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1、 假设检验的思想假设检验的思想假设检验的思想假设检验的思想假设检验的思想假设检验的思想 正态总体均值的检验正态总体均值的检验正态总体均值的检验正态总体均值的检验正态总体均值的检验正态总体均值的检验 正态总体方差的检验正态总体方差的检验正态总体方差的检验正态总体方差的检验正态总体方差的检验正态总体方差的检验第八章第八章第八章第八章 参数假设检验参数假设检验参数假设检验参数假设检验 参数估计的方法是通过分析样本而估计总体参数参数估计的方法是通过分析样本而估计总体参数的取值的取值( (点估计点估计) )或总体参数落在什么范围或总体参数落在什么范围( (区间估计区间估计) )，而有些实际问题中，我们不
2、一定要了解总体参数的取而有些实际问题中，我们不一定要了解总体参数的取值或范围，而只想知道值或范围，而只想知道总体的参数有无明显变化总体的参数有无明显变化总体的参数有无明显变化总体的参数有无明显变化，或，或是否达到既定的要求，或两个总体的某个参数有无明是否达到既定的要求，或两个总体的某个参数有无明显差异等。这类问题就是参数的假设检验问题。显差异等。这类问题就是参数的假设检验问题。简简 介介 【例例例例1 1 1 1】质量检测质量检测质量检测质量检测 用包装机包装糖果用包装机包装糖果, ,每袋重量为每袋重量为服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量. .当机器正常时当机器正常时, ,其均值为其
3、均值为0.50.5公斤公斤, ,标准差为标准差为0.0150.015公斤公斤. .为检验包装机工作是否正常为检验包装机工作是否正常, ,随机抽随机抽9 9袋袋, ,称得重量称得重量( (单位单位: :公斤公斤) )为为: : 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 0.511 0.520 0.515 0.512问该包装机工作是否正常问该包装机工作是否正常? ?1 1、假设检验的思想与方法、假设检验的思想与方法先看一个例子。先看一个例子。问题问题问题问题已知总体已知总体
4、(袋装糖重量袋装糖重量)xN(,0.0152),其中其中未知未知,根据样本值来判断根据样本值来判断=0.5还是还是0.5?答案答案答案答案认为认为=0.5接受接受=0.5,或认为或认为0.5拒拒绝绝=0.5理论依据理论依据理论依据理论依据 统计推断原理统计推断原理统计推断原理统计推断原理小概率事件在小概率事件在一次一次试试验中几乎不发生验中几乎不发生.解决步骤解决步骤解决步骤解决步骤(1)提出假设提出假设问题(2)给定检验法则给定检验法则,利用样本值依统计推断原理作利用样本值依统计推断原理作出判断出判断:接受接受H0(即拒绝即拒绝H1)认为包装机工作正常认为包装机工作正常拒绝拒绝H0(即接受即
5、接受H1)认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常 如何给定检验法则？如何给定检验法则？如何给定检验法则？如何给定检验法则？由于待检验的是由于待检验的是总体均值总体均值，故自然想到能否，故自然想到能否用统计量用统计量样本均值样本均值来进行判断。来进行判断。统计推断原理因为因为是是的无偏估计，所以观察值的无偏估计，所以观察值在一定程在一定程度上反映了度上反映了的大小。从而的大小。从而当当假设假设假设假设HH0为真为真为真为真时时,观察值观察值与的与的偏差一般不偏差一般不应太大，即应太大，即较小较小注意到：注意到：故应有故应有较小较小分析由此可得由此可得判定法则判定法则判定法则判定法则：选定一：选
6、定一适当适当正数正数k，使得当，使得当样本值满足样本值满足由此可得由此可得判定法则判定法则判定法则判定法则：选定一：选定一适当适当正数正数k，使得当，使得当样本值满足样本值满足由于作出判断的依据由于作出判断的依据仅仅为一个样本值，所以我们为一个样本值，所以我们会犯会犯两种类型的错误两种类型的错误两种类型的错误两种类型的错误：接受接受H0拒绝拒绝H0 如何确定正数如何确定正数如何确定正数如何确定正数k k？第一类错误第一类错误弃真弃真弃真弃真H0实际为真而作出拒绝实际为真而作出拒绝H0第二类错误第二类错误取伪取伪取伪取伪H0实际为假而作出拒绝实际为假而作出拒绝H0如何确定临界值k犯两类错误的概率
7、分别为犯两类错误的概率分别为尽管主观上希望犯两类错误的概率都很小。但尽管主观上希望犯两类错误的概率都很小。但在样本容量一定的情况下，不能同时控制犯两类错误在样本容量一定的情况下，不能同时控制犯两类错误的概率。的概率。一般，称控制犯第一类错误概率的检验问题为一般，称控制犯第一类错误概率的检验问题为显著性检验问题显著性检验问题显著性检验问题显著性检验问题。为此为此, ,给定一个给定一个较小较小较小较小的正数的正数(0(01),1),使有使有在此条件下确定在此条件下确定k的值的值.小概率小概率事件事件两类错误在在例例例例1 1中中,当假设当假设H0为真时为真时,统计量统计量由由得得至此，在至此，在显
8、著性水平显著性水平显著性水平显著性水平下下,根据所给根据所给一个一个一个一个样本值样本值按按统计推断原理统计推断原理统计推断原理统计推断原理作出最终判断：作出最终判断：接受接受H0拒绝拒绝H0小概率小概率事件事件接受,拒绝在在例例例例1 1中中,取显著性水平取显著性水平=0.05,由样本值由样本值0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.5110.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.5110.520 0.515 0.5120.520 0.515 0.512经计算得经计算得而而查表得查表得计算检验统计量观察值为计算检验统计量观察值为由由作出作出拒绝拒
9、绝H0,即即认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常.例1解现在在一次实验中现在在一次实验中,小概小概率事件率事件|u|k竟然发生竟然发生,根据根据统计推断原理统计推断原理有理有理由怀疑假设的正确性由怀疑假设的正确性,从从而拒绝假设而拒绝假设H0.基基 本本 概概 念念统计量统计量检验统计量检验统计量 假设假设原假设原假设(双边双边)备择假设备择假设 正小数正小数显著性水平显著性水平 区域区域 (H0的的)拒绝域拒绝域基本概念在显著性水平在显著性水平下下,检验假设检验假设拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域的边界点拒绝域的边界点临界点临界点临界点临界点拒绝拒绝拒绝拒绝HH00接受接受接受接受HH00
10、拒绝拒绝拒绝拒绝HH00检验问题提法检验问题提法检验问题提法检验问题提法:双边检验双边检验双边检验双边检验左边检验左边检验左边检验左边检验右边检验右边检验右边检验右边检验检验问题提法 由例由例1 1得得: :单正态总体单正态总体单正态总体单正态总体方差已知方差已知方差已知方差已知时时时时均值均值均值均值的的双边检验拒绝域双边检验拒绝域双边检验拒绝域双边检验拒绝域左边检验拒绝域左边检验拒绝域左边检验拒绝域左边检验拒绝域右边检验拒绝域右边检验拒绝域右边检验拒绝域右边检验拒绝域类似可得类似可得: :【例例2】单边检验 参数的参数的显著性检验问题显著性检验问题显著性检验问题显著性检验问题的的步骤步骤步
11、骤步骤: : 1 1、根据题意提出、根据题意提出原假设原假设原假设原假设H H0 0与与备择假设备择假设备择假设备择假设H H1 1; ; 2 2、给定给定显著性水平显著性水平显著性水平显著性水平(=0.01,0.05)(=0.01,0.05)和和容量容量容量容量n;n; 3 3、根据根据H0构造构造检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量U,U,当当H0为真时为真时,U,U的的分布已知且与未知参数无关分布已知且与未知参数无关; ; 4 4、确定拒绝域的形式确定拒绝域的形式, ,并由并由确定确定H0的的拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域C C; 5 5、抽样抽样, ,根据样本观察值计算检验统计量根据样本
12、观察值计算检验统计量U U的观的观察值察值 . .若若 , ,则拒绝则拒绝H H0 0; ;若若 , ,则接受则接受H H0 0. .显著性检验步骤 值得注意的是值得注意的是, ,作参数假设检验时，所构造的检验作参数假设检验时，所构造的检验统计量与参数区间估计时所用的随机变量在形式上是统计量与参数区间估计时所用的随机变量在形式上是一致的。这是由于假设检验与区间估计仅形式上不同一致的。这是由于假设检验与区间估计仅形式上不同, ,而本质上是相通的而本质上是相通的. .2 2、正态总体均值与方差的假设检验、正态总体均值与方差的假设检验 方差已知，均值检验（方差已知，均值检验（方差已知，均值检验（方差
13、已知，均值检验（u u检验法）检验法）检验法）检验法）的的拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域.11、均值检验、均值检验、均值检验、均值检验(u(u检验法检验法检验法检验法,t ,t检验法检验法检验法检验法) ) 【推导推导】作作检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量与未知参数无关，且当与未知参数无关，且当H0为真时其分布已知为真时其分布已知:一、单正态总体一、单正态总体一、单正态总体一、单正态总体一、单正态总体一、单正态总体设总体设总体xN(,2),其中其中2已知已知,为待检验参数为待检验参数.在显在显著性水平为著性水平为(01)下求下求双边检验双边检验双边检验双边检验问题问题U检验法检验法 由由 得
14、得拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域为为 于是于是, ,可根据样本值计算可根据样本值计算统计量的观察值统计量的观察值统计量的观察值统计量的观察值z,z,并作并作出判断出判断: :也说：在显著性水平也说：在显著性水平下下, ,总体均值总体均值没有显著性变化没有显著性变化没有显著性变化没有显著性变化；接受接受接受接受原假设原假设H H0 0拒绝拒绝拒绝拒绝原假设原假设H H0 0也说：在显著性水平也说：在显著性水平下下, ,总体均值总体均值有显著性变化有显著性变化有显著性变化有显著性变化。1、均值检验(U,T检验法)左边检验左边检验左边检验左边检验假设假设 【推导推导】在在 为真时为真时, ,仍取检验统计量
15、为仍取检验统计量为 由由 得得拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域为为右边检验右边检验右边检验右边检验假设假设 拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域参见参见P.204:表表8.1至于单边检验问题可类似处理至于单边检验问题可类似处理至于单边检验问题可类似处理至于单边检验问题可类似处理. .此时此时,当当H0为真时为真时z应较小应较小,当当H1为真为真时时-z偏大偏大,故拒绝故拒绝域形式为域形式为:zk【例例2】例2说明说明在方差已知时均值的下列两种检验问题在方差已知时均值的下列两种检验问题虽然形式和意义均不同虽然形式和意义均不同,但在相同的显著性水平下其拒绝但在相同的显著性水平下其拒绝域是相同的域是相同的.因此因此,后
16、者可转化为前者来处理后者可转化为前者来处理.下面讨论的各种检验也有类似情形下面讨论的各种检验也有类似情形,不再一一说明不再一一说明. 方差未知，均值检验（方差未知，均值检验（方差未知，均值检验（方差未知，均值检验（t t检验法）检验法）检验法）检验法）双边检验双边检验双边检验双边检验假设假设 【推导推导】作作检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量与未知参数无关，且当与未知参数无关，且当H0为真时其分布已知为真时其分布已知T检验法检验法 由由 得得拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域为为T检验法类似可得单边检验拒绝域类似可得单边检验拒绝域P.204:表表表表8.18.1拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域右边检验右边
17、检验右边检验右边检验 左边检验左边检验左边检验左边检验 拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域续例3 【例例3 3】P.233:4P.233:4 解解设总体设总体( (装配时间装配时间) )的均值为的均值为,则检验问则检验问题为题为这是这是“方差未知方差未知, ,均值的均值的右边检验右边检验右边检验右边检验”, ,采用采用t t t t检验法检验法检验法检验法. . 检验统计量为检验统计量为拒绝域为拒绝域为 由样本值得由样本值得: : 检验统计量观察值为检验统计量观察值为即观察值落入拒绝域内即观察值落入拒绝域内, ,故故拒绝拒绝拒绝拒绝H H H H0 0 0 0, ,即认为即认为装配时间显装配时间显装配时
18、间显装配时间显著地大于著地大于著地大于著地大于10101010. . . .续2 2、方差检验（、方差检验（、方差检验（、方差检验（ 2 2 检验法）检验法）检验法）检验法）与未知参数无关，且当与未知参数无关，且当H0为真时其分布已知为真时其分布已知:设总体设总体xN(,2),其中其中,2均未知均未知,在显著性水在显著性水平平(01)下求下求双边检验双边检验双边检验双边检验问题问题2检验法检验法的的拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域,其中其中为常数为常数. 【推导推导】作作检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量 均值未知，方差检验均值未知，方差检验均值未知，方差检验均值未知，方差检验(2(2检验法检验
19、法检验法检验法) )由于由于S2是是2的无偏估计的无偏估计,故当故当H0为真时为真时,比值比值应应充分接近充分接近1,即不能过分大于即不能过分大于1或过分小于或过分小于1,从而从而拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域形式为：形式为：其中其中k1,k2由由习惯上对称地取习惯上对称地取推导由由2-分布的双侧分位点得：分布的双侧分位点得：于是，所求拒绝域故为于是，所求拒绝域故为2 检验法*(2)*(2)、均值已知，方差检验、均值已知，方差检验、均值已知，方差检验、均值已知，方差检验注注单边检验拒绝域见表单边检验拒绝域见表8.1.拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域双边检验双边检验双边检验双边检验2检验法检验法 检验统计量检
20、验统计量检验统计量检验统计量或或或或 未知同方差的均值差检验未知同方差的均值差检验未知同方差的均值差检验未知同方差的均值差检验(t (t检验法检验法检验法检验法) )11、均值差检验（、均值差检验（、均值差检验（、均值差检验（u u检验法，检验法，检验法，检验法，t t检验法）检验法）检验法）检验法）设有两个正态总体设有两个正态总体样本，其样本均值与样本方差分别为：样本，其样本均值与样本方差分别为：分别是来自两个正态总体的独立分别是来自两个正态总体的独立二、双正态总体二、双正态总体的的拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域, ,其中其中为已知常数为已知常数常用的是常用的是=0.在显著性水平为在显著性水平为(
21、01)下求下求右边检验右边检验右边检验右边检验问题问题的的拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域, ,其中其中为已知常数为已知常数常用的是常用的是=0. 【推导推导】作作检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量与单正态总体情形类似可得与单正态总体情形类似可得拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域为为在显著性水平为在显著性水平为(01)下求下求右边检验右边检验右边检验右边检验问题问题T检验法检验法(1)同未知方差,均值差检验(u检验法，t检验法）注注其它检验拒绝域见表其它检验拒绝域见表8.1. 已知方差的均值差检验已知方差的均值差检验已知方差的均值差检验已知方差的均值差检验(u(u检验法检验法检验法检验法) )检验统计量检
22、验统计量双边检验拒绝域双边检验拒绝域注注其它检验拒绝域见表其它检验拒绝域见表8.1.(2)已知方差,均值差检验2 2、方差检验（、方差检验（、方差检验（、方差检验（F F检验法）检验法）检验法）检验法）仅讨论情形仅讨论情形两正态总体均值未知的方差检验两正态总体均值未知的方差检验两正态总体均值未知的方差检验两正态总体均值未知的方差检验的的拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域. 【推导推导】作作检验统计量检验统计量检验统计量检验统计量在显著性水平为在显著性水平为(01)下求下求右边检验右边检验右边检验右边检验问题问题 由于当由于当H H0 0为真时为真时, ,而当而当H H1 1为真时为真时, ,故故 有偏大的趋势有偏大的趋势, ,从而拒绝域形式为从而拒绝域形式为 由由 得所求拒绝域为得所求拒绝域为续-1注注其它检验拒绝域见表其它检验拒绝域见表8.1.【例例4】P.206续-2
