《量子物理厄米算符》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子物理厄米算符（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、厄米算符厄米算符8/24/202418力学量的测量结果当系统处于某个量子态时，测量力学量当系统处于某个量子态时，测量力学量A将可能得到各将可能得到各种不同的结果，每种结果都有确定的出现概率。种不同的结果，每种结果都有确定的出现概率。如果对大量处于这种状态的系统进行多次测量，所得结如果对大量处于这种状态的系统进行多次测量，所得结果的平均值将趋于一个确定的极限值：果的平均值将趋于一个确定的极限值：由于由于A是厄米算符，这个极限值必定是实数。是厄米算符，这个极限值必定是实数。每一次测量的结果必定围绕平均值涨落。涨落被定义为每一次测量的结果必定围绕平均值涨落。涨落被定义为由于由于A的平均值是实数，的平
2、均值是实数，也是厄米算符。也是厄米算符。如果体系处于这样一种状态，测量如果体系处于这样一种状态，测量A所得所得的结果是一个确定的值，则测量值的涨落的结果是一个确定的值，则测量值的涨落这样的状态叫做力学量这样的状态叫做力学量A的本征态。的本征态。8/24/202428力学量的本征态当系统处于力学量当系统处于力学量A的本征态时，的本征态时，这意味着被积函数必须等于零：这意味着被积函数必须等于零：这个平均值其实是一个确定的值，通常记为这个平均值其实是一个确定的值，通常记为叫做叫做A的的一个本征值，对应的态是一个本征值，对应的态是A的一个本征态，记为的一个本征态，记为上述方程构成算符上述方程构成算符A
3、的本征方程：的本征方程：量子力学有一个基本假定：测量力学量量子力学有一个基本假定：测量力学量A时所有可能得时所有可能得到的结果，都是相应的线性厄米算符的本征值。到的结果，都是相应的线性厄米算符的本征值。当系统处于当系统处于态时，每次测量的结果都是态时，每次测量的结果都是由于厄米算符的平均值必定是实数，因此，厄米算符的由于厄米算符的平均值必定是实数，因此，厄米算符的本征值必定是实数。本征值必定是实数。8/24/202438本征态的正交性如果系统的力学量如果系统的力学量A有两个属于不同本征值的本征态，有两个属于不同本征值的本征态，假定这两个本征态的标积存在：假定这两个本征态的标积存在：厄米算符的属
4、于不同本征值的本征函数彼此正交。厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。如果所考虑的本征函数是归一化的，则有：如果所考虑的本征函数是归一化的，则有：正交归一性可以统一写成正交归一性可以统一写成8/24/202448角动量的本征值问题在球坐标系下考虑角动量的在球坐标系下考虑角动量的 z z 分量的本征值问题。分量的本征值问题。周期性边条件周期性边条件8/24/202458平面转子的能量本征值问题考虑绕考虑绕 z z 轴转动的平面轴转动的平面转子，其哈密顿量为：转子，其哈密顿量为：对应于一个能量本征值对应于一个能量本征值有两个不同的本征态有两个不同的本征态这种多个本征态对应于同一个本征值的情况
5、叫做简并。这种多个本征态对应于同一个本征值的情况叫做简并。平面转子的能量本征态是二重简并的。平面转子的能量本征态是二重简并的。8/24/202468动量的本征值问题在直角坐标系下考虑动量的在直角坐标系下考虑动量的 x 分量的本征值问题。分量的本征值问题。如果粒子的位置不受限制，动量本征值可以取一切可能如果粒子的位置不受限制，动量本征值可以取一切可能的实数值，并且连续变化。而本征函数不能归一化：的实数值，并且连续变化。而本征函数不能归一化：不过，不同本征值的波函数却是正交的：不过，不同本征值的波函数却是正交的：定义如下函数定义如下函数并取并取“归一化归一化”系系数数动量本征函数按以下方式归动量本征函数按以下方式归一化一化8/24/202478自由粒子的能量本征值问题当粒子沿直线自由运动当粒子沿直线自由运动时，其哈密顿量为：时，其哈密顿量为：对于自由运动，能量本征值可以取一切非负的实数值。对于自由运动，能量本征值可以取一切非负的实数值。 对应于一个非零的能量本征值对应于一个非零的能量本征值有两个不同的的本征态有两个不同的的本征态粒子做自由运动时的能量本征态是二重简并的。粒子做自由运动时的能量本征态是二重简并的。8/24/202488
