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1、Postulate1: 概率波与概率幅概率波与概率幅一、对物质波的理解，概率波的概念一、对物质波的理解，概率波的概念薛定谔：薛定谔：波是基本的，波是基本的，l波包总要扩散，波包总要扩散，而电子是稳定的。而电子是稳定的。 德布罗意：德布罗意：物质波是引导粒子运动的物质波是引导粒子运动的“导波导波”。 本质是什么，不明确。本质是什么，不明确。电子是电子是“物质波包物质波包”。l通通过过电电子子衍衍射射可可以以在在空空间间不不同同方方向向上上观观测测到到波波包包的的一一部部分分，如如果果波波代代表表实实体体，那那就就意意味味着着能能观观测测到到电电子子的的一一部部分分，这这与与显显示示电电子子具具有
2、有整整体体性性的的实实验验结结果果矛盾。矛盾。 夸大了波动性，抹煞了粒子性。夸大了波动性，抹煞了粒子性。另一种理解：另一种理解： 粒粒子子是是基基本本的的，电电子子的的波波动动性性是是大量电子之间大量电子之间相互作用的结果相互作用的结果。 为为防防止止电电子子间间发发生生作作用用，让让电电子子一一个个一一个个地地入入射射，发发现现时时间间足足够够长长后后的的干干涉涉图图样样和和大大量量电电子同时入射时完全相同。子同时入射时完全相同。 这这说说明明，电电子子的的波波动动性性并并不不是是很很多多电电子子在在空空间间聚聚集集在在一一起起时时相相互互作作用用的的结结果果，而而是是单单个个电电子子就就具
3、具有有波波动动性性。换换言言之之，干干涉涉是是电电子子“自自己己和自己和自己”的干涉。的干涉。 无无论论是是大大量量电电子子同同时时入入射射，还还是是电电子子一一个个一一个个地地长长时时间间地地入入射射，都都只只是是让让单单个个电电子子干干涉涉的的效果在底片上积累并显现出来而已。效果在底片上积累并显现出来而已。一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：700003000200007个电子个电子100个电子个电子电子数电子数 N=7电子数电子数 N=100电子数电子数 N=3000电子数电子数 N=20000电子数电子数 N=70000单个粒子单个粒子在哪一处出现是
4、偶然事件；在哪一处出现是偶然事件；大量粒子大量粒子的分布有确定的统计规律。的分布有确定的统计规律。出现概率小出现概率小出现概率大出现概率大电电子子双双缝缝干干涉涉图图样样底片上出现一个个的点子底片上出现一个个的点子 电子具有电子具有粒子性。粒子性。“一个电子一个电子”所具有的波动性，所具有的波动性， 来源于来源于而不是电子间相而不是电子间相互作用的结果。互作用的结果。随着电子增多，逐渐形成衍射图样随着电子增多，逐渐形成衍射图样一定条件下（如双缝），还是有确定的规律的。一定条件下（如双缝），还是有确定的规律的。玻恩玻恩（M.Born）：子在空间的概率分布的子在空间的概率分布的“概率波概率波”。德
5、布罗意波德布罗意波并不像经典并不像经典波那样是代表实在物理量的波动，波那样是代表实在物理量的波动， 而是描述粒而是描述粒尽管单个电子的去向是概率性的，尽管单个电子的去向是概率性的，但其概率在但其概率在二、波函数及其统计解释二、波函数及其统计解释1、波函数、波函数（wave function）平面简谐波函数：平面简谐波函数： y = Acos( t-kx)复数表示：复数表示：概率波波函数：概率波波函数：2、波函数的统计解释、波函数的统计解释一维一维三维三维物质波是物质波是“概率波概率波”，在空间各处出现的概率呢？在空间各处出现的概率呢？它是怎样描述粒子它是怎样描述粒子 量量子子力力学学假假定定：
6、微微观观粒粒子子的的状状态态用用波波函函数数表示。表示。 玻玻恩恩对对 的的统统计计解解释释(1926) ：波波函函数数 是是描描述粒子在空间概率分布的述粒子在空间概率分布的“概率振幅概率振幅”。其模方其模方代表代表 t 时刻，在坐标时刻，在坐标 附近单位体积中发现一个附近单位体积中发现一个粒子的概率，粒子的概率， rdVx yz 在在t 时刻，在时刻，在 附近附近dV内发现粒子的概率为：内发现粒子的概率为：在空间在空间 发现粒子的概率为：发现粒子的概率为：称为称为“概率密度概率密度”。它无直接的它无直接的物理意义，物理意义，对单个粒子：对单个粒子：不同于经典波的波函数，不同于经典波的波函数，
7、和波函数的位相。和波函数的位相。有意义的是有意义的是给出粒子概率密度分布；给出粒子概率密度分布；对大量粒子：对大量粒子：给出粒子数的分布；给出粒子数的分布； 3、用电子双缝衍射实验说明概率波的含义、用电子双缝衍射实验说明概率波的含义只开上缝只开上缝 P1只开下缝只开下缝 P2双缝双缝 齐开齐开 P12=P1+P2（1）子弹穿过双缝）子弹穿过双缝（2）光波）光波只开上缝只开上缝光强光强 I1只开下缝只开下缝光强光强 I2双缝齐开双缝齐开通过上缝的光波用通过上缝的光波用 描述描述通过下缝的光波用通过下缝的光波用 描述描述双缝双缝 齐开时的光波为齐开时的光波为光强为光强为+干涉项干涉项干涉项干涉项
8、双缝齐开时，电子可通过上缝也可通过下缝，双缝齐开时，电子可通过上缝也可通过下缝，（3）电子）电子 电子的状态用电子的状态用只开上缝时只开上缝时, 电子有一定的概率通过上缝，电子有一定的概率通过上缝，其状态用其状态用 描述，描述，只开下缝时只开下缝时, 电子有一定的概率通过下缝，电子有一定的概率通过下缝，电子的概率分布为电子的概率分布为其状态用其状态用 描述，描述， 电子的概率分布为电子的概率分布为 、 都有。都有。 通过双缝后，通过双缝后，分布是分布是d不是不是c。波函数波函数 描述。描述。通过上、下缝各有一定的概率，通过上、下缝各有一定的概率，出现了干涉。出现了干涉。是由于概率幅的线性叠加产
9、生的。是由于概率幅的线性叠加产生的。即使只有一个电子，当双缝齐开时，即使只有一个电子，当双缝齐开时，两部分概率幅的叠加就会产生干涉。两部分概率幅的叠加就会产生干涉。 微观粒子的波动性，实质上就是概率幅的微观粒子的波动性，实质上就是概率幅的它的状态也要用它的状态也要用 来描述。来描述。衍射图样是概率波的干涉结果。衍射图样是概率波的干涉结果。可见，干涉是概率波的干涉，可见，干涉是概率波的干涉，总的概率幅为总的概率幅为相干叠加性。相干叠加性。4、统计解释对波函数提出的要求、统计解释对波函数提出的要求1）有限性：）有限性：在空间任何有限体积元在空间任何有限体积元 V中找到中找到 归一化：归一化：在空间
10、各点的概率总和必须为在空间各点的概率总和必须为1。 归一化因子归一化因子归一化条件：归一化条件：根据波函数的统计解释，它应有以下性质：根据波函数的统计解释，它应有以下性质：必须为有限值。必须为有限值。粒子的概率粒子的概率若若则则2）单值性：单值性：度在任意时刻、任意位置都是确定的。度在任意时刻、任意位置都是确定的。3）连续性：连续性：波函数应单值，波函数应单值，从而保证概率密从而保证概率密l对对于于势势场场连连续续点点，或或势势场场不不是是无无限限大大的的间间断断点，点，波函数的一阶导数连续。（后面证明）波函数的一阶导数连续。（后面证明）l波函数连续，波函数连续，保证概率密度连续。保证概率密度
11、连续。波函数作出的统计解释，波函数作出的统计解释，获得了获得了1954年诺贝年诺贝玻恩玻恩（M.Born，英籍德国人，英籍德国人，1882 1970）由于进行了量子力学的基本研究，由于进行了量子力学的基本研究，特别是特别是对对尔物理学奖。尔物理学奖。 波波函函数数本本身身“测测不不到到，看看不不见见”，是是一一个个很很抽抽象象的的概概念念，但但是是它它的的模模方方给给我我们们展展示示了了粒粒子子在在空空间间分分布布的的图图像像，即即粒粒子子坐坐标标的的取取值值情情况况。当当测测量量粒粒子子的的某某一一力力学学量量的的取取值值时时，只只要要给给定定描描述述粒粒子子状状态态的的波波函函数数，按按照
12、照量量子子力力学学给给出出的的一一套套方方法法就就可可以以预预言言一一次次测测量量可可能能测到哪个值，以及测到这个值的概率是多少。测到哪个值，以及测到这个值的概率是多少。 对对波波恩恩的的统统计计诠诠释释是是有有争争论论的的，爱爱因因斯斯坦坦就就反反对对统统计计诠诠释释。他他不不相相信信“上上帝帝玩玩掷掷骰骰子子游游戏戏”，认认为为用用波波函函数数对对物物理理实实在在的的描描述述是是不不完完备备的的，还还有有一一个个我我们们尚尚不不了了解解的的“隐隐参参数数”。虽虽然然至至今今所所有有实实验验都都证证实实统统计计诠诠释释是是正正确确的的，但但是是这这种种关关于于量量子子力力学学根根本本问问题题
13、的的争争论论不不但但推推动动了了量量子子力力学学的的发发展展，而而且且还还为为量量子子信信息息论论等新兴学科的诞生奠定了基础。等新兴学科的诞生奠定了基础。 与与自自由由粒粒子子相相联联系系的的德德布布罗罗意意波波，是是一一个个单单色平面波。色平面波。5、自由粒子的波函数、自由粒子的波函数沿沿+x传播的单色平面波，波函数：传播的单色平面波，波函数：复数形式可写成复数形式可写成 微微观观粒粒子子波波函函数数一一般般是是坐坐标标和和时时间间的的复复函函数数，因因此此采采用用复复数数形形式式的的平平面面波波表表达达式式，只只要要把把其其中中描描述述波波动动性性的的参参量量、k换换成成描描述述粒粒子子性
14、性的的参参量量E、p就可以了。就可以了。其中其中由德布罗意关系由德布罗意关系 ，得，得自由粒子波函数：自由粒子波函数：（空间因子）（空间因子）自由粒子波函数：自由粒子波函数：三维：三维：概率密度：概率密度：空间位置完全不确定，动量取确定值空间位置完全不确定，动量取确定值【思考思考】自由粒子波函数能归一化吗？自由粒子波函数能归一化吗？p0：向右：向右p U0 , R0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入非全部透射进入 III 区区,仍有一定概率被反射回仍有一定概率被反射回 I 区。区。 (2)E U0 , T0, 虽虽然然粒粒子子总总能能
15、量量小小于于势势垒垒高高度度，入入射射粒粒子子仍仍可能穿过势垒进入可能穿过势垒进入 III 区区 隧道效应隧道效应E(3) 透射系数透射系数T 随势垒宽度随势垒宽度a、粒子质量粒子质量m 和能量差变化，和能量差变化， 随着势垒随着势垒的的加宽、加高透射系数减小。加宽、加高透射系数减小。 粒子类型粒子类型粒子能量粒子能量势垒高度势垒高度 势垒宽度势垒宽度透射系数透射系数电子电子1eV2eV1eV2eV1eV2eV210-10m510-10m0.024210-10m0.51质子质子310-38 当粒子能量当粒子能量 E Ep0 时，从经典理论来时，从经典理论来看看, 粒子不可能穿过粒子不可能穿过进
16、入进入 的区域的区域 .但但用量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒，用量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒，事实表明，量子力学是正确的事实表明，量子力学是正确的.隧道效应隧道效应 从左方射入从左方射入的粒子，在各区的粒子，在各区域内的波函数域内的波函数中似乎有一个隧道中似乎有一个隧道, 能使少量粒子穿过能使少量粒子穿过而进入而进入 的区的区域，域，此现象此现象人们形人们形象地象地称为隧道效应称为隧道效应. 粒子的能量虽粒子的能量虽不不足以超越势垒足以超越势垒 ,但在势垒但在势垒 隧道效应的本质隧道效应的本质 : 来源于微观粒子的波来源于微观粒子的波粒二象性粒二象性.扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜
17、1982年，宾尼西、罗雷尔年，宾尼西、罗雷尔1986年获诺贝尔奖年获诺贝尔奖通过探测隧道电流来分辨样品的表面特征通过探测隧道电流来分辨样品的表面特征硅表面硅原子的排列硅表面硅原子的排列砷化镓表面砷原子砷化镓表面砷原子的排列的排列碘原子在铂晶体上的吸附碘原子在铂晶体上的吸附 从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有用的形态有关，从物理学的规律来物质制成有用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子甚至原子出发组装制看，不能排除从单个分子甚至原子出发组装制造物品的可能性造物品的可能性如果有一天可以按人的意如果有一天可以按人的意志安排一个个原
18、子，将会产生怎样的奇迹？志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？1959年费曼的演讲年费曼的演讲在底部还有很大的空间在底部还有很大的空间通过移走原子构成的图形通过移走原子构成的图形48 个个 Fe 原子形成电子围栏，原子形成电子围栏，围栏中电子形成驻波。围栏中电子形成驻波。量子围栏照片量子围栏照片 1 9 8 1年宾尼希和罗年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应雷尔利用电子的隧道效应制成制成 了扫描遂穿了扫描遂穿 显显 微微 镜镜 ( ( STM ) ) ，可观测固体表可观测固体表面原子排列的状况面原子排列的状况 . 应用应用 1986年宾尼希又研制了原子力显微镜年宾尼希又研制了原子力显微镜.The
19、 State WavefuctionA free ParticleQuantum Wave: Complex functionClassical Wave: Real functionHermitian OperatorsTime-dependent Schrdinger EqTime-independent Schrdinger Eq1-D CaseLaplace OperatorPotential Well/Box2.2.定态薛定谔方程定态薛定谔方程3.3.能量量子化能量量子化普朗克量子化假设普朗克量子化假设 En=nhv E0= 0说明说明量子力学结果量子力学结果 En=(n+1/2)hv E0= hv/2 零点能零点能一维谐振子一维谐振子1.1.势能函数势能函数m 振子质量，振子质量， 固有频率，固有频率，x 位移位移
