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1、学案学案2 平面向量的基本定理平面向量的基本定理及坐标表示及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 1.两个向量的夹角 (1)定义定义 已知两个已知两个 向量向量a和和b，作，作 OA=a,OB=b， 则则AOB= 叫做向量叫做向量a与与b的夹角的夹角(如图如图).非零非零 考点分析考点分析考点分析考点分析平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 (2)范围范围 向量夹角向量夹角的范围是的范围是 ,a与与b同向时同向时,夹角夹角= ;a与与b反向时反
2、向时,夹角夹角= . (3)向量垂直向量垂直 如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是 ,则则a与与b垂垂直直,记作记作 . 2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1,e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 向量向量,那么那么对于平对于平0180 0 180 90a b 不平行不平行 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学面内的任意向量面内的任意向量a,有且只有一对实数有且只有一对实数1,2,使使a = . 其中其中,不共线的向量不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有
3、向量的一组向量的一组 . (2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个 的向的向量量,叫做把向量正交分解叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 返回目录返回目录 1e1+2e2基底基底 互相垂直互相垂直 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x轴、轴、y轴方向相轴方向相同的两个单位向量同的两个单位向量i，j作为基底作为基底.对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数
4、x,y，使得，使得 a=xi+yj . 把有序数对把有序数对 叫做向量叫做向量a的坐标的坐标,记作记作a= ,其中其中 叫做叫做a在在x 轴上的坐标轴上的坐标, 叫做叫做a在在y轴上的坐标轴上的坐标. 设设OA=xi+yj,则则 就是终点就是终点A的坐标的坐标,即若即若OA=(x,y),则则A点坐标为点坐标为 ,反之亦成立反之亦成立(O是坐标原点是坐标原点). 3.平面向量的坐标运算 (1) 加法、减法、数乘运算加法、减法、数乘运算 (x,y) (x,y) (x,y) 向量向量OA的坐标的坐标(x,y) x y 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高
5、考一轮数学 (2)向量坐标的求法向量坐标的求法 已知已知A(x1,y1),B(x2,y2),则则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个，即一个向量的坐标等于该向量的向量的坐标等于该向量的 坐标减去坐标减去 的坐标的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中其中b0,则则a与与b共线共线a= .返回目录返回目录 x1y2-x2y1=0终点终点始点始点 b 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 如右图，在如右图，在ABC中，点中，点M是是边边BC的中点，点的中
6、点，点N在边在边AC上，上，且且AN=2NC.AM与与BN相交于相交于点点P，求，求AP:PM的值的值. 【分析分析分析分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参 数的值数的值.考点一考点一考点一考点一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 题型分析题型分析题型分析题型分析平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 【解析解析解析解析】设设BM=e1,CN=e
7、2,则则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2. A,P,M和和B,P,N分别共线分别共线, 存在实数存在实数,使使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2, 故故BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2. 而而BA=BC+CA=2e1+3e2, +2=2 = 3+=3, = . 故故AP= AM,即即AP:PM=4:1.由基本定理，得由基本定理，得解得解得平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 【评析评析评析评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题）充分挖掘题目中的有利条件，本题
8、中两次使用三点共线中两次使用三点共线.注意方程思想的应用注意方程思想的应用. （2）应注意平面几何中，平行线截线段成比例在）应注意平面几何中，平行线截线段成比例在此类问题中的应用此类问题中的应用. （3）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握应根据条件灵活应用，熟练掌握.平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学对应演练对应演练对应演练对应演练设设OA,OB不共线，不共线，P点在点在AB上上,求证求证:OP=OA+OB且且+=1(, R).证明证明: P点在点在AB上，上，A
9、P与与AB共线共线. AP=tAB(t R). OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB.令令=1-t，=t，则有，则有OP=OA+OB,+=1(, R).返回目录返回目录 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 已知已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设设AB=a,BC=b,CA=c,且且CM=3c,CN=-2b.(1)求求3a+b-3c;(2)求满足求满足a=mb+nc的实数的实数m,n;(3)求求M,N的坐标及向量的坐标及向量MN的坐标的坐标. 【分析分析分析分析
10、】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解点、终点坐标的关系求解.考点二考点二考点二考点二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 【解析解析】由已知得由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2) mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), -6m+n= 5
11、 m=-1 -3m+8n=-5, n=-1.解得解得 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学 【评析评析评析评析】 向量的坐标运算主要是利用加、减、数向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标若已知有向线段两端点的坐标,则应先则应先求出向量的坐标求出向量的坐标 ,解题过程中要注意方程思想的运用及解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则正确使用运算法则.(3) CM=OM-OC=3c, OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). M(0,20).又又CN=ON-OC=
12、-2b, ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), N(9,2). MN=(9,-18).返回目录返回目录 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练已知已知A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以求以A,B,C为顶点的平行四为顶点的平行四边形的第四个顶点边形的第四个顶点D的坐标的坐标.平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学设设D的坐标为的坐标为(x,y).(1)若是若是ABCD,则由则由AB=DC得得(0,2
13、)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即即(-1,2)=(-1-x,-2-y), -1-x=-1 -2-y=2, x=0,y=-4. D点的坐标为点的坐标为(0,-4)(如图中的如图中的D1). 返回目录返回目录 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学(2)若是若是ADBC,则由则由AD=CB得得(x,y)-(1,0)=(0,2)-(-1,-2),即即(x-1,y)=(1,4).解得解得x=2,y=4. D点坐标为点坐标为(2,4)(如图中的如图中的D2).(3)若是若是ABDC,则由则由AB=CD得得(0,2)-(1,0)=(x,y
14、)-(-1,-2),即即(-1,2)=(x+1,y+2).解得解得x=-2,y=0. D点的坐标为点的坐标为(-2,0)(如图中的如图中的D3).综上所述综上所述,以以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点为顶点的平行四边形的第四个顶点D的的坐标为坐标为(0,-4)或或(2,4)或或(-2,0).返回目录返回目录 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 平面内给定三个向量平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列回答下列问题问题:(1)若若(a+kc) (2b-a),求实数求实数k;(2)
15、设设d=(x,y)满足满足(d-c) (a+b)且且|d-c|=1,求求d. 【分析分析分析分析】 (1)由两向量平行及两向量平行的条件得由两向量平行及两向量平行的条件得出关于出关于k的方程的方程,从而求出实数从而求出实数k的值的值. (2)由两向量平行及由两向量平行及 |d-c|=1 得出关于得出关于x,y的两个方的两个方程程,解方程组即可得出解方程组即可得出x,y的值的值,从而求出从而求出d.考点三考点三考点三考点三 平行平行平行平行( (共线共线共线共线) )向量的坐标运算向量的坐标运算向量的坐标运算向量的坐标运算 平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮
16、数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 【解析解析解析解析】 (1) (a+kc) (2b-a),又又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2(3+4k)-(-5)(2+k)=0, k=- .平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 【评析评析评析评析】 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方程通过坐标公式建立参数的方程,通过解方通过解方程或方程组求得参数程或方程组求得参数,充分体现了方程思想在向量中的应用充分体现
17、了方程思想在向量中的应用.(2) d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又又(d-c) (a+b)且且|d-c|=1, 4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1, x=4+ x=4- y=1+ y=1- . d=（ ）或（）或（ ） . 解得解得 或或平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练已知向量已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且且u v,求实求实数数x的值的值.因为因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a
18、-b,所以所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为又因为u v,所以所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即即10x=5,解得解得x= .平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学返回目录返回目录 1. 1.要区分点的坐标与向量的坐标要区分点的坐标与向量的坐标要区分点的坐标与向量的坐标要区分点的坐标与向量的坐标, ,尽管在形式上它尽管在形式上它尽管在形式上它尽管在形式上它们完全一样们完全一样们完全一样们完全一样, ,但意义完全不同但意义完全不同但意义完全不同但意义完全不同, ,向量
19、的坐标中同样有方向向量的坐标中同样有方向向量的坐标中同样有方向向量的坐标中同样有方向与大小的信息与大小的信息与大小的信息与大小的信息. . 2. 2.在处理分点问题比如碰到条件在处理分点问题比如碰到条件在处理分点问题比如碰到条件在处理分点问题比如碰到条件“ “若若若若P P是线段是线段是线段是线段ABAB的分点，且的分点，且的分点，且的分点，且|PA|=2|PB|”|PA|=2|PB|”时，时，时，时，P P可能是可能是可能是可能是ABAB的内分点，也的内分点，也的内分点，也的内分点，也可能是可能是可能是可能是ABAB的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有
20、：的外分点，即可能的结论有：AP=2PBAP=2PB或或或或AP=-2PB.AP=-2PB. 3. 3.数学上的向量是自由向量数学上的向量是自由向量数学上的向量是自由向量数学上的向量是自由向量, ,向量向量向量向量x=(a,b)x=(a,b)经过平移经过平移经过平移经过平移后得到的向量的坐标仍是后得到的向量的坐标仍是后得到的向量的坐标仍是后得到的向量的坐标仍是(a,b).(a,b).高考专家助教高考专家助教高考专家助教高考专家助教平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学平面向量基本定理及坐标表示平面平面向量基本定理及坐标表示平面向量高考一轮数学向量高考一轮数学
