《定积分内容提要与典型例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分内容提要与典型例题（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五讲第五讲 定积分定积分内容提要与典型例题内容提要与典型例题一、主要内容一、主要内容问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程定积分定积分存在定理存在定理反常积分反常积分定定积积分分的的性性质质牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式定定积积分分的的计计算算法法二、内容提要 1 定积分的定义定积分的定义定义的实质定义的实质几何意义几何意义 物理意义物理意义2 可积和可积和 可积的两个可积的两个充分充分条件条件3 定积分的性质定积分的性质线性性线性性可加性可加性非负性非负性比较定理比较定理估值定理估值定理 积分中值定理积分中值定理积分中值公式
2、积分中值公式若若M 和和 m 是是积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分的计算法定积分的计算法（1）换元法）换元法换元积分公式换元积分公式（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式微积分基本公式微积分基本公式 利用对称区间上奇偶函数的性质简化利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算定积分的计算广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分三、典型例题三、典型例题例例求极限（求极限（1）解解解解练习练习: 求极限解：解： 原式如果能把数列的通项写成如果能把数列的通项写成的形式，的形式，就可以
3、利用就可以利用或或把数列极限问题转化为定积分把数列极限问题转化为定积分 的计算问题的计算问题.与数列的极限有着密切联系。与数列的极限有着密切联系。由以上两例可见，连续函数由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分的定积分例例 证明证证: 令则令得故例解例例. 求解解: 令则原式例例. 求解解:解解是偶函数是偶函数, 例例 例例. 设解解: 例例设设 求求解解这是这是 型未定式的极限型未定式的极限解解由由LHospital法则法则a = 0 或或 b =1将将 a = 0 代入知不合题意代入知不合题意, 故故 b =1.例例 试确定试确定 a , b 的值使的值使19例例已知两曲线已知两
4、曲线在点在点处的切线相同处的切线相同,写出此切线方程写出此切线方程,并求极限并求极限解解故所求切线方程为故所求切线方程为例例设在上是单调递减的连续函数， 试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .明对于任何例例 设设 f ( x ) 在在 0,1 上连续，且满足条件上连续，且满足条件例例 设设 f ( x ) 在在 a,b 上连续，且上连续，且证明：方程证明：方程有且只有一个根。有且只有一个根。例例 设设 f ( x ) , g ( x ) 在在 a , b 上连续，证明上连续，证明证证关键在于作出辅助函数关键在于作出辅助函数 F(x)则则 F(a)、
5、F(b) 的符号不易判别，得不出结论的符号不易判别，得不出结论则则 F ( x ) 在在 a , b 上连续，在上连续，在 ( a , b ) 内可导内可导且且F ( a ) = F ( b ) = 0由由 Rolle 定理知：定理知： 辅助函数法辅助函数法证明定积分等式证明定积分等式主主要适用于证明在积分限中至少存在一点要适用于证明在积分限中至少存在一点 使等式成立的命题。使等式成立的命题。移项使一端为移项使一端为 0另一端即为另一端即为验证验证 F(x)满足介值定理或满足介值定理或 Rolle 定理定理 注：注： 例例. 设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 证证: (1) 由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 即 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 例例. 设证证: 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即原等式成立.
