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1、8.4 重积分的应用重积分的应用 在前面几节中我们已经介绍了利用重积在前面几节中我们已经介绍了利用重积分可以求空间立体体积以及空间物体的质量，分可以求空间立体体积以及空间物体的质量，本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个应用。应用。砌欠趴闭惊菌战闭呕续蔷杨缸计棘窿邢辱栖台铆糟雍洞惫颖延歉宠包拜憾北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用1售清睬嗅荣味师戈匿滓繁胚兽冀矾东烷捞努忧后会灵彤设殷朵上橱睬承奶北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用2例例1
2、 求半径为求半径为a的且过原点的球面与半顶角为的且过原点的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体（如图）的体积。的内接锥面所围成的立体（如图）的体积。 解解 球心在球心在 z 轴上，又内轴上，又内接锥面的顶点在原点接锥面的顶点在原点O，其轴与其轴与 z 轴重合，轴重合，立体所占有的空间闭区域立体所占有的空间闭区域 可用不等式表示可用不等式表示:Oxyz球面方程为球面方程为 r = 2acos ，锥面方程为锥面方程为 = 。凛聂社鼓炎冀玉铬毡巳换闸跌口餐芥款轨吼聂耐必懒鹊贪闽穴侗滔毋拒济北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用3所以所以Ox
3、yz赫鸳热嫂穗宇孤汝集怎灼越师抽畴聂掂金烙然牌工防章狱看躺匡邵勒津绑北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用4骸酥扮娟栖咀敷纯垫荧谰蜂幌鸽丹诌懒伪擅疆荣狮察书抹磷尊名邀阂胖恃北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用58.4.1 微元法（元素法）微元法（元素法） 如果要求的量如果要求的量U(2) 在在D内任取一直径很小的闭区域内任取一直径很小的闭区域d ，相应，相应的部分量可近似地表示为的部分量可近似地表示为(1) U 对于有界闭区域对于有界闭区域D具有可加性；具有可加性；量量U的元素
4、（微元）的元素（微元）是较是较d 高阶的无穷小高阶的无穷小,(f (x,y)连续时成立连续时成立)则则拭邓袒尊奇绿垃怔阔茎构都粤隧如诧余币靛溺箕醛超邀笑契淮芭革怕前侯北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用68.4.2 曲面的面积曲面的面积 设曲面设曲面S：z =f(x,y),(x,y)D,f 在在D上一阶偏导连续。上一阶偏导连续。(1) S的的面面积积A对对于于D具具有有可加性可加性(2)在在D内内任任取取一一直直径径很很小小的的区区域域d ，在在d 上上任任取取一一点点P(x,y,0)对对应应于于S上一点上一点M(x,y,f(x,y)
5、 。显然显然(3) 过点过点M(x,y,f(x,y)，作，作S的的切平面切平面 。殊凤殆髓厘撵施氏焉沪让搜异结踌扦窄烂阮手窟陡苦兼缄爽毁越斑纸渠授北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用7(4)以以d 的的边边界界为为准准线线作作母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，该该柱柱面面在在曲曲面面S上上截截下下一一小小片片曲曲面面A，在在切切平平面面 上上截下来一小片平面截下来一小片平面dA。再看再看dA与与d 之间的关系之间的关系 由于由于d 直径很小直径很小,fx,fy连续，有连续，有 AdA。曲面曲面S：z =f(x,y),(x,y)D
6、低乙思尧武竖啡党馁揪赐瘟公晋颐啄子傣嘘玻葬局怔促盆淆陕倪绦蛔睁蹬北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用8曲面曲面S：z =f(x,y),(x,y)D曲面曲面S的面积元素的面积元素凸周嫉夸帕廊床阑扮廓掐屋菜方梦楚劈厌巴痪鲸粱炸朴础瞥盲墟媒邱报功北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用9 曲面面积计算公式曲面面积计算公式曲面方程曲面方程: z =f(x ,y) (x,y) Dxy 曲面方程曲面方程: x=g(y,z) (y,z) Dyz呵迎戒挥芦托莆它愚肺泽南丢糕由患雅坝飞放亭团季服荣
7、峙隅灯耘址呢嗓北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用10曲面方程曲面方程: y=h(z,x) (z,x) Dzx咽拾掳咸马误惮否源臣卖廓观身满耶裤乞盛攀醒乍坠宏帆季寐蛆闭震披孜北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用11例例3 求半径为求半径为a的球的表面积。的球的表面积。 xyzoa 因为这函数在闭区域因为这函数在闭区域D上无界，上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。我们不能直接应用曲面面积公式。遮萌凭孵溯蛮至贷攫嚷稍嗓第血赤择娜茨橡阁匀神榆粥聋冕拒悠质机陋玄北京邮电大学高等数学
8、第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用12 取区域取区域D1：x2+y2 b2(0b0)处的单位质量的质处的单位质量的质点的引力点的引力。 P(x,y,0)xyozxy(0,0,a)碗屿盼庙芯皿职轻萧臻蟹站葛断落嘎嚏剩抢菊沂嫁振唇琴品耶舷抑氢肌惊北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用33xyozxy(0,0,a)P(x,y,0)传冻恼程呐悦栈柯甜玉蝶弥职叮梧柜炒彭锁肖墨涛股浦贩滞葱债少估咖田北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用34锭诲椭孰瘪
9、兢埂接琴蜒惕椭浩法颂噬眶桨碉眼票粮饿盂恒碗赋灯间吕咀醋北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用35例例10 求半径为求半径为R的匀质球的匀质球：x2+y2+z2 R2对于位对于位于点于点M0(0,0,a)(a R)处的单位质量的质点的引力处的单位质量的质点的引力。 zxyoa拂陕瞬块味找较懒闹悬舔复西讶拘过拆卜河炸键炳官差滑鸯苇依淌辱近拦北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用36zxyoa做挛敛滁涉淑汛之摇炊耸给奏蓬詹屠崎盎地揩瘪罚芦南锰岳冶怯鸵娩使笔北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用37由球体的对称性易知由球体的对称性易知Fx=Fy=0zxyoa袄乏粪肮取奉撼麦福酵磺门肺袍尺玛墟碍账检螺甜卒辉糙嫩灾顿译毅的耳北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用38迫耙读甄逃败塑朗浮莆额曳粕寒琴栓瞄恢顽俱疏阅埔远咳沫朽襄崎昼察冬北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用北京邮电大学高等数学第08章-6节 重积分的应用39
