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1、4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程生活中的圆生活中的圆复习引入复习引入问题问题1：什么是圆？初中圆是怎样定义的？什么是圆？初中圆是怎样定义的？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆. .问题问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线，那么如何确定一点和倾斜角也能确定一条直线，那么如何确定一个圆呢？一个圆呢？圆心圆心半径半径确定圆的位置确定圆的位置确定圆的大小确定圆的大小问题问题3：圆心是圆心是A(A(a, ,b b),),半径是半径是r r的圆的方程是什么？的圆的方程是
2、什么？xyOAM( (x, ,y) )P = M | |MA| = r 圆上所有点的集合圆上所有点的集合(x-a)2+(y-b)2=r2设点设点M ( (x, ,y) )为圆为圆A A上任一点上任一点，由定义知由定义知|MA|= r.探究新知探究新知xyOAM( (x, ,y) )圆心圆心A( (a, ,b),),半径半径r 特别地特别地,若圆心为若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：标准方程标准方程知识点一：圆的标准方程知识点一：圆的标准方程 问题问题4:圆的标准方程有什么特征圆的标准方程有什么特征?（1）有有a、b、r三个参数三个参数； （2）方程的右边一定是正数。）方程的右
3、边一定是正数。2.说出下列圆的方程：说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点圆心在原点,半径为半径为3. (2) 圆心在点圆心在点C(3, -4), 半径为半径为 . (3)经过点经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3).1. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (2) ( x-2)2 + (y+5)2 = 49 (3) (x a)2 + y 2 = m2 （m0）应用举例应用举例 例例1 1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的方的圆的方程，并判断点程，并判断点 ，
4、 是否在这个圆是否在这个圆上。上。典型例题典型例题知识点二：点与圆的位置关系知识点二：点与圆的位置关系 探究：在平面几何中，如何确定点探究：在平面几何中，如何确定点M（x0 0，y0 0）与圆与圆( (x- -a) )2 2+(+(y- -b) )2 2= =r2 2的位置关系？的位置关系？M MO O|OM|OM|r r点在圆内点在圆上点在圆外( (x0 0- -a) )2 2+(+(y0 0- -b) )2 2r2 2几何法几何法代数法代数法跟踪练习跟踪练习 已知三点已知三点A(3,2)A(3,2)、B(5,-3)B(5,-3)、C(-1,3)C(-1,3)，以点，以点P(2,-1P(2,
5、-1）为圆心作一个圆，使）为圆心作一个圆，使A A、B B、C C三点中的一点在圆外，一点在圆内，一点三点中的一点在圆外，一点在圆内，一点在圆上，求这个圆的方程。在圆上，求这个圆的方程。待定系数待定系数法法解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上所求圆的方程为所求圆的方程为例例2 2 的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5,1),A(5,1), B(7,-3),C(2,-8), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。求它的外接圆的方程。1 1. .设出标准方程设出标准方程；2 2. .根据条件列出关
6、于根据条件列出关于a、b、r 的方程组的方程组；3.3.解出解出a、b、r ，代入标准方程，代入标准方程. . 求圆的方程常用待定系数法。用待定求圆的方程常用待定系数法。用待定系数法求圆的步骤：系数法求圆的步骤：解法二：解法二：l2l1因为因为A(5,1)A(5,1)和和B(7,-3)B(7,-3)，所以线段，所以线段ABAB的中点的坐标为的中点的坐标为(6,-1)(6,-1)，直线，直线ABAB的斜率的斜率因此线段因此线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线 l l1 1 的方的方程是：程是：即：即：所以，圆心为所以，圆心为C C的圆的标准方程是：的圆的标准方程是：因为因为B(7,-3)B(7,
7、-3)和和C(2,-8) C(2,-8) ，所以线，所以线段段BCBC的中点的坐标为的中点的坐标为(4.5,-5.5)(4.5,-5.5)，直线直线BCBC的斜率的斜率因此线段因此线段BCBC的垂直平分线的垂直平分线 l l2 2 的方的方程是：程是：即：即：ABC的外接圆的圆心的外接圆的圆心O O的坐的坐标是方程组标是方程组 的解的解解得：解得：即即 O(2,O(2,-3)几何法几何法解解: :A(1,1),B(2,-2)A(1,1),B(2,-2)己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圆心且圆心在直线在直线l:x-y+1
8、=0l:x-y+1=0上上, ,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程. .xyOCA(1,1)B(2,-2)D例例2 2线段线段AB的中点的中点D的坐标的坐标线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是即即解方程组解方程组得圆的半径长圆的半径长圆心圆心C C的坐标是的坐标是所以圆的标准方程所以圆的标准方程己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圆心且圆心在直线在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上, ,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程. .圆经过圆经过A(1,1),B(2,-2)A(1,1),B(2,-2)解解2:2:设圆设圆C C的方程为的方程为圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上例例2 21.1.圆的标准方程圆的标准方程（圆心（圆心A A( (a, ,b),),半径半径r）2.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系3.3.求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法： 待定系数法待定系数法 几何法（数形结合）几何法（数形结合）小结小结
