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1、线面平行的判定定理1.直线与平面有几种位置关系？直线与平面有几种位置关系？复习引入复习引入: : 其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较多，而且是学习平面和平面平行的基础多，而且是学习平面和平面平行的基础有三种位置关系：在平面内，相交、平行有三种位置关系：在平面内，相交、平行 a a.A a2线面平行的判定定理怎样判定直线怎样判定直线与平面平行呢？与平面平行呢？问题探究: 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点但是，直线无限延长，定直线与平面有没有公共点但是，直线无限延长，平面无限延展，
2、如何保证直线与平面没有公共点呢平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？a3线面平行的判定定理 在生活中，注意到门扇的两边是平行的当门扇在生活中，注意到门扇的两边是平行的当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象以平行的印象实例感受实例感受4线面平行的判定定理实例感受实例感受 将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的所在直线与桌面所在平面具
3、有什么样的位置关系？位置关系？5线面平行的判定定理将课本的一边将课本的一边ABAB紧靠桌面，并绕紧靠桌面，并绕ABAB转动，观察转动，观察ABAB的的对边对边CDCD在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？平行？从中你能得出什么结论？从中你能得出什么结论？A AB BC CD DCDCD是桌面外一条直线是桌面外一条直线， ABAB是桌面内一条直是桌面内一条直线，线， CDABCDAB，则，则CDCD桌面桌面直线直线ABAB、CDCD各有什么特点呢？各有什么特点呢？它们有什么关系呢？它们有什么关系呢？猜想猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一：如果平面
4、外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。做一做做一做猜一猜猜一猜6线面平行的判定定理 如果平面如果平面 内有直线内有直线 与直线与直线 平行，那么直线平行，那么直线 与平面与平面 的位置关系如何？的位置关系如何？是否可以保证直线是否可以保证直线 与平面与平面 平行？平行？观察直线与平面平行直线与平面平行7线面平行的判定定理 平面平面 外有直线外有直线 平行于平面平行于平面 内的直线内的直线 （1）这两条直线共面吗？）这两条直线共面吗？（2）直线）直线 与平面与平面 相交吗？相交吗？探究直线与平面平行直线与平面平行共面共面不可能相
5、交不可能相交8线面平行的判定定理平面平面外外一条直线与此平面一条直线与此平面内内的一条直线平的一条直线平行，则该直线与此平面平行行，则该直线与此平面平行说明说明: :(1)(1)证明直线与平面平行，三个条件必须证明直线与平面平行，三个条件必须 具备，才能得到线面平行的结论具备，才能得到线面平行的结论1 1 1 1. .直线与平面平行判定定理直线与平面平行判定定理直线与平面平行判定定理直线与平面平行判定定理(2)(2)简述简述: :线线平行线线平行 线面平行线面平行. .(3)(3)思想思想: :空间问题空间问题转化为转化为平面问题平面问题.9线面平行的判定定理假设假设 与与 有公共点有公共点P
6、，则，则 ，点，点P是是a与与b的公共点，这与的公共点，这与 矛盾，矛盾，已知：已知：求证：求证：证明：证明：经过经过a，b确定一个平面确定一个平面是两个不同的平面是两个不同的平面pab直线与平面平行判定定理证明直线与平面平行判定定理证明直线与平面平行判定定理证明直线与平面平行判定定理证明10线面平行的判定定理（1 1）定义法定义法：证明直线与平面无公共点；：证明直线与平面无公共点；（2 2）判定定理判定定理：证明平面外直线与平面内：证明平面外直线与平面内 直线平行直线平行2. 2. 2. 2.直线与平面平行判定方法直线与平面平行判定方法直线与平面平行判定方法直线与平面平行判定方法说明说明:证
7、明线面平行一般用判定定理证明线面平行一般用判定定理.11线面平行的判定定理1）空间直线平行关系的传递性2）三角形中位线法3）平行四边形法4）成比例线段法线面平行的判定定理直线和平面平行的判定定理直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 b ba ab b a ab ba a a a 注明：注明：1 1、定理三个条件缺一不可。、定理三个条件缺一不可。2 2、简记：、简记：线线线线平行，则平行，则线面线面平行。平行。3 3、定理告诉我们：、定理告诉我们：要证线面平行
8、，只要在面内要证线面平行，只要在面内找一条线，使线线平行。找一条线，使线线平行。13线面平行的判定定理 1 1如图，长方体如图，长方体 中，中， （1 1）与）与ABAB平行的平面是平行的平面是 ；（2 2）与）与 平行的平面是平行的平面是 ；（3 3）与）与ADAD平行的平面是平行的平面是 ；平面平面平面平面平面平面平面平面平面平面平面平面随堂练习随堂练习14线面平行的判定定理判断下列命题是否正确，若正确，请简述理判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例由，若不正确，请给出反例. .(1)(1)如果如果a a、b b是两条直线，且是两条直线，且ab,ab,那么那么a a
9、平行于经平行于经过过b b的任何平面；的任何平面；()()（2 2）如果直线）如果直线a a和平面和平面满足满足aa , ,那么那么a a与与 内的内的任何直线平行任何直线平行;();()（3 3）如果直线）如果直线a a、b b和平面和平面满足满足aa,b,b,那么那么a ab;()b;()(4)(4)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.().()试一试试一试15线面平行的判定定理已知已知:空间四边形空间四边形ABCD中，中，E、F分别是分别是AB、AD的中点的中点.求证求证:EF/平面平面BCD.分析：分析：EF在面在面BCD外，要证明外，要证
10、明EF面面BCD，只要，只要证明证明EF和面和面BCD内一条直线平行即可内一条直线平行即可.AEFBDCEF和面和面BCD哪一条直线平行呢？哪一条直线平行呢？ 直线直线BD例例 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面另外两边的平面.在在ABD中，中，E、F分别是分别是AB、AD的中点的中点证明：证明：EFBDEF平面平面BCDBD 平面平面BCD 又又 EF 平面平面BCD， 连接连接BD，三角形的中位线是常三角形的中位线是常用的找平行线的方法用的找平行线的方法.16线面平行的判定定理1.如图，四面体如图，四面体ABCD中，中
11、，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，AD的中点的中点.BCADEFGH(3)你能说出图中满足线面平行位置关系你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？的所有情况吗？(1)E、F、G、H四点是否共面？四点是否共面？(2)试判断试判断AC与平面与平面EFGH的位置关系；的位置关系；练习练习解：解：(1)E、F、G、H四点共面四点共面.在在ABD中，中，E、H分别是分别是AB、AD的中点的中点.EHBD且且同理同理GFBD且且 EHGF且且 EHGFE、F、G、H四点共面四点共面.(2) AC 平面平面EFGH17线面平行的判定定理解解:（3）由）由EFHGAC，得，得EF平面平面AC
12、D，AC平面平面EFGH， HG平面平面ABC.由由BDEHFG，得，得BD平面平面EFGH，EH平面平面BCD，FG平面平面ABD.BCADEFGH1.如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，AD的中点的中点.(3)你能说出图中满足线面平行位置关系你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？的所有情况吗？(1)E、F、G、H四点是否共面？四点是否共面？(2)试判断试判断AC与平面与平面EFGH的位置关系；的位置关系；18线面平行的判定定理 1如图，长方体如图，长方体 中，中， （1）与）与AB平行的平面是平行的平面是 ；（2）与）与 平行的平面是
13、平行的平面是 ；（3）与）与AD平行的平面是平行的平面是 ；平面平面平面平面平面平面平面平面平面平面平面平面随堂练习随堂练习19线面平行的判定定理20线面平行的判定定理 例例2 2 在长方体在长方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中. .（1 1）作出过直线）作出过直线ACAC且与直线且与直线BDBD1 1平行的平行的 截面，并说明理由截面，并说明理由. .（2 2）设）设E E，F F分别是分别是A A1 1B B和和B B1 1C C的中点，的中点， 求证直线求证直线EF/EF/平面平面ABCD.ABCD.ABCC1DA1B1D1EFMG GH H21线面平
14、行的判定定理2如图，正方体如图，正方体 中，中，E为为 的中的中点，试判断点，试判断 与平面与平面AEC的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由证明：连接证明：连接BD交交AC于点于点O,连接连接OE,在在中，中，E，O分别是分别是的中点的中点随堂练习随堂练习22线面平行的判定定理AEBDC如图，空间四边形如图，空间四边形如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCDABCDABCD中，中，中，中，E E E E是是是是ABABABAB上的一点上的一点上的一点上的一点, , , ,试过试过CECE作一平面平行于作一平面平行于BDBD，并说明画法的理论依据，并说明画法的理论依据F变式引申2
15、3线面平行的判定定理 两个全等的正方形两个全等的正方形ABCDABCD、ABEFABEF不在同不在同 一平面内一平面内,MM、N N是对角线是对角线ACAC、BFBF的中点的中点求证：求证：MNMN面面BCEBCED DA AN NMMC CB BF FE E练一练练一练24线面平行的判定定理P PQ Q MM、N N 是是ACAC，BFBF上的点且上的点且AM=FNAM=FN，求，求证：证：MNMN面面BCEBCED DA AN NMMC CB BF FE E25线面平行的判定定理D DA AN NMMC CB BF FE E26线面平行的判定定理已知四棱锥S-ABCD,ABCD是平行四边形
16、,S是平面ABCD外一点,M为SC的中点.求证:SA/平面MDB知识扩展BSMCADo27线面平行的判定定理证明：证明：如图，连接如图，连接BD1 ，在在DBD1中，中，EF为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以EF/BD1 ，又又EF 平面平面ABC1D1 ， BD1 平面平面ABC1D1所以所以BD1/平面平面ABC1D1例例 如图，在棱长为如图，在棱长为2的正方体的正方体ABCD- -A1B1C1D1中，中，E，F分别为分别为DD1，DB的中点的中点.求证：求证：EF/平面平面ABC1D1.28线面平行的判定定理解：解：直线直线BD1/平面平面AEC，证明如下，证明如下:如图，连接如图
17、，连接BD交交AC于于O，再连接，再连接OE在在DBD1中，中，OE为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以OE/BD1，又又BD1 平面平面AEC，OE 平面平面AEC，故故BD1/平面平面AEC.P56 2 如图，在长方体如图，在长方体ABCD- -A1B1C1D1中，中，E为为DD1的的中点中点.试判断试判断BD1与平面与平面AEC的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由.O注意：在直观图中，线段平行关系不变，可利用此特性先直观注意：在直观图中，线段平行关系不变，可利用此特性先直观地找出平行线的可能所在地找出平行线的可能所在.练习练习29线面平行的判定定理如图，已知如图，已知P、Q是
18、边长为是边长为1的正方体的正方体ABCD- -A1B1C1D1的面的面AA1DD1 ,面面ABCD的中心的中心.求证求证PQ/ 平面平面AA1B1B,并求线段的并求线段的PQ长长.解解:（1）连接连接AB1，在，在AB1D1中，中，显然显然P，Q分别是分别是AD1，D1B1的中点，的中点，所以，所以，PQ/AB1，且，且PQ= CD1又因为又因为PQ 平面平面AA1B1B CD1 平面平面AA1B1B所以所以 PQ/ 平面平面AA1B1B（2）AB1 = ，PQ= 问：问：PQ/ 平面平面DD1C1C？PQ/C1D练习练习30线面平行的判定定理C1ACB1BMNA1F证明：证明：取取A1C1中
19、点中点F，连结，连结NF，FCN为为A1B1中点，中点，M是是BC的中点，的中点，NFCM为平行四边形，为平行四边形， 故故MNCFB1C1NF又又BCB1C1，即即MCNF MN平面平面AA1C1C.例例 如图，三棱柱如图，三棱柱ABC- -A1B1C1中，中，M、 N分别是分别是BC和和A1B1的中点，求证：的中点，求证：MN平面平面AA1C1CMC B1C131线面平行的判定定理练习练习练练1：三棱柱：三棱柱ABC- -A1B1C1中，中，E是是AC1上的点，上的点，F是是CB1上的中点，上的中点，求证：求证：A1B/平面平面ADC1 .法一：线面平行判定定理法一：线面平行判定定理连接连
20、接BC1，则，则DE为为ABC1中位线，中位线，所以所以EF/AB,又又EF 平面平面ABC ，AB 平面平面ABC，故故EF/平面平面ABC.法二：由面面平行判定线面平行法二：由面面平行判定线面平行取取CC1的中点的中点G，连接，连接GE和和GF，则则GE为为ACC1中位线，中位线，所以所以GE/AC,又又GE 平面平面ABC ，AC 平面平面ABC，故故GE/平面平面ABC.G同理可证同理可证GF/GF/平面平面ABC.ABC.又又GEGF=G，所以面，所以面GEF/面面ABC.32线面平行的判定定理 mml l 证明：证明：又因m在内， ， 和没有公共点； 和m也没有公共点；又 和m都在
21、平面内，且没有公共点， m33线面平行的判定定理解：解：依题意点依题意点D为边为边BC的中点的中点.连接连接A1C交交AC1于于E，连接，连接DE.在在ADC1中，中，DE为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以DE/A1B,又又DE 平面平面ADC1 ，A1B 平面平面ADC1故故A1B/平面平面ADC1练练2：在三棱柱：在三棱柱ABC- -A1B1C1中，中，ABC为正三角形，为正三角形，D是是BC上的点，若上的点，若ADBC，求证：，求证：A1B/平面平面ADC1 .E练习练习34线面平行的判定定理例例 如图，四棱锥如图，四棱锥P- -ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，
22、M，N分别是分别是AB，PC的中点的中点,求证：求证：MN/平面平面PAD.HG法二：法二：取取DC的中点的中点G，连接，连接GN，GM ，往证面往证面GMN/面面PAD即可即可.证明：证明：取取PD的中点的中点H，连接，连接HN，AH ，在三角形在三角形PDC中，中，HN为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以HN/DC且且 HN= DC又因为底面为正方形，且又因为底面为正方形，且M为为AB中点，中点，所以所以AM/DC且且 AM= DC AM/HN且且 AM=HN即即AMNH为平行四边形，故为平行四边形，故MN/AH又又AH 平面平面PAD ，MN 平面平面PAD，故故MN/平面平面PAD
23、.35线面平行的判定定理练：如图，四棱锥练：如图，四棱锥P- -ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PAD是正是正三角形，三角形，E，F分别是分别是PC，BD的中点，求证：的中点，求证：EF/平面平面PAD.证明：证明：分别取分别取PD，AD的中点的中点G，H ，连接，连接GE，HF ，GH在在PDC中，中，GE为三角形中位线，为三角形中位线，所以所以GE/DC且且 GE= DC同理，同理，HF/AB且且 HF= AB又又底面为正方形，底面为正方形，AM/DC且且 AM=DC GE/HF且且 GE=HF即即HFEG为平行四边形，故为平行四边形，故EF/GH又又GH 平面平面PA
24、D ，EF 平面平面PAD，故故EF/平面平面PAD.GH练习练习36线面平行的判定定理例例 如图，点如图，点B为为ACD所在平面外一点，所在平面外一点，M，N分别为分别为ABC，ABD的重心的重心.(1)求证：求证：MN/平面平面ACD.(2)若底面边长为若底面边长为1为正三角形，求线段的为正三角形，求线段的MN的长度的长度.解解:(1)分别分别连接连接BM，BF交交AC，AD于点于点E，F.因为因为M，N分别为对应三角形的重心，分别为对应三角形的重心，故故E，F为相应边的中点，且有为相应边的中点，且有 BM:ME=2:1，BN:NF=2:1MN/EF且且MN= EF.又因为又因为MN 平面
25、平面ACD，EF 平面平面ACD所以所以 MN/ 平面平面ACD.EF(2) 又因为在又因为在ACD中，中，EF是三角形的中位线，是三角形的中位线，所以，所以，EF/CD且且EF= CD.MN= ，CD=线段成比例也是常用线段成比例也是常用的找平行线的方法的找平行线的方法.37线面平行的判定定理练练 如图点如图点B为为ACD所在平面外一点，所在平面外一点，M，N，G分别为分别为ABC，ABD， BCD的重心的重心.(1)求证：平面求证：平面MNG/平面平面ACD. (2)求求 的值的值.EFH同理，同理，连接连接BG交交CD于中点于中点H，可证，可证NG/平面平面ACD且且NG= FH.又因为
26、又因为MNNG=N，所以面，所以面MNG/面面ACD.练习练习解解:(1)分别分别连接连接BM，BF交交AC，AD于点于点E，F.因为因为M，N分别为对应三角形的重心，分别为对应三角形的重心，故故E，F为相应边的中点，且有为相应边的中点，且有 BM:ME=2:1，BN:NF=2:1MN/EF且且MN= EF.又因为又因为MN 平面平面ACD，EF 平面平面ACD所以所以 MN/ 平面平面ACD.38线面平行的判定定理同理可证明同理可证明NG= AC且且NG/AC， MG= AD且且NG/AD练练 如图点如图点B为为ACD所在平面外一点，所在平面外一点，M，N，G分别为分别为ABC，ABD， B
27、CD的重心的重心.(1)求证：平面求证：平面MNG/平面平面ACD. (2)求求 的值的值.练习练习EFH解：解：(2)因为因为EF是是ACD的中位线，的中位线，所以，所以，EF/CD且且EF= CD. 由由(1)知知MN= EF. MN= CD且且MN/CD39线面平行的判定定理练练1：如图在正方体：如图在正方体ABCD- -A1B1C1D1中，点中，点E在在AB1上，上，F在在BD上，上，B1E=BF，求证：，求证：EF/ 平面平面BB1C1C.解解: :（1 1）连接连接AFAF交交BCBC于点，再连接于点，再连接B B1 1K K，K又因为又因为EF 平面平面BB1C1C B1K 平面
28、平面BB1C1C所以所以EF/ 平面平面BB1C1C练习练习40线面平行的判定定理练练2：P是长方形是长方形ABCD所在平面外的一点，所在平面外的一点，AB、PD两点两点M、N满足满足AM：MB=ND：NP.求证：求证：MN平面平面PBC.PNMDCBAE练习练习过过M作作ME/AD交交BD于点于点E，连接，连接EN41线面平行的判定定理2. 线面平行判定定理应用时应注意线面平行判定定理应用时应注意: “面外，面内，平行面外，面内，平行”；面面平行判定定理判定应用时应注意面面平行判定定理判定应用时应注意:“两条，相交两条，相交”；小结：小结：1.直线与平面平行的判定以及平面和平面平行的判定：直线与平面平行的判定以及平面和平面平行的判定：(1)运用定义；运用定义；(2)运用判定定理：运用判定定理：线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行3.应用判定定理判定线面平行的关键是应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线找平行线方法一：三角形的中位线定理；方法一：三角形的中位线定理；方法二：平行四边形的平行关系方法二：平行四边形的平行关系.方法三：线段成比例方法三：线段成比例.42线面平行的判定定理
