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1、四边形复习学习目标： 复习平行四边形、菱形、矩形、正方形、以及等腰梯形的性质和判定. 四边形四边形四边形四边形 平平平平 行行行行 四四四四 边边边边 形形形形 梯形梯形梯形梯形 等腰梯形等腰梯形等腰梯形等腰梯形 菱形菱形菱形菱形 四边形四边形四边形四边形 边数多于四的多边形边数多于四的多边形边数多于四的多边形边数多于四的多边形矩形矩形矩形矩形正方形正方形正方形正方形正多边形正多边形正多边形正多边形 在在 ABCD 中，中， A=48，BC=3cm，则则B= ， C= ，AD= 。连，则。连，则OCO平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补平行四边形的邻角互补平行四边形的对
2、边相等平行四边形的对边相等 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分O中心对称图形，中心对称图形，中心对称图形，中心对称图形， 但不是轴对称。但不是轴对称。边边角角对角线对角线对称性对称性 ：面积:底X高O如右图的四边形，你能添加条件使如右图的四边形，你能添加条件使它成为平行四边形吗？它成为平行四边形吗？两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定判定对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边
3、形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形D DOOA AB BC C （2）图中有哪些等腰三角形，它们全等吗？）图中有哪些等腰三角形，它们全等吗？ 如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O.（1）若）若AB=6， AC=10，则则BC= ， BD= 。有一个角是直角的有一个角是直角的平行四边形平行四边形是矩形是矩形对角线相等的对角线相等的平行四边形平行四边形是矩形是矩形三个角是直角的三个角是直角的四边形四边形是矩形是矩形矩形的性质矩形的性质矩形的性质矩形的性质边边边边 ：对边平行且相等：对边平行且相等：对边平
4、行且相等：对边平行且相等角：四个角都是直角角：四个角都是直角角：四个角都是直角角：四个角都是直角对角线对角线对角线对角线 ：对角线互相平分且相等：对角线互相平分且相等：对角线互相平分且相等：对角线互相平分且相等对称性对称性对称性对称性 ：中心对称、轴对称：中心对称、轴对称：中心对称、轴对称：中心对称、轴对称 （2）图中有哪些等腰三角形、直角三角形？它们全等吗？）图中有哪些等腰三角形、直角三角形？它们全等吗？ （1）两条对角线）两条对角线AC、BD有什么特定的位置关系？有什么特定的位置关系？ABCDO菱形的性质菱形的性质: 1. 1.边边边边 ：对边平行，四条边都相等：对边平行，四条边都相等：对
5、边平行，四条边都相等：对边平行，四条边都相等. . 如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O. 一组邻边相等的平行四边形一组邻边相等的平行四边形叫做菱形叫做菱形.（3）若在菱形）若在菱形AB=5，BD=6，则，则AC= ，菱形，菱形ABCD的面积为的面积为 。4. 4.对称性对称性对称性对称性 ：中心对称、轴对称：中心对称、轴对称：中心对称、轴对称：中心对称、轴对称3. 3.对角线对角线对角线对角线 ：对角线互相垂直平分：对角线互相垂直平分：对角线互相垂直平分：对角线互相垂直平分2. 2.角：对角相等角：对角相等角：对角相等角：对角相等, ,邻角互补邻角
6、互补5. 5.面积等于两条对角线乘积的一半面积等于两条对角线乘积的一半面积等于两条对角线乘积的一半面积等于两条对角线乘积的一半菱形的判别方法（判定）菱形的判别方法（判定）:一组邻边相等的一组邻边相等的平行四边形平行四边形是菱形是菱形.对角线互相垂直的对角线互相垂直的平行四边形平行四边形是菱形是菱形.四条边都相等的四条边都相等的四边形四边形是菱形是菱形.ABCDO已知：已知： ABCD ，请你再添加，请你再添加一个条件，使它变为菱形吗？一个条件，使它变为菱形吗？若改为任意四边形，你能使它若改为任意四边形，你能使它变为菱形吗？变为菱形吗？边：对边平行、四条边对相等边：对边平行、四条边对相等角：四个
7、角都是直角角：四个角都是直角对角线：对角线互相垂直平分且相等对角线：对角线互相垂直平分且相等对称性：中心对称对称性：中心对称,轴对称轴对称面积：等于边长的平方，也等于一条对角线平方面积：等于边长的平方，也等于一条对角线平方的一半。的一半。D DOOA AB BC C正方形的性质正方形的性质正方形的性质正方形的性质一组邻边相等的矩形是正方形一组邻边相等的矩形是正方形一个角是直角的菱形是正方形一个角是直角的菱形是正方形对角线垂直平分且相等的四边形是正方形对角线垂直平分且相等的四边形是正方形两腰相等的梯形叫做两腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形。ABCD（1）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经）等腰梯形
8、是轴对称图形，对称轴是经过两底的垂直平分线。过两底的垂直平分线。（2）等腰梯形在同一底上的两个内角相等）等腰梯形在同一底上的两个内角相等。（3）等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等轴对称轴对称角角对角线对角线两腰相等的梯形是等腰梯形两腰相等的梯形是等腰梯形.同一底上两底角相等的梯形同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形是等腰梯形.面积梯形中常用辅助线梯形中常用辅助线.EABDC9cm5cm 如图，在平行四边形ABCD中，若BE平分ABC，则ED 如图，在平行四边形ABCD中，CEAB，点E为垂足，如果A=125，则BCE的度数为多少？平行四边形的性质 如图，在平面直角坐标系中，如图，在
9、平面直角坐标系中， OBCD的顶点的顶点 OBD的坐标如图所示，则顶点的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（的坐标为（ ）x xY YCO (0,0)B(5,0)D(2,3)A. (3,7) B. (5,3)C. (7,3) D. (8,2)对角线交点的坐标为（ ， ） 已知平行四边形ABCD中, DAB=120，AB=5，AD=2，若以点A为原点，直线AB为x轴，如图建立直角坐标系，试分别求出B，C，D点的坐标.平面直角坐标系中的特殊四边形问题见课本111页、103页12题. 如图，矩形ABCD中,AC、BD交于点O，AE平分DAB， OAE=15，AC=2cm， 求：（1）BOE的度数；（2）
10、矩形ABCD的周长和面积.矩形的性质 如图，菱形ABCD，周长为20cm，AC=BC，求：（1） ABC和DBC 的度数；（2）菱形ABCD的面积.菱形的性质这个条件还可以怎样得出? 如图，正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则AEB为多少度？（课本P120-1（3） 变式： 如图，正方形ABCD的内侧，作等边ADE，则AEB为多少度？ 正方形的性质 如图，在正方形ABCD中，对角线AC=10，P是AC边上任意一点，点P到对角线AC、BD的距离之和为多少？ 如图，延长正方形ABCD的一边AB到E，使BE=AC. 求E的度数. 如图，正方形ABCD的对角线AC=4，在对角线AC上取三个点，
11、分别向边BC、DC做垂线，求图中阴影部分面积.轴对称性 正方形ABCD，AB=4，E是BC上一点，且BE=1， P是AC上动点.求PE+PB的最小值. 菱形ABCD，AC=12，BD=16，Q是BD上动点.E、F分别是BC、CD中点.则QE+QF的最小值是多少？已知平行四边形ABCD,E、F分别是AD、BC上两点.根据不同条件,求证:四边形BEDF是平行四边形(1)E是AD中点,F是BC中点;(2)AE=CF;(3)BE平分ABC, DF平分ADC;什么变?什么不变?方法的选择.专题九专题九 平行四边形及特殊平行四边形的判平行四边形及特殊平行四边形的判定定D 如图，在平行四边形ABCD中，E、
12、F分别在AD、BC上，且AECF，连接AF交BE于G，连接CE交DF于H. 求证：四边形EHFG是平行四边形.已知平行四边形ABCD,E、F分别是AC上两点.根据不同条件,求证:四边形BEDF是平行四边形(1)AE=CF;(2)AF=CE;(3)BEAC,DFAC;什么变?什么不变?方法的选择. 在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在和的延长线上，且.求证：四边形GEHF是平行四边形.基本图形的组合已知: 平行四边形ABCD,AC、BD交于点O，DE/AC，CE/BD.（源自课本P1215）求证：四边形DOCE是平行四边形. 当ABCD为矩形时,判断DO
13、CE是什么特殊四边形? 当ABCD为菱形时,判断DOCE是什么特殊四边形?熟悉特殊平行四边形独有的特征.利用边和角的特征判定 如图，ABC，AD平分BAC，交BC于D，过D作DE/AC，过D作DF/AB当ABC满足什么条件时,四边形AEDF为正方形平行四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC中点.（1）若AB AC，请你猜想四边形AECF的形状，并证明；（2）若AB =AC，请你猜想四边形AECF的形状，并证明.(1)(2) 如图，ABC中，点O是AC上一个动点，过O作直线MN/BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于F.（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边
14、形AECF为矩形？并证明你的结论；（3）在（2）的基础上， ABC满足什么条件时，四边形AECF能成为正方形？利用对角线的特征判定E、F、M、N分别是正方形ABCD四边所在直线上的点，（1）如图，当E、F、M、N是四边中点时，试判断四边形EFMN的形状.(P121-6)（2）如图，当E、F、M、N在边上，且AE=BF=CM=DN，试判断四边形EFMN的形状.(P103-13)（3）如图，当E、F、M、N在边的延长线上，且AE=BF=CM=DN，试判断四边形EFMN的形状.点的运动数量的变化数量关系不变多种方法：三角形全等中点四边形专题十专题十 与平行四边形有关与平行四边形有关的动态图形中的规律
15、问题的动态图形中的规律问题中点四边形问题 对角线的数量和位置关系决定了中点四边形的形状互相垂直的线与正方形的组合问题变式：正方形ABCD,E是射线BC上动点,AE交正方形外角分线于点F, AEF=90.(1)当E是AB中点时，求证：AE=EF（课本P12215）(2)当E是AB边上任意一点时，结论AE=EF成立吗？(3)当E是AB延长线上的点时，结论AE=EF仍成立吗？如图，AE/BF，AC平分BAD，BD平分ABC，求证：四边形ABCD是菱形.（课本P1026）如图，过平行四边形ABCD对角线交点O任作一条截线，截线绕点O转动到任意位置，你有何发现？证明你的发现.（课本P9213）S ABC
16、D=10S阴影=?“知新温故”课本P10414 如何根据平行四边形的三个顶点寻找第四个顶点？操作与理性分析的结合 如图，已知点A、B、C的坐标，请找出一个点D，使A、B、C、D为平行四边形的顶点，并写出点D的坐标.Rt矩形等腰菱形分类讨论 等腰梯形一底角为60,上、下底分别为8，18，则它的腰为 ，高为 ，面积是 .专题十一专题十一 梯形梯形梯形被看作组合图形,根据条件选择辅助线的做法. 梯形ABCD，AD/BC，B与C互余，AD=5，BC=13， C=60，求梯形面积. 梯形ABCD，AD/BC，B=30，C=45 AD=1，CD= ， 求BC长和梯形面积. 如图，梯形ABCD，AD/BC，
17、B=45， AD= ，CD= ， 求DC长. 如图， 等腰梯形ABCD，AB/DC， AD=BC ，（1） AOB=60 ，BD=10，求梯形面积.（2）AOB=90，CEAB，求证：CE= （DC+AB）. 等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长 已知：四边形ABCD 中，对角线AC、BD ， 交于点O ，且AC=BD ，BOC= 60,求证： 如图，梯形ABCD，AD/BC，ABBC，E是DC中点,判断AEB的形状. 综合题的分析与形成：后面增添的图形对前面图形的影响；复杂图形的分拆. 如图， 等腰梯形ABCD，AB/DC， ACD=60,
18、S、P、Q分别是DO、AO、BC中点.试判断SPQ的形状，并证明你的结论. 如图，菱形 ABCD， DAB=60,过C作CEAC且与AB的延长线交于点E. 求证：四边形AECD是等腰梯形.等腰梯形的判定：定义、定理补充课本P122-14单元内的拓展因动点产生不同图形,根据图形特征求线段问题分类讨论思考顺序平分图形的面积平分图形的面积一、三角形一、三角形二、平行四边形二、平行四边形三、梯形三、梯形18、平分任意四边形、平分任意四边形（1）无条件限制的一条直线）无条件限制的一条直线（2）过边上任意一点作直线）过边上任意一点作直线（3）过四边形内任意一点作直线）过四边形内任意一点作直线（待解）（待解
19、）1、现有如图所示的方角铁皮,工人师傅想用一条直线将它分割成面积相等的两部分,请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案(保留作图痕迹).专题五专题五 勾股定理基本计算与折叠问题勾股定理基本计算与折叠问题1 1、已知两、已知两、已知两、已知两边边或两或两或两或两边边的关系，求第三的关系，求第三的关系，求第三的关系，求第三边边 （1 1）在）在）在）在RtRtABCABC中，中，中，中，C=90C=90 ，AC=5AC=5，BC=12BC=12，则则BC=BC= ，BCBC边边上的高的上的高的上的高的上的高的长为长为 ； （2 2）在）在）在）在RtRtABCABC中，中，中，中，B=90B=90
20、，AB=0.9AB=0.9，BC+AC=2.7BC+AC=2.7，则则BC=BC= ，AC=AC= ； （3 3）在）在）在）在RtRtABCABC中，中，中，中，C=90C=90 ，ACAC：BC=3BC=3：4 4，AB=15AB=15，则则AC=AC= ，BC=BC= ； 2 2、折叠、折叠、折叠、折叠问题问题（1 1）如）如）如）如图图所示，将矩形所示，将矩形所示，将矩形所示，将矩形ABCDABCD沿沿沿沿DFDF折叠，折叠，折叠，折叠，顶顶点点点点D D恰好落在恰好落在恰好落在恰好落在对对角角角角线线DBDB上的点上的点上的点上的点E E处处，已，已，已，已知知知知ADAD=1=1，
21、ABAB=2=2，求，求，求，求BFBF的的的的长长. . （2 2）如）如）如）如图图所示，将矩形所示，将矩形所示，将矩形所示，将矩形ABCDABCD沿沿沿沿AEAE折叠，折叠，折叠，折叠，顶顶点点点点D D恰好落在恰好落在恰好落在恰好落在BCBC边边上的点上的点上的点上的点F F处处，已知，已知，已知，已知ABAB=8=8，BCBC=10=10，求，求，求，求CECE的的的的长长. . 矩形折叠中共性问题：折叠 移线、移角矩形 勾股定理 （方程）（3 3）如）如）如）如图图所示，将矩形所示，将矩形所示，将矩形所示，将矩形ABCDABCD沿沿沿沿ACAC折叠，使点折叠，使点折叠，使点折叠，使
22、点B B落在落在落在落在BB处处，BCBC与与与与ADAD边边交于点交于点交于点交于点D D，且，且，且，且BC=BC=8 8，CE= CE= ，求，求，求，求ABAB的的的的长长. . （4 4）把把把把一一一一张张张张矩矩矩矩形形形形纸纸纸纸片片片片（矩矩矩矩形形形形ABCDABCD）按按按按如如如如图图图图方方方方式式式式折折折折叠叠叠叠，使使使使顶顶顶顶点点点点B B B B 和和和和点点点点D D D D 重重重重合合合合，折折折折痕痕痕痕为为为为EFEFEFEF若若若若AB AB = = 3 3 cmcm，BC BC = = 5 cm5 cm，求重叠部分，求重叠部分，求重叠部分，求
23、重叠部分DEFDEF的面积的面积的面积的面积 A AB BC CF FE ED D（BB）AA（5 5）如如图图，将矩形，将矩形纸纸片片ABCDABCD折叠，得到菱形折叠，得到菱形AECF.AECF.若若AB=3AB=3，求，求BCBC的的长长 （6 6）如如图图，将将矩矩形形纸纸片片ABCDABCD折折叠叠，使使点点D D、B B恰恰好好分分别别落落在在ACAC上上的的点点H H、F F处处,AB=4,BC=3,AB=4,BC=3,求线段求线段EFEF的长的长 . . 3、田村有一口呈四边形的池塘，在它、田村有一口呈四边形的池塘，在它 的四个角的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树田村准备开挖鱼池建养鱼处均种有一棵大核桃树田村准备开挖鱼池建养鱼苗苗，想使池塘面积扩大一倍，又想保持，想使池塘面积扩大一倍，又想保持 核桃树不动，并核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，要求扩建后的池塘成平行四边形形状， 请问田村能否实请问田村能否实现这一设想现这一设想?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理明理 由由OABCDEFGH
