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1、第第第第7 7 章章章章目目 录录第一定律：第一定律：行星以太阳为一焦点而作椭圆行星以太阳为一焦点而作椭圆 轨道运动。轨道运动。第二定律：第二定律：任何行星对太阳的位置矢量在任何行星对太阳的位置矢量在 同样时间内在它椭圆上所扫过同样时间内在它椭圆上所扫过 的面积是相等的。的面积是相等的。第三定律：第三定律：旋转周期的平方和行星与太阳旋转周期的平方和行星与太阳 之间的平均距离的立方成正比。之间的平均距离的立方成正比。第七章第七章 万有引力万有引力7.1 7.1 开普勒三大定律：开普勒三大定律：Keplers Laws第第第第7 7 章章章章目目 录录7.2.1 万有引力定律万有引力定律 Law
2、of Gravitation1、万有引力是有心力万有引力是有心力 t t +dt，质点质点 A B扫过面积矢量：扫过面积矢量：dA = r dr 定值定值 = dA/dt =(r dr/dt)/2 = r v/2 质点的角动量质点的角动量 L = r p = mr v = 定值定值即：即：角动量守恒，说明万有引力是有心力。角动量守恒，说明万有引力是有心力。drtt+dtrLr+drOAB7.2 万有引力定律万有引力定律第第第第7 7 章章章章目目 录录2、与作用距离的平方成反比、与作用距离的平方成反比 考虑行星轨道为圆的特例考虑行星轨道为圆的特例开普勒第一定律说明作用力指向圆心开普勒第一定律说
3、明作用力指向圆心 法向力：法向力：F = mv2/r = m( 2 r/ T )2/r = 4 2mr/T2开普勒第三定律：开普勒第三定律： T2 = kr3 ( k为常数为常数 ) 故：故： F = 4 2mr/T2 = 4 2mr/kr3 = 4 2m/kr2 即：即：F 1/r2 与作用距离的平方成反比与作用距离的平方成反比第第第第7 7 章章章章目目 录录3、引力质量、引力质量 Gravitational Mass 的引入的引入 万有引力与物体的本性有关，在物理学万有引力与物体的本性有关，在物理学中用引力质量来定量地表示。中用引力质量来定量地表示。引力质量的数值规定如下：引力质量的数值
4、规定如下： 若质点若质点A和质点和质点C的引力为的引力为FAC，质点质点B和质点和质点C的引力为的引力为FBC，距离距离AC等于距离等于距离BC，则：则： m / m = FAC / FBC = 常数常数规定标准引力质量，单位为公斤规定标准引力质量，单位为公斤 kg因为：因为： m 与与 m 的作用力的作用力 F m m 所以：所以：万有引力定律万有引力定律 F = G m m/r2 引力常数引力常数 G = 6.67 10-11 Nm2 / kg2第第第第7 7 章章章章目目 录录万有引力定律物理意义：万有引力定律物理意义： 两个物体之间的万有引力作用可以用一个有两个物体之间的万有引力作用可
5、以用一个有心吸力来代表，它和二者的质量成正比，而与二心吸力来代表，它和二者的质量成正比，而与二者之间的距离平方成反比。者之间的距离平方成反比。 万有引力定律是自然界最普遍的定律之一。万有引力定律是自然界最普遍的定律之一。一切物体不论它们是怎样微小或怎样巨大，是元一切物体不论它们是怎样微小或怎样巨大，是元素或化合物，有生命或无生命的都遵从这个定律。素或化合物，有生命或无生命的都遵从这个定律。 除天体外，万有引力与电磁力、强力、弱力除天体外，万有引力与电磁力、强力、弱力相比小到可略去不计。地球上物体所受到的重力相比小到可略去不计。地球上物体所受到的重力就是万有引力的一个特例，物体下落时的重力加就是
6、万有引力的一个特例，物体下落时的重力加速度就是物体受地球引力作用的结果。地面以上速度就是物体受地球引力作用的结果。地面以上的物体离地心较远时重力较小，所以当物体从极的物体离地心较远时重力较小，所以当物体从极高处下落时，重力加速度不能再当作常数。高处下落时，重力加速度不能再当作常数。第第第第7 7 章章章章目目 录录7.2.2 引力质量和惯性质量引力质量和惯性质量引力质量引力质量 表征物体的引力特性表征物体的引力特性惯性质量惯性质量 表征物体的惯性特性表征物体的惯性特性 在经典力学中它们是两个不同的物理量。但在经典力学中它们是两个不同的物理量。但许多实验都证明，惯性质量与引力质量在数值上许多实验
7、都证明，惯性质量与引力质量在数值上成正比。地面上同一地点一切物体下落的加速度成正比。地面上同一地点一切物体下落的加速度相同就是惯性质量与引力质量成正比最简单的实相同就是惯性质量与引力质量成正比最简单的实验证明。验证明。 既然惯性质量与引力质量的数值成正比，那既然惯性质量与引力质量的数值成正比，那么只要选取适当的单位，引力质量与惯性质量在么只要选取适当的单位，引力质量与惯性质量在数值上相等。数值上相等。 因此，平时不必再区分惯性质量和引力质量，因此，平时不必再区分惯性质量和引力质量，而统称为质量。而统称为质量。第第第第7 7 章章章章目目 录录7.2.3 引力势能引力势能 万有万有引力矢量形式；
8、引力矢量形式； 由于万有引力是有心力，而且只依距离由于万有引力是有心力，而且只依距离而变，它相当于一个保守力，所以我们可以而变，它相当于一个保守力，所以我们可以引入引入引力势能引力势能。rmmFro第第第第7 7 章章章章目目 录录引力势能引力势能: :设无限远处设无限远处( (r=)r=)的势能为零的势能为零, ,E EP P()=0()=0例例 引力相互作用下二质点系统的总能量：引力相互作用下二质点系统的总能量： E = mv2/2 + mv2/2 - Gmm/r 第第第第7 7 章章章章目目 录录Ep = -Gmm/rEkoEE0rEEp = -Gmm/rEkoEE=0rEmm椭圆椭圆m
9、m双曲线双曲线mm抛物线抛物线第第第第7 7 章章章章目目 录录E=0E=0抛物线抛物线E0E0双曲线双曲线E0E0椭圆椭圆AhRvo人造卫星轨道：人造卫星轨道：设从地面发射一颗卫星，卫星在设从地面发射一颗卫星，卫星在 A 点达到它的最大高度点达到它的最大高度 h 之后，受到一推力而产生一之后，受到一推力而产生一水平速度水平速度 vo第第第第7 7 章章章章目目 录录例例7-1 试计算一物体在地球上的逃逸速度，即在地试计算一物体在地球上的逃逸速度，即在地球上发射一物体使之到达无限远处所需的最小发球上发射一物体使之到达无限远处所需的最小发射速度。射速度。解：欲使物体到达无限远处，总能量必须为零或
10、解：欲使物体到达无限远处，总能量必须为零或为正；显然，为正；显然，最小速度对应于总能量为零最小速度对应于总能量为零。因此，。因此，令令E=0，并设并设M为地球的质量，为地球的质量，R为地球半径，为地球半径，ve 为物体的逃逸速度，则得：为物体的逃逸速度，则得： mve2/2 - GmMR = 0因此：因此： ve =(2GM/R)1/2 =1.2104 m/s 注意，注意，逃逸速度与物体的质量无关逃逸速度与物体的质量无关。但是，。但是，加速一物体使之达到逃逸速度所需的推力则与这加速一物体使之达到逃逸速度所需的推力则与这物体的质量有关系。因此，质量较大的导弹和卫物体的质量有关系。因此，质量较大的
11、导弹和卫星就需要功率较大的助推器。星就需要功率较大的助推器。第第第第7 7 章章章章目目 录录7.3.1 引力场引力场 Gravitational Field牛顿时代认为：牛顿时代认为：引力作用为超距作用，引力作用为超距作用， 无需作用时间。无需作用时间。现代观点：现代观点：引力作用以引力场（引力子）引力作用以引力场（引力子） 为媒介起作用，作用需传递时间，为媒介起作用，作用需传递时间， 引力子传递速度为光速引力子传递速度为光速 c。1、引力场强定义：引力场强定义： Eg = F/m ( m 为试验质量为试验质量 )质点质点 m 在在 m 所在地点的引力场强度为：所在地点的引力场强度为： Eg
12、 = - Gm/r2 ro （引力场指向质引力场指向质点点m）单位是单位是 NkgNkg-1-1 或或 msms-2-2 ， 与加速度相与加速度相同。同。7.3 引力场和引力势引力场和引力势第第第第7 7 章章章章目目 录录 任何一个放在这区域内质点所受的引任何一个放在这区域内质点所受的引力可由该质点的质量力可由该质点的质量 M 乘以相应乘以相应 Eg 而得而得出，即：出，即：F = MEg 与质点的重力与质点的重力 W = Mg 相比较，重力相比较，重力加速度加速度 g 可以被当作是在地球表面处的引可以被当作是在地球表面处的引力场强度。力场强度。第第第第7 7 章章章章目目 录录2、引力场迭
13、加原理、引力场迭加原理 假定有几个质量假定有几个质量 m1，m2，m3，分分别产生各自引力场别产生各自引力场 Egi， F = mEg1 + mEg2 + mEg3 + = m( Eg1 + Eg2 + Eg3 + ）于是，于是，P点的合引力场为：点的合引力场为： Eg = Eg1 + Eg2 + Eg3 + Pmm1m3Eg3Eg2Eg1r3r2r1m2作用在质量为作用在质量为 m 的的质点质点 P 上总力为：上总力为：第第第第7 7 章章章章目目 录录3、引力线、引力线 Line of Gravitational Force 引力场可以在用力线来表示。在每一引力场可以在用力线来表示。在每一
14、点，力线都与场的方向相切，所画力线的点，力线都与场的方向相切，所画力线的密度和场的强度成正比。密度和场的强度成正比。 右图是一个质量周围的场，全部力线都右图是一个质量周围的场，全部力线都是径向的。是径向的。Eg第第第第7 7 章章章章目目 录录7.3.2 引力势引力势 Gravitational Potential1、引力势定义：引力势定义： 置于引力场中的每单位质量的势能置于引力场中的每单位质量的势能 Vg(r) = Ep(r)/m = r Eg dr (积分关积分关系系)引力势的单位为引力势的单位为 Jkg-1 或或 m2s-2因为：因为： Ep(r) = - Gmm/r 所以对质点所以对
15、质点 m , r 处的引力势为：处的引力势为：Vg(r) = - Gm / r其中规定其中规定 Vg( ) = 0。 第第第第7 7 章章章章目目 录录2、引力势迭加原理、引力势迭加原理 如果不是一个质点，而有若干个质点，如果不是一个质点，而有若干个质点，则则 P 点的引力势为：点的引力势为：Vg = Vg1 + Vg2 + Vg3 + 3、引力场和引力势之间的关系引力场和引力势之间的关系 因为：因为： F = - grad EP 所以：所以： Eg = - grad Vg （微分关系）微分关系） 由此可见，由此可见，引力场等于引力势梯度的引力场等于引力势梯度的负值负值。引力势的概念非常有用，
16、因为它是。引力势的概念非常有用，因为它是一个标量，非常容易计算；以后可以用上一个标量，非常容易计算；以后可以用上式来计算引力场强度。式来计算引力场强度。第第第第7 7 章章章章目目 录录4、引力场作功与引力场（势）关系、引力场作功与引力场（势）关系 如果一质量为如果一质量为 m 的质点自的质点自 P1 点沿任一点沿任一路径移至另一路径移至另一 P2 点，引力场所作的功为：点，引力场所作的功为：A = EP1 - EP2 = m( Vg1 - Vg2 )其中其中 Vg1 - Vg2 称为引力势差。称为引力势差。5、等势面与引力场关系、等势面与引力场关系（1）等势面：）等势面： 把引力势有相同值的
17、点连起来，就可得把引力势有相同值的点连起来，就可得到一系列的等势面。到一系列的等势面。第第第第7 7 章章章章目目 录录例如：在单一质点的例如：在单一质点的情况下，等势面是情况下，等势面是 r r = = 常数的球面。常数的球面。结论结论：1 1、等势面垂直于引力线，、等势面垂直于引力线， 2 2、引力场的方向垂直于等势面、引力场的方向垂直于等势面注意注意：引力可用引力场或引力势唯一独自来引力可用引力场或引力势唯一独自来 描述。描述。因为因为引力势引力势是一个标量，因此计算非常容易。是一个标量，因此计算非常容易。等势面等势面第第第第7 7 章章章章目目 录录7.4.1 引力通量引力通量 Flu
18、x引力通量引力通量g定义：定义： dg = Eg dS = Eg cos dS式中式中为引力场为引力场 Eg 与面元与面元 dS 法向之间的夹法向之间的夹角。角。nEgd dS SS SdSEg= 0EgndS7.4 引力场高斯定理引力场高斯定理第第第第7 7 章章章章目目 录录因此：因此：从里向外穿过曲面的通量为正，从里向外穿过曲面的通量为正， 从外向里穿过曲面的通量为负。从外向里穿过曲面的通量为负。nEgd dS SS Sm 计算通过有限大小计算通过有限大小曲面的通量，需要对上曲面的通量，需要对上式进行面积分，即：式进行面积分，即： g = S Eg dS约定约定：闭合曲面上的面：闭合曲面
19、上的面元元 dS 方向从里向外为方向从里向外为法向矢量法向矢量 n。第第第第7 7 章章章章目目 录录7.4.2 单个质点的引力通量单个质点的引力通量dg = - Gm ro dS / r2 = - Gmd式中式中 d= ro dS/r2 。d称为面元称为面元 dS 对应的对应的立体角立体角 ( 单位为球面度，单位为球面度，符号为符号为 sr )，它的大小它的大小为垂直径矢方向的投影为垂直径矢方向的投影面积面积 dS = ro dS 与与面元面元 dS 离质点离质点 m 的距的距离平方之比。离平方之比。Ond dSdS ro立体角立体角第第第第7 7 章章章章目目 录录 立体角的球面度与平面角
20、的弧度相对立体角的球面度与平面角的弧度相对应。正像整个圆周对圆心所张平面角是应。正像整个圆周对圆心所张平面角是 2弧度一样，整个球面对球心所张的立体角弧度一样，整个球面对球心所张的立体角是是4球面度。球面度。 当一个闭合曲面当一个闭合曲面 S 将将顶点顶点 O 包围在内时，它所包围在内时，它所张的立体角和球面是一样张的立体角和球面是一样的，为的，为4球面度。球面度。 然而，它对其外的顶然而，它对其外的顶点点 O所张的立体角正负所张的立体角正负两部分相消，其代数和恒两部分相消，其代数和恒为零。为零。oSoS第第第第7 7 章章章章目目 录录7.4.3 高斯定理高斯定理1、闭合曲面、闭合曲面 S
21、内有一内有一质点质点 m ，则通过闭合则通过闭合曲面曲面 S 的引力通量为：的引力通量为： g =S dg = -S Gm d = - GmS d g = - 4Gm 若质点若质点 m 在闭合在闭合曲面曲面 S 外，则通过闭外，则通过闭合曲面合曲面 S 的引力通量的引力通量为零为零 ，g = 0 。mS内内mS外外第第第第7 7 章章章章目目 录录2、闭合曲面内有、闭合曲面内有 n 个质点个质点由场强迭加原理：由场强迭加原理：Eg = Eg1 + Eg2 + Eg3 + dg = Eg dS = Eg1 dS + Eg2 dS + Eg3 dS + = dg1 + dg2 + dg3 + 故：
22、故：g = g1 + g2 + g3 + = -4Gm1- 4Gm2- 4Gm3 - g = - 4G(S内内) mi即计算引力通量时，上式右端只对即计算引力通量时，上式右端只对 S 面内面内的质点求和，该式称为的质点求和，该式称为高斯定理高斯定理。 它是对所有的平方反比有心力场都适它是对所有的平方反比有心力场都适用的一个非常有用的定理。用的一个非常有用的定理。第第第第7 7 章章章章目目 录录例例7-2 利用高斯定理求质量为利用高斯定理求质量为 m 的均匀球体的均匀球体产生的引力场强分布。产生的引力场强分布。解：设球体的半径为解：设球体的半径为R，密度密度= 3m/4R3， 根据对称性，同心
23、的球面上场强的大小相等，根据对称性，同心的球面上场强的大小相等，方向与此曲面垂直指向球心。方向与此曲面垂直指向球心。 作作通过场点通过场点P的同心球面为高斯面的同心球面为高斯面 S1、P点在球外点在球外(rR) =，cos= - 1，g =SEgdS = -4r2Eg高斯定理：高斯定理：g = - 4Gm故：故： Eg = Gm / r2REgr高高斯斯面面第第第第7 7 章章章章目目 录录 g = - 4r2Eg = 3m /4R3高斯定理高斯定理：g = - 4G(S内内) mi 被高斯面包围的球体体积：被高斯面包围的球体体积：4r3 / 3质量：质量：(S内内) mi = 4r3 / 3 = m r3 / R3故按高斯定理有：故按高斯定理有： - 4r2Eg = - 4Gmr3/ R3得：得：Eg = Gm r / R3 REgr高斯面高斯面2、 P点在球内点在球内 ( rR ) 作作通过场点通过场点 P 的同心球面为高斯面的同心球面为高斯面 S
