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1、1 平面图形的面积 2 由平行截面面积求体积3 平面曲线的长4 定积分在物理学中的应用1 平面图形的面积平面图形的面积 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来本章中我们将用前面学过的定积分的知识来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法解决问题更重要的还在于介绍运用元素法解决问题的定积分的分析方法。的定积分的分析方法。考虑曲边梯形面积计算问题考虑曲边梯形面积计算问题一一 问题的提出问题的提出ab xyo面积表示为定积分要通过如下步骤：面积表示为定积
2、分要通过如下步骤：（3） 求和，得求和，得A A的近似值的近似值（4） 求极限，得求极限，得A A的精确值的精确值两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边的定积分表达式有很好的对应。我们让的定积分表达式有很好的对应。我们让 要想得到一个定积分表达式，只要求出被积要想得到一个定积分表达式，只要求出被积表达式表达式这这就是定积分的元素法就是定积分的元素法二二 定积分的元素法（定积分的元素法（Element Method ）元素法的一般步骤元素法的一般步骤这个方法通常叫做元素法这个方法通常叫做元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧
3、长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等l复习: 定积分的几何意义三、平面图形的面积:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形y=f(x)ab0xy怎样求面积呢？A-AA表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0xxyy00AA2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图结论：几何意义abxyy=f(x)0问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0xy=x22yy0xy=f(x)y=g(x)abl讲授新课:直角坐标系xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积1 1
4、 直角坐标系情形直角坐标系情形穿针法或微元素法穿针法或微元素法被积函数上被积函数上- -下、右下、右- -左左结论:一般地,由上,下两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及两条直线x=a与x=b(ab)所围平面图形的面积计算公式为例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-
5、1解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解解 两曲线的交点，两曲线的交点，面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量解方程组解方程组注注 被积函数为上被积函数为上- -下，上为下，上为 下为下为解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量注注 被积函数为被积函数为“右右- -左左”右为直线，左为抛物线右为直线，左为抛物线如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分
6、面积面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积2 2 极坐标系情形极坐标系情形解解于是于是解解利用对称性知利用对称性知解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积元素法的提出、思想、步骤元素法的提出、思想、步骤. .（注意微元法的本质）注意微元法的本质）四四 小结小结 思考题思考题微元法与定积分的关系是什么？微元法与定积分的关系是什么？平面图形面积的计算方法平面图形面积的计算方法（注直角坐标、参数方程、极坐标）注直角坐标、参数方程、极坐标）2 由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条
7、直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1 1 旋转体的体积旋转体的体积一、一、 空间立体的体积空间立体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为解解直线方程为直线方程为过原点过原点 及点及点解解利用公式利用公式，可知上例中可知上例中2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体
8、积也可用定积分来计算也可用定积分来计算. .立体体积立体体积解解建立坐标系建立坐标系，底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积解解建立坐标系建立坐标系， 底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积3 平面曲线的弧长平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念 平面曲线的弧长平面曲线的弧长定理定理 光滑曲线弧是可求长的光滑曲线弧是可求长的。简介简介 光滑曲线光滑曲线 当曲线上每一点处都具有切线，且切线当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。光滑曲线。就是弧长元素就是弧长元素弧长弧长2
9、直角坐标情形由由第三章的弧微分公式知第三章的弧微分公式知解解所以弧长为所以弧长为设曲线弧为设曲线弧为弧长弧长3 3 参数方程情形参数方程情形解解的全长的全长所以所以曲线弧为曲线弧为弧长弧长4 4 极坐标情形极坐标情形解解1 1光滑曲线的概念光滑曲线的概念.四四 小结小结2 2平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下3 3 弧长的公式弧长的公式4 定积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用一一 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功解解即功元素为即功元素为所求功为所求功为解解建立坐标系如图建立坐标系如图5m3m这一薄层水的重力为
10、这一薄层水的重力为功元素为功元素为(千焦千焦)3m5m二二 水压力水压力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图解解 建立坐标系如图建立坐标系如图L则斜边所在直线方程则斜边所在直线方程由定义域内驻点唯一知当由定义域内驻点唯一知当时所受压力最大时所受压力最大。三、引力三、引力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为小段与质点的距离为小段与质点的距离为引力引力水平方向的分力元素水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为利用利用“元素法元素法”求求（1 1）变力作功（）变力作功（2 2）水压力（）水压力（3 3）引力）引力等物理问题等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）注意熟悉相关的物理知识）四四 小结小结重点是用微元法建立微元，然后积分重点是用微元法建立微元，然后积分五五 思考与判断题思考与判断题吸水作功的吸水作功的“作功微元作功微元”实际上是对实际上是对“微元微元”部分克服重力作功。部分克服重力作功。
