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1、1其中其中定理定理1 (泰勒中值定理泰勒中值定理) 若函数若函数f(x)在在x0点的某邻域点的某邻域U (x0)内具有直到内具有直到n+1阶连续导数阶连续导数, 则当则当x取取U (x0)内任何值内任何值时时, f (x)可按可按(x x0)的方幂展开为的方幂展开为f (x)=f(x0)+f (x0)(x x0)+( 在在x0与与x之间之间)+Rn(x) 公式公式(1)称为函数称为函数 f (x)在在x0处的处的泰勒公式泰勒公式.(1) Rn(x)称为称为拉格朗日拉格朗日(Lagrange)余项余项.泰勒系数泰勒系数k=0, 1, 2, , n是唯一的是唯一的.一、泰勒公式一、泰勒公式2定义定
2、义 如果函数如果函数f (x)在在x0的某邻域内是存在的某邻域内是存在任意阶导任意阶导数数, 则幂级数则幂级数称为函数称为函数f (x)在在x0处的处的泰勒级数泰勒级数.= f(x0) + f (x0)(x x0)二、泰勒级数二、泰勒级数称为函数称为函数 f (x)的的麦克劳林级数麦克劳林级数.3 sin x = x (, + ).( 1x1)=1+x+x2+xn+ 定理定理2 f(x)在在x0点的点的泰勒级数泰勒级数在在UR (x0)内收敛于内收敛于f (x) 在在UR (x0) 内内, Rn(x)0. x (, + ).4 1, 收敛区间为收敛区间为: ( 1, 1). 1 0, 收敛区间
3、为收敛区间为: 1, 1. 1x157.7 初等函数的幂级数展开式一、直接法一、直接法(泰勒级数法泰勒级数法)二、间接法二、间接法三、常见函数的幂级数展开式三、常见函数的幂级数展开式6步骤步骤:(1) 求求 f (n)(x), n=0,1,2, (2) 计算计算 an , n=0,1,2, (4) 讨论讨论?并求出其收敛区间并求出其收敛区间.(3) 写出幂级数写出幂级数利用利用泰勒公式泰勒公式或或麦克劳林公式麦克劳林公式将将f(x)展开为幂级数展开为幂级数若若为为0, 则幂级数在此则幂级数在此收敛收敛区间内等区间内等于于函数函数 f(x); 若若不为不为0, 则幂级数虽然则幂级数虽然收敛收敛,
4、 但它的但它的和不是和不是 f(x).一、直接法一、直接法(泰勒级数法泰勒级数法)7解解例例1 将将 f(x)=e x 在展开成在展开成 x的幂级数的幂级数.因因 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, , f (n)(0)=e 0=1, 于是于是 f(x)=e x 在在x=0的的麦克劳林级数麦克劳林级数为为:其中其中0 1=0, 所以所以 e x =1+x+x+ .收敛收敛区间为区间为: (, + )8二项展开式二项展开式+ +nxn 1+x n(1+x)n=1+nx+(1+x) = 1+ x+?9解解例例3 将将 f(x)=(1+x ) 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.n=0,
5、1,2, , f (n)(0)= ( 1)(2) ( n+1)=1,得得(1+x) (n) = ( 1)(2) ( n+1)(1+x)( n) ,注意注意: 当当x= 1时时, 级数的收敛性与级数的收敛性与 的取值有关的取值有关. 1, 收敛区间为收敛区间为: ( 1, 1). 1 0, 收敛区间为收敛区间为: 1, 1.所以所以(1+x) 的泰勒级数的收敛区间是的泰勒级数的收敛区间是( 1, 1),10x ( 1, 1)(1+x) =1+ x+牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式二、二、间接展开法间接展开法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式、利用常见展开式、等比级数的和等比级数的和及幂级数
6、的性质等及幂级数的性质等, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等恒等变形变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方法等方法, 求展开式求展开式.当当 = 1时时,x ( 1, 1).=1 x + x2 x3+( 1)nxn +11解解例例6 将将 f(x)=cosx 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.因因 (sin x) =cosx ,又又 x (, + ). x (, + ).对上式对上式逐项求导逐项求导得得12解解例例10 将函数将函数 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.因为因为x (, + ).所以所以x (, + ).13解解例例5 将下列函数展开成将下列函数展开
7、成 x的幂级数的幂级数.(1)x ( 1,1).=1 x + x2 x3+( 1)nxn +因为因为(2) arctan x(1) 以以x2 代替上式中的代替上式中的 x ,=1 x 2 +x4 x6+( 1)nx2n +x ( 1, 1).(2) 因因0xarctan x对上式对上式逐项积分逐项积分0x( 1)nt 2n 14x 1, 1.arctan xarctan x当当x= 1时时, 为为交错级数交错级数, 收敛收敛,当当x= 1时时, 为为交错级数交错级数, 收敛收敛,所以所以,arctan 1 =15解解例例1* 将函数将函数ln(1+x)展开成展开成 x的幂级数的幂级数.x (
8、1,1).=1 x + x2 x3+( 1)nxn +因为因为又又0xln(1+x)对上式对上式逐项积分逐项积分0x( 1)nt n 16x ( 1, 1.ln(1+x)当当x= 1时时, 为为发散发散, 当当x= 1时时, 为为交错级数交错级数, 收敛收敛,所以所以,ln(1+x)ln 2 =17例例7 将函数将函数f (x)= 展开展开x 的幂级数的幂级数.解解 因为因为 x (, + ). x (, + ).以以 代替上式中的代替上式中的 x ,18解解例例2* 将函数将函数 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.因为因为x (, + ).所以所以x (, + ).四则运算四则运算19因为因
9、为 x (, + ).所以所以 x (, + ).解解例例8 将函数将函数sin 2 x 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.又又20解解例例11 将函数将函数 分别在分别在x=0和和x=2处展开成幂级数处展开成幂级数.因为因为x ( 1, 1).所以所以 (1)由由得收敛区间为得收敛区间为: x ( 5, 5).21(2)由由得收敛区间为得收敛区间为: x ( 1, 5).x ( 1, 1).22解解例例9 将函数将函数 展开成展开成x幂级数幂级数.x ( 1, 1).x ( 2, 2).收敛区间为收敛区间为: x ( 1, 1).23解解例例12 将函数将函数ln x 展开成展开成 (x 1
10、) 的幂级数的幂级数.x ( 1,1.因为因为而而ln x = ln (1+ x 1 ) 得收敛区间为得收敛区间为: x (0, 2.由由 1 x 1 1 , 24解解例例3* 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. ( ) x ( 1,1x ( 1, 1).x 1,1)25解解2例例3* 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.0x f (x)=对上式对上式逐项积分逐项积分得得因因 f (0)=0, x ( 1, 1).26 x ( 1, 1). x ( 1, 1.x (, + ).1 几何级数几何级数2 3 4 5 三、常用已知和函数的幂级数三、常用已知和函数的幂级数x (, + ).x (, + ).27 x ( 1, 1). x 1, 1.28四、小结1. 如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2. 泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3. 函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.29 x ( 1, 1). x (, + ). x (, + ). x (, + ). x ( 1, 1. x ( 1, 1).3. 常见函数的幂级数展开式常见函数的幂级数展开式
