲线型，符合经验公式3-45。直线在lgQ轴上的截距为q0，直线斜率的倒数为m值。当有n 个落程资料时，同样可用最小二乘法求待定系数，有： （3-46） （3-47）3.4.4对数曲线型反映这种曲线的经验公式为: （3-48）式中,a和b为待定系数。当用图解法判别抽水试验关系类型时,可在单对数坐标纸上,Q取普通坐标，sw取对数坐标,绘出Q-lgsw关系曲线。若为直线,则可判定为对数曲线型,符合公式（3-48）。Q轴的截距为a,直线的斜率为b。当有n个落程资料时,同样可用最小二乘法确定系数,有： （3-49） （3-50）将上述四种经验公式及其图解归纳为表3-2。当然,在实
38、际抽水试验中,还可能遇到其他类型的曲线,均可用类似的方法处理。建立经验公式的目的就是为了预报流量。通常预报的设计降深往往大于抽水试验降深,因而希望对经验公式进行外推。表3-2一些原苏联学者曾指出，对直线型经验公式,外推降深的最大范围不能超过抽水试验时最大降深的1.5倍,对抛物线型、幂函数曲线型和对数曲线型方程,不能超过1.75-3.0倍。必须指出,经验公式只能说明在观测数据找出变量之间函数近似表达式的。因此，经验公式只能说明在观测数据范围以内的自变量和因变量之间的关系。严格说来,它是不能外推的。因为这种关系不一定就是变量之间真正的函数关系。即使要外推,外推范围也不能过大。考虑到经验公式的上述性
39、质和统计学的有关理论,上述原苏联学者的意见虽然在我国流传很广,由于允许外推范围过大，缺乏依据仍有待商榷。应用时,需慎之又慎,特别是当外推范围较大时。有关具体实例,可参阅文献1或与本书配套的习题集。3.5 地下水向干扰井群的稳定运动3.5.1 叠加原理对于由线性偏微分方程和线性定解条件组成的定解问题,可以运用叠加原理,它对求解干扰井问题和边界附近的井流问题用处很大。因此,有必要先对它做一简单介绍。叠加原理可表述为:如H1,H2,.Hn是关于水头H的线性偏微分方程的特解,C1、C2,.Cn为任意常数,则这些特解的线性组合: （3-51）仍是原方程的解。式3-51中的这些常数,要根据H所满足的边界条
40、件来确定。如方程是非齐次的,并设H。为该非齐次方程的一个特解,H1和H2为相应的齐次方程的二个解,则 H=Ho+ClH1+C2H2 （3-52）也是该非齐次方程的解。常数Cl和C2由H所满足的边界条件确定。下面举一简单例子,具体说明叠加原理的含义。设在河湾处的承压含水层中有抽水井Pl和P2,分别以流量Q=A和Q=B抽水。渗流区D的边界是由河流和渠道组成的第一类边界。边界1上有H=H（！）, 2上为H=H（2）,如图3-12所示。在含水层为均质各向同性,地下水流为稳定流的条件下,水头H满足Laplace方程,并可表示为如下定解条件。 边界条件为： H=H（！）, 在1上；H=H（2）, 在2上。
41、 根据叠加原理,上述定解问题可分解为三个子问题：一是边界条件和原定解问题相同,但渗流区内没有井，即Pl井和P2井的Q=0,此时的解为H1（x,y）(图3-12b)；二是在齐次边界条件下(即1和2上的H=0)，P2井没有抽水，Q=0，Pl井以Q=1抽水，这时的解为H2(x,y)(图3-12c)；三是在齐次边界条件下，P1井的Q=0，只有P2井以Q=1抽水，其解为H3(x,y)(图3-12d)。此时，三个特解的线性组合：H(x,y)=Hl(x,y)+AH2(x,y)+BH3(x,y)，即为原定解问题的解。为了证明这一点,可将上式分别代入偏微分方程和边界条件，有：可见，H=H1+AH2+BH3既满足
42、Laplace方程,又满足全部边界条件,故为原定解问题的解。叠加解的物理意义表示在图3一13中。由图可见,首先求出不存在抽水井时,由边界条件单独影响形成的水头Hl （x,y）;然后,在齐次边界条件下,即假设边界水头均为零(H=0)，分别求出P1井流量为A和P2井流量为B时,单独抽水时产生的降深(负水头值-S1(x,y)和-S2(x,y)。三者叠加H=Hi-S1-S2,便得边界条件和抽水井同作用下的水头值。 图3-13 剖面上解的叠加示意图上述例子可推广到有抽水井或注水井的情况。对非稳定井流,也可作类似分析。综合上例分析，得出以下结论：（1）各个边界条件的作用彼此是独立的。一个边界条件的存在,并
43、不影响其他边界条件存在时所得到的结果（对于初始条件也是如此）。不同类边界条件所造成的结果之间彼此也互不影响。因此，若干个不同类边界条件的综合结果等于各单个边界条件单独作用所得结果的叠加。（2）各抽水井的作用也是独立的。在齐次定解条件下,承压井群产生的降深,等于各井单独产生降深的叠加。（3）潜水含水层的微分方程是非线性的,不能应用叠加原理,但用线性化方法,把描述潜水运动的微分方程线性化后，仍可应用叠加原理。3.5.2 干扰井群无论供水或排水，单井情况比较少见，通常都是利用井群抽水。当井群中各井之间的距离小于影响半径时，彼此间的降深和流量就会发生干扰。干扰的表现是:同样降深时,一个干扰井的流量比它
44、单独工作时的流量要小;欲使流量保持不变,则在干扰情况下,每个井的降深就要增加。即干扰井的降深大于同样流量未发生干扰时的水位降深。干扰的程度,除受含水层性质、补给和排泄条件等自然因素影响外,主要受井的数量、间距、布井方式(和井的结构)等因素的影响。设在无限含水层中任意布置几口抽水井。当群井抽水持续时间较长时,同样会形成一个相对稳定的区域降落漏斗。在此漏斗范围内,第j口井单独抽水对任一点i产生的降深为: 而几口井抽水对i点产生的总降深,按叠加原理有： (3-53)式中,Rj和Qj分别为第j口井的影响半径和流量;rij为第j口井至i点的距离。式（3-53）是干扰井群计算的基本公式。当已知Rj和Qj时
45、,按式（3-53）可以计算任一点i的降深值。如把i点分别移到各井井壁处,可以写出如下几个方程: (3-54)联立求解上述线性方程组,可由给定的各井流量Qj求出各井的降深Sw,或由Sw求出Qj。在各井流量Qj和影响半径 Rj分别彼此相等的特殊情况下,(3一53)可简化为: (3-55)式中, 称为等效距离。类似地，对于越流含水层中的地下水的稳定运动有： (3-56)或 (3-57)对于隔水底板水平的潜水含水层中的井群,为了满足齐次边界条件,对降深项H2-h2进行叠加,故有： (3-58)式中H。为潜水含水层的初始厚度, hi为任意点i处潜水含水层的厚度。其余符号同前。在各井流量和影响半径相等的特
46、殊情况下,（3-58）式同样可化简为： (3-59) (3-60)下面介绍几种规则布井的干扰井群公式。有些公式可直接由（3-55）式和(3-59)式简单变换得出,读者可自行推导。(1)相距为L的两口井,影响半径相等,两井的流量和降深sw1=sw2=s3w相同,则有:承压水井 (3-61)潜水井 (3-62)由上两式可以看出，总流量Q1+Q2等于半径为 的单井流量。但因 rw,在技术上打两口井要比打一口直径很大的井容易些。（2）布置在正方形（边长为L）顶点的四口井，同样有：承压水井 (3-63)潜水井 (3-64)（3）按半径为r的圆周均匀布置n口井。由图3-14中的几何关系知： 其中， 为1号
47、井至2号、3号、各井的距离。 图3-14 沿圆周分布的井群因此有：承压水井 (3-65)潜水井 (3-66)（4）补给边界对称分布的无限井排，如图3-15（a）所示。设井距为，等距分布，井排距两侧补给边界的距离相等，有： 图3-15 补给边界对称分布的无限井排 (a)-平面图；(b)沿x轴的剖面图承压水井 (3-67)潜水井 (3-68)3.6 均匀流中的井3.6.1 井流的表达式在以前各节的井流计算中，都假定抽水前的地下水面是水平的。但在自然界中，绝对水平的地下水面是很少的。当水面坡度不大时，可以近视地当做水平面来处理。如果地下水面有一定坡度，则要考虑地下水流对井流的影响。这里只介绍一种最简
48、单的情况，即承压地下水流为均匀流时(水力坡度和渗透系数均为常数)，一口抽水井的情况。 在一均质各向同性的承压含水层中，含水层厚度M是常数。有一口井位于坐标原点，以定流量抽水。均匀流的方向为-x，渗透速度为v0 。根据前面介绍的叠加原理，这一问题可分解为两个子问题：一是假设不存在抽水井的承压均匀流，水力坡度为常数，如取原点处的水头作为基准面(即原点处的水头为零)，则任一点(x, y)处的水头为H1，则有： 或二是假设初始承压水面为水平时，存在一半径为rw的抽水井H2，按Dupuit公式有： 因取位于原点处抽水井的水位为基准面，故有hw0，上式变为： 将H1和H2叠加，即得原问题的解： （3-69
49、） 这就是均匀流中的承压水井公式。3.6.2 井流方程的用途根据该式可绘出流网，如图3-18所示。流网中有一条分水线和一个驻点(停滞点)。在分水线以内，地下水流向井中；在分水线以外，水向下游流走，而不进入井中。显然，抽水井的稳定流量应等于分水线以内的天然流量。因此，当x增大时，分水线以水平线 为渐近线(图3-16)。所谓驻点，且水流速度 的点。按(3-69)式，在驻点s(xs, ys)处有：由此得驻点的坐标为： 均匀流中注水井的流网如图3-17所示。这时，天然流速 的方向和x轴方向一致。同样也有分水线和驻点。图中的阴影部分表示注水影响的面积，即注水取代了原来的天然水流。3.7 井损与有效井径的
50、确定方法井损与有效井径的确定方法3.7.1 井损的产生及总降深的构成 在抽水井中测得的降深是多种原因造成的水头损失的叠加。用前面各节中公式计算的降深，仅仅代表地下水在含水层中向水井流动时所产生的水头损失。这部分水头损失sw有时称为含水层损失。3-1节提到的井损h。这部分水头损失通常包括三部分： 水流通过过滤器时所产生的水头损失； 水流穿过过滤器时，由接近水平的运动变为滤水管内的垂向运动，因水流方向偏转所产生的水头损失；水流在滤水管内向上运动时，不断有水流入井内，因流量和流速不断增加所引起的水头损失；水流在井管内向上运动至水泵吸水口的沿程水头损失。C. E. Jacob认为，井损值和抽水井流量Q
51、的二次方成正比，即hCQ2，C称为井损常数。因此，总降深sw, t可表示为：sw, t sw十CQ2BQ十CQ2 (3-71)其中，B为系数。稳定流时按Dupuit公式有ln(R/rw)/2piT；非稳定流时，记为B(rw,r)，是时间的函数。 MIRorabangh认为，在井附近和并内可能出现紊流，井损常数和Qn成正比，n可能不等于2。于是(3-71)式可表示为更一般的形式：sw, t BQ十CQn (3-72) 稳定流时，井内的总降探和井损值随抽水井流量的变化的曲线，见图3-18。 图3-18 当B为常数时总降深和井损随流量的变化，井损随流量的变化 迄今为止我们都假定井半径rw的大小对抽水
52、井的降深影响不大，这主要是指B值。对C值是有相当影响的。因为水在井内的流速同井管截面积大小有关，而截面又和井半径的平方成正比，所以井半径对井损有较大的影响。从图3-18中可以看出，当流量较小时，井损很小，实际上可以忽略。但当大流量抽水时，井损在总降深中就占有相当大的比例。3.7.2井损值和有效半径的确定方法井损值和有效半径，可用如下两种抽水试验资料确定。（1）多次降深的稳定流抽水试验。要有三次以上的降深和观测孔资料，将（3-71）式改写为： 由此可知，如以sw, t/Q为纵坐标，Q为横坐标，将三次以上稳定降深的抽水资料点绘在方格纸上，可绘出最佳的拟合直线。直线的斜率为C，直线在纵坐标上的截距为
53、B。于是可求得井损： (3-73) 再将根据观测孔资料求得的参数T和R代入下式中，便可以算出有效半径rw。 (3-74)当大流量抽水，n2时将(3-72)式改写为： (3-75)上式包含三个待定常数B、C和n。因而要用试算法。取一张双对数纸，假设一个B值，以 纵坐标，以Q为横坐标做图。不断改变B值，直到各点在图上能连成一直线时为止。这时的B值即为要求的B值，直线在纵轴上的截距为C，斜率为n-1。求出B、C和n以后，按(3-73)和(3-74)式就可以求得井损和有效半径。 (2) 阶梯降深抽水试验。它同多次降深稳定抽水试验不同之处在于：流量呈阶梯状增加，每一阶段流量为常数，二阶梯之间没有水位恢复
54、阶段，如图3-19所示；每一阶段抽水不一定达到稳定状态，故此多次降深稳定抽水试验节省时间。但也要有观测孔资料用来求参数。应用叠加原理，在第j阶梯的某一时刻t的总降深可写成： (3-76)式中， 为某一时刻t的总降深，t为从抽水开始算起的时间；Qj为j阶梯的流量；ti为i阶梯抽水开始的时间，以第一阶段抽水开始时为零，即t10；Qi为i阶梯的流量，ij；B(rw,t-ti)为同时间有关的系数。如取一固定的时间段t*=t-ti，并以 表示i阶梯抽水t*时间以后，由于流量的增加造成的降深增量(图3-19a)，则按(3-76)式，且因Q00，有： 而 应为实际的 和假设不存在第三个流量阶梯时，由流量Qt
55、一直抽水到t时刻的假想降深 之差。按(3-76)式有： 于是 同理可求得： 由此得三个阶梯的降深增量之和:结果说明，三次降深增量相加的结果，恰好等于一开始就用定流量Q3抽水抽t*时间后应得的降深值。予以推广，可得： (3-77) 图3-19 阶梯降深试验曲线 (据Bear) 根据(3-77)式，可按下列步骤确定井损和有效井半径：(1)取固定的时间t*，一般为12h。然后在图3-19a的降深时间曲线上量取相应时间段的降深增量 。(2) 按(3-77)式计算出和每一流量阶梯相应的降深 ，如 , 等，同时求出每一阶梯的单位降深： (3) 在方格纸上，以 /Qj为纵坐标，以Qj为横坐标做图，求出最佳配
56、合直线(图3-19b)。由直线在纵轴上的截距求得B，由直线的斜率求得C。将C、B代入(3-73)和（3-74）式，便可计算出井损和有效井半径。思考题：1怎样利用登加原理求得(3-76)式?2为什么根据(3-75)式在双对数纸上做图，截距为C，斜率为n-173为什么根据阶梯降深试验求井损要做如此复杂的处理?用稳定流的处理方法求井损行吗?为什么?X!*+36aeimquyCGJNRVZ%)159cgkoswAEILPTX!*+37beimquyCGKNRVZ%)159dgkoswAEIMQTX!*+37bfimquyCGKOSVZ%)159dhkoswAEIMQUX!*+37bfjnquyCGKO
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