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1、 几种特殊类型函数的不定积分有理函数的定有理函数的定义：两个多两个多项式的商表示的函数称之式的商表示的函数称之. .一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；有理函数是真分式；这有理函数是假分式；有理函数是假分式；1.假分式可以化成一个多假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和式和一个真分式之和.例例做法：做法：(1)长除；除；(2)恒等恒等变形。形。有理函数的代数性质有理函数的代数性质 2.真分式可化为简单分式的和，所谓简单分式真分式可化为简单分式的和，所谓简单分式(或称部或称部分分式分分式)是指下面四种方式的分式：是指下
2、面四种方式的分式： n=2,3,4, 其中其中A,B,C,a,p,q为常数，为常数， 无实根，所以它无实根，所以它不能在实数域中分解为两个因式的乘积。不能在实数域中分解为两个因式的乘积。真分式化为简单分式之和的方法是真分式化为简单分式之和的方法是 ：1分母中假设有因式分母中假设有因式 ，那么分解，那么分解后为后为有理真分式化为简单分式之和：有理真分式化为简单分式之和：特殊地：特殊地：分解后分解后为2分母中假设有因式分母中假设有因式 ，其，其中中那么分解后为那么分解后为特殊地：特殊地：分解后分解后为总之，假设多项式总之，假设多项式Q(x)在实数范围内能分解成一次因在实数范围内能分解成一次因式和二
3、次质因式的乘积，如式和二次质因式的乘积，如 那么真分式可以分解成如下部分分式之和：那么真分式可以分解成如下部分分式之和： + + 其中其中 都是待定常数都是待定常数. 称为真分式化为简单分式之和的待定系数法称为真分式化为简单分式之和的待定系数法代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2真分式化为简单分式之和的待定系数法真分式化为简单分式之和的待定系数法简单分式的积分：简单分式的积分：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；多项式；讨论积分分令令令令这三三类积分均可分均可积出出, 且原函数都是初
4、等函数且原函数都是初等函数.结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .例例6 6 求积分求积分例例6 6 求积分求积分解解令令三角有理式的定三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四那么运由三角函数和常数经过有限次四那么运算构成的函数称之普通记为算构成的函数称之普通记为二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分令令万能置万能置换公式公式例例7 7 求积分求积分解解由万能置由万能置换公式公式例例8 8 求积求积分分解一解一解二解二修正万能置修正万能置换公式公式, 令令解三解三可以不用万能置可以不用万能置换公式公式.结论 比比较以上三种解法以上三种解法, 便知
5、万能置便知万能置换不一定不一定是最正确方法是最正确方法, 故三角有理式的故三角有理式的计算中先算中先思索其它手段思索其它手段, 不得已才用万能置不得已才用万能置换.例例9 9 求积求积分分解解讨论类型型处理方法理方法作代作代换去掉根号去掉根号. .例例10 10 求积求积分分解解 令令三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分例例11 11 求积求积分分解解 令令阐明明 无理函数去根号无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数取根指数的最小公倍数.例例1010解解例例1111解解简单无理式的无理式的积分分.有理式分解成部分分式之和的有理式分解成部分分式之和的积分分.留意：必需化成真分式留意：必需化成真分式三角有理式的三角有理式的积分分.万能置万能置换公式公式四、小结四、小结
