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1、高等数学（上）高等数学（上） 第十三讲第十三讲第一章第一章第八节第八节函数的连续性（函数的连续性（1）教学内容教学内容函数的连续性函数的连续性函数的间断点函数的间断点初等函数的连续性初等函数的连续性备注备注教学要求教学要求理解函数连续与间断的理解函数连续与间断的概念、概念、初等函数的连续性初等函数的连续性掌握判断掌握判断函数间断点的方法函数间断点的方法掌握利用掌握利用函数的连续性函数的连续性求极限求极限教学重点教学重点初等函数的连续性初等函数的连续性教学难点教学难点初等函数的连续性初等函数的连续性11.8 函数的连续性函数的连续性一、一、 连续函数的概念连续函数的概念 自然界中有许多现象自然界
2、中有许多现象, 植物的生长等等植物的生长等等, 都是连续变化着的都是连续变化着的.如气温的变化如气温的变化, 河水的流动河水的流动, 这种现象在函数这种现象在函数 就是函数的连续性就是函数的连续性. 关系上的反映关系上的反映, 例如就气温的变化例如就气温的变化当时间变动很小时当时间变动很小时, 来看来看,气温的变化也很小气温的变化也很小, 就是所谓连续性就是所谓连续性 . 这种特点这种特点注：注：u是是一个记号，是一个不可分割的整体一个记号，是一个不可分割的整体.u可正可正,可负可负,可为零可为零.1.函数的增量（改变量）函数的增量（改变量） 变量变量u从一个初值从一个初值u1变到终值变到终值
3、u2，则，则u2- u1称为变称为变 即即量量u的增量的增量, ,记做记做 . . . .有自变量的增量有自变量的增量 的增量的增量 函数函数02 .连续函数的概念连续函数的概念定义定义1或或0 x定义定义2xy0f (x)函数的连续性函数的连续性f (x0)并且并且A= f (x0)f (x)在在x0连连续续A例例1 1证证由定义由定义2知知3、左连续与右连续、左连续与右连续例例2.2.问问f (x)在在x=0是否连续是否连续.解解: : f (0)=1=1右右连续连续.故故, f (x)在在x=0间断间断.= 1 f (0)不左不左连续连续.图形为图形为xyo11y=f (x)例例3.3.
4、问问a为何值时为何值时, f (x)在在x=0连续连续.解解: : f (0)=3= 3f (x)在在 x = 0右右连续连续.为使为使f (x)在在x=0连续连续, 必须必须 f (00)=f (0)=f (0+0)即即, a=3.故故, a=3时时, f (x)在在x=0连续连续.= a4、连续函数与连续区间、连续函数与连续区间结论结论:基本初等函数在其定义域内都是连续基本初等函数在其定义域内都是连续的的二、函数的间断点二、函数的间断点1、定义、定义例例5 5解解例例6 6解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续
5、点则可使其变为连续点.如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点例例7 7解解例例8 8解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点P72P72习题习题1-81-82 2、(1)(4)(1)(4)，3 3 、1课堂练习课堂练习2、证明函数证明函数y sin x 在区间在区间( )内是连续的内是连续的 1解解根据连续的充要条件，有根据连续的充要条件，有课堂练习解答课堂练习解答 2、证明函数证明函数y sin x 在区间在区间( )内是连续的内是连续的 这就证明了函数这就证明了函数y sin x在区间在区间( )内任意一点内任意一点x都是连续的都是连续的证明证明 设设x为区间为区间( )内任意一点内任意一点 则有则有D Dy sin(x D Dx) sin x因为当因为当D Dx0时时 D Dy是无穷小与有界函数的乘积是无穷小与有界函数的乘积 所以所以
