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1、解直角三角形及其实际应用解直角三角形及其实际应用1、我们登山、我们登山时，平缓的坡时，平缓的坡感觉轻松，陡感觉轻松，陡的坡感觉吃力，的坡感觉吃力，怎样用数量关怎样用数量关系来衡量一个系来衡量一个斜坡的倾斜程斜坡的倾斜程度呢？度呢？新课引言新课引言2 2、一个双休日，小芳和、一个双休日，小芳和小花进行登山活动，活动小花进行登山活动，活动路线如图所示，小芳沿着路线如图所示，小芳沿着BABA的方向上山，小花沿着的方向上山，小花沿着CACA的方向上山。想一想图的方向上山。想一想图中哪个山坡比较陡？你的中哪个山坡比较陡？你的依据是什么？依据是什么？1、坡度的定义：如图，从山坡脚、坡度的定义：如图，从山坡
2、脚下的点下的点P走到点走到点N时，升高的高度时，升高的高度为为h（即线段（即线段MN的长）与水平前的长）与水平前进的距离（即线段进的距离（即线段PM的长）的比的长）的比叫叫坡度坡度，用字母，用字母i表示，即：表示，即：i=主题讲解主题讲解主题一、坡度、坡角的概念主题一、坡度、坡角的概念2、坡度常见的形式、坡度常见的形式坡度一般写成坡度一般写成的形式。这种的形式。这种形式的作用：形式的作用：由此知道水平距离是垂直高度的由此知道水平距离是垂直高度的m倍。倍。3.3.坡角：斜坡与水平面的夹坡角：斜坡与水平面的夹角叫坡角。图中角叫坡角。图中NPMNPM4.4.坡度与坡角有什么关系？坡度与坡角有什么关系
3、？主题二、坡度坡角的初步应用主题二、坡度坡角的初步应用 一山坡的坡度一山坡的坡度i=1:1.8,小刚小刚从山坡脚下点从山坡脚下点P上坡走了上坡走了240m到达点到达点N，他上升了多少米，他上升了多少米（精确到（精确到0.1米）？这座山坡的米）？这座山坡的坡角是多少度（精确到坡角是多少度（精确到1）试试看：试试看：解：用解：用表示坡角的大小，表示坡角的大小，由于：由于：, 293在直角三角形在直角三角形PMN中，中，M=90,P=293,PN=240m，sin=MN=240sin293116.5(m)答：小刚上升了约答：小刚上升了约116.5m,这座山坡的这座山坡的坡角约等于坡角约等于293你还
4、有别你还有别的方法吗的方法吗？.沿水库拦水坝的背水坡将坝沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽顶加宽2m,坡度由原来的坡度由原来的1：2改为改为1：2.5，已知坝面高，已知坝面高6米，米，坝长坝长50米，（米，（1）求加宽部分）求加宽部分横断面横断面AFEB的面积。（的面积。（2）完成这一个工程需要多少方完成这一个工程需要多少方土？土？例例1有一拦水坝的横断面是等腰有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为梯形，它的上底长为6m,下底长下底长为为10m,高为高为2m,那么此拦水那么此拦水坝的坡度和坡角分别是多少？坝的坡度和坡角分别是多少？主题三、坡度、坡角的实际应用主题三、坡度、坡角的实际应用例例2.
5、拦洪坝的横断面为梯形拦洪坝的横断面为梯形ABCD,已知上底已知上底BC=5m,迎水坡度迎水坡度=1:,背水坡度背水坡度i=1:1,坡坡高为高为4m，求（，求（1）下底）下底AD的长（精确到的长（精确到m）,(2)迎水坡迎水坡CD的长。（的长。（3）坡角）坡角，解解:tan=1: =30CD=2CE=24=8m，由，由CE:DE=1:,DE=CE=4RtBFA中，中，tanA=1:1,B=45,AF=BF=EC=4m.AD=DE+EF+FA=DE+CB+FA=4+5+4=9+4如图，水坝横断面为梯形，如图，水坝横断面为梯形，梯形上底长梯形上底长3米，高米，高4米，米，又水坝迎水坡、背水坡坡又水坝
6、迎水坡、背水坡坡度分别为度分别为1：，和，和1：1求求水坝横断面积。水坝横断面积。（结果用根号表示）。（结果用根号表示）。变式练习：变式练习：小结小结解坡度问题，关键是要知道坡解坡度问题，关键是要知道坡度和坡角的概念及坡度坡角的关系。度和坡角的概念及坡度坡角的关系。利用坡度的概念借助三角函数就可以利用坡度的概念借助三角函数就可以轻松的求解。轻松的求解。如图，一颗大树在一次强烈的台风中与如图，一颗大树在一次强烈的台风中与地面地面10米处折断倒下，树顶落在离树根米处折断倒下，树顶落在离树根24米处，问大树在折断之前高多少米？米处，问大树在折断之前高多少米？思考思考（1）这个问题转化为几何问题就是）
7、这个问题转化为几何问题就是:已知已知:求求:_新课引言新课引言RtABC中，中，C=90,AC=10m,BC=24m.AC+AB这个问题转化为数学问题这个问题转化为数学问题就是已知直角三角形的两条直角就是已知直角三角形的两条直角边，求斜边和一直角边的和的问边，求斜边和一直角边的和的问题，关键是求出斜边。可以利用题，关键是求出斜边。可以利用勾股定理求出勾股定理求出AB。所以解直角。所以解直角三角形应用问题，关键是把实际三角形应用问题，关键是把实际问题问题转化为直角三角形问题。转化为直角三角形问题。例例1.如图，一艘游船在离开码头如图，一艘游船在离开码头A后，以和后，以和河岸成河岸成20角的方向行
8、驶了角的方向行驶了500m到达到达B处，处，求求B处与河岸的距离（精确到处与河岸的距离（精确到1m）主题讲解主题讲解主题一主题一1.与水平面有关的问题与水平面有关的问题解：在解：在RtABC中，中，AB=500,A=20SinA=,BC=ABsinA=500sin20171(m)答：答：B处与河岸的距离约为处与河岸的距离约为171m例例2.如图，在高为如图，在高为28.5m的楼顶平台的楼顶平台D处，用仪器处，用仪器测得一路灯电线杆底部测得一路灯电线杆底部B的俯角为的俯角为142，仪器高，仪器高度度AD为为1.5m，求这根电，求这根电线杆与这座楼的距离线杆与这座楼的距离（精确到（精确到1m）。）
9、。主题二、垂直方向的问题主题二、垂直方向的问题解：解：RtABC中，中，C=90，AC=AD+DC=28.5+1.5=30(M)BAC=90-15=75tan75=BC=30tan75112(m)答：这根电线杆与这座楼高距离约答：这根电线杆与这座楼高距离约为为112m.如图所示，如图所示，A、B两城市相距两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段路（即线段AB），经测量森林保护中），经测量森林保护中心心P在在A城市的北偏东城市的北偏东30和和B城市的北城市的北偏西偏西45的方向上的方向上.已知森林保护区的已知森林保护区的范围在以范围在以
10、P点为圆心，点为圆心，50km为半径的为半径的圆形区域内圆形区域内.请问：计划修筑的这条高请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区速公路会不会穿越保护区.为什么？为什么？答：森林保护区的中心与直线变式练习变式练习则则APC=30，BPC=45，AC=PCtan30,BC=pctan45AC+BC=AB,PCtan30+pctan45=100PC63.450C解：过点解：过点P作作PCAB，C是垂足，是垂足，答：这条高速公路不会穿越保护区答：这条高速公路不会穿越保护区 2、如图是某货站传送货物的平面示意图、如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送
11、带与地面的传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由夹角，使其由45改为改为30.已知原传送带已知原传送带AB长为长为4米米.（1 1）求新传送带）求新传送带ACAC的长度；的长度；（2 2）如果需要在货物着地点）如果需要在货物着地点C C的左侧留出的左侧留出2 2米的通道，试判米的通道，试判断距离断距离B B点点4 4米的货物米的货物MNQPMNQP是否是否需要挪走，并说明理由需要挪走，并说明理由分析：过分析：过A点做点做ADCB于于D，构造直角三角形。问题的关键构造直角三角形。问题的关键是求是求AC,BC,可以先解直角三角可以先解直角三角形形ABD,求出求出AD,BD,再解
12、直角再解直角三角形三角形ABC求出求出AC,CD，从而，从而就可以求出就可以求出BC.小结小结解与直角三角形应用问题时，关键解与直角三角形应用问题时，关键是把实际问题转化为几何问题，要善于是把实际问题转化为几何问题，要善于分析题意，找到已知哪个直角三角形中分析题意，找到已知哪个直角三角形中的什么量。要求什么量。利用什么关系的什么量。要求什么量。利用什么关系求。求。某中学九年级学生在学习某中学九年级学生在学习“直角三角形直角三角形的边角关系的边角关系”一章时，开展测量物体高一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度如图，他们先在点学楼的高
13、度如图，他们先在点C测得教测得教学楼学楼AB的顶点的顶点A的仰角为的仰角为30，然后向教，然后向教学楼前进学楼前进60米到达点米到达点D，又测得点，又测得点A的仰的仰角为角为45。请你根据这些数据，求出这幢。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度教学楼的高度(计算过程和结果均不取计算过程和结果均不取近似值近似值)作业作业2.如图所示，小华同学在如图所示，小华同学在距离某建筑物距离某建筑物6米的点米的点A处处测得广告牌测得广告牌B点、点、C点的点的仰角分别为仰角分别为52和和35，则，则广告牌的高度广告牌的高度BC为为_米米小明和小亮双休日到郊外去放风筝，一路上小明和小亮双休日到郊外去放风筝，一
14、路上谈笑风生，谈笑间，他们发现手中风筝图案是一谈笑风生，谈笑间，他们发现手中风筝图案是一个特殊图形个特殊图形-等腰三角形，随后便量了量三角等腰三角形，随后便量了量三角形的腰长形的腰长0.4m，底角，底角20，你能求出风筝的肩宽，你能求出风筝的肩宽多少吗？多少吗？新课引言新课引言D解：已知解：已知ABCABC中，中，AC=BC=0.4mAC=BC=0.4m A=20 A=20 , ,作作CD ABCD AB于于D D。则。则AD=DB,AD=DB,由由cosA=AD/AC,cosA=AD/AC,得：得：AD=AC AD=AC COSA=0.4 COSA=0.4 COS20 COS20 0.38
15、0.38 AB=2AD 0.76m AB=2AD 0.76m答：风筝的肩宽约为答：风筝的肩宽约为0.38m.0.38m.例例1在梯形在梯形ABCD中，中，DCAB，AD=BC,A=60,CD=8cm,AB=16cm,你能求出它的你能求出它的腰吗？腰吗？解：作解：作DEAB于于E，则则AE=(AB-DC)/2=(16-8)/2=4.由由cosA=AE/AD,得：得：AD=AE/COSA=4/COS60=8(cm)主题讲解主题讲解主题一、与梯形有关的问题主题一、与梯形有关的问题E【例例2】如图，一座楼房的顶如图，一座楼房的顶层阳台上方的屋檐成等腰梯形，层阳台上方的屋檐成等腰梯形，上底长上底长2.0
16、m，下底长，下底长3.6m，一腰长一腰长1.9m,求等腰梯形的高。求等腰梯形的高。（精确到（精确到0.1m）以及一腰与）以及一腰与下底成的角（精确到下底成的角（精确到1）。）。解：在等腰梯形解：在等腰梯形ABCD中，中，DC=2.0,AB=3.6,AD=CB=1.9作作DEAB垂足为垂足为E。则则AE=DE=COSA=0.4211,A=656答：梯形的高约为答：梯形的高约为1.7m,一腰与底边的夹角为一腰与底边的夹角为656E例例3.若菱形的周长为若菱形的周长为24cm,两相邻角两相邻角的度数之比为的度数之比为1：2，则菱形的面积为，则菱形的面积为_cm2主题二、与菱形有关的问题主题二、与菱形
17、有关的问题【例例4】菱形菱形OABC在平面直角坐标系中的位在平面直角坐标系中的位置如图所示，置如图所示，AOC=45,OC=，则点，则点B的坐标为（的坐标为（）c1.如图，梯形如图，梯形ABCD中，中，ADBC,AB=DC,AD=6,BC=14,SABCD=40,求求tanB。解：作解：作AEBC,垂足为垂足为E,则则有有AE(AD+BC)/2=40,得：得：AE=80(AD+BC)=80(6+14)=4BE=(BC-AD)/2=(14-6)/2=4tanB=AE/BE=4/4=1E变式练习变式练习2、一段路基的横断面是、一段路基的横断面是梯形，高为梯形，高为4.2m，上底，上底的宽为的宽为1
18、2.51m，路基坡，路基坡面与地面成的角分别是面与地面成的角分别是28，32，则路基下底，则路基下底的宽为的宽为_。27.3m1、如图，、如图，AC是某市环城路的一段，是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与都是南北方向的街道，其与环城路环城路AC的交叉路口分别是的交叉路口分别是A，B，C经测量花卉世界经测量花卉世界D位于点位于点A的北偏东的北偏东45方向、点方向、点B的北偏东的北偏东30方向上，方向上，AB2km，DAC15（1）求）求B，D之间的距离；之间的距离；（2）求）求C，D之间的距离之间的距离作业作业2、某地震救援队探测出某建、某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点筑物废墟下方点C处有生命迹处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探象，已知废墟一侧地面上两探测点测点A、B相距相距3米，探测线米，探测线与地面的夹角分别是与地面的夹角分别是30和和60（如图），试确定生命所（如图），试确定生命所在点在点C的深度（结果精确到的深度（结果精确到0.1米）米）
