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1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法第三章第三章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法一 行波法3适用范围： 无界域内波动方程，等1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法一维波动方程的达朗贝尔公式 行波法 数学物理方程与特
2、殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波4 解的物理意义b. 只有初始速度时：假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法解：将初始条件代入达朗贝尔公式5 达朗贝尔公式的应用数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法影响区域决定区域依赖
3、区间特征线特征变换行波法又叫特征线法6 相关概念数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法7 非齐次问题的处理利用叠加原理将问题进行分解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法利用齐次化原理，若 满足：则：令：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法从而原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行
4、波法与积分变换法双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程 特征方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例1 解定解问题解数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例2 求解解：特征方程为令：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例3 求解Goursat问题解：令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法补充作业：解定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与
5、积分变换法章行波法与积分变换法二 积分变换法1 傅立叶变换法傅立叶变换的性质微分性位移性积分性相似性傅立叶变换的定义偏微分方程变常微分方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例1 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例2 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法2 拉
6、氏变换法拉普拉斯变换的性质微分性相似性拉普拉斯变换的定义偏微分方程变常微分方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例3 解定解问题解：对t求拉氏变换数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例4 解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例5 解定解问题解：对t求拉氏变换对x求傅氏变换数学物理方程与特
7、殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例6 求方程 满足边界条件 ， 的解。 解法一：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法解法二：对y求拉氏变换数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法例7 解定解问题解：对t取拉氏变换x取傅立叶变换其中数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法数学物理方程与特殊函数数
8、学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第3 3章行波法与积分变换法章行波法与积分变换法3 积分变换法求解问题的步骤对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件对常微分方程，求原定解条件解的变换式对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解4 积分变换法求解问题的注意事项如何选取适当的积分变换定解条件中那些需要积分变换，那些不需取如何取逆变换思考利用积分变换方法求解问题的好处是什么？
