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1、北京科技大学 矩阵与矩阵与矩阵与矩阵与JordanJordan标准型标准型标准型标准型20112011年年9 9月月2222日日北京科技大学自动化北京科技大学自动化本章的主要任务本章的主要任务如何解决此问题：如何解决此问题：Step1Step1：找出相似矩阵的不变量，这些不变量不仅：找出相似矩阵的不变量，这些不变量不仅在相似关系下保持不变。而且足以判断两个矩阵是在相似关系下保持不变。而且足以判断两个矩阵是否相似否相似全系不变量。全系不变量。Step2Step2：找出一类比较简单的矩阵，利用相似关系：找出一类比较简单的矩阵，利用相似关系的全系不变量就可以判断一个矩阵与这类矩阵中的的全系不变量就可
2、以判断一个矩阵与这类矩阵中的某一个相似。某一个相似。问题：给定一个线性变换，找出一组基，使线性变换问题：给定一个线性变换，找出一组基，使线性变换在这组基下的矩阵表示具有比较简单的形状。在这组基下的矩阵表示具有比较简单的形状。等价的问题：给矩阵的相似等价类一个形状简单的代等价的问题：给矩阵的相似等价类一个形状简单的代表。表。北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.1 -矩阵矩阵定义定义2.1.1 2.1.1 设设K K是一个数域，是一个数域，是一个文字，作多项是一个文字，作多项式环式环KK ，一个矩阵，如果它的元素是，一个矩阵，如果它的元素是的多项式，的多项式，就称作就称作矩阵矩阵。注：注：数域
3、数域K K中的元素也在中的元素也在KK 中，中， 矩阵中也包括以数矩阵中也包括以数为元素的矩阵；为元素的矩阵；KK 上有加法、减法、乘法并且与数的运算有相上有加法、减法、乘法并且与数的运算有相同的运算规律，矩阵的加法、乘法只用到其元素的同的运算规律，矩阵的加法、乘法只用到其元素的加法和乘法因此可以同样定义加法和乘法因此可以同样定义矩阵的加法与乘法；矩阵的加法与乘法；行列式定义中只用矩阵元素的加法和乘法，同样可行列式定义中只用矩阵元素的加法和乘法，同样可以定义以定义矩阵的行列式。矩阵的行列式。北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.1 -矩阵矩阵定义定义2.1.32.1.3：若：若A(A(),B
4、(),B() )都是都是矩阵。矩阵。A(A() )经过初等经过初等变换后可变为变换后可变为B(B() )，则称为，则称为A(A() )与与B(B() )相抵相抵注：相抵是一个等价关系。注：相抵是一个等价关系。定义定义2.1.22.1.2：对：对矩阵矩阵A(A() )施行的下列施行的下列3 3种变换称为种变换称为矩阵的矩阵的初等变换初等变换： 将将A(A() )的两行的两行( (列列) )对换；对换； 将将A(A() )的第的第i i行行( (列列) )乘以常数乘以常数c c，cKcK 将将A(A() )的第的第i i行行( (列列) )乘以乘以K K上的多项式上的多项式f(f() )后后加到第
5、加到第j j行行( (列列) )上去。上去。北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.1 -矩阵矩阵定义下列定义下列3 3种矩阵称为种矩阵称为初等初等矩阵矩阵北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.1 -矩阵矩阵定义定义2.1.52.1.5：A(A() )，B(B() )都是都是n n阶阶矩阵，且矩阵，且A(A()B()B() = B() = B() A() A() = I) = I则称则称B(B() )是是A(A() )的逆的逆矩阵，此时称矩阵，此时称A(A() )为可逆为可逆矩矩阵阵单模阵单模阵定理定理2.1.22.1.2：矩阵矩阵A(A() )可逆的充要条件是可逆的充要条件是det A(d
6、et A()=c)=c，c c是非零常数是非零常数定理定理2.1.12.1.1：对：对矩阵施行行矩阵施行行( (列列) )初等变换等于用相应初等变换等于用相应的初等的初等矩阵左矩阵左( (右右) )乘以乘以A(A() )定义定义2.1.42.1.4：n n阶阶矩阵矩阵A(A() )中有一个中有一个r(r1)r(r1)阶子式不阶子式不为零，而所有为零，而所有r+1r+1阶子式全为零，则称阶子式全为零，则称矩阵的秩为矩阵的秩为r r。证明证明：detA(detA()B()B()=det A()=det A() detB() detB()=1)=1北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.1 -矩阵矩
7、阵det A(det A()=c0)=c0A(A() A) A* *( ()= A)= A* * ( () A) A ( ()=cI, )=cI, 令令B(B()= A)= A* * ( () /c) /cA(A()B()B() =B() =B()A()A()=I ,)=I ,所以所以A(A() )是单模阵是单模阵引理引理：设：设M(M() )与与N(N() )是两个是两个n n阶阶- -矩阵且都不等于零，矩阵且都不等于零，又设又设B B为为n n阶数字矩阵，则必存在阶数字矩阵，则必存在- -矩阵矩阵Q(Q() )及及S(S() )和数字矩阵和数字矩阵R R及及T T使得下式成立：使得下式成立
8、： M( M()=()=(I-B)Q(I-B)Q()+R)+R N( N()=S()=S()()(I-B)+TI-B)+Tdet A(det A() )是一个多项式但要满足上式是一个多项式但要满足上式deg(det A(deg(det A() )=0 det A() )=0 det A() )只能是常数必要条只能是常数必要条件成立件成立北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.1 -矩阵矩阵m=0m=0命题成立命题成立设对小于设对小于m m次矩阵多项式成立次矩阵多项式成立令令Q Q1 1( ()=M)=Mm mm-1m-1M(M() )( (I-B)Q1( () )= (BM (BMm m +M
9、 +Mm-1m-1) )m-1m-1+ + +M+M0 0上式是一个小于上式是一个小于m m次矩阵多项式，有归纳假设有次矩阵多项式，有归纳假设有Q Q2 2( () )和数字矩阵和数字矩阵R R，使得，使得 M( M() )( (I-B)Q1( () )= ( (I-B)Q2( () )+R令令Q(Q()=Q)=Q1 1( ()+Q)+Q2 2( (),),命题得证命题得证证明：证明： M( M() =M) =Mm m m m+ M+ Mm-1m-1 m-1m-1+ + +M +M0 0，其中，其中M Mm m 0对对m m使使用归纳法用归纳法北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.1 -矩阵
10、矩阵定理定理2.1.32.1.3：设设A A，B B是数域是数域K K上的矩阵，则上的矩阵，则A A与与B B相似的充相似的充要条件是要条件是- -矩阵矩阵( (I-A)I-A)与与( (I-B)I-B)相抵相抵证明证明：( (必要性必要性) )若若A A，B B相似则存在可逆矩阵相似则存在可逆矩阵P P满足满足 P P-1-1AP=B AP=B P P-1-1( (I-A)P= (I-A)P= (I-PI-P-1-1AP) = AP) = ( (I-B)I-B) ( (I-A)I-A)与与( (I-B)I-B)相抵相抵 ( (充分充分性性) ) 若若( (I-A)I-A)与与( (I-B)I
11、-B)相抵，则存在相抵，则存在M(M() )和和N(N() )使得使得: : M( M()()(I-A)N(I-A)N()=()=(I-B)I-B)M(M()()(I-A) = I-A) = ( (I-B) NI-B) N-1-1( () ) 由引理：由引理： M( M()=()=(I-B)Q(I-B)Q()+R)+R带入上式带入上式 R( (I-A)= (I-A)= (I-B) NI-B) N-1-1( ()- Q()- Q() () (I -A) I -A) P=N P=N-1-1( ()- Q()- Q() () (I -A)I -A)是常数矩阵是常数矩阵北京科技大学自动化北京科技大学自
12、动化2.1 -矩阵矩阵R( (I-A)= (I-A)= (I-B) PI-B) P (R-P)=RA-(R-P)=RA-BPBPR,P,A,BR,P,A,B均为数字矩阵，均为数字矩阵，(R-P)=0(R-P)=0 R=PR=P，RA=RA=BPBP P=N P=N-1-1( ()- Q()- Q() () (I -A)I -A) PN( PN()+ Q()+ Q() () (I -A)N(I -A)N()=I)=I(I-A) NI-A) N ( ()= M)= M-1 -1 ( () () (I-B)I-B) PN( PN()+Q()+Q() M) M-1 -1 ( () () (I-B)=I
13、I-B)=I 由引理，存在由引理，存在S(S() )和和T T ，使得，使得N(N()=S()=S()()(I-I-B)+TB)+T P P S( S()()(I-B)I-B)+Q(+Q() M) M-1 -1 ( () () (I-B)I-B) +PT +PT =I=I PT PT =I=I P P是非奇异的是非奇异的北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.2 -矩矩阵的的Smith标准型准型引理引理：设：设A(A()=a)=aijij( ()nXnnXn是一个非零是一个非零- -矩阵。则矩阵。则A(A() )必相抵与必相抵与B (B ()=b)=bijij( ()nXnnXn其中其中b b
14、1111( ()0)0，且可以整除，且可以整除B(B() )中的任意中的任意元素元素证明证明：经行、列初等变换可以得到：经行、列初等变换可以得到a a1111( ()0)0，degadega1111( () dega) degaijij( () )定理定理2.2.12.2.1：设：设A(A() )是一个是一个n n阶阶矩阵，则矩阵，则A(A() ) 相抵相抵与对角阵与对角阵diag(ddiag(d1 1( (), d), d2 2( (), ), d dr r( (), 0, ), 0, 0)0)，其中，其中d di i( () )是首一多项式且是首一多项式且d di i( ()|d)|di+
15、1i+1( () )，i=1,2,i=1,2,r-1,r-1。r=rankAr=rankA证明证明：对：对n n使用数学归纳法使用数学归纳法n=1n=1，成立；，成立；n=k-1n=k-1成立；成立；n=kn=k时应用引理时应用引理北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.2 -矩矩阵的的Smith标准型准型定理定理2.2.32.2.3：设：设A A是数域是数域K K上的一个上的一个n n阶矩阵，则阶矩阵，则A A的特征的特征矩阵必相抵于矩阵必相抵于diag(1, diag(1, ,1,d,1,d1 1( (), d), d2 2( (), ), ,d,dr r( ()，其中，其中d di i(
16、 () )是首一多项式且是首一多项式且d di i( ()|d)|di+1i+1( () )，i=1,2,i=1,2,r-1,r-1简证简证：det(det(I-A)I-A)是是n n次多项式，次多项式， ( (I-A)I-A)其秩为其秩为n n相抵于相抵于diag(ddiag(d1 1( (), d), d2 2( (), ), ,d ,dn n( ()，其中，其中d di i( () )是首一多项式且是首一多项式且d di i( ()|d)|di+1i+1( () )，i=1,2,i=1,2,r-1,r-1若非常数的若非常数的d di i( () )有有r r个，则有个，则有n-rn-r个
17、个1 1出现。出现。定理定理2.2.22.2.2：任一：任一n n阶可逆阶可逆矩阵都可以表示为有限个矩阵都可以表示为有限个初等初等矩阵的积矩阵的积北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.3 不变因子不变因子定义定义2.3.1 2.3.1 设设A(A() )是一个是一个n n阶阶矩阵，矩阵，k nk n，如果，如果A(A() ) 的所有的所有k k阶子式的最大公因子不等于零，则阶子式的最大公因子不等于零，则称这个多项式为称这个多项式为A(A() ) 的的k k阶行列式因子，记为阶行列式因子，记为D Dk k ( () )，如果，如果A(A() )的所有的所有k k阶子式都等于零，则规定阶子式都等
18、于零，则规定A(A() )的的k k阶行列式因子为零。阶行列式因子为零。定理定理2.3.12.3.1：设：设D D1 1( (),D),D2 2( (), ), ,D ,Dr r( () )是是A(A() )的的非零行列式因子，则非零行列式因子，则D Di i( ()|D)|Di+1i+1( () )，i=1,2,i=1,2,r-,r-1 1成立。成立。定义定义2.3.22.3.2：设：设D D1 1( (),D),D2 2( (), ), ,D ,Dr r( () )是是A(A() )的的非零行列式因子，则非零行列式因子，则g g1 1( ()=D)=D1 1( (),g),g2 2( ()
19、=D)=D2 2( ()/D)/D1 1( (), ), , , g gr r( (),=D),=Dr r( ()/D)/Dr-1r-1( () )，称为的不变因子组。，称为的不变因子组。例：求例：求diag(ddiag(d1 1( (), d), d2 2( (), ), d dr r( (), 0, ), 0, 0)0)的的行列式因子行列式因子北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.3 不变因子不变因子定理定理2.3.22.3.2：相抵的：相抵的矩阵有相同的行列式因子，从而矩阵有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。有相同的不变因子。证明：行列式因子在初等变换下不变证明：行列式因子在初等
20、变换下不变定理定理2.3.32.3.3：矩阵的标准型是唯一的。矩阵的标准型是唯一的。定理定理2.3.42.3.4：数域：数域K K上上n n阶矩阵阶矩阵A A和和B B相似的充要条件是它相似的充要条件是它们的特征矩阵们的特征矩阵( (I-A)I-A)和和( (I-B)I-B)具有相同的行列式具有相同的行列式因子或不变因子。因子或不变因子。证明：证明：ABAB ( (I-A)I-A)和和( (I-B)I-B)相抵相抵 相同的不变相同的不变因子或行列式因子因子或行列式因子 北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.3 不变因子不变因子定理定理2.3.52.3.5：设：设A A为数域为数域K K上的上
21、的n n阶方阵，阶方阵，A A的不变因子组的不变因子组为为1, 1, ,1,d,1,d1 1( (), d), d2 2( (), ), d dr r( () )，其中，其中degddegdi i( () =m) =mi i，则，则A A相似于下列分块对角阵：相似于下列分块对角阵：注：注：det(det(I-A)I-A)的不变因子组的不变因子组1, 1, ,1,d,1,d1 1( (), ), d d2 2( (), ), d dr r( ()，称为，称为A A的不变因子组的不变因子组北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.3 不变因子不变因子初等因子：初等因子：设设A A为数域为数域K K上
22、的上的n n阶方阵，阶方阵，d d1 1( (), ), d d2 2( (), ), ,d ,dr r( () )为为A A的非常数不变因子，在的非常数不变因子，在K K上上将其分解成不可约因子之积：将其分解成不可约因子之积：定理定理2.3.62.3.6：设：设A A为数域为数域K K上的上的n n阶方阵，阶方阵，A A的的不变因子组不变因子组为为1, 1, ,1,d,1,d1 1( (), d), d2 2( (), ), ,d ,dr r( () )，则，则A A的极的极小多项式小多项式m(m()= d)= dr r( () )北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.3 不变因子不变因子
23、定义定义2.3.32.3.3：在上式中的：在上式中的e eijij00，称，称 为为A A的一个的一个初等因子初等因子，全体初等因子称为，全体初等因子称为A A的的初等因子组。初等因子组。不变因子组可以唯一确定初等因子组不变因子组可以唯一确定初等因子组例：例：设设1212阶矩阵的不变因子为：阶矩阵的不变因子为：1,1, 1,1, ,1,(,1,(-1)-1)2 2,(,(-1)-1)2 2( (+1),(+1),(- -1)1)2 2( (+1)(+1)(2 2+1)+1)2 2其在实数域上的初等因子为：其在实数域上的初等因子为：( (-1)-1)2 2,(,(-1)-1)2 2, (, (+
24、1),(+1),(-1)-1)2 2, , ( (+1),(+1),(2 2+1)+1)2 2( (-1)-1)2 2( (-1)-1)2 2( (- -1)1)2 2( (+1)(+1)(+1)+1)( (2 2+1)+1)2 2d d3 3=(=(-1)-1)2 2( (+1)(+1)(2 2+1)+1)2 2d d2 2=(=(-1)-1)2 2( (+1),+1),d d1 1=(=(-1)-1)2 2北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.3 不变因子不变因子初等因子：初等因子：初等因子组可以唯一初等因子组可以唯一确定不变因子组确定不变因子组北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.3
25、 不变因子不变因子定理定理2.3.62.3.6：数域：数域K K上的两个上的两个n n阶方阵阶方阵A A与与B B相似的充要条相似的充要条件是它们有相同的初等因子组，即矩阵的初等因子件是它们有相同的初等因子组，即矩阵的初等因子组是矩阵相似关系的全系不变量。组是矩阵相似关系的全系不变量。例：例：设设A A是是1010阶矩阵，其初等因子组为：阶矩阵，其初等因子组为：( (-1),(-1),(-1) ,(-1) ,(-1)-1)2 2,(,(+1)+1)2 2 ( (+1)+1)3 3,(,(-2)-2)求求A A的不变因子的不变因子定理定理2.3.72.3.7：用初等变换将：用初等变换将I-AI-
26、A化为对角阵，然后将化为对角阵，然后将主对角线上元素分解成互不相同的一次因式方幂的主对角线上元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所用这些一次因式的方幂就是乘积，则所用这些一次因式的方幂就是A A的全部初等的全部初等因子。因子。北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.4 Jordan标准型标准型引理引理1 1：如下如下r r阶矩阵阶矩阵J J的初等因子组为的初等因子组为( (- -0 0) )r r。证明：证明：J J的特征多项式为的特征多项式为 ( (- -0 0) )r r，任意，任意krkr，I-JI-J一定有一个一定有一个k k子式的值为子式的值为(-1)(-1)k k，因此，因此
27、J J的行列式因子的行列式因子为：为： 1,1 1,1， ，1 1， ( (- -0 0) )r r 所以所以J J的初等因子组只有的初等因子组只有( (- -0 0) )r r北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.4 Jordan标准型标准型引理引理2 2：设：设J J是分块对角是分块对角矩阵，其中每个矩阵，其中每个J Ji i都是都是JordanJordan块块其初等因子组为其初等因子组为( (- -0 0) )mimi则则J J的初等因子组为的初等因子组为( (- -1 1) )m1m1,(,(- -2 2) )m2m2, , , (, (- -k k) )mkmk证明：证明：I-JI
28、-J是分块对角阵，分块对角阵中某一块进行是分块对角阵，分块对角阵中某一块进行初等变换不影响其它块，因此其相抵与初等变换不影响其它块，因此其相抵与diag(Hdiag(H1 1,H,H2 2, , ,H,Hk k) )，其中，其中H Hi i=diag(1, =diag(1, ,1, (,1, (- -i i) )mimi) )，在作行，在作行列变换其相抵列变换其相抵diag(1, diag(1, ,1, (,1, (- -1 1) )m1m1,(,(- -2 2) )m2m2, , , (, (- -k k) )mkmk) )北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.4 Jordan标准型标准型
29、定理定理2.4.12.4.1：设设A A是复数域上的矩阵，且是复数域上的矩阵，且A A的初等因子组的初等因子组为：为：( (- -1 1) )r1r1 ,( ,(- -2 2) )r2 r2 , , ,(,(- -k k) )rk rk 。则。则A A相似相似于分块对角阵：于分块对角阵：其中其中北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.4 Jordan标准型标准型例：例：设矩阵设矩阵A A为线性变换为线性变换在一组基在一组基e e1 1、e e2 2、e e3 3下的矩下的矩阵表示，求阵表示，求V V的一组基，使线性变换的一组基，使线性变换在这组基下的矩在这组基下的矩阵表示为若当标准型。阵表示为若当标准型。解：解：北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.4 Jordan标准型标准型北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.4 Jordan标准型标准型若当标准型的求法：若当标准型的求法：称称e1,e2,e3e1,e2,e3为广义特征向量为广义特征向量A A矩阵有共轭复根时，实标准型的形式？矩阵有共轭复根时，实标准型的形式？A A矩阵的初等因子在实数域中不能分解为一次因子矩阵的初等因子在实数域中不能分解为一次因子有因子为有因子为：(- -) )2 2+ +2 2) )北京科技大学自动化北京科技大学自动化2.4 Jordan标准型标准型北京科技大学自动化北京科技大学自动化本章结束本章结束
