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1、 因子与倍数的基本概念2019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法1 1在国小数学中，因子与倍数的 讨论以正整数正整数为范围。项项 目目 整整 除除意意 义义整数除以整数，商是整数，整数除以整数，商是整数，而余数是而余数是0 0，即为整除。，即为整除。实实 例例4264267 7 0 04242能被能被6 6整除整除 or 6or 6能整除能整除42422019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法2 2 因子与倍数的关系因子与倍数的关系项项项项目目目目 因因 数数倍倍 数数意意意意 义义义义a a、b b为整数为整数 , , a a b b能整除时能整除
2、时, , b b就是就是a a的因子。的因子。某个整数的整数倍所得的数某个整数的整数倍所得的数 , ,即为这个整数的倍数即为这个整数的倍数。作作作作 法法法法1. 1.从从1 1起依次去除该数起依次去除该数 , , 凡能整除的各个除数凡能整除的各个除数 , , 就是该数的因子。就是该数的因子。 2. 2.因子分解法因子分解法1. 1.以乘法观点来看以乘法观点来看, , 积是被乘数与乘数的倍数积是被乘数与乘数的倍数。2. 2.以除法观点来看以除法观点来看, , 被除数是商与除数的被除数是商与除数的 倍数倍数。实实实实 例例例例1 1、2 2、3 3、6 6、皆可以整除皆可以整除6 6，所以，所以
3、1 1、2 2、3 3、6 6都是都是6 6的因子。的因子。5 56630303030是是5 5和和6 6的倍数的倍数。2872874 42828是是4 4和和7 7的倍数的倍数。项项 目目 因因 数数倍倍 数数特特 性性任何整数的因子任何整数的因子任何整数的因子任何整数的因子, ,有一定的个有一定的个有一定的个有一定的个数数数数, , 而且一定有而且一定有而且一定有而且一定有1 1和本身。和本身。和本身。和本身。1. 1.每个数的最小倍数每个数的最小倍数 是它本身是它本身, , 最大无最大无 限大。限大。2. 2.倍数有倍数有倍数有倍数有无限多个无限多个无限多个无限多个。3. 3. a a是
4、是b b的倍数时的倍数时 , , b b一定是一定是a a的因子的因子 因子与倍数的关系2019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法4 4 质数与合数的概念项目项目质质 数数合合 数数意意义义任何大于任何大于1 1的整数的整数，只有只有只有只有1 1和它自己两个因子和它自己两个因子和它自己两个因子和它自己两个因子，该该整数就整数就是质数是质数任何大于任何大于1 1的整数，除了的整数，除了1 1和和它自己以外，还有别的因子，它自己以外，还有别的因子，该整数就是合数该整数就是合数。实实例例1313的因子只有的因子只有1 1和和13 13 1313就是质数。就是质数。 5 5的因
5、子只有的因子只有1 1 和和5 5 5 5就是质数。就是质数。质数中质数中, , 只有只有 2 2是偶数是偶数 , , 其余都是奇数其余都是奇数15 15 的因子有的因子有1 1、3 3、5 5、1515 1515 就是就是合数合数。1是质数吗？是质数吗？0和和1不列入质不列入质数和合数中数和合数中2019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法5 5 因子分解与质因数分解将一个整数表示成 因子的乘积。ex：1511535 15的因子有 1、3、5、15将15分解成因数35的乘积称为因子分解因子分解因子分解因子分解将一个整数表示成将一个整数表示成 质因数的连乘积质因数的连乘积。
6、 ex： 2 20 10 20 2 10 2 5 202251质因数分解可使用短除法质因数分解可使用短除法, , 但算式但算式 中的因子一定是质数。中的因子一定是质数。一个质数同时又是另一个整数的一个质数同时又是另一个整数的 因子因子,则称它为该整数的质因数则称它为该整数的质因数。 2019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法6 6 公因子和最大公因子公因子和最大公因子公因子 几个整数的共同因子 , 称为公因子。最大公因子公因子中最大的因子叫做最大公因子。ex： 8 的因子有1，2，4，8。 12 的因子有1，2，3，4，6，12。 1，2，4 就是8和12的公因数，而4就
7、是最大公因子。 由以上观察发现由以上观察发现 公因子的个数是有限个。公因子的个数是有限个。一一组数的所有公因子组数的所有公因子 ,一定是最大公因子的所有因子一定是最大公因子的所有因子。只要知道一组数的最大公因子只要知道一组数的最大公因子,便能找出它们的便能找出它们的 所有的公因子。所有的公因子。2019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法7 7 公因子和最大公因子公因子和最大公因子互质互质互质互质几个整数之间的公因子只有几个整数之间的公因子只有1 ,最大公因子最大公因子就是就是1 ,这几个数叫做这几个数叫做互质互质。例如：5，8，9 ，此三数为此三数为互质互质互质互质。 Q
8、：6 , 9 , 13 此三数互质吗此三数互质吗？互质互质互质的整数并非一定为质数互质的整数并非一定为质数 ,只要各组数之间的只要各组数之间的公因子只有公因子只有1 ,且且1就是此组数之间的最大公因子就是此组数之间的最大公因子,则称他们则称他们互质互质。2019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法8 8 如何求出最大公因子？ 方方 法法举举 例例捡数法捡数法先列出各数的因子先列出各数的因子 , , 再找再找出公因子出公因子 , ,其中最大的公其中最大的公因子即因子即最大公因子最大公因子12 12 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 121 , 2 , 3 , 4 , 6
9、 , 1218 18 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 181 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18公因子为公因子为1 , 2 , 3 , 61 , 2 , 3 , 6 而其中最大的而其中最大的公因子是公因子是 6 6，故，故6 6是它们的是它们的最大公因子最大公因子质因数分解法质因数分解法将各整数做将各整数做质因数分解质因数分解，再把共同的再把共同的质因数相乘质因数相乘。12122232231818233233共同的质因数相乘为共同的质因数相乘为23236 6故故6 6是最大公因子。是最大公因子。直观法直观法二数之中二数之中 , , 若若a a为为b b的因子的因子 , , 则则a
10、 a 为这二个数之最大为这二个数之最大公因子。公因子。有二整数有二整数1818 和和 6 6 , , 6 6 为为18 18 的因子的因子 , , 则则6 6为为6 6和和1818的最大的最大公因子。公因子。2019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法9 9 如何求出最大公因子？ 方方 法法举举 例例试除法试除法先找出几个数中最小数的所有先找出几个数中最小数的所有因子因子 , ,再从这些因子中再从这些因子中 , ,由大由大到小依次逐一去除其他较大的到小依次逐一去除其他较大的数数, ,直到各个数皆可整除时直到各个数皆可整除时, ,此此因子即为最大公因子。因子即为最大公因子。8
11、 , 16 8 , 16 和和 20208 81 , 2 , 4 , 81 , 2 , 4 , 81681682 2082 208无法整除无法整除84842 2042 2045 5 4 4是最大公因子是最大公因子短除法短除法找出找出可同时可同时可同时可同时整除这几个数的公整除这几个数的公因子因子, ,这些公因子的连乘积就这些公因子的连乘积就是最大公因子。是最大公因子。( (公因子用质数或合数均可公因子用质数或合数均可) ) 2 2 16 20 816 20 8 2 8 10 4 2 8 10 4 4 5 2 4 5 222224 4 4 4是最大公因子是最大公因子2019/5/32019/5/
12、3数学领域教材教法数学领域教材教法1010 如何求出最大公因子如何求出最大公因子？ 方方 法法举举 例例辗转相除法辗转相除法针对不容易找出公因子针对不容易找出公因子的的题目。题目。先用小数去除大数先用小数去除大数 , , 再用余数去除上一个除数再用余数去除上一个除数, ,如此反覆交换转除如此反覆交换转除, ,直到除得直到除得尽时尽时, ,最后一次用的除数就是最后一次用的除数就是最大公因子最大公因子。求求17021702和和18861886的最大公因子的最大公因子？(1) 1(1) 1 1702 1886 1702 1886 1702 9 1702 9 184 1702 184 1702 165
13、6 4 1656 4 46 184 46 184 184 184(2) 0(2) 0 9 1702 1886 1 9 1702 1886 1 1656 1702 1656 1702 46 184 46 184 4 4 184 184 0 02019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法1111 公倍数和最小公倍数公倍数公倍数 几个整数的共同倍数，称为公倍数公倍数。最小公倍数最小公倍数公倍数中最小的一个倍数叫做最小公倍数。ex： 8 的倍数有 8 ,16 ,24 ,32 ,40 ,48 ,56。 12 的倍数有 12 ,24 ,36 ,48 ,60 ,72。 24 ,48 ,7
14、2 ,9624 ,48 ,72 ,96 就是8和12的公倍数，而2424 就是 最小公倍数最小公倍数。 由以上观察发现由以上观察发现由以上观察发现由以上观察发现 公倍数有公倍数有无限多个无限多个。几个整数的公倍数几个整数的公倍数，一定是最小公倍数的倍数。一定是最小公倍数的倍数。只要知道一组数的只要知道一组数的最小公倍数最小公倍数最小公倍数最小公倍数,便能找出它们所有便能找出它们所有 的公倍数。的公倍数。2019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法1212 如何求出最小公倍数？ 方方 法法举举 例例捡数法捡数法先列出各数的倍数先列出各数的倍数 , , 再找再找出公倍数出公倍数
15、 , , 其中最小的其中最小的公倍数即最小公倍数公倍数即最小公倍数101010 ,20 ,10 ,20 ,3030 ,40 ,50 ,60 ,40 ,50 ,60 , ,151515 ,15 ,30 30 ,45 ,60 ,45 ,60 , , ,. . 公倍数为公倍数为3030 , 60 , 120 , , 60 , 120 , , , 而其中最小的公倍数是而其中最小的公倍数是30 ,30 , 故故3030是最小公倍数。是最小公倍数。质因数分解法质因数分解法将各整数做质因数分解将各整数做质因数分解 , ,再把共同的质因数和所有再把共同的质因数和所有独立的因子相乘独立的因子相乘。10101 1
16、22225 515151 1335 5 故故3030是最小公倍数是最小公倍数。1523302019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法1313 如何求出最小公倍数？ 方方方方 法法法法举举举举 例例例例直观法直观法几个整数中几个整数中, ,若有一个数是其若有一个数是其他各数的倍数他各数的倍数, ,那么这个数就那么这个数就是这组数的最小公倍数。是这组数的最小公倍数。4 4，6 6，1212的最小公倍数？的最小公倍数？1212为其他各数为其他各数( (4 4和和6 6) ) 的倍数的倍数所以这组数的最小公倍数就是所以这组数的最小公倍数就是1212。试除法试除法先找出几个整数中先
17、找出几个整数中, , 最大数最大数的倍数的倍数, , 再逐一去除以另外再逐一去除以另外的数的数, ,直到最大数的某一倍数直到最大数的某一倍数能被整除时能被整除时 , , 这数就是这这数就是这几个数的最小公倍数几个数的最小公倍数。 2 2，3 3，8 8的最小公倍数？的最小公倍数？ 8 8为最大的数，为最大的数， 8 8的倍数的倍数8 8，1616，2424，3232 82 824 834 83不能整除不能整除 1621628 1638 163不能整除不能整除 24224212 24312 2438 8 故故故故24 24 是最小公倍数。是最小公倍数。2019/5/32019/5/3数学领域教材
18、教法数学领域教材教法1414 如何求出最小公倍数？ 方方 法法举举 例例短除法短除法只要有任二个数能被整除只要有任二个数能被整除只要有任二个数能被整除只要有任二个数能被整除 , ,就必须继续往下除。就必须继续往下除。就必须继续往下除。就必须继续往下除。 无法整除的数不必除无法整除的数不必除无法整除的数不必除无法整除的数不必除, ,直接直接直接直接往下移。往下移。往下移。往下移。 2 6 8 152 6 8 15 3 3 3 4 153 4 15 1 4 51 4 5 2 2345345120120 120 120 是最小公倍数是最小公倍数2019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法1515 几个简单的倍数识别法 2的倍数：数字为偶数偶数。 exex：8 , 22 , 46 , , 90 , 304 , 3的倍数：一个整数的各位数字之和能被3整除时。 exex：23723712 45645615 5的倍数：整数的个位数字个位数字是0或5时。 exex：45 , 330 , 62895 , , , 11的倍数：一个整数的奇数位数字之和,与偶数位 数字之和相差0或11的倍数时。 8 1 7 3 exex： 15 4 15411 是11的倍数 所以81738173也也是1111的倍数 2019/5/32019/5/3数学领域教材教法数学领域教材教法1616
