第2章自动控制系统的数学模型

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1、第2章第1页EXIT第第第第2 2 2 2章章章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 第2章第2页EXIT2.1 2.1 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立2.2 2.2 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化2.3 2.3 传递函数传递函数2.4 2.4 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换2.5 2.5 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数2.6 2.6 信号流图信号流图2.7 2.7 脉冲响应函数脉冲响应函数第2章第3页EXIT数学模型数学模型1.定定义义：描描述述系系统统的的输输

2、入入、输输出出变变量量以以及及系系统统内内部部各各个个变变量量之之间间关关系系的的数数学学表表达达式式就就称称为为控控制制系系统统的的数数学学模型。模型。 2.为为什什么么要要建建立立数数学学模模型型：对对于于控控制制系系统统的的性性能能，只只是是定定性性地地了了解解系系统统的的工工作作原原理理和和大大致致的的运运动动过过程程是是不不够够的的，希希望望能能够够从从理理论论上上对对系系统统的的性性能能进进行行定定量量的的分分析析和和计计算算。要要做做到到这这一一点点，首首先先要要建建立立系系统统的的数数学学模模型。它是分析和设计系统的依据。型。它是分析和设计系统的依据。第2章第4页EXIT 另另

3、一一个个原原因因：许许多多表表面面上上看看来来似似乎乎毫毫无无共共同同之之处处的的控控制制系系统统，其其运运动动规规律律可可能能完完全全一一样样，可可以以用用一一个个运运动动方方程程来来表表示示，我我们们可可以以不不单单独独地地去去研研究究具具体体系系统统而而只只分分析析其其数数学学表表达达式式，即即可可知知其其变变量量间间的的关关系系，这这种种关关系系可可代代表表数数学学表表达达式式相相同同的的任任何何系系统统，因此需建立控制系统的数学模型。因此需建立控制系统的数学模型。 比比如如机机械械平平移移系系统统和和RLC电电路路就就可可以以用用同同一一个个数数学学表表达达式式分分析析，具具有有相相

4、同同的的数数学学模模型型（可可以以进进行行仿真仿真研究）。研究）。第2章第5页EXIT3.表示形式表示形式 （经典控制理论中最常用的）（经典控制理论中最常用的） a.微分方程；微分方程；b.传递函数传递函数； c.频率特性频率特性三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统微分方程微分方程传递函数传递函数频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换同一个系统，可以选用不同的数学模型，同一个系统，可以选用不同的数学模型，如研究时域响应时可以用传递函数，如研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。研究频域响应时则要用频率特性。第2章第6页EXIT4.建立方法建

5、立方法a.分析计算法分析计算法 分分析析计计算算法法是是根根据据支支配配系系统统的的内内在在运运动动规规律律以以及及系系统统的的结结构构和和参参数数，推推导导出出输输入入量量和和输输出出量量之之间间的的数数学学表表达达式式，从从而建立数学模型而建立数学模型适用于简单的系统。适用于简单的系统。b.工程实验法工程实验法 工工程程实实验验法法是是利利用用系系统统的的输输入入-输输出出信信号号来来建建立立数数学学模模型型的的方方法法。通通常常在在对对系系统统一一无无所所知知的的情情况况下下，采采用用这这种种建建模模方法。方法。黑盒黑盒输入输入输出输出第2章第7页EXIT 但但实实际际上上有有的的系系统

6、统还还是是了了解解一一部部分分的的，这这时时称称为为灰灰盒盒，可可以以分分析析计计算算法法与与工工程程实实验验法法一一起起用用，较较准准确确而而方方便便地地建建立立系统的数学模型。系统的数学模型。 实实际际控控制制系系统统的的数数学学模模型型往往往往是是很很复复杂杂的的，在在一一般般情情况况下下，常常常常可可以以忽忽略略一一些些影影响响较较小小的的因因素素来来简简化化，但但这这就就出出现现了了一一对对矛矛盾盾，简简化化与与准准确确性性。不不能能过过于于简简化化，而而使使数数学学模模型型变变得得不不准准确确，也也不不能能过过分分追追求求准准确确性性，使使系系统统的的数数学学模模型型过过于复杂。于

7、复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。 本章只讨论解析法建立系统的数学模型本章只讨论解析法建立系统的数学模型第2章第8页EXIT2.1 2.1 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立第2章第9页EXIT2.1 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立一般步骤一般步骤 （1）分分析析元元件件的的工工作作原原理理和和在在系系统统中中的的作作用用，确确定定元元件件的的输输入入量量和和输输出出量量（必必要要时时还还要要考考虑虑扰扰动动量量），并并根根据据需需要要引引进进一一些些中中间间变量。变量。 （2）根根据据各各元元件件在在工工作

8、作过过程程中中所所遵遵循循的的物物理理或或化化学学定定律律，按按工工作作条条件件忽忽略略一一些些次次要要因因素素，并并考考虑虑相相邻邻元元件件的的彼彼此此影影响响，列列出出微微分分方方程程。常常用用的的定定律律有有：电电路路系系统统的的基基尔尔霍霍夫夫定定律律、力力学学系系统统的的牛牛顿顿定律和热力学定律等等。定律和热力学定律等等。 （3）消消去去中中间间变变量量后后得得到到描描述述输输出出量量与与输输入入量量（包包括括扰扰动动量量）关系的微分方程，即元件的数学模型。关系的微分方程，即元件的数学模型。注：注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项

9、写在方程的右边，与输出量有入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。均按降阶顺序排列。第2章第10页EXIT 机机械械系系统统指指的的是是存存在在机机械械运运动动的的装装置置，它它们们遵遵循循物物理理学学的的力力学学定定律律。机机械械运运动动包包括括直直线线运运动动（相相应应的的位位移移称称为为线线位位移移）和和转动（相应的位移称为角位移）两种。转动（相应的位移称为角位移）两种。例例 一一个个由由弹弹簧簧-质质量量-阻阻尼尼器器组组成成的的机机械械平平移移系系统统如如图图所所示示。m为为物物体体质质

10、量量，k为为弹弹簧簧系系数数，f 为为粘粘性性阻阻尼尼系系数数，外外力力F(t)为为输输入入量量，位位移移x(t)为为输输出出量量。列列写写系系统统的的运运动动方程。方程。 xmFk2.1.1 机械系统机械系统第2章第11页EXIT解解 在在物物体体受受外外力力F的的作作用用下下，质质量量m相相对对于于初初始始状状态态的的位位移移、速速度度、加加速速度度分分别别为为x、dx/dt、d2x/dt2 。设设外外作作用用力力F为为输输入入量量，位位移移 x 为为输输出出量量。根根据据弹弹簧簧、质质量量、阻阻尼尼器器上上力力与与位位移移、速速度度的的关关系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间

11、的关系为系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为 xmFkk和和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。第2章第12页EXIT2.1.2 电气系统电气系统w 电电气气系系统统中中最最常常见见的的装装置置是是由由电电阻阻、电电感感、电电容容、运运算算放放大大器器等等元元件件组组成成的的电电路路，又又称称电电气气网网络络。仅仅由由电电阻阻、电电感感、电电容容(无无源源器器件件)组组成成的的电

12、电气气网网络络称称为为无无源源网网络络。如如果果电电气气网网络中包含运算放大器络中包含运算放大器(有源器件有源器件)，就称为有源网络。，就称为有源网络。例例 由由电电阻阻R、电电感感L和和电电容容C组组成成无无源源网网络络。ui输输入入，uo输输出出，求微分方程。求微分方程。LCui(t)uo(t)i(t)+R第2章第13页EXIT解解 设回路电流为设回路电流为 i ( t ) 如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到式中式中i ( t )是中间变量。是中间变量。i ( t )和和u o( t )的关系为的关系为消去中间变量消去中间变量i (t )，可得可得LCui

13、(t)uo(t)i(t)+R第2章第14页EXIT 比比较较上上面面两两个个例例子子可可见见，虽虽然然它它们们为为两两种种不不同同的的物物理理系系统统，但但它它们们的的数数学学模模型型的的形形式式却却是是相相同同的的，我我们们把把具具有有相相同同数数学学模模型型的的不不同同物物理理系系统统称称为为相相似似系系统统，例例如如上上述述RLC串串联联网网络络系系统统和和弹弹簧簧-质质量量-阻阻尼尼器器系系统统即即为为一一对对相相似似系系统统，故故可可用用电电子子线线路路来来模模拟拟机机械械平平移移系系统统。在在相相似似系系统统中中，占占据据相相应应位置的物理量称为位置的物理量称为相似量相似量。第2章

14、第15页EXIT图图示示为为一一他他激激直直流流电电动动机机。图图中中，为为电电动动机机角角速速度度（rad/s），Mc为为折折算算到到电电动动机机 轴轴 上上 的的 总总 负负 载载 力力 矩矩（Nm），ua为为电电枢枢电电压压（V）。设设激激磁磁电电流流恒恒定定，并忽略电枢反应。并忽略电枢反应。iauaLaRaeaMc负载负载+_+_取取ua为给定输入量，为给定输入量， 为输出量，为输出量，Mc为扰动量，忽略电枢电感，为扰动量，忽略电枢电感，得得:2.1.3 机电系统机电系统第2章第16页EXIT 如如果果取取电电动动机机的的转转角角（rad）作作为为输输出出，电电枢枢电电压压ua（V）仍

15、为输出，考虑到仍为输出，考虑到: :可将上式改写成可将上式改写成 可可知知：对对于于同同一一个个系系统统，若若从从不不同同的的角角度度研研究问题，则所得出的数学模型式不一样的。究问题，则所得出的数学模型式不一样的。 第2章第17页EXIT2.2 2.2 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化第2章第18页EXIT 非非线性微分方程的求解很困性微分方程的求解很困难。 忽忽略略弱弱非非线性性环节（如如果果元元件件的的非非线性性因因素素较弱弱或或者者不不在在系系统线性性工工作作范范围以以内内，则它它们对系系统的影响很小，就可以忽略）的影响很小，就可以忽略）。 在在一一定定条条件件下下，

16、可可以以近近似似地地转化化为线性性微微分分方方程程，可可以以使使系系统的的动态特特性性的的分分析析大大为简化化。实践践证明明，这样做做能能够圆满地地解解决决许多多工工程程问题，有有很很大的大的实际意意义。第2章第19页EXIT2.2.1 小偏差小偏差线性化的概念性化的概念 （小偏差法，切小偏差法，切线法，增量法，增量线性化法性化法） 偏偏微微法法基基于于一一种种假假设，就就是是在在控控制制系系统的的整整个个调节过程程中中，各各个个元元件件的的输入入量量和和输出出量量只只是是在在平平衡衡点点附附近近作作微微小小变化化。这一一假假设是是符符合合许多多控控制制系系统实际工工作作情情况况的的，因因为对

17、闭环控控制制系系统而而言言，一一有有偏偏差差就就产生生控控制制作作用用，来来减减小或消除偏差，所以小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近各元件只能工作在平衡点附近。 因因此此，对对于于不不太太严严重重的的非非线线性性系系统统，可可以以在在一一定定的的工工作作范范围围内内线线性性化化处处理理。工工程程上上常常用用的的方方法法是是将将非非线线性性函函数数在在平平衡衡点点附附近近展展开开成成泰泰勒勒级级数数，去去掉掉高高次次项项以以得得到到线线性性函函数。数。第2章第20页EXIT2.2.2 举例举例 一个自变量一个自变量 y=f(r)r元件的输入信号，元件的输入信号，y元件的输出信号元件的输

18、出信号0r0r0+ry0y0+yyAB略去高次项，略去高次项，设原运行于某平衡点（静态工作点）设原运行于某平衡点（静态工作点）A A点：点：r=r0 , , y=y0 , ,且且y0=f(r0)B B点：点：当当r变化变化 r， y=y0+ + y函数在（函数在（r0 , , y0 ）点连续可微，在点连续可微，在A A点展开成泰勒级数，即点展开成泰勒级数，即第2章第21页EXIT 两个自变量两个自变量 y=f(r1， r2) 静态工作点：静态工作点： y0=f(r10， r20) 在在y0=f(r10， r20) 附近展开成泰勒级数，即附近展开成泰勒级数，即函数变化与自变量变化成线性比例关系。

19、函数变化与自变量变化成线性比例关系。第2章第22页EXIT2.2.3 系统线性化的条件及步骤系统线性化的条件及步骤 1.1.条件条件 系系统统工工作作在在正正常常的的工工作作状状态态，有有一一个个稳稳定定的的工工作作点点; 在运行过程中偏离且满足小偏差条件在运行过程中偏离且满足小偏差条件; 在在工工作作点点处处，非非线线性性函函数数各各阶阶导导数数均均存存在在，即即函函数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。 第2章第23页EXIT2.2.建立步骤建立步骤 按按系系统统数数学学模模型型的的建建立立方方法法，列列出出系系统统各各个个部部分分的的微微分分

20、方程。方程。 确确定定系系统统的的工工作作点点，并并分分别别求求出出工工作作点点处处各各变变量量的的工工作作状态。状态。 对对存存在在的的非非线线性性函函数数，检检验验是是否否符符合合线线性性化化的的条条件件，若若符合就进行线性化处理。符合就进行线性化处理。 将将其其余余线线性性方方程程，按按增增量量形形式式处处理理，其其原原则则为为：对对变变量量直接用增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项。直接用增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项。 联联立立所所有有增增量量化化方方程程，消消去去中中间间变变量量，最最后后得得只只含含有有系系统总输入和总输出增量的线性化方程。统总输入和总输出增

21、量的线性化方程。 第2章第24页EXIT2.2.4 关于线性化的几点说明关于线性化的几点说明 线线性性化化方方程程中中的的参参数数与与选选择择的的工工作作点点有有关关，因因此此，在在进进行线性化时，应首先确定系统的静态工作点。行线性化时，应首先确定系统的静态工作点。 实实际际运运行行情情况况是是在在某某个个平平衡衡点点附附近近，且且变变量量只只能能在在小小范范围围内变化。内变化。 若非线性特性是不连续的不能采用上述方法。若非线性特性是不连续的不能采用上述方法。 线性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。线性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。第2章第25页EXIT2.3 2.3 传递函数传递

22、函数第2章第26页EXIT2.3.1 2.3.1 传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质 一一个个控控制制系系统统性性能能的的好好坏坏，取取决决于于系系统统的的内内在在因因素素，即即系系统统的的结结构构参参数数，而而与与外外部部施施加加的的信信号号无无关关。因因而而，对对于于一一个个控控制制系系统统品品质质好好坏坏的的评评价价可可以以通通过过对对系系统统结结构构参参数数的的分分析析来来达达到到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。而不需要直接对系统输出响应进行分析。 传传递递函函数数是是在在拉拉氏氏变变换换基基础础之之上上引引入入的的描描述述线线性性定

23、定常常系系统统或或元元件件输输入入、输输出出关关系系的的函函数数。它它是是和和微微分分方方程程一一一一对对应应的的一一种种数数学学模模型型，它它能能方方便便地地分分析析系系统统或或元元件件结结构构参参数数对对系系统统响响应应的的影响。影响。第2章第27页EXIT1. 定义定义 零零初初始始条条件件下下，线线性性定定常常系系统统输输出出量量的的拉拉氏氏变变换换与与输输入入量量的的拉拉氏氏变变换换之之比比，称称为为该该系系统统的的传传递递函函数数，记为，记为G(s)，即：即：意义意义：第2章第28页EXIT 传递函数的求法传递函数的求法 线性定常系统（环节）的一般表达式线性定常系统（环节）的一般表

24、达式（零初始条件零初始条件）第2章第29页EXIT当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为例例2.3 求求图图示示RC电电路路的的传传递递函函数数，其其中中ui(t)是是输输入电压，入电压， uo(t)是输出电压是输出电压 解解 由基尔霍夫电压定律可得由基尔霍夫电压定律可得第2章第30页EXIT2. 关于传递函数的几点补充说明关于传递函数的几点补充说明 （1）传递函数只适用于线性定常系统。）传递函数只适用于线性定常系统。 （2）传传递递函函数数表表达达式式中中各各项项系系数数的的值值完完全全取取决决于于系系统统的的结结构构和和参参

25、数数，并并且且与与微微分分方方程程中中各各导导数数项项的的系数相对应。系数相对应。 （3）实实际际系系统统传传递递函函数数中中分分母母多多项项式式的的阶阶数数n总总是是大大于于或或等等于于分分子子多多项项式式的的阶阶数数m ，即即nm。通通常常将分母多项式的阶数为将分母多项式的阶数为n的系统称为的系统称为n阶系统。阶系统。 （4）传递函数只能表示单输入、单输出的关系。）传递函数只能表示单输入、单输出的关系。第2章第31页EXIT上式中上式中 Kg零极点形式传递函数的根轨迹增益零极点形式传递函数的根轨迹增益 ； -zi 分子多项式分子多项式M(s)=0的根，称为的根，称为零点零点； -pj 分母

26、多项式分母多项式N(s)的根，称为的根，称为极点极点。wN(s)=0是是控控制制系系统统的的特特征征方方程程式式。zi、pj可可为为实实数数、虚虚数数、或或复复数数。若若为为虚虚数数、或或复复数数，必必为为共共轭轭虚虚数数、或或共共轭轭复复数。数。（5）零极点表示法）零极点表示法第2章第32页EXIT（6）时间常数表示法）时间常数表示法 上式中上式中 i分子各因子的分子各因子的时间常数时间常数 ； Tj分母各因子的分母各因子的时间常数时间常数 ； K 时间常数形式传递函数的增益；通常称为时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。传递系数。第2章第33页EXIT一般形式一般形式 第2章第34

27、页EXIT2.3.2 用复阻抗法求电网络的传递函数用复阻抗法求电网络的传递函数元件名称元件名称电路形式路形式元件微分方程元件微分方程阻抗阻抗传递函数函数电阻阻R 电容容C电感感L 求求取取无无源源网网络络或或电电子子调调节节器器的的传传递递函函数数，采采用用阻阻抗抗法法求求取取更更为为方方便便。下下表表列列出出了了电电路路中中电电阻阻、电电容容和和电电感感的的阻阻抗抗传递函数。传递函数。第2章第35页EXIT 解：解： 令令例例2.5 求图示电路的传递函数求图示电路的传递函数 则则第2章第36页EXIT 一一个个系系统统可可看看成成由由一一些些环环节节组组成成的的，可可能能是是电电气气的的，机

28、机械械的的，液液压压的的，气气动动的的等等等等。尽尽管管这这些些系系统统的的物物理理本本质质差差别别很很大大，但但是是描描述述他他们们的的动动态态性性能能的的传传递递函函数数可可能能是是相相同同的的。如如果果我我们们从从数数学学的的表表达达式式出出发发，一一般般可可将将一一个个复复杂杂的的系系统统分分为为有有限限的的一一些些典典型型环环节节所所组组成成，并并求求出出这这些些典典型型环环节节的的传传递递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。函数来，以便于分析及研究复杂的系统。 控控制制系系统统中中常常用用的的典典型型环环节节有有，比比例例环环节节、惯惯性性环环节节、 微微分分环环节节、 积积分分环

29、环节节和和振振荡荡环环节节等等。以以下下介介绍绍这这些些环环节节的的传传递函数及其推导。递函数及其推导。 2.3.3 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数第2章第37页EXIT方框图：方框图：K1. 比例环节（放大环节）比例环节（放大环节） 特点特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。输出量与输入量成正比，不失真也不延时。 举举例例：这这种种类类型型的的环环节节很很多多，机机械械系系统统中中略略去去弹弹性性的的杠杠杆杆、作作为为测测量量元元件件的的测测速速发发电电机机(输输入入为为角角速速度度，输输出出为为电电压压时时)以及电子放大器等，在一定条件下都可以认为是比例环节。以及电子放大器

30、等，在一定条件下都可以认为是比例环节。第2章第38页EXIT例例 如图a所示的电压分压器即为一典型比例环节，当输入量r(t)为阶跃变化信号时，输出量y(t)的变化如图b所示 第2章第39页EXIT方框图：方框图：1/(Ts+1)2. 惯性环节惯性环节 特点特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环入量变化，存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环节的惯性越大，则延迟的时间也越长。节的惯性越大，则延迟的时间也越长。 第2章第40页EXIT1.00.20.40.60.80.630.870.950.980.99T2

31、T3T4T5Tr(t)ty(t)例例 设设输输入入信信号号为为单单位位阶阶跃跃信信号号，其其拉拉普普拉拉斯斯变变换换 ，则得输出量的拉普拉斯变换表达式为，则得输出量的拉普拉斯变换表达式为在在单单位位阶阶跃跃输输入入信信号号的的作作用用下下，惯惯性性环环节节的的输输出出信信号号是是指指数数函函数数。当当时时 间间 t=(34)T时时，输输出出量量才才接近其稳态值。接近其稳态值。 第2章第41页EXIT特点：特点：输出正比于输入对时间的积分。输出正比于输入对时间的积分。3. 积分环节积分环节方框图：1/s第2章第42页EXIT例例 积分调节器电路积分调节器电路 在在单单位位阶阶跃跃输输入入信信号号

32、的的作作用用下下，输输出出量量的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换表表达式为达式为输出量随时间成正比地无限增加输出量随时间成正比地无限增加 第2章第43页EXIT4. 二阶振荡环节二阶振荡环节第2章第44页EXIT方框图：方框图：特点特点： 1、含有两种形式的储能元件，并能将储存的能量相含有两种形式的储能元件，并能将储存的能量相互转换。如动能与位能、电能与磁能间转换。互转换。如动能与位能、电能与磁能间转换。 2、能量转换过程中使输出产生振荡。、能量转换过程中使输出产生振荡。 振荡环节阶跃响应振荡环节阶跃响应第2章第45页EXIT例例 无源无源RLC网络，输入网络，输入r(t) ， 输出输出y(t) 。

33、解：第2章第46页EXIT5. 微分环节微分环节这这些些微微分分环环节节的的传传递递函函数数没没有有极极点点，只只有有零零点点。纯纯微微分分环环节节的的零零点点为为零零，一一阶阶微微分分环环节节和和二二阶阶微微分分环环节节的的零零点点分分别别为为实实数数和和一一对共轭复数。对共轭复数。第2章第47页EXIT例例 具有惯性环节的微分环节具有惯性环节的微分环节解：当当1时，才近似为纯微分环节。时，才近似为纯微分环节。第2章第48页EXIT6. 延延迟迟环节环节方框图：方框图：将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：当延迟时间很小时

34、，可近似为惯性环节：第2章第49页EXIT特点特点： 1、输出和输入相同仅延迟时间、输出和输入相同仅延迟时间；不失真不失真 2、与与其其他他环环节节同同时时存存在在。人人体体、计计算算机机系系统统、液液压机械传动、气动传动。压机械传动、气动传动。原原因因：延延时时效效应应。信信号号输输入入环环节节后后，由由于于环环节节传传递递信信号的速度有限。输出响应要延迟一段时间号的速度有限。输出响应要延迟一段时间才能产生。才能产生。第2章第50页EXIT说明说明: （1）对对应应同同一一元元件件（或或系系统统），可可以以取取不不同同的的量量作作为输出量和输入量，所得到的传递函数是不同的。为输出量和输入量，

35、所得到的传递函数是不同的。 （2）对对于于复复杂杂的的控控制制系系统统，在在建建立立系系统统或或被被控控对对象象的的数数学学模模型型时时，将将其其与与典典型型环环节节的的数数学学模模型型对对比比，即即可可知知其其由由什什么么样样的的典典型型环环节节组组成成。由由于于典典型型环环节节的的动动态态性性能能和和响响应应是是已已知知的的，因因而而给给分分析析、研研究究系系统统性性能能提供很大的方便。提供很大的方便。 （3）典典型型环环节节的的概概念念只只适适用用于于能能够够用用线线性性定定常常数数学模型描述的系统。学模型描述的系统。第2章第51页EXIT2.4 2.4 控制系统的结构图及其等效变换控制

36、系统的结构图及其等效变换第2章第52页EXIT2.4.1 结构图的基本概念结构图的基本概念 系系统统结结构构图图又又称称方方块块图图，是是将将系系统统中中所所有有的的环环节节用用方方块块来来表表示示，按按照照系系统统中中各各个个环环节节之之间间的的联联系系，将将各各方方块块连连接接起起来来构构成成的的；方方块块的的一一端端为为相相应应环环节节的的输输入入信信号号，另另一一端端为为输输出出信信号号，用用箭箭头头表表示示信信号号传传递递的的方方向向，并并在在方方块块内内标明相应环节的传递函数。标明相应环节的传递函数。1.表明了系统的组成、信号的传递方向；表明了系统的组成、信号的传递方向；2.表示出

37、了系统信号传递过程中的数学关系；表示出了系统信号传递过程中的数学关系；3.可揭示、评价各环节对系统的影响；可揭示、评价各环节对系统的影响；4.易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数；易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数；5.直观、方便（图解法）。直观、方便（图解法）。第2章第53页EXIT2.4.2 组成组成 相加点（综合点、比较点）相加点（综合点、比较点） 相同性质的信号进行去取代数和相同性质的信号进行去取代数和 （相同量纲的物理量）（相同量纲的物理量）G(s)R(s)Y(s) 方块：一个元件（环节）方块：一个元件（环节） 信号流线：箭头表示信号传递方向信号流线：箭头表示信号传

38、递方向 分支点：分支点：信号多路输出且相等信号多路输出且相等第2章第54页EXIT2.4.3 建立建立 步骤：步骤： （1）列出描述每个元件的拉普拉斯变换方程。）列出描述每个元件的拉普拉斯变换方程。 （2）以以构构成成结结构构图图的的基基本本要要素素表表示示每每个个方方程程，并并将将各各环环节节的的传传递递函函数数填填入入方方块块图图内内；将将信信号号的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换标标在在信信号号线线附近。附近。 （3）按按照照系系统统中中信信号号传传递递的的顺顺序序，依依次次将将各各环环节节的的结结构构图图连接起来，便构成系统的结构图连接起来，便构成系统的结构图。G (s)H(s)R(s) +

39、Y(s)相加点相加点分支点分支点一个负反馈系统的结构图一个负反馈系统的结构图第2章第55页EXIT2.4.4 结构图的等效变换结构图的等效变换 G1(s)G3(s)G2(s)1. 环节的合并环节的合并（1） 串联串联G1(s) G2(s) G3(s) 第2章第56页EXIT（2）并联）并联G1(s)G2(s)G3(s)G1(s) +G2(s) +G3(s) 第2章第57页EXIT（3） 反馈反馈G1(s)H(s)第2章第58页EXIT2. 信号相加点及分支点的移动信号相加点及分支点的移动 在在对对系系统统进进行行分分析析时时，为为了了简简化化系系统统的的结结构构图图，常常常常需需要要对对信信号

40、号的的分分支支点点或或相相加加点点进进行行变变位位运算，以便消除交叉，求出总的传递函数。运算，以便消除交叉，求出总的传递函数。 变变位位运运算算的的原原则则是是，输输入入和和输输出出都都不不变变。变变换前后的方框图是等效的。换前后的方框图是等效的。第2章第59页EXITG(s)G(s)1/G(s)G(s)G(s)G(s)（1）相加点（对信号求和）相加点（对信号求和）第2章第60页EXIT（2）分支点（信号由某一点分开）分支点（信号由某一点分开）G(s)G(s)G(s)G(s)G(s)1/G(s)第2章第61页EXIT（3）分分支支点点之之间间可可任任意意互互换换， 相相加加点点之之间间可可互互

41、换换（但注意前后符号一致）。（但注意前后符号一致）。（4）相加点和分支点之间一般不能互换变位相加点和分支点之间一般不能互换变位第2章第62页EXIT总总结结：上上面面这这些些规规则则都都是是根根据据下下列列两两条条原原则得到的，即则得到的，即变换前与变换后前向通道中传递函数的变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变；乘积必须保持不变；（前向传函不变）（前向传函不变）变换前与变换后回路中传递函数的乘积变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。必须保持不变。（开环传函不变）（开环传函不变）第2章第63页EXIT注意注意： 有有些些实实际际系系统统，往往往往是是多多回回路路系系统统，

42、形形成成回回路路交交错错或或相相套套。为为便便于于计计算算和和分分析析，常常将将种种复复杂杂的的方方框框图图简简化化为为较较简简单单的方框图。的方框图。 结结构构图图简简化化的的关关键键是是解解除除各各种种连连接接之之间间，包包括括环环路路与与环环路路之间的交叉，应设法使它们分开，或形成大环套小环的形式。之间的交叉，应设法使它们分开，或形成大环套小环的形式。 解解除除交交叉叉连连接接的的有有效效方方法法是是移移动动相相加加点点或或分分支支点点。一一般般，结结构构图图上上相相邻邻的的分分支支点点可可以以彼彼此此交交换换，相相邻邻的的相相加加点点也也可可以以彼彼此此交交换换。但但是是，当当分分支支

43、点点与与相相加加点点相相邻邻时时，它它们们的的位位置置就就不能作简单的交换。不能作简单的交换。第2章第64页EXIT例例2.9 简化下图，求出系统的传递函数。简化下图，求出系统的传递函数。 解解 图2.31是是具具有有交交叉叉连接接的的结构构图。为消消除除交交叉叉，可可采采用用相加点、分支点互相加点、分支点互换的方法的方法处理。理。（1）将相加点）将相加点a移移至至G2之后之后第2章第65页EXIT（2）再与）再与b点交点交换（3）因因 G4与与G1G2并并联， G3与与G2H是是负反反馈环节第2章第66页EXIT（4）上图两环节串联，函数相乘后得系统的传递函数为上图两环节串联，函数相乘后得系

44、统的传递函数为注：注：以上为原系统的闭环传递函数，不是开环系统的传递函数以上为原系统的闭环传递函数，不是开环系统的传递函数 是闭环系统简化的结果；是闭环系统简化的结果；分母中不能看成原闭环系统的开环传递函数，闭环系统开分母中不能看成原闭环系统的开环传递函数，闭环系统开环传递函数应根据定义和具体框图定。环传递函数应根据定义和具体框图定。第2章第67页EXIT归纳规律：归纳规律：通通过上述例子，可以看到如果上述例子，可以看到如果满足以下两个条件：足以下两个条件：所有回路两两相互接触；所有回路两两相互接触；所有回路与所有前向通道接触。所有回路与所有前向通道接触。则可以得到以下几条可以得到以下几条简化

45、化结构构图的的规律：律：闭环系系统传递函数是一个有理分式函数是一个有理分式负反馈取负反馈取“+” 正反馈取正反馈取“”式中，式中， m是前向通道的条数，是前向通道的条数，n是反馈回路数。是反馈回路数。第2章第68页EXIT例例2.10 试简化下图所示系统的结构图，并求系统的传递试简化下图所示系统的结构图，并求系统的传递函数函数 有一条前向通道：有一条前向通道：G1G2G3G4反馈回路开环传递函数：反馈回路开环传递函数：G1G2G3G4 H1， G3G4 H3， G2G3 H2前向通道与反馈回路两两接触前向通道与反馈回路两两接触所以所以第2章第69页EXIT2.5 2.5 自动控制系统的传递函数

46、自动控制系统的传递函数第2章第70页EXIT 输入量、干扰量同时作用于线性系统输入量、干扰量同时作用于线性系统G1(s)G2(s)H(s)反馈控制系统的典型结构反馈控制系统的典型结构 第2章第71页EXIT2.5.1 开环传递函数开环传递函数注注：开开环环传传递递函函数数并并非非指指开开环环控控制制系系统统的的传传递递函函数数，而是指闭环系统断开反馈点后整个环路的传递函数。而是指闭环系统断开反馈点后整个环路的传递函数。 第2章第72页EXIT1.给定输入作用下的闭环传递函数给定输入作用下的闭环传递函数 令令D(s)=0G1(s)G2(s)H(s)2.5.2 闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数

47、第2章第73页EXIT2.扰动作用下的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数 令令R(s)=0G1(s)G2(s)H(s)第2章第74页EXIT3.总输出总输出第2章第75页EXIT2.5.3 闭环系统的偏差传递函数闭环系统的偏差传递函数1.给定输入作用下的偏差传递函数给定输入作用下的偏差传递函数 令令D(s) =0第2章第76页EXIT2.扰动作用下的偏差传递函数扰动作用下的偏差传递函数 令令R(s)=03.总偏差总偏差第2章第77页EXIT闭环系统的特征多项式闭环系统的特征多项式闭环系统的特征方程。其根称为闭环闭环系统的特征方程。其根称为闭环 系统的特征根或闭环系统的极点。系统的特征根或闭环

48、系统的极点。 第2章第78页EXIT2.6 2.6 2.6 2.6 信号流图信号流图信号流图信号流图 第2章第79页EXIT2.6.1 信号流图的基本要素信号流图的基本要素节点节点代表系统中的一个变量或信号。用符号代表系统中的一个变量或信号。用符号“ ”表示。表示。 支支路路是是连连接接两两个个节节点点的的定定向向线线段段。用用符符号号“”表表示示，其中的箭头表示信号的传送方向。其中的箭头表示信号的传送方向。 传传输输亦亦称称支支路路增增益益，支支路路传传输输定定量量地地表表明明变变量量从从支支路路一一端端沿沿箭箭头头方方向向传传送送到到另另一一端端的的函函数数关关系系。用用标标在在支支路路旁

49、旁边边的的传递函数传递函数“G”表示支路传输。表示支路传输。 第2章第80页EXIT2.6.2 信号流图的常用术语信号流图的常用术语1节点及其类别节点及其类别w源源节节点点 只只有有输输出出支支路路而而无无输输入入支支路路的的节节点点称称为为源源节节点点或或输入节点，对应于系统的输入变量，如图输入节点，对应于系统的输入变量，如图2.40中的中的R、D。w阱阱节节点点 只只有有输输入入支支路路而而无无输输出出支支路路的的节节点点称称为为阱阱节节点点或或输出节点，它对应于系统的输出变量，如图输出节点，它对应于系统的输出变量，如图2.40中的中的C。w混混合合节节点点 既既有有输输入入支支路路又又有

50、有输输出出支支路路的的节节点点称称为为混混合合节节点，如图点，如图2.40中的中的E、P 、Q。第2章第81页EXIT2通道及其类别通道及其类别w通通道道 凡凡从从某某一一个个节节点点开开始始，沿沿着着支支路路箭箭头头方方向向连连续续经经过过一一些些支支路路而而终终止止于于另另一一节节点点（或或同同一一节节点点）的的路路径径，如如图图2.40中中REPQC、DPG2QC、PG2QHE等。等。w前前向向通通道道 从从源源节节点点开开始始并并且且终终止止于于阱阱点点，与与其其它它节节点点相相交不多于一次的通道，如图交不多于一次的通道，如图2.40中的中的REPQC、DPG2QC 等。等。w回回路路

51、 通通道道的的起起点点和和终终点点是是同同一一节节点点，并并且且与与其其它它任任何何节节点点相相交交不不多多于于一一次次的的闭闭合合路路径径，如如图图2.40中中的的EPQHE。只只与一个节点相交的回路，称为自回路。与一个节点相交的回路，称为自回路。w不不接接触触回回路路 信信号号流流图图中中，没没有有任任何何共共同同节节点点的的回回路路，称称为不接触回路或互不接触回路。为不接触回路或互不接触回路。 第2章第82页EXIT3传输及其类别传输及其类别w通道传输通道传输 通道中各支路传输的乘积称为通道的传输。通道中各支路传输的乘积称为通道的传输。w回路传输回路传输 回路中各支路传输的乘积，称为回路

52、的传输。回路中各支路传输的乘积，称为回路的传输。w前前向向通通道道传传输输 前前向向通通道道中中各各支支路路传传输输的的乘乘积积称称为为前前向向通通道的传输道的传输。第2章第83页EXIT2.6.3 信号流图的性质信号流图的性质1信号流图只能用来表示代数方程组。信号流图只能用来表示代数方程组。2节点把所有输入信号叠加，传到所有的输出支路。节点把所有输入信号叠加，传到所有的输出支路。3信信号号只只能能沿沿支支路路的的肩肩头头方方向向流流通通，后后一一个个节节点点对对前前一一个个节点没有负载效应（即无反作用）。节点没有负载效应（即无反作用）。4对于给定的系统，信号流图不是唯一的。对于给定的系统，信

53、号流图不是唯一的。第2章第84页EXIT2.6.4 信号流图的等效变换法则信号流图的等效变换法则第2章第85页EXIT2.6.5 梅逊（梅逊（Mason）公式公式 第2章第86页EXIT例例2.12 用梅逊增益公式求图用梅逊增益公式求图2.43所示的传递函数。所示的传递函数。解解 一条前向通道，一条前向通道，P1=G1G2G3G4G5 三个反馈回路，三个反馈回路，L1=G2G3H1 L2=G3G4H2 L3=G1G2G3G4H3三三个个回回路路相相互互接接触触，=1 (L1 +L2 +L3)=1 (G2G3H1 G3G4H2 G1G2G3G4H3)第2章第87页EXIT三个回路均与前向通道接触

54、，三个回路均与前向通道接触，1=1第2章第88页EXIT2.7 2.7 2.7 2.7 脉冲响应函数脉冲响应函数脉冲响应函数脉冲响应函数 第2章第89页EXIT 脉脉冲冲响响应应函函数数也也是是线线性性系系统统的的一一种种数数学学模模型型。在在零零初初始始条条件件下下，当当系系统统的的输输入入信信号号为为理理想想单单位位脉脉冲冲函函数数(t)时时，系系统统的的输输出出信信号号称称为为系系统统的的脉脉冲冲响响应应函函数数，用用g(t)表示。表示。由以上两式可得系统的输出量由以上两式可得系统的输出量第2章第90页EXIT例例2.14 已知系统的脉冲响应函数为已知系统的脉冲响应函数为求系统的传递函数

55、求系统的传递函数G(s)。第2章第91页EXIT 本讲小结本讲小结1.本本讲讲讨讨论论线线性性系系统统的的数数学学模模型型、微微方方、传传递递函函数数、结结构构图图，信号流图都是用来描述线性系统数学模型。信号流图都是用来描述线性系统数学模型。2.实实际际系系统统的的原原部部件件不不同同程程度度存存在在非非线线性性特特性性，当当系系统统在在实实际际工工作作的的平平衡衡位位置置附附近近，若若非非线线性性不不太太严严重重（不不是是本本质质非非线线性性），并并且且工工作作范范围围比比较较小小的的情情况况下下，可可将将非非线线性性关关系系用用微微偏偏线线性性化化近近似似为为线线性性关关系系，使使整整个个

56、系系统统用用线线性性微微方方来来描述。很多实际系统可以进行这样的线性化。描述。很多实际系统可以进行这样的线性化。3.传传递递函函数数是是经经典典控控制制理理论论中中最最重重要要的的数数学学模模型型。在在初初始始条条件件为为零零时时，将将描描述述线线性性系系统统运运动动的的微微方方中中的的微微分分算算子子d/dt，d2/dt2用用相相应应的的复复变变量量s、s2代代替替，即即可可得得线线性性系系统统传递函数。传递函数。第2章第92页EXIT4.传传递递函函数数是是系系统统（或或元元件件）一一个个输输入入量量与与一一个个输输出出量量之之间间关关系系的的数数学学描描述述，它它不不涉涉及及系系统统内内

57、部部状状态态变变化化情情况况，为为输输入入输输出出模型。模型。5.结结构构图图是是系系统统数数学学模模型型的的一一种种图图形形表表达达形形式式。由由系系统统结结构构图图可可直直观观看看出出系系统统的的组组成成，信信号号的的传传送送方方向向，各各组组成成环环节节输输入入与与输输出出量量之之间间的的关关系系，利利用用结结构构图图的的等等效效变变换换法法则则可可得得系系统统总总的的传传递函数。递函数。6.信信号号流流图图也也是是控控制制系系统统的的一一种种用用图图形形表表示示的的数数学学模模型型。其其符符号号简简单单，便便于于绘绘制制。可可以以根根据据统统一一的的公公式式直直接接求求得得系系统统的的传传递递函函数。数。7.通通过过本本章章学学习习，要要正正确确理理解解传传递递函函数数这这个个基基本本概概念念，应应熟熟悉悉绘绘制制系系统统的的结结构构图图和和从从结结构构图图中中求求取取闭闭环环系系统统传传递递函函数数的的方方法法同同时应理解系统各种情况下闭环传递函数的意义时应理解系统各种情况下闭环传递函数的意义。