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1、结构动力学结构动力学 张系斌2015.5.1二、体系的运动方程建立二、体系的运动方程建立2.1 建立运动方程的基本步骤建立运动方程的基本步骤2.2 运动方程建立举例运动方程建立举例2.3 体系运动方程的一般形式体系运动方程的一般形式2.4 应注意的几个问题应注意的几个问题2.5 刚度法、柔度法列方程的步骤刚度法、柔度法列方程的步骤2.6 运动方程建立总结运动方程建立总结 2运动方程的建立运动方程的建立 建立动力体系运动方程常用的三种方法是直接平衡法、虚位移原理方法和哈密尔顿原理方法；运动方程可用上述三种方法中的任一种建立。对于简单体系，最明了的方法是采用直接平衡法建立包括惯性力在内的作用于体系
2、上的全部力的平衡关系，得出运动方程。对于更复杂的体系，直接建立矢量平衡关系可能是困难的，此时采用功和能等标量建立平衡关系更为方便；其中包括虚位移原理方法和哈密尔顿原理方法。上述三种方法的结果是完全相同的，采用何种方法取决于是否方便、个人的喜好以及动力体系的性质。3牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律 4直接平衡法直接平衡法 通过动力体系各质点的力矢量平衡关系建立运动方程的方法。质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向相反。这一概念称为达兰贝尔原理。借助该原理可以把运动方程表示为动力平衡方程。方程中的力包括多种作用于质量上的力，如抵抗位移的弹性恢复力、抵抗速度的粘滞阻尼力以及其它独立确定的外荷载
3、。因此，运动方程的表达式仅仅是作用于质量上所有力（包含惯性力）的平衡表达式。在许多简单问题中，直接平衡法是建立运动方程的最直接而且方便的方法。 56虚位移原理虚位移原理 虚位移原理可表述为：如果一组力作用下的平衡体系承受一个虚位移（即体系约束所允许的任何微小位移），则这些力所作的总功（虚功）等于零，虚功为零和体系平衡是等价的。因此，只要明了作用于体系质量上的全部力（包括按照达兰贝尔原理所定义的惯性力），然后引入对应每个自由度的虚位移，并使全部力作的功等于零，则可导出运动方程。虚功为标量，故可依代数方法相加，这是此法的主要优点。 当结构体系相当复杂，且包含许多彼此联系的质量点或有限尺寸的质量块时
4、，直接写出作用于体系上的所有力的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。78哈密尔顿原理哈密尔顿原理 9102.1 建立建立运动方程的基本步骤运动方程的基本步骤 作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程的平衡方程得到运动方程的平衡方程得到运动方程的平衡方程得到运动方程的“ “直接平衡法直接平衡法直接平衡法直接平衡法” ”。以下讨论。以下讨
5、论。以下讨论。以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般步骤为：直接平衡法列方程的一般步骤为：直接平衡法列方程的一般步骤为：直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 1) 确定体系的自由度确定体系的自由度确定体系的自由度确定体系的自由度质量独立位移数；质量独立位移数；质量独立位移数；质量独立位移数； 2) 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；建立坐标系，确定未知位移（坐标
6、正向为正）； 3) 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）； 5) 5) 取质量为隔离体并作受力图；取质量为隔离体并作受力图；取质量为隔离体
7、并作受力图；取质量为隔离体并作受力图； 6) 6) 根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方程，此方程就是运动（微分）方程。程，此方程就是运动（微分）方程。程，此方程就是运动（微分）方程。程，此方程就是运动（微分）方程。列平衡方程称刚度法列平衡方程称刚度法112.1 建立建立运动方程的基本步骤运动方程的基本步骤 作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列作为本科学习，这里只讨论用
8、达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程的平衡方程得到运动方程的平衡方程得到运动方程的平衡方程得到运动方程的“ “直接平衡法直接平衡法直接平衡法直接平衡法” ”。以下讨论。以下讨论。以下讨论。以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般步骤为：直接平衡法列方程的一般步骤为：直接平衡法列方程的一般步骤为：直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 1) 确定体系的自由度确定体系的自由度确定体系的自由度确定体系的自由度质量独立位移数；质量独立位移数；质量独立位移数；质量独立位
9、移数； 2) 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上
10、）；（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；列位移方程称柔度法列位移方程称柔度法 5) 5) 将动力外荷、惯性力、阻尼力作为将动力外荷、惯性力、阻尼力作为将动力外荷、惯性力、阻尼力作为将动力外荷、惯性力、阻尼力作为“ “外力外力外力外力” ”，按，按，按，按位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。应该等于未知位移（
11、满足协调），由此建立方程。应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。122.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程例例例例-1) -1) 试建立图示结构的运动方程。试建立图示结构的运动方程。试建立图示结构的运动方程。试建立图示结构的运动方程。h h mm EI EIP P( (t t) )解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平位移。设生水平位移。设生水平位移。设生水平位移。设x x坐标向右
12、（右手系）。坐标向右（右手系）。坐标向右（右手系）。坐标向右（右手系）。 又设横梁（质量又设横梁（质量又设横梁（质量又设横梁（质量mm）位移为）位移为）位移为）位移为u u，以它为，以它为，以它为，以它为隔离体，受力如图所示。隔离体，受力如图所示。隔离体，受力如图所示。隔离体，受力如图所示。P P( (t t) )h h 列列列列x x方向全部力的平衡方程，即可得结构方向全部力的平衡方程，即可得结构方向全部力的平衡方程，即可得结构方向全部力的平衡方程，即可得结构的运动方程为的运动方程为的运动方程为的运动方程为 图中图中图中图中F Fs1s1和和和和F Fs2s2可由图是有位移法（实际可由图是有
13、位移法（实际可由图是有位移法（实际可由图是有位移法（实际直接可由形常数）得到直接可由形常数）得到直接可由形常数）得到直接可由形常数）得到132.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度对称振动。设质量竖向位移为对称振动。设质量竖向位移为对称振动。设质量竖向位移为对称振动。设质量竖向位移为v v，向下为正。，向下为正
14、。，向下为正。，向下为正。 将惯性力将惯性力将惯性力将惯性力f fI I、阻尼力、阻尼力、阻尼力、阻尼力f fd d如图所示加于梁如图所示加于梁如图所示加于梁如图所示加于梁上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定l l/2 /2 l l/2 /2 mm例例例例-2) -2) 试建立图示抗弯刚度为试建立图示抗弯刚度为试建立图示抗弯刚度为试建立图示抗弯刚度为 EI EI 简支梁简支梁简支梁简支梁的运动方程。（不计轴向变形）的运动方程。（不计轴向变形）的运动方程。（不计轴向变形）的运动方程。（不计轴向变形）l l/2 /
15、2 l l/2 /2 f fI If fd dP P( (t t) )P P( (t t) ) 由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移为为为为因此在所示因此在所示因此在所示因此在所示“ “外力外力外力外力” ”下，质量的位移为下，质量的位移为下，质量的位移为下，质量的位移为142.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程例例例例-3) -3) 试建立图示结构的
16、运动方程。试建立图示结构的运动方程。试建立图示结构的运动方程。试建立图示结构的运动方程。h h mm EI EIP P( (t t) )解：由于横梁刚度无穷大，结构只能解：由于横梁刚度无穷大，结构只能解：由于横梁刚度无穷大，结构只能解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平位移。设质量产生水平位移。设质量产生水平位移。设质量产生水平位移。设质量mm位移为位移为位移为位移为u u，向向向向右为正。根据达朗泊尔原理和假设的右为正。根据达朗泊尔原理和假设的右为正。根据达朗泊尔原理和假设的右为正。根据达朗泊尔原理和假设的阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受阻尼力理论，加惯性力
17、和阻尼力后受阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受力如图。力如图。力如图。力如图。 P P( (t t) )h h 由超静定位移计算可得（如图示意）由超静定位移计算可得（如图示意）由超静定位移计算可得（如图示意）由超静定位移计算可得（如图示意）h h 1 1 因此，外力下位移为因此，外力下位移为因此，外力下位移为因此，外力下位移为显然，整理显然，整理显然，整理显然，整理後结果和例後结果和例後结果和例後结果和例-1-1）相同，）相同，）相同，）相同，k=k= -1-1152.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度
18、体系运动方程解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度对称振动。设质量竖向位移为对称振动。设质量竖向位移为对称振动。设质量竖向位移为对称振动。设质量竖向位移为v v，向下为正。，向下为正。，向下为正。，向下为正。l l/2 /2 l l/2 /2 mm例例例例-4) -4) 试建立图示抗弯刚度为试建立图示抗弯刚度为试建立图示抗弯刚度为试建立图示抗弯刚度为 EI EI 简支梁简支梁简支梁简支梁的运动方程。（不计轴向变形）的运动方程。（不计轴向变形）的运动方
19、程。（不计轴向变形）的运动方程。（不计轴向变形）P P( (t t) )因此由所示因此由所示因此由所示因此由所示“ “外力外力外力外力” ”平衡可得平衡可得平衡可得平衡可得1 1R RP P( (t t) )R RR Rf fI I+ + f fd d 利用对称性由（形常数）可得质量点利用对称性由（形常数）可得质量点利用对称性由（形常数）可得质量点利用对称性由（形常数）可得质量点处所加支杆单位位移时的处所加支杆单位位移时的处所加支杆单位位移时的处所加支杆单位位移时的R R（= =？）。以？）。以？）。以？）。以mm为隔离体，加上惯性力为隔离体，加上惯性力为隔离体，加上惯性力为隔离体，加上惯性力
20、f fI I、阻尼力、阻尼力、阻尼力、阻尼力f fd d如如如如图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定显然显然显然显然, ,整理後结果和例整理後结果和例整理後结果和例整理後结果和例-2)-2)相同，相同，相同，相同，k=k= -1-1162.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程解：将惯性力解：将惯性力解：将惯性力解：将惯性力f fI I、阻尼力、阻尼力、阻尼力、阻尼力f fd d如图所示加于梁上
21、，根据达如图所示加于梁上，根据达如图所示加于梁上，根据达如图所示加于梁上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定朗泊尔原理和阻尼假定朗泊尔原理和阻尼假定朗泊尔原理和阻尼假定仅在仅在仅在仅在P P( (t t) )作用下作用下作用下作用下mm的位移由位移计算得的位移由位移计算得的位移由位移计算得的位移由位移计算得l l/2 /2 l l/2 /2 mm例例例例-5) -5) 若例若例若例若例-2)-2)简支梁动荷载作用在简支梁动荷载作用在简支梁动荷载作用在简支梁动荷载作用在3 3l/ l/4 4处处处处, ,试建立其运动方程试建立其运动方程试建立其运动方程试建立其运动方程l l/2 /2 l l/2 /2
22、f fI If fd dP P( (t t) )P P( (t t) ) 由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移为为为为作业：作业： P -1的的物理意义物理意义是什麽？是什麽？ 因此在所示因此在所示因此在所示因此在所示“ “外力外力外力外力” ”下，质量的位移为下，质量的位移为下，质量的位移为下，质量的位移为172.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程解
23、：设质量水平位移为解：设质量水平位移为解：设质量水平位移为解：设质量水平位移为u u，向右为正。，向右为正。，向右为正。，向右为正。例例例例-6) -6) 试建立图示质量、弹簧、阻尼器抽试建立图示质量、弹簧、阻尼器抽试建立图示质量、弹簧、阻尼器抽试建立图示质量、弹簧、阻尼器抽象化模型的运动方程。象化模型的运动方程。象化模型的运动方程。象化模型的运动方程。因此由所示因此由所示因此由所示因此由所示“ “外力外力外力外力” ”平衡可得平衡可得平衡可得平衡可得mmk k 以以以以mm为隔离体，加上惯性力为隔离体，加上惯性力为隔离体，加上惯性力为隔离体，加上惯性力f fI I、阻尼力、阻尼力、阻尼力、阻
24、尼力f fd d如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复力如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复力如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复力如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复力f fe e 。根据达朗泊尔原理和阻尼假定。根据达朗泊尔原理和阻尼假定。根据达朗泊尔原理和阻尼假定。根据达朗泊尔原理和阻尼假定c cmmP P(t)(t)P P(t)(t)f fI If fe ef fd d 由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运动方程的最终形式都是一样的。动方程的最终形式都是一样的。动方程
25、的最终形式都是一样的。动方程的最终形式都是一样的。182.2 运动方程运动方程建立建立举例举例单自由度体系运动方程建立小结单自由度体系运动方程建立小结单自由度体系运动方程建立小结单自由度体系运动方程建立小结 任何单自由度结构，运动方程都可写为任何单自由度结构，运动方程都可写为任何单自由度结构，运动方程都可写为任何单自由度结构，运动方程都可写为式中：式中：式中：式中：mm质量；质量；质量；质量；c c阻尼系数；阻尼系数；阻尼系数；阻尼系数；k k刚度系数；刚度系数；刚度系数；刚度系数；P Peqeq为等效动为等效动为等效动为等效动荷载。荷载。荷载。荷载。 当动荷载直接作用在质量上时，当动荷载直接
26、作用在质量上时，当动荷载直接作用在质量上时，当动荷载直接作用在质量上时，P Peqeq为动荷载的合力为动荷载的合力为动荷载的合力为动荷载的合力在运动方向的投影；在运动方向的投影；在运动方向的投影；在运动方向的投影； 当动荷载不作用在质量上时，当动荷载不作用在质量上时，当动荷载不作用在质量上时，当动荷载不作用在质量上时，P Peqeq为动荷载作用下限为动荷载作用下限为动荷载作用下限为动荷载作用下限制沿自由度运动的支座反力。制沿自由度运动的支座反力。制沿自由度运动的支座反力。制沿自由度运动的支座反力。 用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求用刚度法
27、还是用柔度法建立方程，看具体问题是求用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。 没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动192.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程解：结构为两自由度体系。设水平、竖解：结构
28、为两自由度体系。设水平、竖解：结构为两自由度体系。设水平、竖解：结构为两自由度体系。设水平、竖向位移为向位移为向位移为向位移为u u、v v，分别向右、向下为正。，分别向右、向下为正。，分别向右、向下为正。，分别向右、向下为正。例例例例-7) -7) 试建立图示结构的运动方程。各杆试建立图示结构的运动方程。各杆试建立图示结构的运动方程。各杆试建立图示结构的运动方程。各杆长度为长度为长度为长度为l l，抗弯刚度为，抗弯刚度为，抗弯刚度为，抗弯刚度为EI EI。式中式中式中式中c cij ij 为为为为j j方向单位速度引起的方向单位速度引起的方向单位速度引起的方向单位速度引起的i i方向的方向的
29、方向的方向的阻尼力。阻尼力。阻尼力。阻尼力。mm 根据达朗泊尔原理和阻尼假定根据达朗泊尔原理和阻尼假定根据达朗泊尔原理和阻尼假定根据达朗泊尔原理和阻尼假定P Px x( (t t) )1 11 1f fIx Ix+f+fdxdxf fIy Iy+f+fdydy+ +P Py y( (t t) )P Px x( (t t) )P Py y( (t t) ) 为用柔度法建方程，沿位移正向加单为用柔度法建方程，沿位移正向加单为用柔度法建方程，沿位移正向加单为用柔度法建方程，沿位移正向加单位力的单位弯矩图如图所示。位力的单位弯矩图如图所示。位力的单位弯矩图如图所示。位力的单位弯矩图如图所示。20mmP
30、 Px x( (t t) )1 11 1f fIx Ix+f+fdxdxf fIy Iy+f+fdydy+ +P Py y( (t t) )P Px x( (t t) )P Py y( (t t) )2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 由图示单位弯矩图由图示单位弯矩图由图示单位弯矩图由图示单位弯矩图 可求得可求得可求得可求得因此，在所示因此，在所示因此，在所示因此，在所示“ “外力外力外力外力” ”下下下下u u、v v分别为分别为分别为分别为212.2 运动方程运动方程建立建立举例举
31、例2.2.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 以矩阵方程表示，整理後可得以矩阵方程表示，整理後可得以矩阵方程表示，整理後可得以矩阵方程表示，整理後可得记作记作记作记作 d d 称位移阵称位移阵称位移阵称位移阵记作记作记作记作 P P 称荷载阵称荷载阵称荷载阵称荷载阵记作记作记作记作 f f 称柔度阵称柔度阵称柔度阵称柔度阵记作记作记作记作 MM 称质量阵称质量阵称质量阵称质量阵记加速度、速度矩阵分别为记加速度、速度矩阵分别为记加速度、速度矩阵分别为记加速度、速度矩阵分别为和和和和则上式可写为则上式可写为则上式可写为则上式可写为记作记
32、作记作记作 C C 称阻尼阵称阻尼阵称阻尼阵称阻尼阵222.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程解：为用刚度法建方程，沿位移正向加解：为用刚度法建方程，沿位移正向加解：为用刚度法建方程，沿位移正向加解：为用刚度法建方程，沿位移正向加限制位移的支座如图所示。限制位移的支座如图所示。限制位移的支座如图所示。限制位移的支座如图所示。例例例例-8) -8) 试用刚度法建立结构的运动方程。试用刚度法建立结构的运动方程。试用刚度法建立结构的运动方程。试用刚度法建立结构的运动方程。图中图中图中图中 由位移
33、法或弯矩分配法可做出支座单由位移法或弯矩分配法可做出支座单由位移法或弯矩分配法可做出支座单由位移法或弯矩分配法可做出支座单位位移的弯矩图如图示。位位移的弯矩图如图示。位位移的弯矩图如图示。位位移的弯矩图如图示。mmP Px x( (t t) )P Py y( (t t) )1 11 1MM1 1MM2 2MM3 3MM4 4232.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程mmP Px x( (t t) )P Py y( (t t) )图中图中图中图中1 11 1k k1111k k2121k k
34、1212k k2222MM1 1MM2 2MM3 3MM4 4由此可求得图示反力由此可求得图示反力由此可求得图示反力由此可求得图示反力( (刚度刚度刚度刚度) )系数系数系数系数k kij ij24 取质量为隔离体，加惯性力取质量为隔离体，加惯性力取质量为隔离体，加惯性力取质量为隔离体，加惯性力f fIx Ix、 f fIy Iy，阻尼力阻尼力阻尼力阻尼力f fdx dx 、 f fdydy和弹性恢复力和弹性恢复力和弹性恢复力和弹性恢复力f fexex、 f feyey。2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程
35、两自由度体系运动方程f fIx Ixf fdxdxf fexexP Px xf fIy Iyf feyeyf fdydyP Py y 由达朗泊尔原理、阻尼理论和上述结由达朗泊尔原理、阻尼理论和上述结由达朗泊尔原理、阻尼理论和上述结由达朗泊尔原理、阻尼理论和上述结果可得果可得果可得果可得 列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下记作记作记作记作 k k 称刚度阵称刚度阵称刚度阵称刚度阵由两例系数结果可证由两例系数结果可证由两例系数结果可证由两例系数结果可证 k
36、k=f f -1-1252.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程解：为用刚度法建方程，沿位移正向使解：为用刚度法建方程，沿位移正向使解：为用刚度法建方程，沿位移正向使解：为用刚度法建方程，沿位移正向使限制位移的支座产生图示单位位移。限制位移的支座产生图示单位位移。限制位移的支座产生图示单位位移。限制位移的支座产生图示单位位移。例例例例-9) -9) 试用刚度法建立图示剪切型结构的试用刚度法建立图示剪切型结构的试用刚度法建立图示剪切型结构的试用刚度法建立图示剪切型结构的运动方程。运动方程。运动
37、方程。运动方程。k k1 1和和和和k k2 2为层侧移刚度。为层侧移刚度。为层侧移刚度。为层侧移刚度。 由层刚度定义可得由层刚度定义可得由层刚度定义可得由层刚度定义可得1 1h h1 1h h2 2k k1 1k k2 2h h1 1h h2 2k k1 1k k2 21 1k k1111k k2121k k2222k k1212h h2 2h h1 1k k1 1k k2 2mm1 1mm2 2P P2 2( (t t) )P P1 1( (t t) )P P1 1( (t t) )f fe e1 1f fd d1 1f fI I1 1P P2 2( (t t) )f fe e2 2f f
38、I I2 2f fd d2 2加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体26P P1 1( (t t) )f fe e1 1f fd d1 1f fI I1 1P P2 2( (t t) )f fe e2 2f fI I2 2f fd d2 22.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 图中各项和前面例子相仿，分别为图中各项和前面例子相仿，分别为图中各项和前面例子相仿，分别为图中各项和前面例子相仿，分别为 列
39、平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下记作记作记作记作 k k 称刚度阵称刚度阵称刚度阵称刚度阵272.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程解：本例除荷载作用位置外，其他和例解：本例除荷载作用位置外，其他和例解：本例除荷载作用位置外，其他和例解：本例除荷载作用位置外，其他和例-7-7完全相同。因此，惯性力、阻尼力、柔度完全相同。因此，惯性力、阻尼力、柔度完全
40、相同。因此，惯性力、阻尼力、柔度完全相同。因此，惯性力、阻尼力、柔度系数等直接可以利用系数等直接可以利用系数等直接可以利用系数等直接可以利用例例例例-10) -10) 试建立图示结构的运动方程。各试建立图示结构的运动方程。各试建立图示结构的运动方程。各试建立图示结构的运动方程。各杆长度为杆长度为杆长度为杆长度为l l、刚度为、刚度为、刚度为、刚度为EI EI。荷载在杆中间。荷载在杆中间。荷载在杆中间。荷载在杆中间。mmP P ( (t t) )P P ( (t t) )1 11 1f fIx Ix+f+fdxdxf fIy Iy+f+fdydy282.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2
41、.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 由图示荷载和单位弯矩图由图示荷载和单位弯矩图由图示荷载和单位弯矩图由图示荷载和单位弯矩图 可求得可求得可求得可求得因此，在所示因此，在所示因此，在所示因此，在所示“ “外力外力外力外力” ”下下下下u u、v v分别为分别为分别为分别为mmP P ( (t t) )1 11 1f fIy Iy+f+fdydyf fIx Ix+f+fdxdxP P ( (t t) )P P ( (t t) )292.2 运动方程运动方程建立建立举例举例2.2.2 2.2.2 两自由度体系运动方程两自由度体系运动方
42、程两自由度体系运动方程两自由度体系运动方程 以矩阵方程表示，整理後可得以矩阵方程表示，整理後可得以矩阵方程表示，整理後可得以矩阵方程表示，整理後可得记作记作记作记作 d d 称位移阵称位移阵称位移阵称位移阵记作记作记作记作 f f 称柔度阵称柔度阵称柔度阵称柔度阵记作记作记作记作 MM 称质量阵称质量阵称质量阵称质量阵记加速度、速度矩阵分别为记加速度、速度矩阵分别为记加速度、速度矩阵分别为记加速度、速度矩阵分别为和和和和则上式可写为则上式可写为则上式可写为则上式可写为记作记作记作记作 C C 称阻尼阵称阻尼阵称阻尼阵称阻尼阵记作记作记作记作 P P称荷载位移称荷载位移称荷载位移称荷载位移302
43、.2 运动方程运动方程建立建立举例举例两自由度体系运动方程建立小结两自由度体系运动方程建立小结两自由度体系运动方程建立小结两自由度体系运动方程建立小结 任何两自由度结构，运动方程都可写为任何两自由度结构，运动方程都可写为任何两自由度结构，运动方程都可写为任何两自由度结构，运动方程都可写为式中：式中：式中：式中： mm 为质量、为质量、为质量、为质量、 c c 为阻尼、为阻尼、为阻尼、为阻尼、 k k 为刚度、为刚度、为刚度、为刚度、 P Peq eq 为等为等为等为等效动荷载矩阵。效动荷载矩阵。效动荷载矩阵。效动荷载矩阵。 当动荷载直接作用在质量上时，当动荷载直接作用在质量上时，当动荷载直接作
44、用在质量上时，当动荷载直接作用在质量上时， P Peq eq 为动荷载的合为动荷载的合为动荷载的合为动荷载的合力在运动方向的投影所组成的矩阵；力在运动方向的投影所组成的矩阵；力在运动方向的投影所组成的矩阵；力在运动方向的投影所组成的矩阵； 当动荷载不作用在质量上时，当动荷载不作用在质量上时，当动荷载不作用在质量上时，当动荷载不作用在质量上时， P Peq eq 为动荷载作用下为动荷载作用下为动荷载作用下为动荷载作用下限制沿自由度运动的支座反力所组成的矩阵。限制沿自由度运动的支座反力所组成的矩阵。限制沿自由度运动的支座反力所组成的矩阵。限制沿自由度运动的支座反力所组成的矩阵。 用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。 没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动31
