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1、的应用的应用 解三角形问题是三角学的基本问题之一。解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形三角形”和和“测量测量”。最初的理解是解三角形的计算，。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。形两部分内容的一门数学分学科。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角在物理学中，有关向量的计
2、算也要用到解三角形的方法。形的方法。 我国古代很早就有测量方面的知识，公元我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的一世纪的周髀算经周髀算经里，已有关于平面测量里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪，的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计算我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦经取得了某些特殊角的正弦正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理（R为三角形的外接圆半径）为三角形的外接圆半径）ABCacb解三角形理论解三角形理论在实际问题中的应用在实际问题中的应用实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、
3、术语实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语1.1.仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。（1 1）. .当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。叫仰角。叫仰角。叫仰角。（2 2）. .当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。叫俯角。叫俯角。叫俯角。（3 3）. .由一点出发的两条视线所夹
4、的角叫视角。（一由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）般这两条视线过被观察物的两端点）般这两条视线过被观察物的两端点）般这两条视线过被观察物的两端点）水平线水平线水平线水平线视线视线视线视线视线视线视线视线仰角仰角仰角仰角俯角俯角俯角俯角2.2.方向角、方位角。方向角、方位角。方向角、方位角。方向角、方位角。（1 1）. .方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成
5、的小于的小于的小于的小于90900 0的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。（2 2）. .方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。所成的角叫方位角。所成的角叫方位角。所成的角叫方位角。东东东东西西西西北北北北南南南南60600 030300 045450 020200 0A AB BC CD D点点点点A A在北偏东在北偏东在北偏东在北偏东60600 0，方位角，方位角，方位角，方位角60600 0. .点点点点B B在北
6、偏西在北偏西在北偏西在北偏西30300 0，方位角，方位角，方位角，方位角3303300 0. .点点点点C C在南偏西在南偏西在南偏西在南偏西45450 0，方位角，方位角，方位角，方位角2252250 0. .点点点点D D在南偏东在南偏东在南偏东在南偏东20200 0，方位角，方位角，方位角，方位角1601600 0. .3.3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离水平距离水平距离水平距离垂垂垂垂直直直直距距距距离离离离坡面距离坡面距离坡面距离坡面距离坡度（坡度比）坡度（坡度比）坡度（坡度比）坡度
7、（坡度比） i: i: 垂直距离垂直距离垂直距离垂直距离/ /水平距离水平距离水平距离水平距离坡角坡角坡角坡角: tan=: tan=垂直距离垂直距离垂直距离垂直距离/ /水平距离水平距离水平距离水平距离 A AB BC C问题一：测量距离问题问题一：测量距离问题（1）：有一点可到达）：有一点可到达解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例想一想：例想一想：例1： 如何测定河两岸如何测定河两岸两点两点A、B间的距离？间的距离？AB解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量
8、举例想一想：想一想： 如何测定河两岸两点如何测定河两岸两点A、B间的距离？间的距离？ABC在B的同一侧选定一点C解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例想一想：想一想： 如何测定河两岸两点如何测定河两岸两点A、B间的距离？间的距离？ABCABC55简解简解:由正弦定理可得由正弦定理可得AB/sin=BC/sinA 55若BC=55, =510 , =750,求AB的长.问题一：测量距离问题问题一：测量距离问题（2）：两点都不可到达）：两点都不可到达解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例
9、实地测量举例实地测量举例例例2、 如何测定河对岸两点如何测定河对岸两点A、B间的距离？间的距离？ABD如图在河这边取一点如图在河这边取一点D D，构造三，构造三角形角形ABDABD，能否求出，能否求出AB?AB?为什么？为什么？解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例例例2、 为了测定河对岸两点为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定间的距离，在岸边选定a a公里长的公里长的基线基线CD，并测得并测得BCA=，ACD=，CDB=，B BDA=，求求A、B两点的距离两点的距离. .ABDCABDCa公里公里分析：在四边形分析：
10、在四边形ABCDABCD中欲求中欲求ABAB长，只能去解三长，只能去解三角形，与角形，与ABAB联系的三角形有联系的三角形有ABCABC和和ABDABD，利，利用其一可求用其一可求ABAB。BBCA=，ACD=，BDC=，ADB=，练习练习练习练习1.1.1.1.一艘船以一艘船以32.2n mile / h32.2n mile / h的速度向的速度向正北航行。在正北航行。在A A处看灯塔处看灯塔S S在船的北偏东在船的北偏东2020o o的方向，的方向，30min30min后航行到后航行到B B处，在处，在B B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东6565o o的方向，已知距离此灯塔的方向
11、，已知距离此灯塔6.5n mile 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？这艘船可以继续沿正北方向航行吗？ 练习练习练习练习2 2如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度（如图）已知车厢的最大仰角为的长度（如图）已知车厢的最大仰角为60，油，油泵顶点泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的与水平线之间的夹角为夹角为 ，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（保留三个有效数的长（保留三个有效数字）字） （1
12、 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？BACD抽象数学模型CAB练练练练习习习习2 2:已已知知ABC的的两两边边AB1.95m，AC1.40m，夹角，夹角A6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 B(B0)CA(A0)图图1CBAB0A0图图2c练习练习3 3：下图是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄下图是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄CBCB绕绕C
13、 C点旋转点旋转时，通过连杆时，通过连杆ABAB的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄在的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄在 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点端点A A在在 处。设连杆处。设连杆ABAB长为长为 cm,cm,曲柄曲柄CBCB长为长为60cm,60cm,曲曲柄自柄自 按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转6060 ，求活塞移动的距离。，求活塞移动的距离。解：解：A0AB0BC6060练习练习练习练习3 3总结总结实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推推理理演演算算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原
14、说明问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题（1 1）：底部不可以到达）：底部不可以到达）：底部不可以到达）：底部不可以到达问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题（2 2）：底部可以到达）：底部可以到达）：底部可以到达）：底部可以到达问题三：测量角度问题问题三：测量角度问题问题三：测量角度问题问题三：测量角度问题例例5:我海军舰艇在我海军舰艇在A A处获悉某渔船发出的求救信号后处获悉某渔船发出的求救信号后, ,立立即测出该渔船在方位角即测出该渔船在方位角( (指由正北方向顺时针旋转到目标指由正北方向顺时针旋转到目
15、标方向的水平角方向的水平角) )为为 , ,距离距离A A为为1010海里的海里的C C处处, ,并测得渔船并测得渔船正沿方位角正沿方位角 的方向以的方向以9 9海里海里/ /时速度向某岛时速度向某岛P P靠拢靠拢, ,我我海军舰艇立即以海军舰艇立即以2121海里海里/ /时的速度前去营救时的速度前去营救, ,试问舰艇应试问舰艇应按照怎样的航向前进按照怎样的航向前进? ?并求出靠近渔船所用时间。并求出靠近渔船所用时间。北北北北BCA解：解：练习：练习： 解：如图，在解：如图，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：A 1 我我舰舰在在敌敌岛岛A南南偏偏西西50相相距距12海海里里的的B处处，发
16、发现现敌敌舰舰正正由由岛岛沿沿北北偏偏西西10的的方方向向以以10海海里里/小小时时的的速速度度航航行行问问我我舰舰需需以以多大速度、沿什么方向航行才能用多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？小时追上敌舰？CB 我舰的追击速度为我舰的追击速度为14n mile/h又在又在ABC中由正弦定理得：中由正弦定理得：故我舰行的方向为北偏东故我舰行的方向为北偏东练习练习2：如下图，已知半圆的直径如下图，已知半圆的直径AB=2，点，点C在在AB的延长线上，的延长线上，BC=1，点，点P为半圆上的动为半圆上的动点。以点。以PC为边作等边为边作等边PCD，且点，且点D与圆心与圆心O分别在分别在PC的两
17、侧，求四边形的两侧，求四边形OPDC的面积的的面积的最大值。最大值。CPDOAB解：解：1、解决应用题的思想方法是什么？解决应用题的思想方法是什么？2、解决应用题的步骤是什么？、解决应用题的步骤是什么？实际问题实际问题数学问题（画出图形）数学问题（画出图形）解三角形问题解三角形问题数学结论数学结论分析转化分析转化检检验验小结：小结：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。1 1、审题（分析题意，弄清已知和所求，、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；根据提意，画出示意图；2.2.建模（将实际问题转化为解斜三角形建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）的数学问题）3.3.求模（正确运用正、余弦定理求解）求模（正确运用正、余弦定理求解）4 4，还原。，还原。小结：求解三角形应用题的一般步骤：小结：求解三角形应用题的一般步骤：同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全
