《数学新设计北师大选修11课件：第三章 变化率与导数 3.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新设计北师大选修11课件：第三章 变化率与导数 3.3（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3计算导数1.导数(导函数)对于函数f(x)在区间上的每一点x处,满足:(1)导数f(x)存在;称f(x)为f(x)的导函数,简称为导数.名师点拨导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点处的导数,就是求函数在某点处的导数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在x0处的导数就是导函数f(x)在x0处的函数值.【做一做1】若f(x)=2x2+3x+1,则f(x)=,f(1)=,f(-2)=.解析:y=f(x+x)-f(x)=2(x+x)2+3(x+x)+1-2x2-3x-1=2(x)2+4xx+3x,当x=1时,f(1)=7,当x=-2时,f(-2)=
2、-5.答案:4x+37-52.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 名师点拨由于根式函数可以转化为幂函数的形式,因此可以利用幂函数的导数公式解决根式函数的求导问题.一般地,对于函数思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)若f(x)=x3,则f(1)=1.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二【例1】已知直线y=kx-4是曲线y=x2的一条切线,求实数k的值.分析根据导函数的几何意义,曲线上某点处的导数值即为曲线在该点处的切线的斜率.探究三思维辨析探究一探究二反思感悟1.函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念,在点x0处的导数是函数的导数在
3、x=x0处的函数值.2.求函数的导数共三个步骤:(1)求函数的增量x=f(x+x)-f(x);探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二【例2】求出下列函数的导数.分析分清函数类型,按求导公式求解,其中(3)(4)要先变形,再利用公式.解(1)y=(ex)=ex.(2)y=(10x)=10xln 10.(3)y=(x2x3)=(x5)=5x4.探究三思维辨析探究一探究二反思感悟利用求导公式求函数的导数的两个关注点(1)解决函数的求导问题,要牢记求导公式,这是保证计算正确的前提.(2)对较为复杂的函数应先利用代数恒等变换对函数解析式进行化简或变形,如根式化成分数指数幂的形式等.探究三思
4、维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析分析先求切线方程求切线的横纵截距利用面积公式列方程求a探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟导数的综合应用的解题策略(1)导数在实际问题中的应用非常广泛,如运动物体在某一时刻的瞬时速度等,解决此类问题的关键是正确理解导数的实际意义,准确求出导数.(2)利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题的关键是正确确定切线的斜率,进而求出切点坐标.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-
5、8,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程.解由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,令x=2-x,得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,即2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4,联立f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得f(x)=x2,f(x)=2x,f(2)=4,即所求切线斜率为4,切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.探究一探究二探究三思维辨析因记错公式导致求导失误【典例】给出下列结论:(cos x)=sin x;其中正确的有.易错分析此类问题出错的主要原因是基本初等函数的导数公式记忆有误,关键是不能熟练掌握和应用导数公式,故需加
6、强记忆,求导问题先要对函数式进行合理变形,再套用求导公式求解.探究一探究二探究三思维辨析答案: 探究一探究二探究三思维辨析变式训练给出下列结论:(3)若f(x)=3x,则f(1)=3.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个D.3个答案:C1 2 3 4 5答案:D 1 2 3 4 52.观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于()A.f(x)B.-f(x) C.g(x)D.-g(x)解析:观察上述式子,可知偶函数的导函数是奇函数,因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以g(x)为奇函数,故g(-x)=-g(x).答案:D1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 55.求过点Q(2,9)且与曲线y=2x2+3相切的直线方程.解点Q(2,9)不在曲线上,故设过点Q的切线的切点为T(x0,y0),由已知得y=4x,则切线的斜率为4x0,即切线QT的斜率为4或12,过点Q的切线方程为y=4x+1或y=12x-15.
