《其它模板7高数2级数ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《其它模板7高数2级数ppt课件（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 专题专题7 无穷级数无穷级数1 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质2 常数项级数审敛法常数项级数审敛法3 幂级数幂级数4 函数展开成幂级数函数展开成幂级数5 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的根本性质函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的根本性质6 傅立叶级数傅立叶级数7 普通周期函数的傅立叶级数普通周期函数的傅立叶级数级数收敛的概念级数收敛的概念定义定义 假设级数假设级数 的部分和数列的部分和数列 有极限，即有极限，即那么称无穷级数那么称无穷级数 收敛，这时极限收敛，这时极限无穷级数无穷级数 发散。发散。叫做这级数的和；假设叫做这级数的和；假设 没有极限，那么称没有极限，那么
2、称二、收敛级数的根本性质二、收敛级数的根本性质性质性质3 在级数中去掉、加上或改动有限项，不会改动级数在级数中去掉、加上或改动有限项，不会改动级数 的收敛性。的收敛性。性质性质1 假设级数假设级数 收敛于和收敛于和 ，那么级数，那么级数 也也敛，敛， 且其和为且其和为 。性质性质2 假设级数假设级数 、 分别收敛于分别收敛于 和和 那么那么级数级数 也收敛，也收敛， 且其和为且其和为性性质2 收收敛级数与数与发散散级数的数的线性性组合依然合依然发散散 性质性质4 收敛级数具有结合律，那么对这级数的项恣意加括号后收敛级数具有结合律，那么对这级数的项恣意加括号后所成的级数收敛。所成的级数收敛。 反
3、之不成立，发散级数不具有结合律反之不成立，发散级数不具有结合律性质性质5 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件假设级数假设级数 收敛，那么它的普通项趋于收敛，那么它的普通项趋于 零，即零，即数项级数审敛法根本思想Sn单调有界夹逼定理2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法二、普通项级数及其审敛法二、普通项级数及其审敛法一、正项级数审敛法一、正项级数审敛法定理定理1 1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 有界。有界。比较审敛法比较审敛法 设设 和和都是正项级数，且都是正项级数，且假设级数假设级数收
4、敛，收敛， 那么级数那么级数收敛；假设级数收敛；假设级数发散，那么级数发散，那么级数 也发散。也发散。定理定理2正项级数概念正项级数概念各项都是正数或零的级数称为正项级数。各项都是正数或零的级数称为正项级数。定理定理3 3比较审敛法的极限方式比较审敛法的极限方式设设 和和 都是正项级数，都是正项级数， (1)假设假设 ，且级数，且级数 收敛收敛,那么级数那么级数 收敛；收敛；(2)假设假设 或或 且级数且级数 发散发散,那么级数那么级数 发散。发散。同阶无穷小为普通项的级数具有一样的敛散性。同阶无穷小为普通项的级数具有一样的敛散性。例例2 断定级数断定级数的收敛性。的收敛性。例例3. 断定级数
5、断定级数的收敛性。的收敛性。例例4断定级数断定级数的收敛性。的收敛性。解解由于由于根据比值审敛法可知所给级数发散。根据比值审敛法可知所给级数发散。定理定理4 比值审敛法，达朗贝尔判别法比值审敛法，达朗贝尔判别法 设设 为正项级数为正项级数 ， 假设假设 那么当那么当 时级数收敛；当时级数收敛；当 或或时级数发散；时级数发散；当当 时级数可以收敛也可以发散。时级数可以收敛也可以发散。定理定理5根值审敛法，柯西判别法根值审敛法，柯西判别法 设设 为正项级数，假设为正项级数，假设 ， 那么当那么当 时级数收敛；时级数收敛； 或或 时级数发散；时级数发散；时级数可以收敛也可以发散。时级数可以收敛也可以
6、发散。例例5断定级数断定级数的收敛性。的收敛性。解解由于由于所以，根据根植审敛法知所给级数收敛。所以，根据根植审敛法知所给级数收敛。定理定理6极限审敛法极限审敛法设设 为正项级数，为正项级数， (1)假设假设 (2)假设假设,而而 发散。发散。收敛。收敛。例例6断定级数断定级数的收敛性。的收敛性。解解因因故故根据极限审敛法，知所给级数收敛。根据极限审敛法，知所给级数收敛。收敛。收敛。 交错级数 交错级数是指这样的级数，它的各项是正负交错 的，从而可以写成的方式：或或 其中其中 都是正数。都是正数。二、恣意项级数及其审敛法二、恣意项级数及其审敛法定理定理7莱布尼茨定理，交错级数审敛法莱布尼茨定理
7、，交错级数审敛法(1)(2)那那么么级级数数收收敛敛，且且其其和和 其其他他项项的的绝绝对对值值假设交错级数假设交错级数 满足条件：满足条件：绝对收敛条件收敛有关性质 1绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项恣意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。 2条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即或一定是发散的。条件收敛级数审敛法条件收敛级数审敛法狄利克雷判别法：狄利克雷判别法： 的部分和有界，且的部分和有界，且 单调趋于单调趋于0，那么那么 收敛。收敛。阿贝尔判别法：阿贝尔判别法： 收敛，且收敛，且 单调有界，单调有界，那么那么 收敛。收敛。例题 7.2-7.4但是交但是交错级数数是莱布
8、尼茨型是莱布尼茨型级数，收数，收敛，因此原，因此原级数条件收数条件收敛所以，原所以，原级数数例题例题 7.7例例7 判别级数判别级数的敛散性。的敛散性。 察看内部特点，第二层根号内是有极限的序列察看内部特点，第二层根号内是有极限的序列解法解法1： 换元后达朗贝尔法换元后达朗贝尔法 例例7 判别级数判别级数的敛散性。的敛散性。 察看根号察看根号2的特点，思索三角换元的特点，思索三角换元解法解法2：达朗贝尔法达朗贝尔法例 7.8设试判别级数 的敛散性。分析：An与Sn的关系，Sn的性质。 正项级数cn的和有界，收敛，由比较判别法。例 7.11 含积分的问题函数项级数二二幂级数及其收数及其收敛域域
9、1幂级数概念数概念2幂级数的收数的收敛域域 收收敛域分三种情形域分三种情形 1收收敛域域为(-,)，亦即，亦即对每一个每一个x皆收皆收敛。我。我们称它的收称它的收敛半径半径R= 。 2收收敛域域仅为原点原点3收收敛域域为 -R,+R,(-R,+R,-R,+R, (-R,+R)中的一种中的一种所以求幂级数的收敛半径R非常重要，1，2两种情形的收敛域就确定的。而(3)的情形，还需讨论两点上x=R,x=-R的敛散性。 三幂级数的性质三幂级数的性质 1四那么运算四那么运算 2分析性质 (2)S(x)在(-R,+R)内有逐项积分公式 且这个幂级数的收敛半径也不变 3假设 在成立。那么有以下性质 i成立i
10、i成立 iii在不一定收敛 也即不一定成立， 假设在发散，那么逐项求导后的级数在一定发散，而逐项积分后的级数在有可以收敛。四四幂级数求和函数的根本方法数求和函数的根本方法1 1把知函数的把知函数的幂级数展开式数展开式8.38.3将将讨论反反过来用来用. . 2 2用逐用逐项求求导和逐和逐项积分方法以及等比分方法以及等比级数的求数的求和公式和公式3 3用逐用逐项求求导和逐和逐项积分方法化分方法化为和函数的微分和函数的微分方程，从而求微分方程的解方程，从而求微分方程的解把知函数的幂级数展开式把知函数的幂级数展开式1 2 3 4 5 6为实常数例1求幂级数的收敛半径。 例2知幂级数的收敛半径，求幂级数的收敛区间。 例3知幂级数在处收敛，在处发散，求其收敛域。例4设，讨论幂级数的收敛域。 1当 时 ， 条件收敛 故收敛域为 发散2当时，绝对收敛，绝对收敛故收敛域为2当时，绝对收敛，故收敛域为
