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1、1.1分类分类加法加法计数原理计数原理与分步与分步乘法乘法计数原理计数原理( (选修选修2 23)3)( (第一课时第一课时) )思考思考：用一个大写的英文字母或一个：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？共能够编出多少种不同的号码？261036你能说说这个问题的特征吗？你能说说这个问题的特征吗？ 最重要特征是最重要特征是“或或”字的出现，每个字的出现，每个座位可以用一个英文字母或一个阿拉座位可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字编号伯数字编号.由于英文字母、阿拉伯数由于英文字母、阿拉伯数字各不相同，所以其编出的号码也
2、不字各不相同，所以其编出的号码也不同同.从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车一从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车一天中，火车有天中，火车有3 3班，汽车有班，汽车有2 2班那么一天班那么一天中，乘这些交通工具从甲地到乙地，共有中，乘这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？因为一天中乘火车有因为一天中乘火车有3 3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2 2种走法，每种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3 32 25 5你能概括上述问题的共同特征吗？你能概括上述问题的共同特征吗？ 分类加法计数原理分类加法计数原理完成一件事，有两类不
3、同方案，在第完成一件事，有两类不同方案，在第1 1类方案中有类方案中有m m种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类方类方案中有案中有n n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事那么完成这件事共有：共有：种不同的方法种不同的方法两类不同方案中两类不同方案中的方法互不相同的方法互不相同例例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，生了解到，A、B两所大学各有一些自己两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学大学B大学大学生物学生物学 数学数学化学化学 会计学会计学医学医学 信息技术学信息技术学物理学物理
4、学 法学法学工程学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？完成一件事情完成一件事情指的是什么？指的是什么？一件事情是指一件事情是指选择一个专业选择一个专业？探究？探究如果完成一件事情如果完成一件事情有有n n类不同方案，在类不同方案，在第第1 1类类方案方案中有中有m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类类方案方案中有中有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类类方案方案中有中有m mn n种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成这件事共有这件事共有 种不同的方法？种不同的方法？思考思考:用
5、一个大写的英文字母用一个大写的英文字母和和一个阿拉伯一个阿拉伯数字，以数字，以A0,A1,的方式给教室里的座位的方式给教室里的座位编号，总共能够编出多少个不同的号码？编号，总共能够编出多少个不同的号码？2610260这个问题与前一个问题有什么不同？这个问题与前一个问题有什么不同？ 完成一件事指的是什么？完成一件事指的是什么？ 得到一个号码必须经过先确定一个英得到一个号码必须经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤两个步骤. 你能列出所有号码吗？你能列出所有号码吗？ 穷举要有规律，要有序穷举要有规律，要有序 从甲地到乙地，从甲地选乘火车到丙地，再于
6、从甲地到乙地，从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有3 3班，汽车有班，汽车有2 2班那么两天中，从甲地到乙地班那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法共有多少种不同的走法 ？ 这这个个问问题题与与前前一一个个问问题题不不同同在在前前一一个个问问题题中中，采采用用乘乘火火车车或或汽汽车车中中的的任任何何一一种种方方式式，都都可可以以从从甲甲地地到到乙乙地地；而而在在这这个个问问题题中中，必必须须经经过过先先乘乘火火车车、后后乘汽车两个步骤乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地，才能从甲地到乙地这里，因为乘火车有这里，因为乘火车有3 3种
7、走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2 2种走法，所种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：3 32 26 6种不同的走法种不同的走法 分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第完成一件事需要两个步骤，做第1 1步有步有m m种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有n n种不同的种不同的方法，那么完成这件事共有：方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法无论第无论第1步采用哪种步采用哪种方法，都不影响第方法，都不影响第2步方法的选取步方法的选取.例例2.某商场有某商场有6个门，如果某人从其个门，如果某人
8、从其中的任意一个门进入商场，并且要求中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？进出商场的方式？如果完成一件事情需要如果完成一件事情需要分成分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2种不同种不同的方法，的方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法？探究？探究分类计数原理与分步计数原理的分类计数原理与分步计数原理的区别与联系区别与联系: : 不同点：分类计数原理
9、与不同点：分类计数原理与“分类分类”有关，有关，各种方法各种方法相互独立相互独立，用其中，用其中任何一种任何一种方法方法都可以都可以完成完成这件事；分步计数原理与这件事；分步计数原理与“分分步步”有关，各个步骤有关，各个步骤相互依存相互依存，只有，只有各个各个步骤都完成步骤都完成了，这件事才算了，这件事才算完成完成 相同点：分类计数原理与分步计数原理都是相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题涉及完成一件事的不同方法的种数的问题. .例例3.书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算本不同的计算机书，第机书，第2层放有层放有3本不同的文艺书，本不同的文艺书，
10、第第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架中任取从书架中任取1本书，有多少种不本书，有多少种不同取法？同取法？(2)从书架的第从书架的第1，2，3层各取层各取1本书，本书，有多少种不同取法？有多少种不同取法？例例4.要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3幅不同的画中选幅不同的画中选出出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？定位置，问共有多少种不同的挂法？小小 结结用两个计数原理解决问题时，要仔细分析用两个计数原理解决问题时，要仔细分析需要分类还是分步需要分类还是分步.分步要做到分步要做到“不重不漏不重不漏”.分类要做到分类要做
11、到“不重不漏不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数用分类加法计数原理求和，得到总数.完成了所有步骤，恰好完成任务，且步与步完成了所有步骤，恰好完成任务，且步与步之间要相互独立之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法分步后再计算每一步的方法数，最后根据分布乘法计数原理，把完成每数，最后根据分布乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数一步的方法数相乘，得到总数.已知集合已知集合A=-2，1，3，B=-3，4，5，-6，从，从A、B中各取一个元素分别中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，则在第一、第作为点的横、纵坐标，
12、则在第一、第二象限中的不同点共有多少个？二象限中的不同点共有多少个？ 6个个设某班有男生设某班有男生30名，女生名，女生23名，现要名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则有多少种不同的选法？加比赛，则有多少种不同的选法？设某班有男生设某班有男生30名，女生名，女生23名，现要名，现要从中选出正、副组长各从中选出正、副组长各1名，则有多少名，则有多少种不同的选法？种不同的选法？1.1分类分类加法加法计数原理计数原理与分步与分步乘法乘法计数原理计数原理( (选修选修2 23)3)( (第二课时第二课时) )分类加法计数原理分类加法计数原理完成一件事，完成
13、一件事，有有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法类办法中有中有m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类办法中有类办法中有m mn n种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事，需要完成一件事，需要分成分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2种种不同的方法，不同的方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同种不同的方法，那么
14、完成这件事共有：的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法练习练习1：乘积：乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项？展开后共有多少项？练习练习2 2：要从甲、乙、丙：要从甲、乙、丙3 3名工人中名工人中选出选出2 2名分别上日班和晚班，有多少名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？种不同的选法？ 例例5.给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用3个字个字符，其中首字符要求用字母符，其中首字符要求用字母AG或或UZ，后两个要求用数字，后两个要求用数字19，问，问最多可以给多少个程序命名？最多可以给多少个程序命名？例例6.核
15、糖核酸（核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有总共有4种不同的碱基，分别用种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示表示.在在一个一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关上的碱基无关.假设有一类假设有一类RNA分子由分子由
16、100个碱个碱基组成，那么能有多少种不同的基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分子？例例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有因此计算机内部就采用了每一位只有0或或1两种数字的记数法，即二进制两种数字的记数法，即二进制.为了使计算为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量
17、单位，每个字是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由节由8个二进制位构成，问：个二进制位构成，问：（1）一个字节（）一个字节（8位）最多可以表示多少个不位）最多可以表示多少个不同的字符？同的字符？（2）计算机汉字国标码（）计算机汉字国标码（GB码）包含了码）包含了6763个个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？例例8.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序员需要知道到
18、底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块一般地，一个程序模块由许多子模块组成组成.如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？问：这个程序模块有多少条执行路径？开始开始结束结束子模块子模块118条执行路径条执行路径子模块子模块245条执行路径条执行路径子模块子模块328条执行路径条执行路径子模块子模块438条执行路径条执行路径子模块子模块543条执行路径条执行路径为减少测试时间，该如何设计测试方法
19、？为减少测试时间，该如何设计测试方法？例例9.随着人们生活水平的提高，某城市家随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个个不重复的英文字母和不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯个不重复的阿拉伯数字，并且数字，并且3个字母必须合成一组出现，个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现，那么这种办个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？法共能给多少辆汽车上牌照？小小 结
20、结用两个计数原理解决问题时，要仔细分析用两个计数原理解决问题时，要仔细分析需要分类还是分步需要分类还是分步.分步要做到分步要做到“不重不漏不重不漏”.分类要做到分类要做到“不重不漏不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数用分类加法计数原理求和，得到总数.完成了所有步骤，恰好完成任务，且步与步完成了所有步骤，恰好完成任务，且步与步之间要相互独立之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法分步后再计算每一步的方法数，最后根据分布乘法计数原理，把完成每数，最后根据分布乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数一步的方法数相乘，
21、得到总数.某电话局管辖范围内的电话号码由八某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是变的，后四位数字都是09之间的一之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？号码最多有多少个？例例. 把四封信任意投入三个信箱中，不把四封信任意投入三个信箱中，不同的投法种数是多少？同的投法种数是多少？已知集合已知集合A=a,b,c，集合，集合B=c,d,e,f，问：，问：（1）可以建立从集合）可以建立从集合A到到B的不同映的不同映射的个数；射的个数；（2）可以建立从集合）可以建立从集合B到到
22、A的不同映的不同映射的个数射的个数.3名同学分别报名参加校数学、物理、名同学分别报名参加校数学、物理、化学、生物竞赛辅导，每人限报其化学、生物竞赛辅导，每人限报其中一门，则不同的报法有多少种？中一门，则不同的报法有多少种？小结小结:解决解决“允许重复排列问允许重复排列问题题”要注意区分两类元素：一要注意区分两类元素：一类元素可以重复类元素可以重复.另一类不能另一类不能重复，把不能重复的元素看作重复，把不能重复的元素看作“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利用乘法原理直接求，再利用乘法原理直接求解的方法称为解的方法称为“住店法住店法”.(1)4名运动员争夺三项冠军名运动员争夺
23、三项冠军(无并列无并列)不同的结果有多少种？不同的结果有多少种？ (2)4名运动员参加三项比赛，每人名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方式有多少限报一项，不同的报名方式有多少种？种？ (3) 1200的自然数中，有多少个的自然数中，有多少个各位数上都不含数字各位数上都不含数字5的个数？的个数？ 1.1分类分类加法加法计数原理计数原理与分步与分步乘法乘法计数原理计数原理( (选修选修2 23)3)( (第三课时第三课时) )用用0 0，1 1，2 2，9 9可可以以组组成成多多少少个个8 8位号码；位号码； 用用0 0，1 1，2 2，9 9可以组成多少个可以组成多少个有重复数字的有
24、重复数字的4 4位整数；位整数； 用用0 0，1 1，2 2，9 9可以组成多少个无可以组成多少个无重复数字的重复数字的4 4位整数；位整数；用用0 0，1 1，2 2，9 9可以组成多少个可以组成多少个8 8位整数；位整数；用用0 0，1 1，2 2，9 9可以组成多少可以组成多少个有两个重复数字的个有两个重复数字的4 4位整数等等位整数等等用用0 0，1 1，2 2，9 9可以组成多可以组成多少个无重复数字的少个无重复数字的4 4位奇数；位奇数；用用0 0，1 1，2 2，9 9可以组成多少可以组成多少个无重复数字的比个无重复数字的比5428154281小的五位数小的五位数问问n元集合元集
25、合A=a1,a2,an共有多少共有多少个不同的子集？个不同的子集？求满足条件求满足条件 的集合的集合A的个数的个数.阅读书本阅读书本1112页探究与发现页探究与发现.问题问题1：集合：集合 ，求满足条件的集合求满足条件的集合A，B的对数的对数.问题问题2：集合：集合 ，且且 ，求满足条件的，求满足条件的集合集合A，B的对数的对数. 例例. .在所有的三位数中，有且只有两个数字在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？相同的三位数共有多少个？例例. 某小组有某小组有10人，每人至少会英语和日语人，每人至少会英语和日语中的一门，其中中的一门，其中8人会英语，人会英语，5人会日语，人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？种选法？（2）从中选出会英语与会日语的各）从中选出会英语与会日语的各1人，人，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？
