小学数学三年级奥数举一反三课件

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1、小学奥数举一反三(三年级)小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 第1周周 数数图形 第2周周 寻找规律 第3周 加减巧算 第4周 巧添符号第5周 算式之谜 第6周 文字之谜 第7周 填数游戏 第8周 有余除法第9周 期问题第 IO周 数学趣题 第11周 火柴游戏 第12周 乘法速算第13周 乘除巧算 第14周 解决问题（一） 第15周 解决问题（二）第16周 植树问题第I7周 数字趣谈 第18周 重叠问题 第19周 简单枚举 第20周 等量代换第21周 错中求解 第22周 “对应”解题 第23周 盈亏问题第24周 简单推理（一）第25周 和倍问题第26周 差倍问题（一）第2

2、7周 差倍问题（二）第28周 和差问题第29周 年龄问题第30周 “还原”解题第31周 “假设”解题第32周 平均数问题（一）第33周 平均数问题（二）第34周 简单推理（二）第35周 巧求周长（一）第36周 巧求周长（二）第37周 面积计算第38周 最佳安排第39周 抽屉原理第40周 一题多解第1讲 找规律小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：自然数列：1 1，2 2，3 3，4 4，双数列：双数列：2 2，4 4，6 6，8 8，我们研究数列，

3、目的就是为了发现数列中数排列我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。 按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。的关键。 【例题【例题1】 在括号内填上合适的数。在括号内填上合适的数。 （1 1）

4、3 3，6 6，9 9，1212，（，（ ），（），（ ） （2 2）1 1，2 2，4 4，7 7，1111，（，（ ），（），（ ） （3 3）2 2，6 6，1818，5454，（，（ ），（），（ ） 同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】 在（在（1 1）列数中，相邻的两个数的差都是）列数中，相邻的两个数的差都是3 3，即每一个数加，即每一个数加上上3 3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：12+3=1512+3=15、15+3=1815+3=18。 在（在（2 2）列数中，第）列数中，第2 2个数比第个数

5、比第1 1个数增加个数增加1 1，第，第3 3个数比第个数比第2 2个数增加个数增加2 2，第，第4 4个数比第个数比第3 3个数增加个数增加33故空格里面的两个数故空格里面的两个数分别为：分别为：11+5=1611+5=16，16+6=2216+6=22。 在（在（3 3）列数中，相邻的两个数的积都是）列数中，相邻的两个数的积都是3 3，即每一个数乘，即每一个数乘以以3 3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：543=162543=162、1623=4861623=486。 【练习【练习1】 在括号内填上合适的数。在括号内填上合适的数

6、。 （1 1）2 2，4 4，6 6，8 8，1010，（，（ ），（），（ ） （2 2）1 1，2 2，5 5，1010，1717，（，（ ），（），（ ） （3 3）2 2，8 8，3232，128128，（，（ ），（），（ ） （4 4）1 1，5 5，2525，125125，（，（ ），（），（ ）【例题【例题2】 先找出规律，再在括号里填上合适的数。先找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1 1）1515，2 2，1212，2 2，9 9，2 2，（，（ ），（），（ ） （2 2）2121，4 4，1818，5 5，1515，6 6，（，（ ），（），（ ）【思路导航】【思路导

7、航】 在（在（1 1）列数中，通过观察可以发现这是分为单数和双数）列数中，通过观察可以发现这是分为单数和双数两个不同的数列。其中双数列都为两个不同的数列。其中双数列都为2 2，而单数列是前数比后数，而单数列是前数比后数大大3 3，根据这一规律，括号里应填的数为：，根据这一规律，括号里应填的数为：9-3=69-3=6、2 2。 在（在（2 2）列数中，通过观察可以发现这也是分为单数和双）列数中，通过观察可以发现这也是分为单数和双数两个不同的数列。其中单数列是前数比后数大数两个不同的数列。其中单数列是前数比后数大3 3，双数列都，双数列都是后数比前数大是后数比前数大1 1，根据这一规律，括号里应填

8、的数为：，根据这一规律，括号里应填的数为：15-15-3=123=12、6+1=76+1=7。【练习【练习2】 按规律填数。按规律填数。 （1）2，1，4，1，6，1，（，（ ），（），（ ） （2）3，2，9，2，27，2，（，（ ），（），（ ） （3）18，3，15，4，12，5，（，（ ），（），（ ） （4）1，15，3，13，5，11，（，（ ），（），（ ） （5）12，1，10，1，8，1，（，（ ），（），（ ） 【例题【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1 1）2 2，5 5，1414，4141，（，（ ） （2 2）2522

9、52，124124，6060，2828，（，（ ）（3 3）1 1，2 2，5 5，1313，3434，（，（ ） （4 4）1 1，4 4，9 9，1616，2525，3636，（，（ ）【思路导航】【思路导航】 【练习【练习3】按规律填数。按规律填数。（1）2，3，5，9，17，（，（ ），（），（ ） （2）2，4，10，28，82，（，（ ），（），（ ）（3）94，46，22，10，（，（ ），（），（ ） （4）2，3，7，18，47，（，（ ），（），（ ） 同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。根据前面图形里的数的排列规律，

10、填入适当的数。 1、 2、 510914712111691413 ？9437148428164【思路导航】【思路导航】 经仔细观察、分析表格中的数可以发现：经仔细观察、分析表格中的数可以发现： 1 1、每一列下面的数与上面的数的差均为、每一列下面的数与上面的数的差均为4 4，即，即9-5=49-5=4，14-14-10=410=4；11-7=411-7=4，16-12=416-12=4；13-9=413-9=4。依此规律，空格中应填的。依此规律，空格中应填的数为：数为：14+4=1814+4=18。 2 2、左下角数与右上角数的商与上面数的乘积即为中间数。、左下角数与右上角数的商与上面数的乘积

11、即为中间数。如如824=16824=16； 847=14847=14。依此规律，空格中应填的数为：。依此规律，空格中应填的数为： 439=12439=12。【练习【练习4】找出排列规律，在空缺处填上适当的数。找出排列规律，在空缺处填上适当的数。 1、 2、 3、 4892768287375981210 1412 16148 84 4161616168 832323232161664645 5151512127 7212118189 92727【例题【例题5】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。 1、187，286，385，（，（ ），（），（

12、 ） 【练习【练习5】找出排列规律，在空缺处填上适当的数。找出排列规律，在空缺处填上适当的数。 同步教材教学视频同步教材教学视频第2讲 有余除法小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除

13、数小，这就否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。是有余数除法计算中特别要注意的。 解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。除数。 在有余数的除法中，要记住：（在有余数的除法中，要记住：（1 1）余数必须小于除数；）余数必须小于除数；（2 2）被除数商）被除数商除数余数。除数余数。 【例题【例题1】 668 8 ，括号内被除数最大是几？最小，括号内被除数最大是几？最小是几？是几

14、？ 【思路导航】【思路导航】 已知商为已知商为8 8、除数为、除数为6 6，则余数最大为，则余数最大为5 5、最小为、最小为1 1，即可求，即可求出最大的被除数为出最大的被除数为68685 55353，最小的被除数为，最小的被除数为68681 14949答：被除数最大是答：被除数最大是5353，最小是，最小是4949。 【练习【练习1】 (1)(1)下面题中被除数最大可填下面题中被除数最大可填_，最小可填，最小可填_。 883 3 (2) (2)下面题中被除数最大可填下面题中被除数最大可填_，最小可填，最小可填_。 447 7 (3) (3)下题中要使除数最小，被除数应为下题中要使除数最小，被

15、除数应为_。 124 124 【例题【例题2】 算式算式 8 中，被除数最小是几？中，被除数最小是几？ 【思路导航】【思路导航】 题中只告诉我们商是题中只告诉我们商是8 8，要使被除数最小，那么只要除数和，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。除数最小为余数小就行。除数最小为2 2，余数最小为，余数最小为1 1，那么被除数则为，那么被除数则为82821 11717。【练习【练习2】 (1)(1)下面算式中，被除数最小是几？下面算式中，被除数最小是几？ 44 77 99 (2)(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？ 33 66 【例题【例题3】

16、 算式算式28 4中，除数和商分别是中，除数和商分别是_和和_。 【思路导航】【思路导航】 根据根据“被除数商被除数商除数余数除数余数”，可以得知，可以得知“商商除数除数被除数余数被除数余数”，所以本题中商，所以本题中商除数除数28284 42424。这两个。这两个数可能是数可能是1 1和和2424，2 2和和1212，3 3和和8 8，4 4和和6 6，又因为余数为，又因为余数为4 4，则除，则除数不得小于数不得小于4 4，因此除数可以是，因此除数可以是2424，1212，8 8，6,6,商分别为商分别为1 1，2 2，3 3，4 4。 答：除数和商分别是答：除数和商分别是2424，1 1；

17、1212，2 2；8 8，3 3；6 6，4 4。 同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习3】 （1 1）下面算式中，除数和商各是几？）下面算式中，除数和商各是几？ 22 22 4 4 65 65 22 37 37 77 48 48 66 （2 2）149149除以一个两位数，余数是除以一个两位数，余数是5,5,请写出所有这样的两请写出所有这样的两位数。位数。【例题【例题4】 算式算式 77 中，商和余数相等，中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？被除数可以是哪些数？【思路导航】【思路导航】 题目中告诉我们除数是题目中告诉我们除数是7 7，商和余数相等，因为余数必须，商和余数相等，因为余

18、数必须比除数小，所以余数和商可为比除数小，所以余数和商可为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6。这样被除数。这样被除数就可以求出来了。就可以求出来了。 71711 18 728 722 216 7316 733 32424 74 744 432 7532 755 540 7640 766 64848 【练习【练习4】(1) (1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？些数？ 66 55 44 (2) (2)算式算式 99 中，商和余数相等，中，商和余数相等，被除数最大是被除数最大是_。 (3)(3)算式算式 44中，除数和商相等，中，

19、除数和商相等，被除数最小是几？被除数最小是几？ 【例题【例题5】 算式算式 44中，除数和商相等，中，除数和商相等，被除数最小是几？被除数最小是几？【思路导航】【思路导航】 题目中告诉我们余数是题目中告诉我们余数是4,4,除数和商相等，因为余数必须比除数和商相等，因为余数必须比除数小，所以除数必须比除数小，所以除数必须比4 4大，但其中要求最小的被除数，因大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填而除数应填_，商也是，商也是_。由算式。由算式_，所以被除数最小是，所以被除数最小是_。 同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习5】下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？下面算式中，除数和商相

20、等，被除数最小是几？ (1) (1) 6 (2) 6 (2) 88(3) (3) 3 (4) 3 (4) 99(5) (5) 77第3讲 配对求和小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 被人称为被人称为“数学王子数学王子”的高斯在年仅的高斯在年仅8 8岁时，就以一种非岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+99+1001+2+3+4+99+100的结果。的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。方法：先配对再求和。 数列的第一个数（第一

21、项）叫首项，最后一个数（最数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。数则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用以下关系式：计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和（首项末项）等差数列的和（首项末项）项数项数22 末项首项公差末项首项公差（项数（项数1 1） 项数（末项首项）项数（末项首项）公差公差1 1【例题【例题1】你有好办法算一算吗

22、？你有好办法算一算吗？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（）（） 【思路导航】【思路导航】 很容易看出这是一个等差数列，公差为很容易看出这是一个等差数列，公差为1 1，首项是，首项是1 1，末项，末项是是1010。依据前面的公式：。依据前面的公式： 项数（末项首项）项数（末项首项）公差公差1 1 （10101 1）111 11010 等差数列的和（首项末项）等差数列的和（首项末项）项数项数22 （1+101+10） 10 2 10 2 5555 答：答：1+2+3+4+5+6+7+8+9+101+2+3+4+5+6+7+8+9+10（5555

23、） 【练习【练习1】 速算。（速算。（1 1） 1+2+3+4+5+20 1+2+3+4+5+20 （2 2）1+2+3+4+99+1001+2+3+4+99+100（3 3） 21+22+23+24+10021+22+23+24+100 （4 4）21+23+25+27+29+31+3321+23+25+27+29+31+33 （5 5） 312+315+318+321+324 312+315+318+321+324 同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题2】有一堆木材叠堆在一起，一共是有一堆木材叠堆在一起，一共是1010层，第层，第1 1层有层有1616根，第根，第2 2层有层有17

24、17根，根，下面每层比上层多一根，这堆木材共下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？有多少根？【思路导航】【思路导航】 这也是一个等差数列，公差为这也是一个等差数列，公差为1 1，首项是，首项是1616，项数是，项数是1010。依据前面的公式：依据前面的公式： 项数项数 （末项首项）（末项首项）公差公差1 1 末项（项数末项（项数1 1） 公差首项公差首项 末项（末项（10 10 1 1 ） 1 1 16162525 等差数列的和等差数列的和 （首项末项）（首项末项）项数项数22 （1616 25 25） 10 2 10 2 205205【练习【练习2】 （1 1）体育馆的东区共有）体育馆的

25、东区共有3030排座位，呈梯形，第排座位，呈梯形，第1 1排有排有1010个座位，个座位，第第2 2排有排有1111个座位，个座位，这个体育馆东区共有多少个座位？这个体育馆东区共有多少个座位？ （2 2）有一串数，第）有一串数，第1 1个数是个数是1010，以后每个数比前一个数大，以后每个数比前一个数大4,4,最后一个数是最后一个数是9090，这串数连加的和是多少？，这串数连加的和是多少？ （3 3）有一个钟，一点钟敲）有一个钟，一点钟敲1 1下，两点钟敲下，两点钟敲2 2下，下，十二点十二点钟敲钟敲1212下，分钟指向下，分钟指向6 6敲敲1 1下，这个钟一昼夜敲多少下？下，这个钟一昼夜敲多

26、少下？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题3】计算计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-8117-83-18-82-19-81 【思路导航】【思路导航】 这题相对较复杂些。仔细观察，上列可以变成如下：这题相对较复杂些。仔细观察，上列可以变成如下： 1000 1000 （11 11 1212 13 141515 1616 1717 1818 19 818282 83 84 85 86 87 88） 括号里有两个等差数列。一个数列的

27、首项是括号里有两个等差数列。一个数列的首项是1111，末项是，末项是1919；另一数列的首项是；另一数列的首项是8181，末项是，末项是8888，公差均为，公差均为1 1。项数分别为。项数分别为9 9，8 8。依据前面的公式：等差数列的和。依据前面的公式：等差数列的和 （首项末项）（首项末项）项项数数22 两列数的和分别为：（两列数的和分别为：（1111 19 19） 9 2 9 2 135135 （8181 88 88） 8 2 8 2 676676 则则1000 1000 （135 135 676676） 189189 【练习【练习3】 （1 1）1000-1-9-2-8-3-7-4-6-

28、5-5-6-4-7-3-8-2-9-11000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1 （2 2）1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-1917-88-18-89-19 （3 3） 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+162001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16【例题【例题4】计算计算992+993+994+99

29、5+996+997+998+999992+993+994+995+996+997+998+999。 【思路导航】凑整法【思路导航】凑整法【练习【练习4】计算】计算 (1) 95+96+97+98+99 (1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009(2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999 (3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19(4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例题【例题5】计算计算1000-11-89-12-88-13-

30、87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-8182-19-81 【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】计算】计算 (1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85

31、-15-86-16-87-17-88-18-89-1918-89-19(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16同步教材教学视频同步教材教学视频第4讲 加减巧算小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用运用“凑整凑整”的方法，

32、把接近整十、整百、整千的数看做所接的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。近的数进行简算。 进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千千相差的数，要根据相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交的原则进行处理。另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。 【例题【例题1】你有好办法算一算吗？你有好办法算一算吗？ (1) 502

33、+799-298-98 (2) 9999+999+99+9【思路导航】凑整法【思路导航】凑整法【练习【练习1】速算】速算 (1) 308+203-399-97 (1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9(2) 99999+9999+999+99+9(3) 1999+199+19 (3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617(4) 375+483+525+617【例题【例题2】你有好办法算一算吗？你有好办法算一算吗？ (1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264(3) 877+345-677 (4) 5

34、28-248-152【思路导航】【思路导航】【练习【练习2】计算】计算 (1) 321+127+73+279 (1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365(2) 235-125+365(3) 987-733-167 (3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)(4) 487+(413-89)【例题【例题3】(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)【思路导航】【思路导航】【练习【练习3】 (1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-11

35、2)(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)【例题【例题4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-842000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84【思路导航】【思路导航】同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习4】计算】计算 (1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40

36、-50-60-70-80-90(2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90【例题【例题5】计算计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87-4-3+2+1 : 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87-4-3+2+1 【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】计算】计算 (1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14+2006(1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14+2006(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-

37、99(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99第5讲 图形个数小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形地数出线段、角、三角形、长方形那就必须要有次序、有那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。 要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出要弄清图形中包含的

38、基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。【例题【例题1】 数出下图中有多少条线段？数出下图中有多少条线段？ _ D_ A_ B_ C同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】 方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A A点为左端点的线段有：点为左端点的线段有：ABAB、ACAC、AD 3AD 3条；以条；以B B点为左端点的线点为左端点的线段有：段有：BCBC、BD 2BD 2条；以条；以C C点为左端点的线段有：点为左端点的线段有：CD 1C

39、D 1条。所以，条。所以，图中共有线段图中共有线段3+2+1=63+2+1=6（条）。（条）。 方法二：把图中线段方法二：把图中线段 ABAB、BCBC、CDCD看做基本线段来数，那看做基本线段来数，那么，由么，由1 1条基本线段构成的线段有：条基本线段构成的线段有：ABAB、BCBC、CD 3CD 3条；由条；由2 2条基条基本线段构成的线段有本线段构成的线段有:AC:AC、BD 2BD 2条；由条；由3 3条基本线段构成的线段条基本线段构成的线段有：有：AD 1AD 1条。所以，图中一共有条。所以，图中一共有3+2+1=63+2+1=6（条）线段。（条）线段。 【练习【练习1】 （1 1）

40、数出下图中有多少条线段？数出下图中有多少条线段？ （2 2）数出下图中有几个长方形？数出下图中有几个长方形？_ E_ A_ B_ C_ D【例题【例题2】 数出图中有几个角？数出图中有几个角？ _ O_ D_ C_ B_ A【思路导航】【思路导航】 数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。 方法一：以方法一：以OAOA为一边的角有：为一边的角有：AOBAOB、AOCAOC、AOD 3AOD 3个；个；以以OBOB为一边的角还有：为一边的角还有：BOCBOC、BOD 2BOD 2个；以个；以OCOC为一边的角还为一边的角还有：有：COD 1COD 1个

41、。所以，图中共有角个。所以，图中共有角3+2+1=63+2+1=6（个）。（个）。 方法二：把图中方法二：把图中AOBAOB、BOCBOC、CODCOD看做基本角来数，看做基本角来数，那么，由那么，由1 1个基本角构成的角有：个基本角构成的角有：AOBAOB、BOCBOC、COD 3COD 3个；个；由由2 2个基本角构成的角有个基本角构成的角有: AOC: AOC、BOD 2BOD 2个；由个；由3 3个基本角构个基本角构成的角有：成的角有：AOD 1AOD 1个。所以，图中一共有个。所以，图中一共有3+2+1=63+2+1=6（个）角。（个）角。 【练习【练习2】 数出图中有几个角？数出图

42、中有几个角？ （1 1） （2 2） _ O_ C_ B_ A_ E_ D_ O_ C_ B_ A【例题【例题3】 数出下图中有几个三角形？数出下图中有几个三角形？ _ P_ D_ C_ B_ A【思路导航】【思路导航】 方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PAPA为边的三为边的三角形有：角形有：PABPAB、PACPAC、PADPAD、3 3个；以个；以PBPB为边的三角形还有：为边的三角形还有：PBCPBC、PBD 2PBD 2个；以个；以PCPC为边的三角形还有：为边的三角形还有：PCD 1PCD 1个。所个。所以，图中共有三角形以，图中共有三

43、角形3+2+1=63+2+1=6（个）。（个）。 方法二：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出方法二：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段线段 ADAD中包含几条线段就可以了，即中包含几条线段就可以了，即3+2+1=63+2+1=6（个）。所以图（个）。所以图中共有中共有6 6个三角形。个三角形。 【练习【练习3】 数出图中共有多少个三角形？数出图中共有多少个三角形？ （1 1） （2 2） _ F_ E_ D_ C_ B_ A_ K_ G_ I_ H_ G_ F_ E_ D_ C_ B_ A【例题【例题4】 数出下图中有多少个长方形？数出下图中有多少个长方形？ _ D_ C_

44、 B_ A同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】 数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段由长、宽两对线段围成，线段 CDCD上有上有3+2+1=63+2+1=6（条）线段，其（条）线段，其中每一条与中每一条与ACAC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有里共有61=661=6（个）长方形，而（个）长方形，而ACAC上共有上共有2+1=32+1=3（条）线段也（条）线段也就有就有63=1863=18（个）长方形。（个）长方形。 它的计算公式

45、为：它的计算公式为： 长方形的总数长方形的总数= =长边线段的总数长边线段的总数宽边线段的总数宽边线段的总数 （3+2+13+2+1）（2+12+1）=18=18（个）（个） 答：图中共有答：图中共有1818个长方形。个长方形。 【练习【练习4】 （1 1）数出下图中有多少个长方形？）数出下图中有多少个长方形？ （2 2）数出右图中有多少个正方形？）数出右图中有多少个正方形？ _ D_ C_ B_ A【例题【例题5】 有有5 5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？ 【思路导航】【思路导航】 这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段这

46、道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同学。图，每一个端点代表一个同学。 从上图可以看出，第从上图可以看出，第1 1个同学要与其余个同学要与其余4 4个同学握手共握手个同学握手共握手4 4次；第次；第2 2个同学还要与其余个同学还要与其余3 3个同学握手共握手个同学握手共握手3 3次，第次，第3 3个同个同学要与其余学要与其余2 2个同学握手共握手个同学握手共握手2 2次；第次；第4 4个同学还要与最后个同学还要与最后1 1个个同学握手共握手同学握手共握手1 1次。次。 所以，一共要握手所以，一共要握手4+3+2+1=104+3+2+1=10（次）（次） _ 5

47、_ 4_ 3_ 2_ 1【练习【练习5】 （1 1）银海学校三年级有）银海学校三年级有9 9个班，每两个班要比赛拔河一次，个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？这样一共要拔河几次？ （2 2）有）有1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8等等8 8个数字，能组成多少个个数字，能组成多少个不同的两位数？不同的两位数？第6讲 植树问题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 爸爸给晶晶出了一道题：爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们植树，先植一棵树，小朋友们植树，先植一棵树，以后每隔以后每隔3 3米植一棵，已经植了米植

48、一棵，已经植了9 9棵，问第一棵和第九棵树相距棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？多少米？”晶晶随口答道：晶晶随口答道：“2727米。米。”同学们，晶晶答对了吗同学们，晶晶答对了吗？ 这一类应用题我们通常称为这一类应用题我们通常称为“植树问题植树问题”。解答这类问题。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数总距离棵数总距离间隔长间隔长1 1；在封闭的线路上植树，棵数总；在封闭的线路上植树，棵数总距离距离间隔

49、长。间隔长。 另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的目中的条件和问题与植树问题中的“总距离总距离”、“间隔长间隔长”、“棵数棵数”对应起来。对应起来。 【例题【例题1】 小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3 3米植米植一棵，已经植了一棵，已经植了9 9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？ 【思路导航】【思路导航】

50、 要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图： 根据根据“已经植了已经植了9 9棵棵”，从图中可以看出，第一棵树和第，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是九棵树之间的间隔是9-1=89-1=8（个），每个间隔是（个），每个间隔是3 3米，所以第一米，所以第一棵和第九棵相距棵和第九棵相距38=2438=24（米），具体列式如下：（米），具体列式如下： 33（9-19-1） =38=24=38=24（米）（米） 答：第一棵和第九棵树相距答：第一棵和第九棵树相距2424米。米。_ 0_ 3 ?_ 6 ?_ 9 ?_ 12?_ 15?_ 18?_

51、21?_ 24?_ 9 ?_ 8 ?_ 7 ?_ 6 ?_ 5 ?_ 4 ?_ 3 ?_ 2 ?_ 1 ?【练习【练习1】 （1 1）在路的一侧插彩旗，每隔）在路的一侧插彩旗，每隔5 5米插一面，从起点到终点共米插一面，从起点到终点共插了插了2020面，这条道路有多长？面，这条道路有多长？ （2 2）在学校的走廊两边，每隔）在学校的走廊两边，每隔4 4米放一盆菊花，从起点到米放一盆菊花，从起点到终点一共放了终点一共放了2020盆，这条走廊长多少米？盆，这条走廊长多少米？ 【例题【例题2】 在一条长在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已

52、知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？的距离是多少米？ 【思路导航】【思路导航】 根据根据“在路的两侧共栽了在路的两侧共栽了1414棵树棵树”这个条件，我们可以先这个条件，我们可以先求出每一侧栽了求出每一侧栽了142=7142=7（棵）树，那么从第（棵）树，那么从第1 1棵树到第棵树到第7 7棵树棵树之间的间隔是之间的间隔是7-1=67-1=6（个）。（个）。4242米长的大路平均分成米长的大路平均分成6 6段，每段段，每段是是426=7426=7（米）。（米）。 列式如下：列式如下： 4242（142-1142-1）

53、=42=42（7-17-1）=426 =7=426 =7（米）（米） 答：相邻两棵树之间的距离是答：相邻两棵树之间的距离是7 7米。米。【练习【练习2】 在公园一条长在公园一条长3030米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了了1212把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？相距多少米？ 【例题【例题3】 一根圆木锯成等长的小段，一共花了一根圆木锯成等长的小段，一共花了2828分钟。已知每锯下分钟。已知每锯下一段要一段要4 4分钟，这根圆木总共锯了多少段？分钟，这根圆木总共锯了多少段？ 【思路

54、导航】【思路导航】 我们先求出钢管被锯开了我们先求出钢管被锯开了284=7284=7（处），因而被锯开的（处），因而被锯开的段数有段数有7+1=87+1=8（段）。（段）。 列式如下：列式如下： 284+1 =7+1 =8284+1 =7+1 =8（段）（段） 答：这根钢管被锯成了答：这根钢管被锯成了8 8段。段。 【练习【练习3】 一根圆木锯成一根圆木锯成2 2米长的小段，一共花了米长的小段，一共花了1212分钟。已知每锯分钟。已知每锯下一段要下一段要3 3分钟，这根圆木长多少米？分钟，这根圆木长多少米？ 【例题【例题4】 甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4 4楼时，

55、乙恰好跑到楼时，乙恰好跑到3 3楼，楼，照这样计算，甲跑到照这样计算，甲跑到1616楼时，乙跑到了多少楼？楼时，乙跑到了多少楼？ 同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】 解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，“楼层数楼层数-1”-1”才是要才是要走的走的“楼梯段数楼梯段数”，根据题意，根据题意“甲跑到甲跑到4 4楼时，乙恰好跑到楼时，乙恰好跑到3 3楼楼”，实际上是说，实际上是说“甲跑甲跑3 3段楼梯与乙跑段楼梯与乙跑2 2段楼梯所用的时间相同

56、。段楼梯所用的时间相同。”照这样计算，甲跑到照这样计算，甲跑到1616楼，也就是跑了楼，也就是跑了1515段楼梯，应是甲跑段楼梯，应是甲跑3 3段楼梯所用的时间的段楼梯所用的时间的5 5倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑是他跑2 2段楼梯的段楼梯的5 5倍，也就是这时乙跑了倍，也就是这时乙跑了1010段楼梯，即他跑到段楼梯，即他跑到了第了第10+1=1110+1=11（楼）。列式如下：（楼）。列式如下： （3-13-1）（16-116-1）（4-14-1）+1 =25+1 =11+1 =25+1 =11（楼）（楼） 答：甲跑到答：甲跑到1616楼时，乙跑

57、到了楼时，乙跑到了1111楼。楼。 【练习【练习4】 小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4 4层时，小红跑层时，小红跑到第到第5 5层，照这样计算，当小明跑到第层，照这样计算，当小明跑到第1616层时，小红跑到了层时，小红跑到了第几层？第几层？ 【例题【例题5】 一个圆形跑道长一个圆形跑道长300300米，沿跑道周围每隔米，沿跑道周围每隔6 6米插一面红旗，米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？旗？ 【思路导航】【思路导航】 在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所

58、以插了在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗红旗3006=503006=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是5050面。面。 3006=503006=50（面）（面） 答：跑道周围插了答：跑道周围插了5050面红旗和面红旗和5050面黄旗。面黄旗。【练习【练习5】 （1 1）有一个正方形水池，周长是）有一个正方形水池，周长是200200米。如果沿着水池周米。如果沿着水池周围每隔围每隔1010米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地米装一盏红灯，再在相邻的两盏红

59、灯中间等距离地装装4 4盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？ （2 2）一条公路长）一条公路长480480米，在两旁植树，两端都植。每隔米，在两旁植树，两端都植。每隔1212米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3 3棵柳树。问棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？樟树和柳树各栽了多少棵？同步教材教学视频同步教材教学视频第7讲 简单推理小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 数学课上，老师布置了一道题：数学课上，老师布置了一道题： =28 =28 = = =（ ） =（ ） 要得出正

60、确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。疑难问题的解决都离不开推理。 解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。代换、消去等方法来进行解答。 【例题【例题1】 下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？ =28 =28

61、= = =（ ） =（ ） 【思路导航】【思路导航】 根据根据=28=28，我们可以得出，我们可以得出=28=28；由；由=得到得到 = 28 - = 28 -，即，即 =28 =28。 则则等于等于284=7284=7；由；由=可求出可求出=7=77 77=217=21。 【练习【练习1】 （1 1）=18 =18 = = =（ ） =（ ） （2 2）=25 =25 = = =（ ） =（ ） （3 3）=36 =36 = = =（ ） =（ ）【例题【例题2】 下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？ =36 =4 =36 =4 = =（ ） =（ ） 同步教材教学视频同步教材教学视频【

62、思路导航】【思路导航】 根据根据=4=4可知：如可知：如为为1 1份，则份，则是是4 4份，即份，即=4=4；又根据又根据=36=36，可以得到，可以得到4=364=36，即，即=9=9，进一，进一步得到步得到=3=3，=4=43=12=4=43=12。 【练习【练习2】 （1 1）和和各表示几？各表示几？ =16 =4=16 =4 = =（ ） =（ ） （2 2）想想，填填。）想想，填填。 =20 =20 = = =（ ） =（ ） （3 3）和和各代表几？各代表几？ = =16 =16 = =（ ） =（ ）【例题【例题3】 下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？ =16 =16 =1

63、4=14 = =（ ） =（ ） 【思路导航】【思路导航】 方法一：方法一： 我们知道等式两边加上相同的数等式仍然成立。我们知道等式两边加上相同的数等式仍然成立。 故故=16=16可变为：可变为： =16 =16 把把=14=14代入上式可得到：代入上式可得到： 141414=16 14=16 则则=28-16=12=28-16=12， =123=4=123=4 =14=14， =14-4-4=6=14-4-4=6【思路导航】【思路导航】 方法二：方法二： =16=16、=14=14两式左右分别相减，两式左右分别相减， 即即=2=2。 那么如果把那么如果把换成了换成了，则，则1616需要加上需

64、要加上2 2，即，即=16=162 2，那么，那么=（16162 2）3=63=6，=16=1662=462=4。【练习【练习3】 （1 1）=38 =38 =22 =22 = =（ ） =（ ） （2 2）=52 =52 =48=48 = =（ ） =（ ） （3 3）=10 =10 =12 =12 =12=12 = =（ ） =（ ） =（ ） 【例题【例题4】 下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？ =34=34 =48=48 = =（ ） =（ ） 【思路导航】【思路导航】 按前题思路，下式和上式左右分别相减可得：按前题思路，下式和上式左右分别相减可得： =14=14。 =34 =3

65、4 ， 即（即（）（）（）=34 =34 ，14+14+=3414+14+=34 =34-14-14=6 =34-14-14=6；=14=14，则，则=14-6=8=14-6=8 答：答： =8 =8， =6=6【练习【练习4】 （1 1）=24 =24 =36=36 = =（ ） =（ ） （2 2）=54 =54 =76=76 = =（ ） =（ ） （3 3）=96 =96 =123=123 = =（ ） =（ ） 【例题【例题5】 下式中，下式中，、和和各代表几？各代表几？ = = =80=80 = =（ ） =（ ） =（ ） 同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】

66、 因为因为2 2个个等于等于3 3个个，3 3个个又等于又等于4 4个个，所以，所以2 2个个等等于于4 4个个，那么，那么1 1个个等于等于2 2个个。 在在=80=80中，中，2 2个个可以用可以用1 1个个替代，就变替代，就变为为=80=80，而，而2 2个个又可以用又可以用3 3个个替代，也就是替代，也就是=80=80，所以：，所以： =20=20，=2032=30=2032=30，=2034=15=2034=15。 【练习【练习5】 （1 1）= = =100=100 = =（ ） =（ ） =（ ） （2 2）= = =40=40 = =（ ） =（ ） =（ ） （3 3）= =

67、 =320=320 = =（ ） =（ ） = =（ ） 第8讲 算式谜小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。 解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。道完整的算式。 解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几

68、种情况，逐一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，况，逐一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。抓准解题的突破口。【例题【例题1】 在下面算式的在下面算式的内，填上适当的数字，使算式成立。内，填上适当的数字，使算式成立。 8792【思路导航】【思路导航】 已知被乘数个位是已知被乘数个位是8 8，积的个位是，积的个位是2 2，可推出乘数可能是，可推出乘数可能是4 4或或9 9，但积的百位上是，但积的百位上是7 7，因而乘数只能是，因而乘数只能是4 4，被乘数百位是，被乘数百位是1 1，那么十位上只能是那么十位上只能是9 9。19 48792同步教材教学视频同

69、步教材教学视频【练习【练习1】 在在里填上适当的数，使算式成立。里填上适当的数，使算式成立。 【例题【例题2】 里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？式？ 【思路导航】【思路导航】 已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积，可知被除数个位为位上的数与除数相乘的积，可知被除数个位为0 0，再想商十位，再想商十位上的数与上的数与6 6的乘积为一位数，这个数只能是的乘积为一位数，这个数只能是1 1，这样确定商的十，这样确定商的十位为位为1 1，最后被除数十位上的

70、数为，最后被除数十位上的数为9 9。 【练习【练习2】 在在里填上适当的数，使算式成立。里填上适当的数，使算式成立。 【例题【例题3】在下面竖式的在下面竖式的里，各填入一个合适的数字，使算式里，各填入一个合适的数字，使算式成立成立【思路导航】【思路导航】要求要求里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。容易知道，被除数的十位数字比容易知道，被除数的十位数字比7大，只可能是大，只可能是8或或9。如果十。如果十位数字是位数字是8，那么商的个位只能是，那么商的个位只能是2；如果十位数字是；如果十位数字是9，那么，那么商的个位是商的个位是3或或

71、4。所以，这道题有三种填法。所以，这道题有三种填法 【练习【练习3】在下面在下面中填入适当的数，使算式成立。中填入适当的数，使算式成立。 【例题【例题4】在下面竖式的在下面竖式的里，各填入一个合适的数字，使算式里，各填入一个合适的数字，使算式成立成立【思路导航】【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比，则除数必须比7大，且被大，且被除数个位上应填除数个位上应填7；由于商是；由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上时是除尽的，所以被除数十位上应为应为2，同时，因而除数可能是，同时，因而除数可能是3或或8，可是除数必须比，可是除数必须比7大，因大，因而

72、除数只能是而除数只能是8，因而被除数百位上是，因而被除数百位上是3，而商的百位上为，而商的百位上为0，商的千位是商的千位是8或或3，所以一共有两种填法，所以一共有两种填法 同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习4】在下面在下面中填入适当的数，使算式成立。中填入适当的数，使算式成立。 【例题【例题5】 在下面在下面中填入适当的数，使算式成立。中填入适当的数，使算式成立。 同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】 通过观察，我们发现，商的个位通过观察，我们发现，商的个位8 8与除与除数的乘积是数的乘积是4848，由此可求出除数为，由此可求出除数为6 6。再根。再根据商的千位与

73、据商的千位与6 6的乘积是二十几，于是可求的乘积是二十几，于是可求出商的千位是出商的千位是4 4，因而被除数的万位是，因而被除数的万位是2 2，千位是千位是4 4，然后可求出商的百位是，然后可求出商的百位是0 0，十位，十位是是2 2，被除数的百位是，被除数的百位是1 1，十位是，十位是6 6，个位是，个位是8 8。（填法见右）。（填法见右） 【练习【练习5】 在下面在下面中填入适当的数，使算式成立。中填入适当的数，使算式成立。 第9讲 乘法速算小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法我们已经

74、学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比较麻烦。其实，多位数与一些特要一位一位地乘，运算起来比较麻烦。其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。计算乘法时，如果一个因数是计算乘法时，如果一个因数是2525，另一个因数考虑可拆成，另一个因数考虑可拆成44几，这样可几，这样可“先拆数再扩整先拆数再扩整”。两位数、三位数及更高位数乘。两位数、三位数及更高位数乘以以1111，可采用，可采用“两头一拉，中间相加两头一拉，中间相加”的办法，但要注意相邻的办法，但要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。比

75、两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。比如两位数乘以如两位数乘以1111，我们有，我们有“两位数与两位数与1111相乘，首尾不变中间变，相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。左右相加放中间，满十进一头就变。”【例题【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？试着计算下列各题，你发现了什么规律？ （1 1）2611 2611 （2 2）5711 5711 （3 3）25311 25311 （4 4）46711 46711 【思路导航】【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与通过计算、观察可以发现，一个数与1111相乘，所得的结果就相乘，所得的结果就是将这个数的

76、首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这是将这个数的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位，哪一位上满十就向前，哪一位上满十就向前一位进一。一位进一。（1 1）2611=286 2611=286 （2 2）5711=627 5711=627 （3 3）25311=2783 25311=2783 （4 4）24711=271724711=2717【练习【练习1】很快算出下面各题的结果很快算出下面各题的结果 （1 1）1211 1211 （2 2）3411 3411 （3 3）2511 251

77、1 （4 4）1144 1144 （5 5）4811 4811 （6 6）6511 6511 （7 7）1175 1175 （8 8）8711 8711 （9 9）12411 12411 （1010）30511 30511 （1111）43911 43911 （1212）8721187211 【例题【例题2】下面的乘法计算有规律吗？下面的乘法计算有规律吗？ （1）2524 （2）2125 （3）25427 （4）199825 【思路导航】【思路导航】因为因为254=100254=100，因此，一个数与，因此，一个数与2525相乘，我们就看这个数里有几个相乘，我们就看这个数里有几个4 4，有，有

78、几个几个4 4就有几个就有几个100100，余，余1 1就加就加2525，余，余2 2就加就加5050，余，余3 3就加就加7575。（1 1）2524=1006=600 2524=1006=600 （2 2）2125=1005+25=525 2125=1005+25=525 （3 3）25427=100106+75=10600+75=1067525427=100106+75=10600+75=10675（4 4）199825=100499+50=49900+50=49950199825=100499+50=49900+50=49950【练习【练习2】很快算出下面各题的结果很快算出下面各题的结

79、果 （1 1）1225 1225 （2 2）3425 3425 （3 3）25121 25121 （4 4）2546 2546 （5 5）14825 14825 （6 6）64325 64325 （7 7）257252 257252 （8 8）567825567825【例题【例题3】很快算出下面各题的结果。很快算出下面各题的结果。 （1）2415 （2）24815 （3）567815 【思路导航】【思路导航】【思路导航】因为【思路导航】因为15=10+515=10+5，那么，那么24152415就可以写成就可以写成2424（10+510+5），也就是），也就是用用2424加上它的一半再乘以加上

80、它的一半再乘以1010，24+12=3624+12=36，再用，再用3610=3603610=360。一个因数乘以一个因数乘以1515，也就是用这个数加上它的一半再乘以，也就是用这个数加上它的一半再乘以1010。具体过程如下：。具体过程如下：（1 1）2415 2415 （2 2）24815 24815 （3 3）567815567815= =（24+1224+12）10 =10 =（248+124248+124）10 =10 =（5678+28395678+2839）10 10 =3610 =360 =37210 =3720 =851710 =85170=3610 =360 =37210 =

81、3720 =851710 =85170【练习【练习3】很快算出下面各题的结果很快算出下面各题的结果 （1 1）3415 3415 （2 2）43615 43615 （3 3）847215847215【例题【例题4】下面的乘法计算有规律吗？下面的乘法计算有规律吗？ （1）459 （2）3299 （3）78999 【思路导航】【思路导航】（1 1）我们可以先用）我们可以先用4510=4504510=450，这样就多加了一个，这样就多加了一个4545，因此我们还要从，因此我们还要从450450中减去中减去1 1个个4545，即，即450-45=405450-45=405。（2 2）我们可以先用）我们

82、可以先用32100=320032100=3200，这样就多加了一个，这样就多加了一个3232，因此我们还要从，因此我们还要从32003200中减去中减去1 1个个3232，即，即3200-32=31683200-32=3168。（3 3）我们可以先用）我们可以先用781000=78000781000=78000，这样就多加了一个，这样就多加了一个7878，因此我们还要，因此我们还要从从7800078000中减去中减去1 1个个7878，即，即78000-78=7792278000-78=77922。【例题【例题4】下面的乘法计算有规律吗？下面的乘法计算有规律吗？ （1）459 （2）3299

83、（3）78999 【思路导航】【思路导航】从上面几题可以看出，一个数与从上面几题可以看出，一个数与9 9相乘，就用这个数乘以相乘，就用这个数乘以1010，再减去这个数；，再减去这个数；一个数与一个数与9999相乘，就用这个数乘以相乘，就用这个数乘以100100，再减去这个数；一个数与，再减去这个数；一个数与999999相乘，相乘，就用这个数乘以就用这个数乘以10001000，再减去这个数。，再减去这个数。（1 1）459 459 （2 2）3299 3299 （3 3）7899978999=4510-45 =32100-32 =781000-78=4510-45 =32100-32 =7810

84、00-78=450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922=450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922【练习【练习4】很快算出下面各题的结果很快算出下面各题的结果 （1 1）329 329 （2 2）4619 4619 （3 3）1234912349（4 4）4599 4599 （5 5）8599 8599 （6 6）7289972899（7 7）24999 824999 8）3999 3999 （9 9）5699956999【例题【例题5】下面的乘法计算有规律吗？下面的乘法计算有规律吗？ （1）1515 （2

85、）2525 （3）3535（4）4545 （5）6565 （6）9595 【思路导航】【思路导航】通过计算我们发现，个位是通过计算我们发现，个位是5 5的两个相同的两位数相乘，积的的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位都是末尾两位都是2525，2525前面的数是这个两位数首位数与首位数加前面的数是这个两位数首位数与首位数加1 1的积，例如：的积，例如：我们还可以发现，这种方法还适用于个位是我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5 5的两个相同的多位数相乘的计的两个相同的多位数相乘的计算。算。【练习【练习5】很快算出下面各题的结果很快算出下面各题的结果 （1 1）5555 5555 （2 2）75

86、75 7575 （3 3）8585 8585 （4 4）105105 105105 （5 5）125125 125125 （6 6）995995995995第10讲 添运算符号小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。 添运算符号问题，通常采用尝试探索法

87、。主要尝试方法有添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：两种： 1 1如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子； 2 2如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以

88、上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。 【例题【例题1】 在下面各题中添上、在下面各题中添上、（、（ ），使等式成立。），使等式成立。 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 101 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10【思路导航】【思路导航】 对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果1010想想起，最后一个数是起，最后一个数是5 5，可以从

89、下面几种情况中想：，可以从下面几种情况中想：5=105=10，5=105=10，5=105=10，5=105=10。（1 1）从）从5=105=10考虑，考虑，=5=5，前，前4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是5 5的算的算式有：（式有：（1 12 2）334 45=10 5=10 （1 12 2）334 45=105=10（2 2）从）从5=105=10考虑，考虑，=15=15，前，前4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是1515的的算式有：算式有：1 12 234345=105=10（3 3）从）从5=105=10考虑，考虑，=2=2，前，前4 4个数必须组成得数是个数必须组成

90、得数是2 2的算的算式有：（式有：（1231234 4）5=10 5=10 （1 12 23 34 4）5=105=10（4 4）从）从5=105=10考虑，考虑，=50=50，前面，前面4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是5050的算式，而前面的算式，而前面4 4个数无法组成得数是个数无法组成得数是5050的算式。的算式。 【练习【练习1】 1 1你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？ （1 1）4 1 2 5 = 10 4 1 2 5 = 10 （2 2）4 1 2 5 = 104 1 2 5 = 10 2 2在下面各数中添上适当

91、的运算符号，使等式成立。在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。 （1 1）3 4 5 6 8 = 8 3 4 5 6 8 = 8 （2 2）3 4 5 6 8 = 83 4 5 6 8 = 8 3 3巧添运算符号，使等式成立。巧添运算符号，使等式成立。 （1 1）3 3 3 3 =1 3 3 3 3 =1 （2 2）3 3 3 3 =2 3 3 3 3 =2 （3 3）3 3 3 3 =33 3 3 3 =3【例题【例题2】拿出都是拿出都是8的四张牌，添上、的四张牌，添上、或（或（ ），），使等式成立。你能试一试吗？使等式成立。你能试一试吗？8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1

92、 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3【思路导航】【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：（1）等于）等于0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有：个数可以分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有：88（88）=0 8888=0 88（88）=0 8888=0同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】（2）等于）等于1的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成

93、两组，这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得成两组，这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到到1，有：，有：（88）（88）=1 88（88）=1 88（88）=1 8888=1 8888=1 8（888）=1（3）等于）等于2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为为1，有：，有：8888=2（4）等于）等于3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为凑为3个个8，有：，有：（888）8=3【练习【练习2】 1.在各数中添上、在各数中添上、或（或（ ），使算式相等。），使算式相

94、等。 4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 52.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。巧添各种运算符号和括号，使等式成立。 5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1 5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 33.用用8个个8组成组成5个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是1000。 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000【例题【例题3】 拿出都是拿出都是8 8的四张牌，添上、的四张牌，添上、或（或（ ），使等），使等式成

95、立。你能试一试吗？式成立。你能试一试吗？ 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 18 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3 【思路导航】【思路导航】 这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想： （1 1）等于）等于0 0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有：分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有： 8 88 8（8 88 8）

96、=0 88=0 8888=0 88=0 8 88 8（8 88 8）=0 88=0 8888=088=0 （2 2）等于）等于1 1的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到1 1，有：，有： （8 88 8）（8 88 8）=1 88=1 88（8888）=1 88=1 88（8888）=1=1 8888=1 8888=1 8 8888=1 8888=1 8（888888）=1=1 （3 3）等于）等于2 2的思考方法：假设最后一步是加

97、法，那么两组数各为的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1 1，有：，有： 888888=288=2 （4 4）等于）等于3 3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3 3个个8 8，有：，有： （8 88 88 8）8=38=3【练习【练习3】 1.1.在各数中添上、在各数中添上、或（或（ ），使算式相等。），使算式相等。 4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 14 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3 4 4 4 4

98、= 4 4 4 4 4 = 5 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5 2. 2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。巧添各种运算符号和括号，使等式成立。 5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 15 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1 5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3 5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3 【例题【例题4】在下面在下面12个个5之间添上、之间添上、，使算式成立。，使算式成立。 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000【思路导航】【思路导航】这道题的结果比较大，那我们就要尽量想出一些

99、大的数来，使这道题的结果比较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与它与1000比较接近，如：比较接近，如：555555=1110这个数比这个数比1000大了大了110，然后我们在剩下的，然后我们在剩下的6个个5中凑出中凑出110减掉就可以了。减掉就可以了。 555555555555=1000【练习【练习4】 1.用用12个个3组成组成8个数，它们的结果等于个数，它们的结果等于2000。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 20002.在在9个个2之间添上运算符号，使结果等于之间添上运算符号，使结果等于1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 10003.用用7个个6

100、组成组成4个数，使下面的算式成立。个数，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600 同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题5】在下面式子中适当的地方添上、号，使等式成在下面式子中适当的地方添上、号，使等式成立。立。 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21【思路导航】【思路导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是这题左边的数字比较多，等号右边的得数是21，可以考虑在等，可以考虑在等号左边最后两个数字号左边最后两个数字2、1前添，这时我们必须使前面几个数前添，这时我们必须使前面几个数字的结果为字的结果为0，然后再用倒推的方法可以得出：，然后再用倒推的方法可以得出：9

101、876543=0 987654321=21【练习【练习5】 1在下面算式中适当的地方添上、号，使等式成立。在下面算式中适当的地方添上、号，使等式成立。9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 232在下面式子的适当地方添上、在下面式子的适当地方添上、号，使等式成立。号，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 = 13在下面算式中适当的地方添上、号，使等式成立。在下面算式中适当的地方添上、号，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 = 14第11讲 文字算式谜小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 一般说来，算式都是由一些数字和运算符号组成的，可有一般说来，算式都是由一些

102、数字和运算符号组成的，可有些算式却由汉字或英文字母组成，我们称它为文字算式。些算式却由汉字或英文字母组成，我们称它为文字算式。 文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文字或英文字母应表示相同的数字，不同的文字或英文字同的文字或英文字母应表示相同的数字，不同的文字或英文字母应表示不同的数字。母应表示不同的数字。 通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符号、填竖式的步骤与方法基本是一样的，都要仔细观察算式的号、填竖式的步骤与方法基本是一样的，都要仔细观察算式的特征，认真分析

103、，正确选择解题的突破口，最后通过尝试找寻特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后通过尝试找寻正确答案。正确答案。 【例题【例题1】 下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中“心心”代表代表9 9，请问其他汉字分别代表哪个数字？，请问其他汉字分别代表哪个数字？少年足球俱乐中心少年足球俱乐中心心心少少少少少少少少少少少少少少少少少少同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】 乘数个位与被乘数个位相乘，乘数个位与被乘数个位相乘，“心心”“心心”=99=81=99=81，所以所以“少少”=1=1，乘积就是，乘积就是1111111111111111

104、11。根据积，用乘数。根据积，用乘数“心心”去逐一乘被乘数，去逐一乘被乘数，9“9“中中”的积个位数应该是的积个位数应该是3 3，所以，所以“中中”=7=7，往前一位进，往前一位进7 7；9“9“乐乐”的积的个位数应是的积的个位数应是4 4，“乐乐”=6=6，往前一位进，往前一位进6 6；9“9“俱俱”的积个位数应是的积个位数应是5 5，“俱俱”=5=5，往前一位进，往前一位进5 5；9“9“球球”积个位数字应是积个位数字应是6 6，“球球”=4=4，往，往前一位进前一位进4 4；9“9“足足”的积个位数是的积个位数是7 7，所以，所以“足足”=3=3，往前，往前一位进一位进3 3；9“9“年

105、年”的积的个位数是的积的个位数是8 8，“年年”=2=2，往前一位，往前一位进进2 2；91912=112=11，即：，即： 123456799=111111111123456799=111111111 【练习【练习1】 1.1.下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几？表几？ 2 2如果如果A A、B B满足下面算式，它们各代表几？（下中）满足下面算式，它们各代表几？（下中） 3 3下右图各个汉字分别代表几？下右图各个汉字分别代表几？【例题【例题2】 下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的下面不同的汉字代表不同的数字，相

106、同的汉字代表相同的数字。它们各表示几？数字。它们各表示几？ 【思路导航】【思路导航】 由积的个位是由积的个位是2 2，乘数是，乘数是3 3，可推出被乘数个位上，可推出被乘数个位上“学学”是是4 4，43=1243=12，在积的个位上写，在积的个位上写2 2，向十位进，向十位进1 1；因为积的十位上；因为积的十位上“学学”为为4 4，所以，所以“数数”33应为应为3 3，推出，推出“数数”为为1 1；因为；因为“数数”为为1 1，百位上，百位上“庚庚”33末位应为末位应为1 1，因而，因而“庚庚”为为7 7，千位上，千位上53532=172=17，在千位上写，在千位上写7 7，向万位进，向万位进

107、1 1，因而，因而“罗罗”为为5 5，万，万位上位上83831=251=25，在千位上写，在千位上写5 5，向前一位进，向前一位进2 2，因而，因而“华华”为为8 8。 【练习【练习2】 下面各个竖式中的汉字分别代表几？下面各个竖式中的汉字分别代表几？ 【例题【例题3】 在下面的竖式中，在下面的竖式中，a a、b b、c c、d d各代表什么数字各代表什么数字? ? 【思路导航】【思路导航】 仔细审题发现千位仔细审题发现千位a9a9的结果是一位数，于是就可以确定的结果是一位数，于是就可以确定a a只能是只能是1 1。接着思考个位。接着思考个位d9=1d9=1是不可能的，所以应该是是不可能的，所

108、以应该是d9d9等于几十一，于是确定等于几十一，于是确定d=9d=9。或者想千位上。或者想千位上19=919=9，所以，所以d d一定一定是是9 9。最后确定剩下的。最后确定剩下的c c为为8 8。只有。只有89=7289=72，72728=808=80，积中才，积中才会有会有0 0。 【练习【练习3】 （1 1）下面（左下）竖式中的字母各代表几？）下面（左下）竖式中的字母各代表几？ （2 2）上面（右上）竖式中的字母各代表几？）上面（右上）竖式中的字母各代表几？ A AB BC=C=（ ） 【例题【例题4】 下面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代下面算式里，相同的汉字代表同一个数

109、字，不同的汉字代表不同的数字。如果以下表不同的数字。如果以下3 3个等式成立：个等式成立：那么，小那么，小= =（ ） 朋朋= =（ ） 友友= =（ ） 爱爱= =（ ） 科科= =（ ） 学学= =（ ） 小小小小朋朋朋朋= =友小小友友小小友 爱爱爱爱科科科科= =爱学学爱爱学学爱 朋朋朋朋朋朋朋朋= =小小学学小小学学同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】 通过观察，我们发现第三个等式最特殊，它是相同的两位通过观察，我们发现第三个等式最特殊，它是相同的两位数相乘得到千位和百位、十位和个位分别相同的积，逐步试验，数相乘得到千位和百位、十位和个位分别相同的积，逐步试验，1

110、111，2222得不到四位数，然后从得不到四位数，然后从3333试，我们发现试，我们发现8888=7744，这样可以得出：朋，这样可以得出：朋=8，小，小=7，学，学=4。将朋。将朋=8、小小=7代入第一个算式中得出代入第一个算式中得出7788=6776，确定友，确定友=6。这样，。这样，09中，只剩下中，只剩下9，5，3，2，1，0这几个数字，其中这几个数字，其中0、1不考虑，试后发现不考虑，试后发现5599=5445，所以爱，所以爱=5，科，科=9。 【练习【练习4】 下面竖式中的汉字各代表数字几？下面竖式中的汉字各代表数字几？ 【例题【例题5】 下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来

111、吗？下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？ 新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 乐=（ ）【思路导航】【思路导航】 从千位上看，千位上得数是从千位上看，千位上得数是2 2，假设新，假设新=2=2，那么百位上，那么百位上，“新年新年”不可能等于不可能等于0 0，因而，因而“新新”不可能是不可能是2 2，只能是，只能是“新新=1”=1”。从百位上看，新年进来的数。从百位上看，新年进来的数=10=10，我们可判断，我们可判断“年年”=7=7或或8 8。而。而“新年新年=8”=8”，即使个位进来，即使个位进来2 2，十位上也不可能，十位上也不可能向百位进向百位进2 2，因而，因而“年年”=8=

112、8，十位上，十位上“新年新年”=1=18=98=9，而个，而个位上已向十位进了位上已向十位进了1 1，因而，因而“快快”=0=0，最后从，最后从“新年快新年快乐乐”=11=11中可推出中可推出“乐乐”=1=1。即：。即： 新新= =（ 1 1 ） 年年= =（ 8 8 ） 快快= =（ 0 0 ） 乐乐= =（ 1 1 ） 【练习【练习5】 1下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问这些汉字各代表几？不同的汉字代表不同的数字，请问这些汉字各代表几？ 2上面（上中）各字母分别代表几？上面（上中）各字母分别代表几？ 3上

113、面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写？下面的算式怎样写？ 第12讲 填数游戏小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置。另外，要将所填的空与所提供一般是图形的顶点及中间位置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供数字的的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几。关键位置的

114、数确定好了，和之差，从而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。其他问题就迎刃而解了。 【例题【例题1】 在下图中分别填入在下图中分别填入1919，使，使两条直线上五个数的和相等，和是两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？多少呢？ 【思路导航】【思路导航】 我们可以这样想，把我们可以这样想，把1919中间的中间的5 5填到中心的填到中心的内，剩下内，剩下八个数，一大一小，搭配成和都是八个数，一大一小，搭配成和都是1010的四组，这样两条直线上的四组，这样两条直线上五个数的和都是五个数的和都是5 5102=25102=25。 如果把如果把1 1填在中心的填在中心的内，这样

115、剩下的八个数可以一大一内，这样剩下的八个数可以一大一小搭配成和都是小搭配成和都是1111的四组，这时两条直线上五个数的和是的四组，这时两条直线上五个数的和是1 1112=23112=23。 想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？ 【练习【练习1】 1.1.在下图（左下）中填入在下图（左下）中填入210210，使横行、竖行中的五个，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢？数的和相同。和是多少呢？ 2.2.把把1 1、4 4、7 7、1010、1313、1616、1919七个数填入图（中上图）七个数填入图（中上图）中中7 7朵花里，使每条直线上三个数的

116、和相等。朵花里，使每条直线上三个数的和相等。 3.3.把把6 6、8 8、1010、1212、1414、1616、1818七个数填在右上图的七个数填在右上图的中，中，使每排三个数及外圆上三个数的和都是使每排三个数及外圆上三个数的和都是3232。【例题【例题2】 把数字把数字1818分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5 5个数的和都等于个数的和都等于2020。 同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】 题目中所给题目中所给8 8个数字的和是个数字的和是3636，题中要使每个五边形上五，题中要使每个五边形上五个数的和等于个数的和等于2020

117、，那么两个五边形上数字的总和是，那么两个五边形上数字的总和是202=40202=40。两个五边形上的数字总和比两个五边形上的数字总和比8 8个数的和多个数的和多404036=436=4，多，多4 4的原因的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，多算了一次。是图中中间两个圆圈的数字算了两次，多算了一次。1818中只中只有有1 1和和3 3的和为的和为4 4，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填1 1、一个填一个填3 3。2020（1 13 3）=16=16，1616可以分成可以分成2 26 68 8和和4 45 57 7，所以本题应该这样填：所以本题应该

118、这样填： 【练习【练习2】 1.1.将数字将数字1616填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上大圆上4 4个数的和都是个数的和都是1515。 2. 2. 把把1818这八个数，分别填入上右图的各个这八个数，分别填入上右图的各个内，使得内，使得每一横行、每一竖行的三个数的和是每一横行、每一竖行的三个数的和是1313。 【例题【例题3】 在图中填入在图中填入2929，使每边，使每边3 3个数的和等于个数的和等于1515。 【思路导航】【思路导航】 解这题的关键是填出图中的解这题的关键是填出图中的4 4个顶点，个顶点，因为求和时这因为求和时这4 4个顶点各算了

119、两次，多算个顶点各算了两次，多算了一次，所以了一次，所以4 4边数的和是边数的和是154=60154=60，所，所给的数的和是给的数的和是2 23 34 45 56 67 78 89=449=44，所以，所以4 4个顶点数的和是个顶点数的和是606044=1644=16。我们可选出我们可选出3 37 74 42=162=16填入填入4 4个顶点。个顶点。 想一想，有没有其他填法？想一想，有没有其他填法？ 同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习3】 1.1.把把1818填入下图（下左）中，使每边填入下图（下左）中，使每边3 3个数的和等于个数的和等于1313。 2.2.将将1919这九个数

120、填入中上图中，使三角形每条边上四这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于个数的和等于1919，且有一个顶点的数字为，且有一个顶点的数字为1 1。 3.3.把把110110这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之和都相等，而且最大。这个和是多少？圆圈内四个数之和都相等，而且最大。这个和是多少？ 【例题【例题4】 把把1818填入下图填入下图内，使每边上三个数的和最大。求最内，使每边上三个数的和最大。求最大的和是多少？大的和是多少？ 【思路导航】【思路导航】 要使每边上三个数之和最大，容易想到把要使每边上三个数之和最大，容易想到把8 8

121、、7 7、6 6、5 5填在填在四角，因为四个角上的数在求和时各用了两次，其他数各用了四角，因为四个角上的数在求和时各用了两次，其他数各用了一次。由此我们可以列出求和的算式为：一次。由此我们可以列出求和的算式为： （8 87 76 65 5）224 43 32 214=62414=624 和不是整数，说明四条边上的总和要减少和不是整数，说明四条边上的总和要减少2 2才行，这只要才行，这只要将填在角上的将填在角上的5 5换成换成3 3即可。即可。 所以，最大的和为：（所以，最大的和为：（62622 2）4=154=15 同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习4】 1.1.把把310310填

122、入下图（左下）填入下图（左下）中，使每边上三个数的和最中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？大，求最大的和是多少？ 2.2.把把1818填入中上图填入中上图中，使每边上三个数的和最小。最中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？小的和是多少？ 3.3.将数字将数字1818填入右上图中，使横行填入右上图中，使横行中的数之和等于竖中的数之和等于竖行行中的数之和，这个和可以是多少？中的数之和，这个和可以是多少？ 【例题【例题5】 在下图（左下）各圆空余部分填上在下图（左下）各圆空余部分填上3 3、5 5、7 7、8 8，使每个，使每个圆的圆的4 4个数的和都是个数的和都是2121。 【思路

123、导航】【思路导航】 这题的关键是找出中间部分填什么，因这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的为所给的3 3个数都是双数，恰好每个圆内有个数都是双数，恰好每个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的数后，使每个圆的4 4个数的和是个数的和是21.2121.21是单数，是单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而而3 3、5 5、7 7、8 8中中3 3、5 5、7 7都是单数，要使和都是单数，要使和为单数，为单数，8 8要填入中间部分，如右图。要填入中间部分，如右图。 【练习【练习5】 1.1

124、.在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上1 1、2 2、4 4、6 6，使每个圆中，使每个圆中4 4个数的和是个数的和是1515。 2.2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4 4、5 5、7 7、9 9，使每个圆中使每个圆中4 4个数的和是个数的和是2727。 3.3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6 6、8 8、1010、11.11.使每个圆中使每个圆中4 4个数的和是个数的和是3333。 第13讲 周期问题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材

125、教学视频同步教材教学视频 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。 在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利

126、用其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。 【例题【例题1】 小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2 2个红的、后个红的、后1 1个个白的、再白的、再3 3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第3232个珠子是什么颜色？个珠子是什么颜色？ 【思路导航】【思路导航】 从上图可以看出，珠子是按从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑两红一白三黑”的规律重复的规律重复排列，即排列，即6 6个珠子为一周期。个珠子为一周期。

127、326=5326=5（组）（组）22（个），（个），3232个珠子中含有个珠子中含有5 5个周期多个周期多2 2个，所以第个，所以第3232个珠子就是重复个珠子就是重复5 5个周个周期后的第期后的第2 2个珠子，应为红色。个珠子，应为红色。 【练习【练习1】 1.1.如图，算出第如图，算出第2020个图形是什么？个图形是什么？ 2.“ 2.“数学趣味题数学趣味题数学趣味题数学趣味题”依次重复排列，第依次重复排列，第20012001个字是什么？个字是什么？ 3.3.把把3838面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？【例题【例题2】 20012001年年1

128、010月月1 1日是星期一，问：日是星期一，问：1010月月2525日是星期几？日是星期几？ 【思路导航】【思路导航】 我们知道，每星期有我们知道，每星期有7 7天，也就是说以天，也就是说以7 7天为一个周期不断天为一个周期不断地重复。从地重复。从1010月月1 1日到日到1010月月2525日经过日经过25251=241=24天，天，247=3247=3（星（星期）期）33（天），说明（天），说明2424天中包括天中包括3 3个星期还多个星期还多3 3天。所以从天。所以从1010月月1 1日开始过日开始过3 3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起

129、再过起再过3 3天就应是星期四。天就应是星期四。 【练习【练习2】 （1 1）20012001年年5 5月月3 3日是星期四，日是星期四，5 5月月2020日是星期几？日是星期几？ （2 2）20012001年年8 8月月1 1日是星期三，日是星期三，8 8月月2828日是星期几？日是星期几？ （3 3）20012001年年6 6月月1 1日是星期五，日是星期五，9 9月月1 1日是星期几？日是星期几？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题3】 100100个个3 3相乘，积的个位数字是几？相乘，积的个位数字是几？ 【思路导航】【思路导航】 这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。这道题

130、我们只考虑积的个位数字的排列规律。1 1个个3.3.积的积的个位是个位是3 3；2 2个个3 3相乘积的个位数字是相乘积的个位数字是9 9；3 3个个3 3相乘积的个位数字相乘积的个位数字是是7 7；4 4个个3 3相乘积的个位数字是相乘积的个位数字是1 1；5 5个个3 3相乘积的个位数字是相乘积的个位数字是33可以发现，积的个位数字分别以可以发现，积的个位数字分别以3 3、9 9、7 7、1 1不断重复出不断重复出现，即每现，即每4 4个个3 3积的个位数字为一周期。积的个位数字为一周期。1004=251004=25（个），因（个），因此此100100个个3 3相乘积的个位数字是第相乘积的

131、个位数字是第2525个周期中的最后一个，即是个周期中的最后一个，即是1 1。 【练习【练习3】 （1 1）2323个个3 3相乘，积的个位数字是几？相乘，积的个位数字是几？ （2 2）100100个个2 2相乘，积的个位数字是几？相乘，积的个位数字是几？ （3 3）5050个个7 7相乘，积的个位数字是几？相乘，积的个位数字是几？【例题【例题4】 有一列数按有一列数按“432791864327918643279186”432791864327918643279186”排列，排列，那么前那么前5454个数字之和是多少？个数字之和是多少？ 【思路导航】【思路导航】 上面一列数中，从第上面一列数中，

132、从第1 1个数字开始重复出现的部分是个数字开始重复出现的部分是“43279186”43279186”，周期数是，周期数是8 8。要求出这列数字的和，就要先。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组求出这列数里共有多少组“43279186”43279186”。 548=6548=6（组）（组）66（个）（个） 因此，前因此，前6 6组数字和是（组数字和是（4 43 32 27 79 91 18 86 6）6=2406=240，余下，余下6 6个数字之和是个数字之和是4 43 32 27 79 91=261=26。所。所以，这列数中前以，这列数中前5454个数字之和是个数字之和是24024

133、026=26626=266。 【练习【练习4】 （1 1）一列数按）一列数按“294736294736294”294736294736294”排列，那么前排列，那么前4040个数字之和是多少？个数字之和是多少？ （2 2）有一列数按）有一列数按“9453672945367294”9453672945367294”排列，那么前排列，那么前5050个数字之和是多少？个数字之和是多少？ （3 3）有一列数）有一列数“7231652316523165”7231652316523165”，请问从左起第，请问从左起第2 2个数字到第个数字到第2525个数字之间（含第个数字之间（含第2 2个与第个与第252

134、5个数字）所有数个数字）所有数字的和是多少？字的和是多少？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题5】 小红买了一本童话书，每两页文字之间有小红买了一本童话书，每两页文字之间有3 3页插图，也就页插图，也就是说是说3 3页插图前后各有页插图前后各有1 1页文字。如果这本书有页文字。如果这本书有128128页，而第页，而第1 1页是文字，这本童话书共有插图多少页？页是文字，这本童话书共有插图多少页？ 【思路导航】【思路导航】 已知这本童话书已知这本童话书3 3页插图前后各有页插图前后各有1 1页文字，也就是说这本页文字，也就是说这本书是按书是按“1 1页文字页文字3 3页插图页插图“的规律重

135、复排列的，把的规律重复排列的，把“1 1页文字页文字3 3页插图页插图”看作一周期，看作一周期，128128页中含有页中含有128128（1 13 3）=32=32个周期，个周期，所以这本童话书共有插图所以这本童话书共有插图332=96332=96页。页。 【练习【练习5】 （1 1）校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆）校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆3 3盆月季，共盆月季，共摆了摆了112112盆花。如果第一盆花是菊花，那么共摆了多少盆盆花。如果第一盆花是菊花，那么共摆了多少盆月季花？月季花？ （2 2）同学们做早操，）同学们做早操，3636个同学排成一列，每两个女生中个同学排成一列，每两

136、个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少人间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少人？ （3 3）一个圆形花辅周围长）一个圆形花辅周围长3030米，沿周围每隔米，沿周围每隔3 3米插一面红米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。花辅周围共插了多少面旗，每两面红旗中间插两面黄旗。花辅周围共插了多少面黄旗？黄旗？第14讲 数学趣味小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，如：问题，如：3个小朋友同时唱一首歌要个小朋友同时

137、唱一首歌要3分钟，分钟，100个小朋友同个小朋友同时唱这首歌要几分钟？类似这样的问题一般不需要较复杂的计时唱这首歌要几分钟？类似这样的问题一般不需要较复杂的计算，也不能用常规方法来解决，而常常需要用小朋友的灵感、算，也不能用常规方法来解决，而常常需要用小朋友的灵感、技巧和机智获得答案。技巧和机智获得答案。对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及自己的聪明才智巧妙地解决。考，运用基础知识以及自己的聪明才智巧妙地解决。【例题【例题1】如果每人步行的速度相同，如果每人步行的速度相同，2个人一起从学校到儿个人一起从

138、学校到儿童乐园要童乐园要3小时，那么小时，那么6个人一起从学校到儿童乐园要多少小个人一起从学校到儿童乐园要多少小时？时？【思路导航】【思路导航】2个人一起从学校到儿童乐园要个人一起从学校到儿童乐园要3小时，也就是小时，也就是1个人从学校到个人从学校到儿童乐园要儿童乐园要3小时；小时；6个人一起从学校到儿童乐园所用的时间个人一起从学校到儿童乐园所用的时间与一个人所用的时间相等，所以与一个人所用的时间相等，所以6个人一起从学校到儿童乐园个人一起从学校到儿童乐园还是用还是用3小时。小时。【练习【练习1】 1.31.3个人同时唱个人同时唱3 3首歌用首歌用9 9分钟，分钟，9 9个人同时唱同样的个人同

139、时唱同样的3 3首歌用首歌用几分钟？几分钟？2.52.5只猫只猫5 5天能捉天能捉5 5只老鼠，照这样计算，要在只老鼠，照这样计算，要在100100天里捉天里捉100100只只老鼠要多少只猫？老鼠要多少只猫？3.63.6个人从甲地到乙地用个人从甲地到乙地用4 4小时，如果每人的步行速度相同，小时，如果每人的步行速度相同，那么那么3 3个人从甲地到乙地要用几小时？个人从甲地到乙地要用几小时？【例题【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天天能长到能长到20厘米。问长到厘米。问长到5厘米时要用多少天？厘米时要用多少天？【思路导航】【思路导航】毛

140、毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的2倍。倍。这条毛毛虫在第这条毛毛虫在第30天时，身长为天时，身长为20厘米，那么在第厘米，那么在第29天时，天时，这条毛毛虫的身长为这条毛毛虫的身长为202=10厘米；在第厘米；在第28天时，这条虫的天时，这条虫的身长为身长为102=5厘米。厘米。【练习【练习2】 1.1.有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过1010天可以把整天可以把整个池塘全部遮住。问睡莲要遮住半个池塘需要多少天？个池塘全部遮住。问睡莲要遮住半个池塘需要多少天？2.2.一条小青虫由幼虫长成

141、成虫，每天长大一倍，一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，2020天能长到天能长到3636厘米。问长到厘米。问长到9 9厘米时要用几天？厘米时要用几天？3.3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，1515天能长到天能长到4 4厘米。问要长到厘米。问要长到3232厘米共要多少天？厘米共要多少天？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题3】小猫要把小猫要把15条鱼分成数量不相等的条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？一堆中最多可放几条鱼？【思路导航】【思路导航】小猫要把小猫要把15条鱼分成数量各不相等的条鱼分成数量各不

142、相等的4堆，要让最多的一堆中堆，要让最多的一堆中小鱼条数尽量多，那么其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所小鱼条数尽量多，那么其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放以，小猫可以在第一堆中放1条，在第二堆中放条，在第二堆中放2条鱼，在第条鱼，在第三堆中放三堆中放3条鱼，这样第四堆就可放：条鱼，这样第四堆就可放：15（123）=9（条）。（条）。【练习【练习3】 1.1.小明要把小明要把2020颗珠子分成数量不等的颗珠子分成数量不等的5 5堆，问最多的一堆中堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子？最多可放几颗珠子？2.2.老师为共有老师为共有1818人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的人

143、的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5 5队，问最多的一队最多可排几人？队，问最多的一队最多可排几人？3.3.兔妈妈拿来兔妈妈拿来1 1盘萝卜共盘萝卜共2525个，分给个，分给4 4只小兔，要使每只小兔只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。问分得最多的一只小兔至多分得几个分得的个数都不同。问分得最多的一只小兔至多分得几个？【例题【例题4】把把100只桃子分装在只桃子分装在7个篮子里，要求每个篮子里装个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的只数都带有的桃子的只数都带有6字。想一想，该怎样分？字。想一想，该怎样分？【思路导航】【思路导航】因为因为66=36只，这样就可以在每个篮子里装只，这样就可以在每个

144、篮子里装6只桃，共装只桃，共装6个个篮子，还有一个篮子里装篮子，还有一个篮子里装10036=64只桃。只桃。64这个数，正好这个数，正好也含有数字也含有数字6，符号题目要求。，符号题目要求。【练习【练习4】 1.1.把把100100个鸡蛋分装在个鸡蛋分装在6 6个盒里，要求每个盒里装的鸡蛋的数个盒里，要求每个盒里装的鸡蛋的数目都带有目都带有6 6字，想想看，应该怎样分？字，想想看，应该怎样分？2.2.有人认为有人认为8 8是个吉祥数字，他们得到的东西的数量都要含有是个吉祥数字，他们得到的东西的数量都要含有数字数字8 8。现在有。现在有200200块糖要分给一些人，请你帮助设计一个块糖要分给一些

145、人，请你帮助设计一个吉祥的分糖方案。吉祥的分糖方案。3.73.7只箱子分别放有只箱子分别放有1 1只、只、2 2只、只、4 4只、只、8 8只、只、1616只、只、3232只、只、6464只只苹果，现在要从这苹果，现在要从这7 7只箱子里取出只箱子里取出8787只苹果，但每只箱子只苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。你看该怎么取？内的苹果要么全部取走，要么不取。你看该怎么取？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题5】舒舒和思思到书店去买书，两人都想买动脑筋舒舒和思思到书店去买书，两人都想买动脑筋这本书，但钱都不够。舒舒缺这本书，但钱都不够。舒舒缺2元元8角，思思缺角，思思缺1

146、分钱，用两个分钱，用两个人合起来的儿买一本，仍然不够。这本书多少钱？人合起来的儿买一本，仍然不够。这本书多少钱？【思路导航】【思路导航】思思买这本书缺思思买这本书缺1分钱，两个人合起来的钱买一本书仍然不够，分钱，两个人合起来的钱买一本书仍然不够，这说明舒舒根本没有钱，所以这本书的价钱是这说明舒舒根本没有钱，所以这本书的价钱是2元元8角。角。【练习【练习5】 1.1.小华和娟娟到商店买文具盒，两人看中同一个文具盒，但钱都不够。小华和娟娟到商店买文具盒，两人看中同一个文具盒，但钱都不够。小华缺小华缺9 9元元4 4角，娟娟缺角，娟娟缺1 1分，两人合起来买一个仍然不够。这个文具盒分，两人合起来买一

147、个仍然不够。这个文具盒多少钱？多少钱？2.2.李华和张洁到商店买同一种练本，但发现钱都没带够，李华缺李华和张洁到商店买同一种练本，但发现钱都没带够，李华缺6 6角，张角，张洁缺洁缺2 2分钱，但两人合起来买一本仍不够。这种本子一本多少钱？分钱，但两人合起来买一本仍不够。这种本子一本多少钱？3.3.王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人都看中同一种电视机，但王阿王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人都看中同一种电视机，但王阿姨缺姨缺600600元，李阿姨缺元，李阿姨缺900900元，用两人带的钱合起来买这一台电视机正元，用两人带的钱合起来买这一台电视机正好。这台电视机多少钱？好。这台电视机多少钱？第15

148、讲 乘除巧算小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 前面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会前面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用了运用“凑整凑整”的方法进行巧算，实际上这种凑整的方法也同的方法进行巧算，实际上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除计算中。为了更好地凑整，同学们要牢记以样可以运用在乘除计算中。为了更好地凑整，同学们要牢记以下几个计算结果：下几个计算结果：25=10，425=100，8125=1000。提高计算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还提高计算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外

149、，还要掌握一定的运算技巧。巧算中，经常要用到一些运算定律，要掌握一定的运算技巧。巧算中，经常要用到一些运算定律，例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善于运用运例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善于运用运算定律，是提高巧算能力的关键。算定律，是提高巧算能力的关键。【例题【例题1】你有好办法算出下面各题的结果吗？你有好办法算出下面各题的结果吗？（1）25174 （2）818125 （3）8254125 （4）125285【思路导航】【思路导航】（1）我们知道）我们知道254=100，因而我们要尽量把，因而我们要尽量把25与与4放在一块计算，这样放在一块计算，这样比较简便。所以我们

150、先算比较简便。所以我们先算254=100，再与，再与17相乘即相乘即10017=1700；（2）因为）因为8125=1000，因而我们先把，因而我们先把8与与125放在一块计算，放在一块计算，8125=1000，再乘，再乘18：100018=18000；（3）已知）已知254=100、1258=1000，因此这道题我们要通过移位的方法，因此这道题我们要通过移位的方法把把25与与4相乘，相乘，125与与8相乘，然后再把相乘，然后再把1000与与100相乘，相乘，1000100=100000；（4）因为）因为1258=1000，25=10，因而这道题也要移一移，先计算，因而这道题也要移一移，先计算

151、1258=1000和和25=10，再计算，再计算100010=10000。【练习【练习1】计算】计算 1.1.计算：（计算：（1 1）25234 25234 （2 2）1252781252782.2.计算：（计算：（1 1）52524 52524 （2 2）1254825 1254825 （3 3）2125852125853.3.想一想，怎样算比较简便？想一想，怎样算比较简便？ 1251612516【例题【例题2】你有好办法计算下面各题吗？你有好办法计算下面各题吗？（1）258 （2）16125 （3）162525 （4）1253225【思路导航】【思路导航】（1）已知）已知254=100，因

152、为，因为8=24，所以我们可以把，所以我们可以把258转化为转化为2542.然后先算然后先算254=100，再算出，再算出1002=200。（2）1258=1000，16=82.因而我们可以把因而我们可以把16125转化为转化为2（8125），），然后算出然后算出8125=1000，再乘，再乘2得到得到2000；（3）因为）因为254100，16=44，这样可以将两个，这样可以将两个4分别与两个分别与两个25相乘，所相乘，所以原式就转化为（以原式就转化为（425）（425），再分别计算，得到结果），再分别计算，得到结果100100=10000；（4）因为）因为1258=1000，254=100

153、，我们又发现，我们又发现32=48，所以可将，所以可将4和和8分别与分别与25、125相乘，得到（相乘，得到（1258）（254），再分别算出结果为），再分别算出结果为1000100=100000。【练习【练习2】1.1.（1 1）2512 2512 （2 2）12532 12532 （3 3）48125481252.2.（1 1）125165 125165 （2 2）258525853.3.（1 1）1256425 1256425 （2 2）322525322525同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题3】你能很快算出它们的结果吗？你能很快算出它们的结果吗？（1）8288 （2）515

154、9【思路导航】【思路导航】 通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数十通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数十位上的数字相同，个位数字和是位上的数字相同，个位数字和是10，像这样的题目，我们可以将首位数字，像这样的题目，我们可以将首位数字加加1再乘首位数字，得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘，得再乘首位数字，得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，如果末位数字相乘的积是一位数，要在前面被数作为积的末位两个数字，如果末位数字相乘的积是一位数，要在前面被一个一个0。（1）8288先用首位数字加先用首位数字加1再乘首位数

155、字，即（再乘首位数字，即（81）8=72作为积的作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘前两位数字，再用两个末位数字相乘28=16作为积的末位两个数字，所作为积的末位两个数字，所以以8288=7216；（2）5159先用首位数字加先用首位数字加1乘首位数字，即（乘首位数字，即（51）5=30作为积的前作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘两位数字，再用两个末位数字相乘19=9，它们的积是一位数，要前，它们的积是一位数，要前9前前面被一个面被一个0，作为积的末两个数字，所以，作为积的末两个数字，所以，5159=3009。【练习【练习3】 1.1.（1 1）7278 7278 （2 2）4545

156、45452.2.（1 1）8189 8189 （2 2）919991993.3.（1 1）4248 4248 （2 2）61696169同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题4】简便运算：简便运算：（1）1305 （2）420025 （3）34000125【思路导航】【思路导航】这里可以运用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩这里可以运用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（小相同的倍数（0除外），商不变，因而：除外），商不变，因而：（1）1305可将可将130和和5同时乘同时乘2.使除除变为使除除变为10，然后再用，然后再用26010=26；（2）420025可以将

157、可以将4200和和25同时乘同时乘4，使除数变为，使除数变为100，然后再用然后再用16800100=168；（3）34000125可以将可以将34000和和125同时乘同时乘8，使除数变为，使除数变为1000，然后再用，然后再用2720001000=272。【练习【练习4】1.1.你能迅速算出结果吗？你能迅速算出结果吗？（1 1）1705 1705 （2 2）32705 32705 （3 3）23405234052.2.计算：计算：（1 1）720025 720025 （2 2）360025 360025 （3 3）5600255600253.3.你有好办法计算下面各题吗？你有好办法计算下面

158、各题吗？（1 1）32000125 32000125 （2 2）78000125 78000125 （3 3）4300012543000125【例题【例题5】计算：计算：3125【思路导航】【思路导航】题中题中31不能被不能被4整除，但整除，但31可拆成可拆成473.这样就得到（这样就得到（473）25，或者把或者把25看作看作1004也可求出得数。也可求出得数。（1）3125 =（473）25 =（473）25 = 4725325 = 775 （2）3125 = 31（1004）= 311004 = 775【练习【练习5】计算：计算：（1）2925 （2）1725 （3）22125 （4）3

159、2225 （5）256125 （6）375325第16讲 应用题（一）小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们小朋友用学到的数学知识来解决生产、生活中的一些实际问题。小朋友用学到的数学知识来解决生产、生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量关系，找到问学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量关系，找到问题的突破口。题的突破口。 在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出

160、发，逐步推出所求的问题；也可以从问题出发，找到必须的两个条件。推出所求的问题；也可以从问题出发，找到必须的两个条件。在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活运用这在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活运用这两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。就更容易了。【例题【例题1】学校里有排球学校里有排球24只，足球的只数比排球的只，足球的只数比排球的2倍少倍少5只，只，学校有排球、足球共多少只？学校有排球、足球共多少只？【思路导航】【思路导航】 根据题意画出线段图根据题意画出线段图从上图可以看出，把从上

161、图可以看出，把2424只排球看作只排球看作1 1倍数，足球的只数比这样的倍数，足球的只数比这样的2 2倍还少倍还少5 5只，用只，用2422425=435=43（只）可以求出足球的只数，再用（只）可以求出足球的只数，再用434324=6724=67只可以求只可以求出两种球的总只数出两种球的总只数【练习【练习1】 1.1.小红每分钟跳绳小红每分钟跳绳2525下，小军每分钟跳的下数比小红的下，小军每分钟跳的下数比小红的3 3倍少倍少1616下，小军下，小军每分钟比小红多跳几下？每分钟比小红多跳几下？2.2.王奶奶家养鸡王奶奶家养鸡1212只，养鹅的只数比鸡的只数的只，养鹅的只数比鸡的只数的4 4倍

162、还多倍还多7 7只。王奶奶家共只。王奶奶家共养鸡、鹅多少只？养鸡、鹅多少只？3.3.少先队员种柳树少先队员种柳树3030棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的3 3倍多倍多1414棵。少先队棵。少先队员种的杨树、柳树共多少棵？员种的杨树、柳树共多少棵？【例题【例题2】人民广场花圃中有人民广场花圃中有180盆郁金香，比月季花盆数的盆郁金香，比月季花盆数的3倍少倍少15盆。月季花有多少盆？盆。月季花有多少盆？ 【思路导航】【思路导航】 从上图可以看出，把月季花的盆数看作从上图可以看出，把月季花的盆数看作1倍数，郁金香的盆倍数，郁金香的盆数是这样的数是这样的3倍少倍少15盆。如

163、果郁金香再增加盆。如果郁金香再增加15盆，就正好是月盆，就正好是月季花盆数的季花盆数的3倍。因此用（倍。因此用（18015）3=65（盆）就可求出（盆）就可求出月季花的盆数。月季花的盆数。【练习【练习2】 1.1.小明的父亲每月工资小明的父亲每月工资10001000元，比小明母亲每月工资的元，比小明母亲每月工资的2 2倍少倍少200200元。小明元。小明母亲每月工资多少元？母亲每月工资多少元？2.2.饲养场养母鸭饲养场养母鸭400400只，比公鸭只数的只，比公鸭只数的7 7倍还多倍还多3636只。饲养场养公鸭多少只只。饲养场养公鸭多少只？3.3.水果店卖出水果店卖出9 9筐水果，平均每筐重筐水

164、果，平均每筐重4545千克。卖出水果的千克数比剩下的千克。卖出水果的千克数比剩下的3 3倍还多倍还多2727千克，还剩多少千克水果？千克，还剩多少千克水果？【例题【例题3】 小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多1313只，白鸡比黄鸡多只，白鸡比黄鸡多1212只，白鸡的只数正好是黑鸡的只，白鸡的只数正好是黑鸡的2 2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？少只？ 【思路导航】【思路导航】 根据根据“黄鸡比黑鸡多黄鸡比黑鸡多1313只，白鸡比黄鸡多只，白鸡比黄鸡多1212只只”，从线段，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多图上我们可以看出白鸡比黑鸡多131312

165、=2512=25只，这相当于黑鸡只，这相当于黑鸡的的2 21=11=1倍，这样也就求出黑鸡的只数为倍，这样也就求出黑鸡的只数为251=25251=25只，黄鸡的只，黄鸡的只数是只数是252513=3813=38只，白鸡的只数是只，白鸡的只数是252=50252=50只。只。 【练习【练习3】 1.1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多1212条，蓝围巾比条，蓝围巾比红围巾多红围巾多2020条，蓝围巾的条数正好是白围巾的条，蓝围巾的条数正好是白围巾的5 5倍。红围巾、白围巾、倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？蓝围巾各多少条？ 2.2

166、.有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多1212只苹果，丙筐比甲筐多只苹果，丙筐比甲筐多1515只苹只苹果，丙筐苹果个数是乙筐的果，丙筐苹果个数是乙筐的4 4倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果？倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果？ 3.3.男女学生参加小组交流会，如果少去男女学生参加小组交流会，如果少去1 1名女生，男女生人数相等；如果名女生，男女生人数相等；如果少去一名男生，女生人数是男生的少去一名男生，女生人数是男生的2 2倍。参加交流会的男女生各多少人倍。参加交流会的男女生各多少人？【例题【例题4】 用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本用一批纸装订同样大小的练习本

167、，如果每本1616页，可装订页，可装订400400本。如本。如果每本果每本2020页，可以少装订多少本？页，可以少装订多少本？ 【思路导航】【思路导航】 根据根据“如果每本如果每本1616页，可装订页，可装订400400本本”，可得这批纸的总页数，可得这批纸的总页数16400=640016400=6400页；再用总页数页；再用总页数640020=320640020=320本求出如果每本本求出如果每本2020页可装订的页可装订的本数，本数，400400320=80320=80本则表示少装订的本数。本则表示少装订的本数。【练习【练习4】1.1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱水果市场要将一些水果

168、装箱，如果每箱1010千克，可装千克，可装3030箱。箱。如果每箱如果每箱1515千克，可少装多少箱？千克，可少装多少箱？2.2.服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成3 3米长，可做米长，可做140140幅。如果幅。如果每幅窗帘做成每幅窗帘做成2 2米长，则可多做多少幅？米长，则可多做多少幅？3.3.同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本1616页，可装订页，可装订400400本。如果每本。如果每本多装订本多装订9 9页，则少装订多少本？页，则少装订多少本？ 【例题【例题5】李师傅原计划李师傅原计划6 6小时加工

169、零件小时加工零件480480个，实际个，实际2 2小时加小时加工工192192个。照这样的效率，可以提前几小时完成？个。照这样的效率，可以提前几小时完成？ 【思路导航】【思路导航】 根据根据“实际实际2 2小时加工小时加工192192个个”，可以求出李师傅的实际，可以求出李师傅的实际工作效率为工作效率为1922=961922=96（个（个/ /小时），再用要加工的零件总数小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即除以实际工作效率，即48096=548096=5小时，求出实际完成的时间。小时，求出实际完成的时间。6 65=15=1小时，则表示提前完成的时间。小时，则表示提前完成的时间。 【

170、练习【练习5】1.1.王奶奶计划王奶奶计划1010小时做纸盒小时做纸盒400400个，实际个，实际3 3小时已加工小时已加工150150个。个。照这样的效率，可以提前几小时完成？照这样的效率，可以提前几小时完成？ 2.2.暑假中，小宁暑假中，小宁3030天共要写大字天共要写大字600600个，实际个，实际1212天已写大字天已写大字360360个。照个。照这样的速度，小宁可以提前几天写完同样多的字？这样的速度，小宁可以提前几天写完同样多的字？ 3.3.自行车制造厂四月份（自行车制造厂四月份（3030天）共生产自行车天）共生产自行车36003600辆，五月份改进技辆，五月份改进技术后术后9 9天

171、已生产自行车天已生产自行车13501350辆。照这样的效率，可以提前几天完成四辆。照这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务？月份的任务？ 第17讲 应用题（二）小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析，善于思考，善于抓住关键，不管什么复杂，但只要善于分析，善于思考，善于抓住关键，不管什么问题都能迎刃而解。问题都能迎刃而解。 解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解应用题中解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解应用题中

172、条件和条件、条件和问题之间的联系，找出解题方法，灵活解条件和条件、条件和问题之间的联系，找出解题方法，灵活解题。题。【例题【例题1】 一列火车早上一列火车早上5 5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120120千米，下午千米，下午3 3时到达乙地，但实际到达时间是下午时到达乙地，但实际到达时间是下午5 5时整，时整，晚点晚点2 2小时。问火车实际每小时行驶多少千米？小时。问火车实际每小时行驶多少千米？ 【思路导航】【思路导航】 由由“这列火车早上这列火车早上5 5时出发，计划下午时出发，计划下午3 3时到达时到达”可知，这可知，这列火车原计划行驶列火车原计

173、划行驶12123 35=105=10小时，用原计划每小时行驶小时，用原计划每小时行驶120120千米千米计划行驶的计划行驶的1010小时，便可得到甲地到乙地的距离为小时，便可得到甲地到乙地的距离为12010=120012010=1200千米；火车晚点千米；火车晚点2 2小时，说明火车实际行驶了小时，说明火车实际行驶了10102=122=12小时，用小时，用120012=100120012=100千米就可得到火车实际每小时行千米就可得到火车实际每小时行的千米数。的千米数。 同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习1】1.一辆汽车早上一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶点从甲地开

174、往乙地，按原计划每小时行驶60千千米，下午米，下午4时到达乙地。但实际晚点时到达乙地。但实际晚点2小时到达，这辆汽车实际每小时行小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米？驶多少千米？ 2.一列火车早上一列火车早上6时从甲城开往乙城，计划每小时行驶时从甲城开往乙城，计划每小时行驶100千米，下午千米，下午6时时到达乙城。但实际到达时间是下午到达乙城。但实际到达时间是下午4时，提前时，提前2小时。问火车实际每小时小时。问火车实际每小时行驶多少千米？行驶多少千米？ 3.王叔叔驾驶一辆摩托车，上午王叔叔驾驶一辆摩托车，上午11时从城东开到城西，计划每小时行驶时从城东开到城西，计划每小时行驶60千米，下

175、午千米，下午2时到达城西，实际到达时间是下午时到达城西，实际到达时间是下午3时，晚到时，晚到1小时。问实小时。问实际每小时比计划少行多少千米？际每小时比计划少行多少千米？ 【例题【例题2】 小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7 7枝，小红买了枝，小红买了5 5枝，小佳没有买。回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出枝，小佳没有买。回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出8 8角角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？ 【思路导航】【思路导航】 小宁和小红一共买了小宁和小红一共买了7 75=125=12枝铅笔，三个人平均分，每枝铅笔，三个人

176、平均分，每人应得人应得123=4123=4枝，所以小佳拿出的枝，所以小佳拿出的8 8角钱就相当于角钱就相当于4 4枝铅笔的枝铅笔的价钱，那么每枝铅笔的价钱应是价钱，那么每枝铅笔的价钱应是84=284=2角。小佳应给小宁角。小佳应给小宁22（7 74 4）=6=6角钱，应给小红角钱，应给小红22（5 54 4）=2=2角钱。角钱。 【练习【练习2】 1.1.三个好朋友去买饮料，小亮买了三个好朋友去买饮料，小亮买了5 5瓶，小华买了瓶，小华买了4 4瓶，阳阳没瓶，阳阳没有买。到家后，三个人平均喝完饮料，阳阳拿出有买。到家后，三个人平均喝完饮料，阳阳拿出6 6元钱，他应给小亮多元钱，他应给小亮多少钱

177、？给小华多少钱？少钱？给小华多少钱？2.2.甲、乙、丙甲、乙、丙3 3人一起买了人一起买了6 6个面包分着吃，甲、乙各拿出个面包分着吃，甲、乙各拿出3 3个面包的钱，丙个面包的钱，丙没有带钱。那么吃完后，丙应拿出没有带钱。那么吃完后，丙应拿出4 4元元8 8角钱，他应分别给甲、乙多少钱角钱，他应分别给甲、乙多少钱？3.3.张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了4 4担柴，李担柴，李家出了家出了5 5担柴，王家因无柴付担柴，王家因无柴付1818元。张、李家各得多少钱？元。张、李家各得多少钱？ 【例题【例题3】 用一个杯子向空瓶

178、里倒牛奶，如果倒进去用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2 2杯牛奶，连瓶杯牛奶，连瓶共重共重450450克；如果倒进去克；如果倒进去5 5杯牛奶，连瓶共重杯牛奶，连瓶共重750750克。一杯牛奶克。一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？和一个空瓶各重多少克？ 同步教材教学视频同步教材教学视频【思路导航】【思路导航】 根据题目的条件，我们可以写出两个关系式：根据题目的条件，我们可以写出两个关系式： （1 1）2 2杯牛奶重量杯牛奶重量1 1个空瓶重量个空瓶重量=450=450克克 （2 2）5 5杯牛奶重量杯牛奶重量1 1个空瓶重量个空瓶重量=750=750克克 比较（比较（1 1）、（）、（2 2）

179、两个式子，可发现用（）两个式子，可发现用（2 2）（）（1 1）可消）可消去空瓶重量，并可得到去空瓶重量，并可得到5 52=32=3瓶牛奶重量是瓶牛奶重量是750750450=300450=300克，克，那么那么1 1瓶牛奶重量是瓶牛奶重量是3003=1003003=100克，然后可求出空瓶重量是克，然后可求出空瓶重量是4504501002=2501002=250克。克。 【练习【练习3】1.1.有有1212筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个大箱子里，筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个大箱子里，如果装进如果装进2 2筐苹果，连箱共重量筐苹果，连箱共重量220220千克；如果装进千克

180、；如果装进5 5筐苹果，连箱共重筐苹果，连箱共重520520千克。千克。1 1筐苹果和大箱子各重多少千克？筐苹果和大箱子各重多少千克？ 2.2.有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4 4桶水，连缸共重桶水，连缸共重240240千克；如千克；如果倒进果倒进7 7桶水，连缸共重桶水，连缸共重390390千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？3.3.有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满3 3杯水，连瓶重杯水，连瓶重550550克；克；如果注满如果注满6 6杯水，连瓶共重杯水，连瓶共重

181、250250克。一杯水多重？克。一杯水多重？ 【例题【例题4】 一共有红、黄、绿三种颜色的珠子一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120120粒。如果把红色珠粒。如果把红色珠子分放在子分放在9 9个盒子里，把黄色珠子分放在个盒子里，把黄色珠子分放在6 6个盒子里，把绿色个盒子里，把绿色珠子分放在珠子分放在5 5个盒子里，那么每个盒子里的珠子粒数相等。三个盒子里，那么每个盒子里的珠子粒数相等。三种颜色的珠子各多少粒？种颜色的珠子各多少粒？ 【思路导航】【思路导航】 把把120120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相等，那么就可以相等，那么就可以1

182、20120（6 69 95 5）=6=6粒，求出每个盒子里珠粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。 红色珠子：红色珠子：69=5469=54粒；粒； 黄色珠子：黄色珠子：66=3666=36粒；粒； 绿色珠子：绿色珠子：65=3065=30粒。粒。 【练习【练习4】1.1.一共有苹果、梨、橘子共一共有苹果、梨、橘子共105105个，如果把苹果分放到个，如果把苹果分放到4 4个盘中，个盘中，把梨分放到把梨分放到5 5个盘中，把橘子分放到个盘中，把橘子分放到6 6个盘中，那么每个盘子的水果个数个盘中，那么每个盘子的水果个数相等。三种水果

183、各多少个？相等。三种水果各多少个？2.2.一共有白兔、灰兔、黑兔共一共有白兔、灰兔、黑兔共250250只，如果把白兔分放到只，如果把白兔分放到5 5个笼中，把灰兔个笼中，把灰兔分放到分放到1111个笼中，把黑兔分放到个笼中，把黑兔分放到9 9个笼中，这样每个笼中的兔子的只数个笼中，这样每个笼中的兔子的只数相等。三种兔子各多少只？相等。三种兔子各多少只？3.3.共有科技书、文艺书和故事书共共有科技书、文艺书和故事书共360360本，若把科技书分放到本，若把科技书分放到2 2个书架上，个书架上，把文艺书分放到把文艺书分放到3 3个书架上，把故事书分放到个书架上，把故事书分放到4 4个书架上，则每个

184、书架上个书架上，则每个书架上的本数相等。三种书各有多少本？的本数相等。三种书各有多少本？ 【例题【例题5】 在在6 6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出5050个个鸡蛋，则鸡蛋，则6 6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？ 【思路导航】【思路导航】 根据根据“6 6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来5 5个筐里鸡个筐里鸡蛋个数的总和蛋个数的总和”，说明，说明6 6个筐里取出的鸡蛋个

185、数的总和等于原个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（来（6 62 2）=4=4个筐里鸡蛋的总和，用取出的个筐里鸡蛋的总和，用取出的506=300506=300个鸡蛋个鸡蛋除以除以4 4就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：3004=753004=75个。个。 【练习【练习5】1.1.在在6 6个纸箱中放着同样多的苹果。如果从每个纸箱里拿出个纸箱中放着同样多的苹果。如果从每个纸箱里拿出5050个个苹果，则苹果，则6 6个箱里剩下的苹果个数的总和等于原来个箱里剩下的苹果个数的总和等于原来2 2个箱子的苹果个数的个箱子的苹果个数的总和。原来每个箱里有多少个苹果？总和。原来每个

186、箱里有多少个苹果？ 2.2.某商店有某商店有5 5箱皮球，如果从每箱里取出箱皮球，如果从每箱里取出1515个，那么个，那么5 5个箱里剩下皮球的个个箱里剩下皮球的个数正好等于原来数正好等于原来2 2箱皮球的个数。原来每箱装了多少个皮球？箱皮球的个数。原来每箱装了多少个皮球？3.3.有有3 3个水桶，如果从每桶中倒出个水桶，如果从每桶中倒出4 4千克水，那么千克水，那么3 3桶里剩下的水的重量正好桶里剩下的水的重量正好等于原来等于原来1 1桶的重量。原来每桶装多少千克水？桶的重量。原来每桶装多少千克水？ 第18讲 数字趣味小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频

187、同步教材教学视频 在日常生活中，在日常生活中，0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9是我们最常见、最是我们最常见、最熟悉的数，由这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动熟悉的数，由这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就会找到答案。本周的习题，大都是关于自然数列方面的计数问脑筋，你就会找到答案。本周的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法，相信你们能很好地题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法，相信你们能很好地掌握它。掌握它。【例题【例题1】在10和40之间有多少个数是

188、3的倍数？【思路导航】由尝试法可求出答案：34=1235=1536=1837=2138=2439=27310=30311=33312=36313=39【练习【练习1】 1.1.在在2020和和5050之间有多少个数是之间有多少个数是6 6的倍数？的倍数？2.2.在在1515和和7070之间有多少个数是之间有多少个数是8 8的倍数？的倍数？3.3.两个整数之积为两个整数之积为144144，差为，差为1010，求这两个数。，求这两个数。【例题【例题2】在10和1000之间有多少个数是3的倍数？【思路导航】 求10和1000之间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻烦。可以这样思考：103=

189、31说明10以内有3个数是3的倍数；10003=3331说明1000以内有333个数是3的倍数。3333=330说明101000之间有330个数是3的倍数。【练习【练习2】 1.1.在在1 1到到10001000之间有多少个数是之间有多少个数是4 4的倍数？的倍数？2.2.在在1010到到10001000之间有多少个数是之间有多少个数是7 7的倍数？的倍数？3.3.在在100100到到10001000之间有多少个数是之间有多少个数是3 3的倍数？的倍数？【例题【例题2】在10和1000之间有多少个数是3的倍数？【思路导航】 求10和1000之间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻烦。

190、可以这样思考：103=31说明10以内有3个数是3的倍数；10003=3331说明1000以内有333个数是3的倍数。3333=330说明101000之间有330个数是3的倍数。【练习【练习2】 1.1.在在1 1到到10001000之间有多少个数是之间有多少个数是4 4的倍数？的倍数？2.2.在在1010到到10001000之间有多少个数是之间有多少个数是7 7的倍数？的倍数？3.3.在在100100到到10001000之间有多少个数是之间有多少个数是3 3的倍数？的倍数？【例题【例题3】从19九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？【思路导航】 将19的九个自然数

191、从小到大排成一列：1.2.3.4，5，6，7，8，9先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求，但用第二小的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=29。依次做下去，可得11=38，11=47，11=56。共有4种不同的写法。【练习【练习3】 1.1.从从1919九个数中选取，将九个数中选取，将1313写成两个不同的自然数之和，有多少种不写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？同的写法？2.2.将将1515分拆成不大于分拆成不大于9 9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法，请列出的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法，请列出来。来。3.3.将将1212分拆成分拆成3 3个不同的

192、自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？【例题【例题4】2000年2月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人单独去的，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？【思路导航】 2000年2月有29天，三批同学人数的乘积不能大于29，我们可以先用最小的几个数试乘（1除外）：234=24，2429；235=30，3029，不合题意。所以，这三批学生的人数是2.3.4人。同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习4】1.20011.2001年年5 5月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数月的一天，有三批学

193、生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生不相等，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？最多各有多少人？2.2.学校进行运动会比赛，三（学校进行运动会比赛，三（2 2）班参加其中三项体育比赛的人数各不相同，）班参加其中三项体育比赛的人数各不相同，而且这三项参赛人数之积在而且这三项参赛人数之积在3535到到4545之间。那么三（之间。那么三（2 2）班最少各有多少）班最少各有多少人参加这三项比赛？人参加这三项比赛？3.3.小明家有四种水果，每种水果的千克数不相等，这四种水果的千克数的小明家有四种水果，每种水果的千克数不

194、相等，这四种水果的千克数的乘积在乘积在200200到到250250之间，那么这些水果最少共有多少千克？之间，那么这些水果最少共有多少千克？【例题【例题5】一本连环画共100页，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，排这本书的页码共要用多少个铅字？【思路导航】 这道题可以分类计算：从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用19=9个；从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用290=180个；第100页，只有1页共用3个铅字。所以这本书的页码共用91803=192个铅字。【练习【练习5】1.1.一本书共一本书共200200页，排版时一个铅字只能排一位数字，那么排页，排版时一个

195、铅字只能排一位数字，那么排这本书的页码共用了多少个铅字？这本书的页码共用了多少个铅字？2.2.宇宙历险记宇宙历险记这本书共这本书共214214页，编排这本书时共用多少个数码？页，编排这本书时共用多少个数码？3.3.编排编排儿童漫画儿童漫画的页码时共用了的页码时共用了5151个数码，这本书共多少页？个数码，这本书共多少页？第19讲 重叠问题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 三（三（1 1）班准备给参加班级绘画比赛的）班准备给参加班级绘画比赛的1616位同学和参加朗读比赛的位同学和参加朗读比赛的1212位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将

196、位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将2828份纪念品发下去时，却多出份纪念品发下去时，却多出5 5份，这是怎么回事？对了，因为有份，这是怎么回事？对了，因为有5 5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了读比赛，所以奖品就多出了5 5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理包含与排除原理，即包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它

197、们的和中排除重复部分。复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。的是哪一部分，从而找出解答方法。 【例题【例题1】 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第红旗是第8 8面；从后数起，红旗是第面；从后数起，红旗是第1010面。这行彩旗共多少面面。这行彩旗共多少面？ 【思路导航】【思路导航

198、】 根据题意，画出下图：根据题意，画出下图： 从图上可以看出，从前数起红旗是第从图上可以看出，从前数起红旗是第8 8面，从后数起是第面，从后数起是第1010面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8 810101=171=17面。面。【练习【练习1】 1.1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第小朋友排队做操，小明从前数起排在第4 4个，从后数起排在第个，从后数起排在第7 7个。这队个。这队小朋友共有多少人？小朋友共有多少人？2.2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第1212个，从右

199、数起是第个，从右数起是第2121个。这一行座位有多少个？个。这一行座位有多少个？3.3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8 8个。个。这一排共有多少个同学？这一排共有多少个同学？ 【例题【例题2】 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第起是第4 4个，从右数起是第个，从右数起是第3 3个，从前数起是第个，从前数起是第5 5个，从后数起个，从后数起是第是第6 6个。做操的同学共有多少个？个。做操的同学共有多少个？ 【思路导航】【思路导航】 根据题意，

200、画出右图：根据题意，画出右图： 由图可看出：小明的位置从左数由图可看出：小明的位置从左数第第4 4个，右数第个，右数第3 3个，说明横行有个，说明横行有4 43 31=61=6个人；从前数第个人；从前数第5 5个，从后数第个，从后数第6 6个，说明竖行有个，说明竖行有5 56 61=101=10人，所以人，所以做操的同学共有：做操的同学共有：610=60610=60人。人。【练习【练习2】 1.1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第数，从左数还是从右数起都是第4 4个。跳舞的共

201、有多少人？个。跳舞的共有多少人？2.2.为庆祝为庆祝“六一六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第数第2 2个，从右数第个，从右数第4 4个；从前数第个；从前数第3 3个，从后数第个，从后数第5 5个。鲜花队共多少人个。鲜花队共多少人？3.3.三（三（4 4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第数是第6 6个，从后数是第个，从后数是第5 5个；从左数、从右数都是第个；从左数、从右数都是第3 3个。三（个。三（4 4）班共）班共有学生多少人？有学生

202、多少人？【例题【例题3】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长如果这块钉在一起的木板长120120厘米，中间重叠部分是厘米，中间重叠部分是1616厘米，厘米，这两块木板各长多少厘米？这两块木板各长多少厘米？ 【思路导航】【思路导航】 把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是重叠部分，重叠的部分是1616厘米，所以这两块木板的总长度厘米，所以这两块木板的总长度是是12012016=13616=136厘米，每块木板的长度是厘米，每块木

203、板的长度是1362=681362=68厘米。厘米。 同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习3】 1.1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长段更长的纸条长3030厘米，中间重叠部分是厘米，中间重叠部分是6 6厘米，原来两段纸条各长多厘米，原来两段纸条各长多少厘米？少厘米？2.2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长3535厘米的木板。中间重合部厘米的木板。中间重合部分长分长1111厘米，这两块木板各长多少厘米？厘米，这两块木板各长多少厘米？3.3.两根木棍放在一起（如

204、图），从头到尾共长两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长6666厘米，其中一根木棍长厘米，其中一根木棍长4848厘米，中间重叠部分长厘米，中间重叠部分长1212厘米。另一根木棍长多少厘米？厘米。另一根木棍长多少厘米？ 【例题【例题4】 一次数学测试，全班一次数学测试，全班3636人中，做对第一道聪明题的有人中，做对第一道聪明题的有2121人，做对第二道聪明题的有人，做对第二道聪明题的有1818人，每人至少做对一道。问两人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？道聪明题都做对的有几人？ 【思路导航】【思路导航】 根据题意，画出下图：根据题意，画出下图： 图中间重叠部分表示两道题都做对的人

205、数，把做第一道题图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得和做对第二道题的人数加起来得212118=3918=39人，这人，这3939人比全班人比全班总人数总人数3636多出了多出了393936=336=3人，这多出的人，这多出的3 3人既在做对第一题的人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。都做对的人数。【练习【练习4】1.1.三（三（1 1）班有学生）班有学生5555人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知

206、参加赛跑的有加赛跑的有3636人，参加跳绳的有人，参加跳绳的有3838人。两项比赛都参加的有几人？人。两项比赛都参加的有几人？ 2.2.两块木板各长两块木板各长7575厘米，像下图这样钉成一块长厘米，像下图这样钉成一块长130130厘米的木板，中间重厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？合部分是多少厘米？3.3.三（三（5 5）班有）班有4242名同学，会下象棋的有名同学，会下象棋的有2121名同学，会下围棋的有名同学，会下围棋的有1717名，两名，两种棋都不会的有种棋都不会的有1010名。两种棋都会下的有多少名？名。两种棋都会下的有多少名？ 【例题【例题5】 三（三（1 1）班订）班订数学报数

207、学报的有的有3232人，订人，订阅读报阅读报的有的有3030人，两份报纸都订的有人，两份报纸都订的有1010人，全班每人至少订一种报纸。三人，全班每人至少订一种报纸。三（1 1）班有学生多少人？）班有学生多少人？ 【思路导航】【思路导航】 根据题意，画出右图：根据题意，画出右图： 从上图可以看出，中间重叠部分表示两从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的份报纸都订的1010人，这人，这1010人既被包括在订人既被包括在订数学报数学报的的3232人内，又被包括在订人内，又被包括在订阅读阅读报报的的3030人内，重复算了一次，所以要算出人内，重复算了一次，所以要算出全班人数，必须从全班人数，

208、必须从323230=6230=62人中去掉被重人中去掉被重复算过的复算过的1010人。所以全班人数应是人。所以全班人数应是626210=5210=52人。人。 【练习【练习5】1.1.三（三（4 4）班做完语文作业的有）班做完语文作业的有3737人，做完数学作业的有人，做完数学作业的有4242人，人，两种作业都完成的有两种作业都完成的有3131人，每人至少完成一种作业。三（人，每人至少完成一种作业。三（4 4）班共有学）班共有学生多少人？生多少人？2.2.两块木板各长两块木板各长9090厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是1515厘厘米，这块

209、钉在一起的木板总长多少厘米？米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？ 3.3.三年级有三年级有107107个小朋友去春游，带矿泉水的有个小朋友去春游，带矿泉水的有7878人，带水果的有人，带水果的有7777人，人，每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？ 第20讲 简单枚举小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题

210、时，必须注意无重复、无要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。【例题【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？【思路导航】为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。为了帮助理解

211、题意，我们可以画出如上示意图。我们把小华的不同走法一一列举如下：我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走路有路有4 4种不同走法，走种不同走法，走路有路有4 4种不同走法，走种不同走法，走路也有路也有4 4种不同走法，共有种不同走法，共有43=1243=12种不同走法。种不同走法。【练习【练习1】1.从甲地到乙地，有从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？2.新华书店有新华书店有3种不同的英语书，种不同

212、的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？3.明明有明明有2件不同的上衣，件不同的上衣，3条不同的裤子，条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？【例题【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？【思路导航】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种

213、不同的信号，行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3 3个个2 2种不同排列方法，即种不同排列方法，即23=623=6种。种。【练习【练习2】1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？2.用数字用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？可以

214、组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？3.用用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？四个数字，可以组成多少个不同的四位数？【例题【例题3】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？【思路导航】由于长方形的周长是由于长方形的周长是2222米，可知它的长与宽之和为米，可知它的长与宽之和为1111米。下面列举出符合米。下面列举出符合这个条件的各种长方形：这个条件的各种长方形：【练习【练习3】1.一个长方形的周长是一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么

215、这个长方形的面积有多少种可能值？2.把把15个玻璃球分成数量不同的个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？堆，共有多少种不同的分法？3.3个自然数的乘积是个自然数的乘积是18，问由这样的，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（如（1.2.9）和（）和（2.9，1）是同一数组。）是同一数组。【例题【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？【思路导航】把把4 4个小朋友分别编号：个小朋友分别

216、编号：A A、B B、C C、D D，A A与其他小朋友打电话，与其他小朋友打电话，应该打应该打3 3次，同样次，同样B B小朋友也应打小朋友也应打3 3次电话，同样次电话，同样C C、D D应该各打应该各打3 3次电话。次电话。4 4个小朋友，共打了个小朋友，共打了34=1234=12次。但题目要求两个小次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么朋友之间只要通一次电话，那么A A打电话给打电话给B B时，时，A A、B B两人已两人已经通过话了，所以经通过话了，所以B B没有必要再打电话给没有必要再打电话给A A，照这样计算，照这样计算，1212次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打

217、电话的次数是次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是342=6342=6次次。【练习【练习4】1.6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？2.有有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？3.小芳出席由小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？【例题【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么

218、这样的车票共有多少种？【思路导航】我们可以利用列举的方法：我们可以利用列举的方法：如果起点站是如果起点站是1.1.那么终点站只能是那么终点站只能是7 7、8 8、9 9或或1010；如果起站站是；如果起站站是2.2.那么终那么终点站只能是点站只能是8 8、9 9或或1010；如果起点站是；如果起点站是3.3.那么终点站只能是那么终点站只能是9 9或或1010；如果起；如果起点站是点站是4 4，终点站只能是，终点站只能是1010；如果起点站是；如果起点站是5 5、6 6时，就找不到与它至少相时，就找不到与它至少相隔隔5 5站的终点站了；如果起点站是站的终点站了；如果起点站是7 7，终点站只能是，

219、终点站只能是1 1；如果起点站是；如果起点站是8 8，那，那么终点站是么终点站是2 2或或1 1；如果起点站是；如果起点站是9 9，那么终点站是，那么终点站是3 3、2 2或或1 1；如果起点站是；如果起点站是1010，那么终点站是，那么终点站是4 4、3 3、2 2或或1 1。所以，起点到终点至少相隔。所以，起点到终点至少相隔5 5个车站的车个车站的车票有：票有：4 43 32 21 10 00 01 12 23 34=204=20种。种。【练习【练习5】1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不

220、同的涂法？2.用数字用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？3.用用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？四个数字，可以组成多少个不同的四位数？同步教材教学视频同步教材教学视频第21讲 错中求解小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏掉数字。计算时要仔细小心，不能丝毫马虎，否则就会造成错误。掉数字。计算时要仔细小心，不能丝毫马虎，否则就会造成错误

221、。解答这类题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，解答这类题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。数或被除数、除数。【例题【例题1】 小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2，另一个加数个位上的4错看成1，结果计算的和为241。正确的和是多少？【思路导航】把一个加数十位上的把一个加数十位上的5 5看成看成2 2，少了，少了3 3个个1010，这样和就减少了，这样和就减少了3030；把另一个；把另一个加数个

222、位上的加数个位上的4 4看作看作1 1，少了，少了3 3个个1 1，这样和就少了，这样和就少了3 3。小马虎算出的和比原。小马虎算出的和比原来的和少了来的和少了30303=333=33，所以正确的和是，所以正确的和是24124133=27433=274。【练习【练习1】1，小明在做一道加法时，把一个加数个位上的，小明在做一道加法时，把一个加数个位上的2看作了看作了4，另一个加数个位上的，另一个加数个位上的7看作看作9，结果计算的和为，结果计算的和为215。正确的和为多。正确的和为多少？少？2，小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的，小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的3看作了看作了5

223、，十位上的，十位上的4看作看作7，得到结果为，得到结果为376。正确的和是多少？。正确的和是多少？3，小粗心在计算一道加法题时，把一个加数个位上的，小粗心在计算一道加法题时，把一个加数个位上的7看作看作1，十位上的，十位上的3看作看作8，结果为，结果为342。正确的和是多少？。正确的和是多少？【例题【例题2】 小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5，结果得到的差是342，正确的差是多少？【思路导航】十位上的十位上的2 2表示表示2 2个十，十位上的个十，十位上的5 5表示表示5 5个十，把十位上的个十，把十位上的2 2看作看作5 5，就是把，就是把2020看作看作5050，减数从，减数

224、从2020变为变为5050，增加了，增加了3030，所得的差减少了，所得的差减少了3030，应在，应在342342中中增加增加3030，才是正确的差。，才是正确的差。34034030=37230=372【练习【练习2】1，小马虎在做减法题时，把被减数十位上的，小马虎在做减法题时，把被减数十位上的3错写成错写成8，结果得到的差是，结果得到的差是284。正确的差是多少？。正确的差是多少？2，在减法算式中，错把减数个位上的，在减法算式中，错把减数个位上的3写成了写成了5，结果得到的差是，结果得到的差是254。正确的差是多少？。正确的差是多少？3，小丽在做一道减法时，错把被减数十位上的，小丽在做一道减

225、法时，错把被减数十位上的2看作看作7，减数个位上的，减数个位上的5看作看作8，结果得到的差是，结果得到的差是592。正确的差是多少？。正确的差是多少？【例题【例题3】 小马虎在计算一道题目时，把某数乘3加20，误看成某数除以3减20，得数是72。某数是多少？正确的得数是多少？【思路导航】小马虎计算得到小马虎计算得到7272，是先除再减得到的，我们可以根据逆运算的顺序把，是先除再减得到的，我们可以根据逆运算的顺序把7272先加后乘，求出某数为（先加后乘，求出某数为（72722020）3=2763=276，然后再按题目要求，按运算，然后再按题目要求，按运算顺序求出正确的数顺序求出正确的数27632

226、76320=84820=848。【练习【练习3】1，小丽在计算一道题时，把某数乘，小丽在计算一道题时，把某数乘4加加20，误看成除以，误看成除以4减减20，得数为，得数为35。某数是多少？正确的结果是多少？。某数是多少？正确的结果是多少？2，小粗心在计算时，把一个数除以，小粗心在计算时，把一个数除以2减减4，误看成乘，误看成乘2加上加上4，得数是，得数是36。正确结果是多少？。正确结果是多少？3，小华在计算一道题时，把一个数加上，小华在计算一道题时，把一个数加上4乘乘2看作了乘看作了乘2加上加上4，得数为，得数为40。正确的得数是多少？。正确的得数是多少？【例题【例题4】 小马虎在做两位数乘两

227、位数的题时，把乘数的个位上的5看作2，乘得的结果是550，实际应为625。这两个两位数各是多少？【思路导航】我们可以用竖式来帮助分析：乘数个位上的乘数个位上的5 5看作看作2 2，结果比原来少了，结果比原来少了5 52=32=3个被乘数，实际的结果与错个被乘数，实际的结果与错误的结果相差误的结果相差625625550=75550=75；7575正好是被乘数的正好是被乘数的3 3倍，被乘数是倍，被乘数是753=25753=25，乘数是乘数是62525=2562525=25。【练习【练习4】1，一位学生在做两位数乘法时，把乘数个位上的，一位学生在做两位数乘法时，把乘数个位上的8错写成错写成4，乘得

228、的结果是，乘得的结果是1080，实际应为，实际应为1260。这两个两位数分别为多少。这两个两位数分别为多少？2，小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的，小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的3错写成错写成5，乘得的结果是，乘得的结果是875，正确的结果是，正确的结果是805。这两个两位数分别是多少？。这两个两位数分别是多少？3，小芳在计算一道题时，把，小芳在计算一道题时，把5（ 7）错写成）错写成5 7，她得到的结果与正确答案相差多少？，她得到的结果与正确答案相差多少？【例题【例题5】 小林在计算有余数除法时，把被除数137当作173，结果商比正确结果大了4，但余数恰好相同。正确的除法算式

229、应是什么？【思路导航】把被除数把被除数137137当作当作173173，被除数就多了，被除数就多了173173137=36137=36，因此商比正确结果大，因此商比正确结果大4 4，但余数相同，说明除数的，但余数相同，说明除数的4 4倍就是倍就是3636。所以除数为。所以除数为364=9364=9，正确的除法，正确的除法算式为算式为1379=1521379=152。【练习【练习5】1，小红在计算有余数除法时，把被除数，小红在计算有余数除法时，把被除数113错写成错写成131，这样商比原来多，这样商比原来多2，但余数恰好相同。正确的除数和余数是多少？，但余数恰好相同。正确的除数和余数是多少？2，

230、王刚在计算有余数除法时，把被除数，王刚在计算有余数除法时，把被除数171错写成错写成117，结果商比原来少，结果商比原来少9，但余数恰好相同。正确的除法算式是怎样的？，但余数恰好相同。正确的除法算式是怎样的？3，小明在计算除法时，把被除数末尾的，小明在计算除法时，把被除数末尾的0漏写而成漏写而成18，结果得到的商比正确的商少，结果得到的商比正确的商少54。正确的除法算式是什么？。正确的除法算式是什么？第22讲 用对应法解题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 小朋友在解答应用题时，经常会碰到这样一类题，给定的数量和所对小朋友在解答应用题时，

231、经常会碰到这样一类题，给定的数量和所对应的数量关系是在变化的。为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条应的数量关系是在变化的。为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条件按照它们之间的对应关系排列出来，进行观察和分析，从而找到答案。件按照它们之间的对应关系排列出来，进行观察和分析，从而找到答案。这种解题的思维方法叫对应法。这种解题的思维方法叫对应法。在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化，以便寻找解题的突式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化，以便寻找解

232、题的突破口。破口。【例题【例题1】 奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。问1千克梨和1千克荔枝各多少元？【思路导航】我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：4 4千克梨千克梨5 5千克荔枝千克荔枝=58=58元元 （1 1）6 6千克梨千克梨5 5千克荔枝千克荔枝=62=62元元 （2 2）比较（比较（1 1）和（）和（2 2）式，发现两式中荔枝的千克数相等，（）式，发现两式中荔枝的千克数相等，（2 2）式比（）式比（1 1）式）式多了多了6 64=24=2千克梨，也就是多了千克梨，也就是

233、多了626258=458=4元，说明元，说明1 1千克梨的价钱为千克梨的价钱为42=242=2元，那么元，那么1 1千克荔枝的价钱就是（千克荔枝的价钱就是（58582424）5=105=10元。元。【练习【练习1】1，3筐苹果和筐苹果和5筐橘子共重筐橘子共重270千克，千克，3筐苹果和筐苹果和7筐橘子共重筐橘子共重342千克。一筐苹果和一筐橘子各重多少千克？千克。一筐苹果和一筐橘子各重多少千克？2，张老师为图书室买书，如果他买，张老师为图书室买书，如果他买6本童话书和本童话书和7本故事书需要本故事书需要144元；如果买元；如果买9本童话书和本童话书和7本故事书，需要本故事书，需要174元。现在

234、张老师买元。现在张老师买7本童话书和本童话书和6本故本故事书，共需多少元？事书，共需多少元？3，粮店运来一批粮食，粮店运来一批粮食，4袋大米和袋大米和5袋面粉共重袋面粉共重600千克，千克，2袋大米和袋大米和3袋面粉共重袋面粉共重340千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？【例题【例题2】 学校买足球和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，如果买6个足球和2个排球需要230元。一个足球和一个排球各多少元？【思路导航】我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：3 3个足球个足球4 4个排球个排球=190=190元元

235、（1 1）6 6个足球个足球2 2个排球个排球=230=230元元 （2 2）我们把（我们把（1 1）、（）、（2 2）两式进行比较，发现两组条件相加还是相减，都不可）两式进行比较，发现两组条件相加还是相减，都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。再观察能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。再观察我们可以发现：如果把（我们可以发现：如果把（1 1）式同时扩大）式同时扩大2 2倍，得到倍，得到6 6个足球和个足球和8 8个排球共个排球共380380元，然后再与（元，然后再与（2 2）式进行比较，发现足球个数相同，而排球多了）式进行比较，发现足球个数相同

236、，而排球多了6 6个，个，也就多了也就多了380380230=150230=150元，也就是元，也就是6 6个排球是个排球是150150元，一个排球为元，一个排球为1506=251506=25元，那么一个足球是（元，那么一个足球是（190190254254）3=303=30元。元。【练习【练习2】1，5筐番茄和筐番茄和2筐黄瓜共重筐黄瓜共重330千克，千克，3筐番茄和筐番茄和4筐黄瓜共重筐黄瓜共重310千克。一筐番茄和一筐黄瓜各重多少千克？千克。一筐番茄和一筐黄瓜各重多少千克？2，4本练习本和本练习本和5枝圆株笔共枝圆株笔共14元，元，2本练习本和本练习本和4枝圆珠笔共枝圆珠笔共10元。一本练

237、习本和一枝圆珠笔各多少元？元。一本练习本和一枝圆珠笔各多少元？3，2件上衣和件上衣和3条裤子共条裤子共480元，元，4件上衣和件上衣和2条裤子共条裤子共640地。一件上衣和一条裤子各多少元？地。一件上衣和一条裤子各多少元？【例题【例题3】 商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，蓝气球和黄气球共28只，黄气球和红气球共29只。红气球、蓝气球和黄气球各有多少只？【思路导航】根据题意，我们可以列出下列关系式：根据题意，我们可以列出下列关系式：红气球的个数蓝气球的个数红气球的个数蓝气球的个数=21 =21 （1 1）蓝气球的个数黄气球的个数蓝气球的个数黄气球的个数=28 =28 （2 2）黄气

238、球的个数红气球的个数黄气球的个数红气球的个数=29 =29 （3 3）我们可将（我们可将（1 1）（）（2 2）（）（3 3），即），即2121282829=7829=78只，这里包含有只，这里包含有2 2倍红倍红气球的个数、气球的个数、2 2倍蓝气球的个数和倍蓝气球的个数和2 2倍黄气球的个数，由此，可得出三种气倍黄气球的个数，由此，可得出三种气球的总只数：球的总只数：782=39782=39只。然后再根据红气球和蓝气球共只。然后再根据红气球和蓝气球共2121只，可求出黄只，可求出黄气球的只数：气球的只数：393921=1821=18只；同理可求出红气球的个数是只；同理可求出红气球的个数是3

239、928=113928=11只，蓝只，蓝气球的个数是气球的个数是393929=1929=19只。只。【练习【练习3】1，小明和小红共，小明和小红共12岁，小红和小丽共岁，小红和小丽共17岁，小丽和小明共岁，小丽和小明共13岁。三人各多少岁？岁。三人各多少岁？2，新华书店有批书，故事书和连环画共，新华书店有批书，故事书和连环画共70本，连环画和科技书共本，连环画和科技书共82本，科技书和故事书共本，科技书和故事书共76本。三种书各多少本？本。三种书各多少本？3，公园开菊花展，白菊花和黄菊花共，公园开菊花展，白菊花和黄菊花共152盆，黄菊花和红菊花共盆，黄菊花和红菊花共128盆，红菊花和白菊花共盆，

240、红菊花和白菊花共168盆。三种菊花各几盆？盆。三种菊花各几盆？【例题【例题4】 三年级三个班种了一片小树林，其中72棵不是一班种的，75棵不是二班种的，73棵不是三班种的。三个班各种了多少棵？【思路导航】“72“72棵不是一班种的棵不是一班种的”，说明二班和三班共种树，说明二班和三班共种树7272棵；棵；“75“75棵不是二班种棵不是二班种的的”，说明一班和三班共种，说明一班和三班共种7575棵，棵，“73“73棵不是三班种的棵不是三班种的”，说明一班和二，说明一班和二班共种班共种7373棵。这样，我们就可以求出三个班共种多少棵树：（棵。这样，我们就可以求出三个班共种多少棵树：（7272757

241、57373）2=1102=110棵。用棵。用11011072=3872=38棵就是一班种的棵数，棵就是一班种的棵数，11011075=3575=35棵就是棵就是二班种的棵数，二班种的棵数，11011073=3773=37棵就是三班种的棵数。棵就是三班种的棵数。【练习【练习4】1，百货商店运来三种鞋子，其中，百货商店运来三种鞋子，其中37双不是皮鞋，双不是皮鞋，54双不是运动鞋，双不是运动鞋，51双不是布鞋。三种鞋各运来多少双？双不是布鞋。三种鞋各运来多少双？2，一个班同学在做作业，班主任问后得知：全班同学都只做完了语文、数学英语作业其中的一种。有，一个班同学在做作业，班主任问后得知：全班同学都

242、只做完了语文、数学英语作业其中的一种。有23人没有做完数学作业，有人没有做完数学作业，有19人没有做完语文人没有做完语文作业，有作业，有16人没有做完英语作业。做完三种作业的各多少人？人没有做完英语作业。做完三种作业的各多少人？3，学校买四种颜色的气球，其中有，学校买四种颜色的气球，其中有93个不是红气球，有个不是红气球，有95个不是黄气球，有个不是黄气球，有98个不是蓝气球，紫气球有个不是蓝气球，紫气球有10个。学校共买了多少个气球？个。学校共买了多少个气球？【例题【例题5】 已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等

243、于1个桃子的重量？【思路导航】根据题意列出等式：根据题意列出等式：1313李李=2=2苹苹1 1桃桃 （1 1）4 4李李1 1苹苹=1=1桃桃 （2 2）把（把（2 2）式代入（）式代入（1 1）式得：）式得：1313李李=2=2苹苹4 4李李1 1苹苹即即9 9李李=3=3苹，即苹，即3 3李李=1=1苹苹 （3 3）把（把（3 3）式代入（）式代入（2 2）式得：）式得：4 4李李3 3李李=1=1桃桃 即：即：7 7李李=1=1桃桃【练习【练习5】1，3个菠萝的重量等于个菠萝的重量等于1个梨和个梨和1个西瓜的重量，而个西瓜的重量，而1个菠萝和个菠萝和3个梨的重量等于个梨的重量等于1个西

244、瓜的重量。问多少个梨的重量等于个西瓜的重量。问多少个梨的重量等于1个西个西瓜的重量？瓜的重量？2，2个苹果的重量等于个苹果的重量等于3个橘子和个橘子和3个荔枝的重量，个荔枝的重量，1个苹果和个苹果和2个荔枝的重量等于个荔枝的重量等于3个橘子的重量。问个橘子的重量。问3个橘子的重量等于多少个荔枝的重量？个橘子的重量等于多少个荔枝的重量？3，三个好朋友去文具店买东西，一人买了，三个好朋友去文具店买东西，一人买了4枝圆珠笔，一个买了枝圆珠笔，一个买了2枝钢笔，还有一个买了枝钢笔，还有一个买了1枝钢笔枝钢笔1枝圆珠笔和枝圆珠笔和4枝铅笔，三个人用掉的钱相等。那么枝铅笔，三个人用掉的钱相等。那么1枝钢笔

245、的价钱相当于几枝铅笔的价钱？枝钢笔的价钱相当于几枝铅笔的价钱？第23讲 盈亏问题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量，求物品（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。数量和人数的应用题叫盈亏问题。盈亏问题的基本解法是：盈亏问题的基本解法是：份数份数= =（盈亏）（盈亏）两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈

246、亏两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈亏数求出。数求出。解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。【例题【例题1】 小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分5个，就多出10个；如果每人分6个，就少2个。小明全家有多少人？这篮梨有多少个？【思路导航】根据题目中的条件，我们可知：根据题目中的条件，我们可知：第一种分法：每人分第一种分法：每人分5 5个，多个，多1010个；个；第二种分法：每人分第二种分法：每人分6 6个，少

247、个，少2 2个。个。这说明全家人数为：这说明全家人数为：10102=122=12人，也就是说：人，也就是说：不足的个数多余的个数不足的个数多余的个数= =全家的人数全家的人数这篮梨的个数是：这篮梨的个数是：51251210=7010=70个；个；【练习【练习1】1，幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分，幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分10粒糖，则多了粒糖，则多了8粒糖；如果每人分粒糖；如果每人分11粒糖，则少了粒糖，则少了16粒糖。一共有多少粒糖。一共有多少个小朋友？这袋糖有多少粒？个小朋友？这袋糖有多少粒？2，有一根绳子绕树，有一根绳子绕树4圈，余圈，余2米；如果绕树米；如果

248、绕树5圈，则差圈，则差6米。树周长是多少米？绳子长多少米？米。树周长是多少米？绳子长多少米？3，一些同学去划船，如果每条船坐，一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出人，则多出3个位置；如果每条船坐个位置；如果每条船坐4人，则有人，则有3个人没有位置。一共有多少条船？一共有多少个同学？个人没有位置。一共有多少条船？一共有多少个同学？【例题【例题2】 幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具。幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？【思路导航】根据题目中的条件，我们可知：根据题目中的条件，我们可知：第一种分法：每班分第一种分法：每班分8 8个，多个，

249、多2 2个；个；第二种分法：每班分第二种分法：每班分1010个，少个，少1212个。个。从上面的条件中，我们可看出：第二种分法比第一种分法每班多分从上面的条件中，我们可看出：第二种分法比第一种分法每班多分10108=28=2个，所以，所需的玩具总个数从多个，所以，所需的玩具总个数从多2 2个变成了少个变成了少1212个，也就是说在多个，也就是说在多2 2个的基础上再加个的基础上再加1212个，才能保证每班分个，才能保证每班分1010个；第二种分法所需的玩具个数个；第二种分法所需的玩具个数比第一种多比第一种多12122=142=14个，那是因为每班多分了个，那是因为每班多分了2 2个。根据这一对

250、应关系，个。根据这一对应关系，即可求出班级的个数为：即可求出班级的个数为：142=7142=7个，玩具的总个数为个，玩具的总个数为87872=582=58个。个。【练习【练习2】1，小明带了一些钱去买苹果，如果买，小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出千克，则多出2元；如果买元；如果买6千克，则少了千克，则少了4元。苹果每千克多少元？小明带了多少钱元。苹果每千克多少元？小明带了多少钱？2，一个小组去山坡植树，如果每人栽，一个小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩棵，还剩12棵；如果每人栽棵；如果每人栽8棵，则缺棵，则缺4棵。这个小组有几人？一共有多少棵树苗？棵。这个小组有几人？一共有多少棵

251、树苗？3，一组学生去搬书，如果每人搬，一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩下本，还剩下12本；如果每人搬本；如果每人搬3本，还剩下本，还剩下6本。这组学生有几人？这批书有几本？本。这组学生有几人？这批书有几本？【例题【例题3】 老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14本；如果每人分7本，则多了2本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？【思路导航】根据题目中的条件，我们可知：根据题目中的条件，我们可知：第一种分法：每人第一种分法：每人5 5本，多了本，多了1414本；本；第二种分法：每人第二种分法：每人7 7本，多了本，多了2 2本。本。从上面可知第二种分法比第一种分法每

252、人多分了从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了7 75=25=2本，这样就从原来本，这样就从原来的多的多1414本变为多本变为多2 2本，两种分配方法的结果相差了本，两种分配方法的结果相差了14142=122=12本，每人多分本，每人多分了了2 2本，多少人会多分了本，多少人会多分了1212本呢？根据这一对应关系，可求出优秀少先队本呢？根据这一对应关系，可求出优秀少先队员的人数为员的人数为122=6122=6人，练习本的本数为：人，练习本的本数为：565614=4414=44本。本。【练习【练习3】1，把一袋糖分给小朋友们，如果每人分，把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多了粒，则多了

253、12粒；如果每人分粒；如果每人分6粒，则多了粒，则多了2粒。有小朋友几人？有多少粒糖？粒。有小朋友几人？有多少粒糖？2，妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分，妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多了个，则多了12个；如果每人分个；如果每人分7个，则多了个，则多了6个。全家有几人？妈妈共买回多少个苹果？个。全家有几人？妈妈共买回多少个苹果？3，某学校有一些学生住校，每间宿舍住，某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，则空出床位人，则空出床位24张；如果每间宿舍住张；如果每间宿舍住10人，则空出床位人，则空出床位2张。学校共有几间宿舍？住宿学生有几人？张。学校共有几间宿舍？住宿学生有几人

254、？【例题【例题4】 学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则差4棵；如果每人搬8棵，则差18棵。学生有几人？这批树苗有多少棵？【思路导航】根据题意，我们可知搬树苗的两种方案：根据题意，我们可知搬树苗的两种方案：第一种方案：每人搬第一种方案：每人搬6 6棵，差棵，差4 4棵；棵；第二种方案：每人搬第二种方案：每人搬8 8棵，差棵，差1818棵。棵。比较两种方案，每人多搬了比较两种方案，每人多搬了8 86=26=2棵树苗，所需的树苗就从差棵树苗，所需的树苗就从差4 4棵变为差棵变为差1818棵，结果相差了棵，结果相差了18184=144=14棵，每人多搬了棵，每人多搬了2 2棵，多少人会多搬

255、了棵，多少人会多搬了1414棵呢棵呢？根据这一对应关系，可以求出学生人数为：？根据这一对应关系，可以求出学生人数为：142=7142=7人，树苗的棵数为：人，树苗的棵数为：67674=384=38棵。棵。【练习【练习4】1，自然课上，老师发给学生一些树叶。如果每人分，自然课上，老师发给学生一些树叶。如果每人分5片叶子，则差片叶子，则差3片叶子；如果每人分片叶子；如果每人分7片叶子，则差片叶子，则差25片树叶。学生有几片树叶。学生有几人？一共有树叶多少片？人？一共有树叶多少片？2，数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做，数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做6道，则少道，则少4道；如果每人做道；

256、如果每人做8道，则少道，则少16道。有几个学生？多少道数学题？道。有几个学生？多少道数学题？3，学校排练节目，如果每行排，学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少人，则有一行少2人；如果每行排人；如果每行排9人，则有一行少人，则有一行少7人。一共要排几行？一共有多少人？人。一共要排几行？一共有多少人？【例题【例题5】 三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少一条船；如果每条船坐6人，则多出4条船。公园里有多少条船？三（1）班有多少学生？【思路导航】为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。将条件将条件“如果每条船坐如果每条船坐4 4人，

257、则少一条船人，则少一条船”转化为：转化为：“如果每条船坐如果每条船坐4 4人，人，则多出则多出4 4人人”；再将条件；再将条件“如果每条船坐如果每条船坐6 6人，则多出人，则多出4 4条船条船”转化为：转化为：“如果每条船坐如果每条船坐6 6人，则差人，则差64=2464=24人人”。这样两种分配方法就相差了这样两种分配方法就相差了24244=284=28人，这是因为每条船多坐了人，这是因为每条船多坐了6 64=24=2人。人。根据这一关系，可求出船的条数：根据这一关系，可求出船的条数：282=14282=14条，学生人数：条，学生人数：44（14141 1）=60=60人。人。【练习【练习5

258、】1，学校给新生分配宿舍，如果每间住，学校给新生分配宿舍，如果每间住8人，则少人，则少2间房；如果每间住间房；如果每间住10人，则多出人，则多出2间房。共有几间房？新生有多少人？间房。共有几间房？新生有多少人？2，同学们去划船，如果每条船坐，同学们去划船，如果每条船坐5人，则少人，则少2条船；如果每船坐条船；如果每船坐7人，则多出人，则多出2条船。共有几条船？有多少个同学？条船。共有几条船？有多少个同学？3，小明从家到学校，如果每分钟走，小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到米，则要迟到2分钟；如果每分钟走分钟；如果每分钟走50米，则早到米，则早到4分钟。小明家到学校有多远？分钟。小明家

259、到学校有多远？第24讲 简单推理（一）小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 数学课上，老师布置了一道题：数学课上，老师布置了一道题：=28 =28 =（ ） = =（ ）要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。理。解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等

260、式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。答。【例题【例题1】 下图中，和各代表几？=28 =（ ） =（ ）【思路导航】根据根据=28=28，我们可以得出，我们可以得出=28=28；由；由=得到得到28=28=，4 4个个等于等于2828，一个，一个等于等于284=7284=7；由；由=可求可求出出=7=77 77=217=21。【练习【练习1】1，=18 = =（ ） =（ ）2， =25 = =（ ） =（ ）3，=36 = =（ ） =（ ）【例题【例题2】 下图中和各代表几？ =

261、36 =4 =（ ） =（ ）【思路导航】根据根据=4=4可知可知为一份，为一份，是这样的是这样的4 4份，即份，即=4=4；又根据；又根据=36=36，可以得到，可以得到4=364=36，即，即=9=9，进一步得到，进一步得到=3=3，=4=43=12=4=43=12。【练习【练习2】1，和和各表示几？各表示几？ =16 =4 =（ ） =（ ）2，想想，填填。，想想，填填。 =20 = =（ ） =（ ）3，和和各代表几？各代表几？ = =16 =（ ） =（ ）【例题【例题3】 下图中，和各代表几？ =16 =14 =（ ） =（ ）【思路导航】1616里面有里面有2 2个个，1 1个个

262、；1414里面有里面有1 1个个，2 2个个，1616减去减去1414等于等于2 2，即，即=2=2，那么如果把，那么如果把换成了换成了，则，则1616需要加上需要加上2 2，即，即=16=162 2，那么，那么=（16162 2）3=63=6，=16=1662=462=4。【练习【练习3】1，=38 =22 =（ ） =（ ）2， =52 =48 =（ ） =（ ）3， =10 =12 =12 =（ ） =（ ） =（ ）【例题【例题4】 下图中，和各代表几？ =34 =48 =（ ） =（ ）【思路导航】3434里面有里面有2 2个个、3 3个个，4848里面有里面有3 3个个、4 4个个

263、，用，用4848减去减去3434得到得到=14=14，3434中有中有2 2个（个（）及）及1 1个个。所以，。所以，=34=34142=6142=6，=（34346363）2=82=8。【练习【练习4】1， =24 =36 =（ ） =（ ）2， =54 =76 =（ ） =（ ）3， =96 =123 =（ ） =（ ）【例题【例题5】 下图中、和各代表几？ = = =80 =（ ） =（ ） =（ ）【思路导航】因为因为2 2个个等于等于3 3个个，3 3个个又等于又等于4 4个个，所以，所以2 2个个等于等于4 4个个，那么，那么1 1个个等于等于2 2个个。在。在=80=80中，中，

264、2 2个个可以用可以用1 1个个替代，就变替代，就变为为=80=80，而，而2 2个个又可以用又可以用3 3个个替代，也就是替代，也就是=80=80，所以，所以=20=20，=2032=30=2032=30，=2034=15=2034=15。【练习【练习5】1， = = =100 =（ ） =（ ） =（ ）2，= = =40 =（ ） =（ ） =（ ）3，= = =320 =（ ） =（ ） =（ ）第25讲 和倍问题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像已知两个数的和与两个数

265、间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的这样的应用题，通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。答。解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出求出1 1倍数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示：倍数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示：两数和两数和（倍数（倍数1 1）= =小数（小数（1 1倍数）倍数）小数

266、小数倍数倍数= =大数（几倍数）大数（几倍数）两数和小数两数和小数= =大数大数【例题【例题1】 学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？【思路导航】将二年级所得图书的本数看作将二年级所得图书的本数看作1 1倍数，则三年级所得本数是这样的倍数，则三年级所得本数是这样的2 2倍。如倍。如图所示：图所示：由图可知，二、三年级所得图书本数的和由图可知，二、三年级所得图书本数的和360360本相当于二年级的（本相当于二年级的（1 12 2）倍，则二年级所得图书本数的倍，则二年级所得图书本数的360360（1 12 2）=120=12

267、0本，三年级为本，三年级为1202=2401202=240本。本。【练习【练习1】1，小红和小明共有压岁钱，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的元，小红的钱数是小明的3倍。小红和小明各有压岁钱多少元？倍。小红和小明各有压岁钱多少元？2，学校将，学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多倍还多60本。二、三年级各得图书多少本？本。二、三年级各得图书多少本？3，甲桶有油，甲桶有油25千克，乙桶有油千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的

268、5倍？倍？【例题【例题2】 小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给小宁多少枝后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？【思路导航】我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作1 1倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的的枝数和相当于变化后小青枝数的9 9倍，所以变化后小青的枝数为（倍，所以变化后小青的枝数为（30301515）（1 18 8）=5=5枝，再用枝，再用15155=105=10枝，则表示小青给小宁的枝数。枝，则表示小青给小宁的枝数。【练习【练习2】1，红红有邮票，红红有邮票80张，佳佳有邮票张，佳佳有邮

269、票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？2，甲水池有水，甲水池有水69吨，乙水池有水吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？倍？3，甲书架有图书，甲书架有图书18本，乙书架有图书本，乙书架有图书8本，班图书管理员又买来图书本，班图书管理员又买来图书16本，怎样分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的本，怎样分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍？倍？

270、【例题【例题3】 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？【思路导航】由商是由商是7 7可知，被除数是除数的可知，被除数是除数的7 7倍，把除数看作倍，把除数看作1 1份数，被除数就有这样份数，被除数就有这样的的7 7份，一共份，一共7 71=81=8份。份。除数：除数：3208=403208=40被除数：被除数：407=280407=280【练习【练习3】1，被除数和除数和为，被除数和除数和为120，商是，商是7，被除数和除数各是多少？，被除数和除数各是多少？2，被除数、除数、商的和为，被除数、除数、商的和为79，商是，商是4，被除数、除数各是多少？，被除数、除数各是多少？3

271、，两个整数相除商是，两个整数相除商是21，余数为，余数为1，已知被除数、除数、商、余数的和一共是，已知被除数、除数、商、余数的和一共是441。被除数、除数各是多少？。被除数、除数各是多少？【例题【例题4】 两数相除商为17余6，被除数、除数、商和余数的和是479。被除数和除数分别为多少？【思路导航】被除数、除数、商和余数的和是被除数、除数、商和余数的和是479479，减去商，减去商1717和余数和余数6 6，得到被除数与除，得到被除数与除数的和为数的和为47947917176=4566=456；又因为被除数比除数的；又因为被除数比除数的1717倍多倍多6 6，所以，所以4564566=4506

272、=450就相当于除数的（就相当于除数的（17171 1）倍，因此除数为）倍，因此除数为450450（17171 1）=25=25，被，被除数为除数为251725176=4316=431。【练习【练习4】1，两个整数相除商，两个整数相除商14余余2，被除数、除数、商和余数的和是，被除数、除数、商和余数的和是243，被除数比除数大多少？，被除数比除数大多少？2，在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于，在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的，而减数是差的5倍。差是多少？倍。差是多少？3，学校买来，学校买来83本书，其中科技书是故事书的本书，其中科技书是故事书的2倍，故事书

273、比文艺书多倍，故事书比文艺书多5本，这三种书各多少本？本，这三种书各多少本？【例题【例题5】 两个数之和是792，其中一个数的最后一位数数字是0，如果把0去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？【思路导航】把一个数的最后一位数字把一个数的最后一位数字0 0去掉，就与另一个数相同，说明这两个数中大去掉，就与另一个数相同，说明这两个数中大数是小数的数是小数的1010倍。又已知两个数之和是倍。又已知两个数之和是792792，那我们就可以求出这两个数，那我们就可以求出这两个数分别是多少了。分别是多少了。小数：小数：792792（10101 1）=72=72大数：大数：7210=7207210=72

274、0【练习【练习5】1，两个数之和是，两个数之和是253，其中一个数的最后一位数字是，其中一个数的最后一位数字是0，如果把，如果把0去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？2，师徒两人加工一批零件共，师徒两人加工一批零件共693个，师傅加工零件个数的末位数字是个，师傅加工零件个数的末位数字是0，如果去掉这个，如果去掉这个0，加工的个数就与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个，加工的个数就与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个？3，甲、乙两数的和是，甲、乙两数的和是209，甲数缩小，甲数缩小10倍就和乙数同样大，甲、乙两数分别是多少？倍就和乙数同

275、样大，甲、乙两数分别是多少？同步教材教学视频同步教材教学视频第26讲 差倍问题（一）小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 前面我们已经初步掌握了前面我们已经初步掌握了“和倍问题和倍问题”的特征和解题方法。如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我的特征和解题方法。如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们则把它称为们则把它称为“差倍问题差倍问题”。小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢？。小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢？解答

276、差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求1 1倍数，再求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。倍数，再求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。用关系式可以这样表示：用关系式可以这样表示：两数差两数差（倍数（倍数1 1）= =较小的数（较小的数（1 1倍数）倍数）较小的数较小的数倍数倍数= =较大的数（几倍数）较大的数（几倍数）【例题【例题1】 小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。小明买苹果和梨各多少个？【思路导航】将梨的个数看作将梨的个数看作1 1倍数，则苹果

277、的个数是这样的倍数，则苹果的个数是这样的3 3倍。如下图：倍。如下图：从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了3 31=21=2倍，梨的倍，梨的2 2倍是倍是1818个，个，所以梨有所以梨有182=9182=9个，苹果有：个，苹果有：93=2793=27个。个。【练习【练习1】1，学校合唱组，女同学人数是男同学的，学校合唱组，女同学人数是男同学的4倍，女同学比男同学多倍，女同学比男同学多42人。合唱组有男、女同学各多少人？人。合唱组有男、女同学各多少人？2，一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的，一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的5倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服贵倍，又

278、已知一件皮衣比一件羽绒服贵960元。皮衣与羽绒服各多少元？元。皮衣与羽绒服各多少元？3，甲筐苹果是乙筐苹果的，甲筐苹果是乙筐苹果的3倍，如果从甲筐取出倍，如果从甲筐取出60千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克？千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克？【例题【例题2】 被除数比除数大252，商是7，被除数、除数各是多少？【思路导航】根据根据“商是商是7”7”可知，被除数是除数的可知，被除数是除数的7 7倍，把除数看作倍，把除数看作1 1倍数，被除数就倍数，被除数就是这样的是这样的7 7份，比除数多份，比除数多6 6份。份。所以除数是：所以除数是：

279、252252（7 71 1）=42=42被除数是：被除数是：4242252=294252=294【练习【练习2】1，被除数比除数大，被除数比除数大168，商是，商是22，被除数、除数各是多少？，被除数、除数各是多少？2，除数比被除数小，除数比被除数小212，商是，商是5，被除数、除数各是多少？，被除数、除数各是多少？3，被除数比商大，被除数比商大144，除数是，除数是7，被除数、商各是多少？，被除数、商各是多少？【例题【例题3】 水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果从第一筐中取出300个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60个。原来两筐橘子各有多少个？【思路导航】根据根据

280、“如果从第一筐中取出如果从第一筐中取出300300个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多筐多6060个个”，说明原来第一筐比第二筐橘子多，说明原来第一筐比第二筐橘子多3002300260=66060=660个。把第二个。把第二筐的橘子重量看作筐的橘子重量看作1 1倍数，第一筐橘子是这样的倍数，第一筐橘子是这样的5 5倍，比第二筐多倍，比第二筐多4 4倍，第倍，第二筐橘子的二筐橘子的4 4倍正好是倍正好是660660个，所以第二筐原有橘子：个，所以第二筐原有橘子：6604=1656604=165个，第一个，第一筐橘子原来有：筐橘子原来有：1655=82516

281、55=825个。个。【练习【练习3】1，同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的，同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的3倍。如果从六年级捐款钱数中取出倍。如果从六年级捐款钱数中取出160元放入三年级，那么六年级捐款的钱元放入三年级，那么六年级捐款的钱数还比三年级多数还比三年级多40元。两个年级分别捐款多少元？元。两个年级分别捐款多少元？2，人民公园的杜鹃花盆数是长春园的，人民公园的杜鹃花盆数是长春园的4倍，如果从人民公园搬出倍，如果从人民公园搬出188盆杜鹃花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少盆杜鹃花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少25盆。原来两个盆。原来两个公园

282、各有杜鹃花多少盆？公园各有杜鹃花多少盆？3，两堆煤重量相等，现从甲堆中运走，两堆煤重量相等，现从甲堆中运走24吨到乙堆，而乙堆煤中又运入吨到乙堆，而乙堆煤中又运入8吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍。问两堆煤原来各有多少吨？倍。问两堆煤原来各有多少吨？【例题【例题4】 甲、乙两个数，如果甲数加上280就等于乙数，如果乙数加上320就等于甲数的3倍。两个数各是多少？【思路导航】根据题意，画出线段图：根据题意，画出线段图：“甲数加上甲数加上280280就等于乙数就等于乙数”，说明乙数比甲数大，说明乙数比甲数大280280；如果乙数再加上；如果乙数再加上

283、320320，甲、乙就相差，甲、乙就相差320+280=600320+280=600，把甲数看作，把甲数看作1 1倍数，从图上可以看出，倍数，从图上可以看出，600600就相当于甲数的就相当于甲数的3 31=21=2倍。所以，甲数为倍。所以，甲数为6002=3006002=300，乙数为，乙数为300300280=580280=580。同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习4】1，甲、乙两人的存款相等，甲取出，甲、乙两人的存款相等，甲取出60元，乙存入元，乙存入20元后，乙的存款是甲的元后，乙的存款是甲的3倍。甲、乙两人原有存款各多少元？倍。甲、乙两人原有存款各多少元？2，小明和小华的连

284、环画本数相等，若小明借给小华，小明和小华的连环画本数相等，若小明借给小华6本，小华的本数是小明的本，小华的本数是小明的4倍。原来两人各有连环画多少本？倍。原来两人各有连环画多少本？3，两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出，两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的苹果是乙筐的千克后，甲筐余下的苹果是乙筐的3倍。两筐苹果原来各有多少千克？倍。两筐苹果原来各有多少千克？【例题【例题5】 两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出200本书，而第二个书架再放入40本书，那么第二个书架的本数是第一个书架的3倍。问两个书架原来各存书多少本？【思路导航】根据题意，画

285、出线段图。根据题意，画出线段图。从线段图上可以看出，第一个书架取出从线段图上可以看出，第一个书架取出200200本，第二个书架放进本，第二个书架放进4040本书后，本书后，两个书架就相差两个书架就相差200+40=240200+40=240本，把变化后的第一个书架看作本，把变化后的第一个书架看作1 1倍数，两个倍数，两个书架相差的书架相差的240240本就相当于变化后第一个书架的（本就相当于变化后第一个书架的（3 31 1）倍。所以，变化）倍。所以，变化后第一个书架有书：后第一个书架有书：（2002004040）（3 31 1）=120=120本本两个书架原来各有：两个书架原来各有：12012

286、0200=320200=320本。本。【练习【练习5】1，两个仓库所存粮食重量相等，如果从第一个仓库里取出，两个仓库所存粮食重量相等，如果从第一个仓库里取出2000千克，而第二个仓库再存入千克，而第二个仓库再存入400千克，那么第二个仓库的粮食千克，那么第二个仓库的粮食重量就是第一个仓库的重量就是第一个仓库的7倍。两个仓库原来各存粮食多少千克？倍。两个仓库原来各存粮食多少千克？2，小红和小明的铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红，小红和小明的铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红16枝铅笔，给小明枝铅笔，给小明2枝铅笔，那么小红的铅笔枝数就是小明的枝铅笔，那么小红的铅笔枝数就是小明的3倍。原来小红和小明各有

287、铅笔多少倍。原来小红和小明各有铅笔多少枝？枝？3，商店有数量相等的英语本和算术本，英语本卖出，商店有数量相等的英语本和算术本，英语本卖出160本，算术本卖出本，算术本卖出420本后，余下的英语本数是算术本的本后，余下的英语本数是算术本的3倍。两种本子原来各有多少本？倍。两种本子原来各有多少本？第27讲 差倍问题（二）小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 有些差倍问题比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋友仔细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，有些差倍问题比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋

288、友仔细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，从而找到解题方法。从而找到解题方法。较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出线段图，数量关系就会比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出线段图，数量关系就会比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用公式进行解答。倍数，再利用公式进行解答。【例题【例题1】 有两袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的玉米吃掉4千克，这时大袋的玉米重量是小袋的4倍。两袋玉米原来各重量多少千克？【思路导航】根据题意，画出线段图。根据题意，画出线

289、段图。从图上可以看出，小袋玉为吃掉从图上可以看出，小袋玉为吃掉4 4千克后，大袋里的玉米就比小袋现有玉千克后，大袋里的玉米就比小袋现有玉米重米重4+56=604+56=60千克；又根据千克；又根据“这时大袋的玉米重量是小袋的这时大袋的玉米重量是小袋的4 4倍倍”，可知把，可知把小袋现有的玉米重量看作小袋现有的玉米重量看作1 1倍数，大袋比小袋多的倍数，大袋比小袋多的6060千克正好相当于现有千克正好相当于现有小袋的小袋的4 41=31=3倍，所以小袋现有玉米倍，所以小袋现有玉米603=20603=20千克，原有重量千克，原有重量20+4=2420+4=24千千克，大袋原有克，大袋原有204=8

290、0204=80千克。千克。【练习【练习1】1，有两箱玩具，第一盒比第二盒多，有两箱玩具，第一盒比第二盒多60只。如果从第二盒中取出只。如果从第二盒中取出3只，这时第一盒的只数是第二盒的只，这时第一盒的只数是第二盒的8倍。求两箱玩具原来各倍。求两箱玩具原来各有多少只？有多少只？2，一个书架上放着一些书，第二层比第一层多，一个书架上放着一些书，第二层比第一层多12本。如果从第一层中拿走本。如果从第一层中拿走6本，这时第二层的本数是第一层的本，这时第二层的本数是第一层的4倍。求第一、第二层原来各有多少本倍。求第一、第二层原来各有多少本书？书？3，甲、乙两桶油各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少，甲、乙两

291、桶油各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少20千克，如果从甲桶倒出千克，如果从甲桶倒出5千克放入千克放入5千克，这时乙桶内油的重量是甲桶的千克，这时乙桶内油的重量是甲桶的4倍。甲、乙两桶原来倍。甲、乙两桶原来各有油多少千克？各有油多少千克？【例题【例题2】 有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入8千克，则两桶色拉油就一样重；如果向乙桶中倒入12千克，乙桶的色拉油就是甲桶的5倍。甲、乙两桶原来各有色拉油多少千克？【思路导航】根据题意，画出线段图根据题意，画出线段图从线段图上可以看出：如果向甲桶倒入从线段图上可以看出：如果向甲桶倒入8 8千克，两桶油重量相等，说明乙千克，两桶油重量相等，说明乙桶油比甲桶油

292、多桶油比甲桶油多8 8千克；如果向乙桶倒入千克；如果向乙桶倒入1212千克，乙桶油就比甲桶油多千克，乙桶油就比甲桶油多8+12=208+12=20千克，与千克，与2020千克相对应的倍数差是千克相对应的倍数差是5 51=41=4倍。所以，甲桶原有：（倍。所以，甲桶原有：（8+128+12）（5 51 1）=5=5千克，乙桶原有千克，乙桶原有5+8=135+8=13千克。千克。【练习【练习2】1，有甲、乙两桶水，如果向甲桶中倒入，有甲、乙两桶水，如果向甲桶中倒入10千克水，两桶水就一样多；如果向乙桶中倒入千克水，两桶水就一样多；如果向乙桶中倒入4千克水，乙桶的水就是甲桶的千克水，乙桶的水就是甲桶

293、的3倍。倍。原来甲、乙两桶各有多少千克水？原来甲、乙两桶各有多少千克水？2，三（，三（1）班同学参加英语比赛，如果男生少去）班同学参加英语比赛，如果男生少去1人，男、女参赛人数相等；如果女生少去人，男、女参赛人数相等；如果女生少去1人，男生参赛人数是女生的人，男生参赛人数是女生的2倍。三（倍。三（1）班参加英语比赛）班参加英语比赛的男、女生各几人？的男、女生各几人？3，小敏和小文每人都有一些玻璃球，如果小敏给小文，小敏和小文每人都有一些玻璃球，如果小敏给小文3粒，两人的玻璃球数就一样多；如果小文给小敏粒，两人的玻璃球数就一样多；如果小文给小敏1粒，小敏的玻璃球数就是小文的粒，小敏的玻璃球数就是

294、小文的5倍。小敏、倍。小敏、小文原有玻璃球各几粒？小文原有玻璃球各几粒？【例题【例题3】 甲的钱数是乙的3倍，甲买一套180元的百科大全，乙买一套30元的故事书后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？【思路导航】根据题意，画出线段图。根据题意，画出线段图。把乙原有的钱看作把乙原有的钱看作1 1份，甲原有的钱不是份，甲原有的钱不是3 3份；甲买书用去份；甲买书用去180180元，乙买书元，乙买书用去用去3030元，甲比乙多用去元，甲比乙多用去18018030=15030=150元。从图上可以看出，这多出的元。从图上可以看出，这多出的150150元正好相当于乙原有钱数的元正好相当于乙原有钱数的3

295、31=21=2倍，所以乙原有钱：倍，所以乙原有钱：1502=751502=75元，甲元，甲原有钱原有钱753=225753=225元。元。【练习【练习3】1，甲的钱数是乙的，甲的钱数是乙的4倍，甲买了一只倍，甲买了一只30元的书包，乙买了一枝元的书包，乙买了一枝6元的钢笔后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？元的钢笔后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？2，丹丹的钱数是小敏的，丹丹的钱数是小敏的5倍，丹丹买了一套倍，丹丹买了一套115元的衣服，小敏买了一双元的衣服，小敏买了一双15元的鞋子后，两人余下的钱一样多。丹丹原来有多少钱？元的鞋子后，两人余下的钱一样多。丹丹原来有多少钱？3，云云的

296、钱是小月的，云云的钱是小月的4倍，云云买了一套水彩笔用了倍，云云买了一套水彩笔用了19元钱，小月买了一块元钱，小月买了一块1元钱的橡皮后，两人剩下的钱一样多。云云原来有多少钱？元钱的橡皮后，两人剩下的钱一样多。云云原来有多少钱？【例题【例题4】 学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的4倍，如果白粉笔和彩色粉笔各购进12盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍。原来白粉笔和彩色粉笔各有多少盒？【思路导航】根据题意，如果彩色粉笔购进根据题意，如果彩色粉笔购进1212盒，而白粉笔购进盒，而白粉笔购进124=48124=48盒，那么现在盒，那么现在白粉笔的盒数仍是彩色粉笔的白粉笔的盒数仍是彩色粉笔的4 4倍，可见

297、倍，可见484812=3612=36盒就是彩色粉笔现有盒盒就是彩色粉笔现有盒数的数的4 43=13=1倍，所以彩色粉笔现有倍，所以彩色粉笔现有361=36361=36盒，原来有盒，原来有363612=2412=24盒，白盒，白粉笔原有粉笔原有244=96244=96盒。盒。【练习【练习4】1，有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千克数是乙筐的，有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千克数是乙筐的3倍，如果两筐苹果各增加倍，如果两筐苹果各增加8千克，那么甲筐苹果的千克数就是乙筐的千克，那么甲筐苹果的千克数就是乙筐的2倍。倍。甲、乙两筐原来各有多少千克苹果？甲、乙两筐原来各有多少千克苹果？2，小明和聪聪各有一些彩色

298、笔，小明彩色笔的枝数是聪聪的，小明和聪聪各有一些彩色笔，小明彩色笔的枝数是聪聪的5倍。如果每人再买倍。如果每人再买4枝彩色笔，那么小明的枝数就是聪聪的枝彩色笔，那么小明的枝数就是聪聪的4倍。小明和聪聪原来各有彩倍。小明和聪聪原来各有彩色笔多少枝？色笔多少枝？3，有甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的，有甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的5倍。如果每桶分别倒入倍。如果每桶分别倒入8千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的3倍。甲、乙两桶原来各有多少千克倍。甲、乙两桶原来各有多少千克油？油？【例题【例题5】 天天小学买来了一批篮球和足球，篮球的个数比足球的4倍多5

299、个，篮球比足球多26个。篮球和足球各多少个？【思路导航】根据题意，画出线段图。根据题意，画出线段图。从图上可以看出，如果把足球的个数看作从图上可以看出，如果把足球的个数看作1 1倍数，那么篮球减少倍数，那么篮球减少5 5个就是足个就是足球个数的球个数的4 4倍，所以足球有（倍，所以足球有（26265 5）（4 41 1）=7=7个，篮球有个，篮球有74745=335=33个。个。【练习【练习5】1，商店里有一些红皮球和白皮球，红皮球的个数比白皮球的，商店里有一些红皮球和白皮球，红皮球的个数比白皮球的3倍多倍多2个，红皮球比白皮球多个，红皮球比白皮球多24个。红、白皮球各有多少个？个。红、白皮球

300、各有多少个？2，有两袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的，有两袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的5倍多倍多12千克，乙袋比甲袋少千克，乙袋比甲袋少132千克。甲、乙两袋面粉各多少千克？千克。甲、乙两袋面粉各多少千克？3，图书室里有一些故事书和连环画，故事书的本数比连环画的，图书室里有一些故事书和连环画，故事书的本数比连环画的4倍少倍少8本，故事书比连环画多本，故事书比连环画多28本。图书室里有故事书和连环画各多少本？本。图书室里有故事书和连环画各多少本？第28讲 和差问题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多

301、少，这类问题我们称为和差问题。掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很方便了。已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很方便了。解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。样多，先求小数，再求大数。用数量关系表示：用数量关系表示：（和差）（和差）2=2=大数大数（和差）（和差

302、）2=2=小数小数【例题【例题1】 期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人各考了多少分？【思路导航】根据题意，画出线段图。根据题意，画出线段图。我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4 4分，变为分，变为188+4=192188+4=192分，这就表示王平的分，这就表示王平的2 2倍，所以王平考了：倍，所以王平考了：1922=961922=96分，李杨考了分，李杨考了96964=924=92分。分。【练习【练习1】1，两筐水果共重，两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多千克，

303、第一筐比第二筐多8千克。两筐水果各重多少千克？千克。两筐水果各重多少千克？2，小宁与小慧的身高总和是，小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。两人分别高多少厘米？厘米。两人分别高多少厘米？3，三（，三（1）班和三（）班和三（2）班共有学生）班共有学生124人，如果从三（人，如果从三（2）班调）班调2人到三（人到三（1）班，两班学生同样多。三（）班，两班学生同样多。三（1）班、三（）班、三（2）班原来各有学生多少人？）班原来各有学生多少人？【例题【例题2】 某机床厂第一、二两个车间共有车床96部，如果第一车间拨给第二车间8部，那么两个车间车床数相等。两

304、个车间各有车床多少部？【思路导航】根据题意，画出线段图根据题意，画出线段图已知第一、二两个车间共有车床已知第一、二两个车间共有车床9696部，又根据部，又根据“如果第一车间拨给第二车如果第一车间拨给第二车间间8 8部，两个车间车床数相等部，两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出第一车间原来，从线段图上我们可以看出第一车间原来比第二车间多比第二车间多82=1682=16部车床。所以，第一车间原有：（部车床。所以，第一车间原有：（96+8296+82）2=562=56部，第二车间原有部，第二车间原有565682=4082=40部。部。【练习【练习2】1，红星小学一年级新，红星小学一年级新10

305、8人，分成甲、乙两个班。如果从甲班转人，分成甲、乙两个班。如果从甲班转3个学生到乙班去，两班学生就一样多。甲、乙两班各有学个学生到乙班去，两班学生就一样多。甲、乙两班各有学生多少人？生多少人？2，甲、乙两筐共有水果，甲、乙两筐共有水果80千克，若从甲箱取出千克，若从甲箱取出6千克放到乙箱中，这时两箱水果同样多。两箱原来各有水果多少千克？千克放到乙箱中，这时两箱水果同样多。两箱原来各有水果多少千克？3，有三只船共运木板，有三只船共运木板9800块，第一只船比其余两船共运的少块，第一只船比其余两船共运的少1400块，第二只船比第三只船少运块，第二只船比第三只船少运200块。三只船各运木板多少块？块

306、。三只船各运木板多少块？【例题【例题3】 哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？【思路导航】我们可以这样想，哥弟俩共有邮票我们可以这样想，哥弟俩共有邮票7070张，根据张，根据“如果哥哥给弟弟如果哥哥给弟弟4 4张，还张，还比弟弟多比弟弟多2 2张张”，说明原来哥哥比弟弟多，说明原来哥哥比弟弟多42422=102=10张邮票。所以，弟弟张邮票。所以，弟弟有邮票：（有邮票：（70701010）2=302=30张，哥哥有邮票张，哥哥有邮票30+10=4030+10=40张。张。【练习【练习3】1，一只两层书架共放书，一只两层书架共放书7

307、2本，若从上层中拿出本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多本给下层，上层比下层多4本。上、下层各放书多少本？本。上、下层各放书多少本？2，姐姐和妹妹共有糖果，姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少块，就比妹妹少3块。那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？块。那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？3，两笼兔子共，两笼兔子共16只，若甲笼再放入只，若甲笼再放入4只，乙笼取出只，乙笼取出2只，这时两笼兔子只数就同样多。甲、乙两笼原来各有兔子多少只？只，这时两笼兔子只数就同样多。甲、乙两笼原来各有兔子多少只？【例题【例题4】 把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比

308、第一段多16米，第三段比第一段少18米。三段绳子各长多少米？【思路导航】用线段图来表示题意。用线段图来表示题意。可以这样想：把第一段绳子的长度当作标准，假设第二、第三段绳子都和可以这样想：把第一段绳子的长度当作标准，假设第二、第三段绳子都和第一段同样长，那么总长就变为第一段同样长，那么总长就变为100100161618=10218=102米。米。第一段绳子长：第一段绳子长：1023=341023=34米米第二段绳子长：第二段绳子长：34+16=5034+16=50米米第三段绳子长：第三段绳子长：343418=1618=16米米【练习【练习4】1，某工厂第一、二、三车间共有工人，某工厂第一、二、

309、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多人，第二车间比第三车间多15人。三个车间各有工人人。三个车间各有工人多少人？多少人？2，某工厂将，某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得元，第二名比第三名多得125元。三名优秀工人各得多少元？元。三名优秀工人各得多少元？3，小明期终考试的语文、数学和英语的平均分是，小明期终考试的语文、数学和英语的平均分是95分，数学比语文多分，数学比语文多6分，英语比语文多分，英语比语文多9分。小明期终考

310、试三门功课各多少分？分。小明期终考试三门功课各多少分？【例题【例题5】 四个人年龄之和是88岁，最小的3岁，他与最大的年龄之和比另外两个人年龄之和大8岁。最大的年龄是多少岁？【思路导航】我们可以这样思考，将最大、最小两个人年龄的和与另外两人年龄和分别我们可以这样思考，将最大、最小两个人年龄的和与另外两人年龄和分别看作大数与小数，根据四个人的年龄和是看作大数与小数，根据四个人的年龄和是8888岁，年龄差是岁，年龄差是8 8岁，即可求出岁，即可求出大数与小数。大数与小数。大数：（大数：（88+888+8）2=482=48岁岁最大的年龄：最大的年龄：48483=453=45岁岁【练习【练习5】1，小

311、军一家四口年龄之和是，小军一家四口年龄之和是129岁，小军岁，小军7岁，妈妈岁，妈妈30岁，小军与爷爷年龄这和比他父母年龄之和大岁，小军与爷爷年龄这和比他父母年龄之和大5岁。爷爷和爸爸的年龄岁。爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？各是多少岁？2，某校四个年龄共有，某校四个年龄共有438名学生，其中一年级名学生，其中一年级119人，四年级人，四年级101人，一、二年级的总人数比三、四年级的总人数多人，一、二年级的总人数比三、四年级的总人数多52人。二、三年级各有多少人？人。二、三年级各有多少人？3，某校四个年级共有，某校四个年级共有138名学生参加数学竞赛，其中一、二年级共名学生参加数学竞赛，其中一、二

312、年级共70名，一、三年级共名，一、三年级共65名，二、三年级共名，二、三年级共59名。四年级有多少名？名。四年级有多少名？第29讲 年龄问题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的综合，要正确解答这类题，首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变，但两个人年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的综合，要正确解答这类题，首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变，但两个人年龄的倍数关系却在不断地变化。年龄的倍数关系却在不断地变化。年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量。我们可以

313、抓住差不变这个特点，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量。我们可以抓住差不变这个特点，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。【例题【例题1】 三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？【思路导航】由题意可知爸爸今年由题意可知爸爸今年4343岁，则三年前爸爸的年龄是岁，则三年前爸爸的年龄是43433=403=40岁，岁，4040岁正好岁正好是女儿年龄的是女儿年龄的4 4倍，女儿三年前的年龄是倍，女儿三年前的年龄是404=10404=10岁，今年女儿的年龄是岁，今年女儿的年龄是10103=133=13岁。岁。【练习【练习1】

314、1，四年前小林年龄是小丽的，四年前小林年龄是小丽的2倍，小林今年倍，小林今年12岁，小丽今年多少岁？岁，小丽今年多少岁？2，五年前爷爷年龄是孙子的，五年前爷爷年龄是孙子的7倍，孙子今年倍，孙子今年14岁，爷爷今年多少岁？岁，爷爷今年多少岁？3，儿子今年，儿子今年10岁，爸爸今年岁，爸爸今年34岁。几年前，爸爸的年龄是儿子的岁。几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？倍？【例题【例题2】 明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。今年明明12岁，妈妈今年多少岁？【思路导航】妈妈的年龄是明明的妈妈的年龄是明明的8 8倍，那么妈妈与明明的年龄相差倍，那么妈妈与明明的年龄相差48484=284=28岁。妈岁。妈妈与明

315、明的年龄差是不变的，今年明明妈与明明的年龄差是不变的，今年明明1212岁，那么妈妈的年龄是岁，那么妈妈的年龄是121228=4028=40岁。岁。【练习【练习2】1，玲玲，玲玲7岁时，爸爸年龄是玲玲的岁时，爸爸年龄是玲玲的5倍。今年爸爸倍。今年爸爸40岁，玲玲今年多少岁？岁，玲玲今年多少岁？2，爷爷，爷爷63岁时，他的年龄是小青的岁时，他的年龄是小青的9倍。今年小青倍。今年小青12岁，爷爷今年多少岁？岁，爷爷今年多少岁？3，两年前妈妈年龄是儿子的，两年前妈妈年龄是儿子的5倍，儿子今年倍，儿子今年9岁，妈妈今年多少岁？岁，妈妈今年多少岁？【例题【例题3】 女儿今年3岁，妈妈今年33岁。几年后，妈

316、妈的年龄是女儿的7倍？【思路导航】女儿今年女儿今年3 3岁，妈妈今年岁，妈妈今年3333岁，她们的年龄差是岁，她们的年龄差是33333=303=30岁。她们年龄差岁。她们年龄差不变，几年后，妈妈的年龄是女儿的不变，几年后，妈妈的年龄是女儿的3 3倍，把女儿的年龄看作倍，把女儿的年龄看作1 1份，妈妈的份，妈妈的年龄就有年龄就有7 7份，相差份，相差7 71=61=6份，份，6 6份是份是3030岁，所以几年后女儿的年龄是岁，所以几年后女儿的年龄是306=5306=5岁。也就是说，岁。也就是说，5 53=23=2年后，妈妈的年龄是女儿的年后，妈妈的年龄是女儿的7 7倍。倍。【练习【练习3】1，小

317、明今年，小明今年7岁，爷爷今年岁，爷爷今年62岁。几年前，爷爷的年龄是小明的岁。几年前，爷爷的年龄是小明的12倍？倍？2，儿子今年，儿子今年2岁，爸爸今年的年龄是儿子的岁，爸爸今年的年龄是儿子的16倍。几年后，爸爸的年龄是儿子的倍。几年后，爸爸的年龄是儿子的7倍？倍？3，妈妈今年，妈妈今年26岁，是小玲年龄的岁，是小玲年龄的13倍。几年后，妈妈的年龄是小玲的倍。几年后，妈妈的年龄是小玲的7倍？倍？【例题【例题4】 4年前，妈妈的年龄是女儿的3倍，4年后，母女年龄和是56岁。妈妈今年多少岁？【思路导航】4 4年后，母子的年龄和是年后，母子的年龄和是5656岁，可求出今年母子年龄和是岁，可求出今年

318、母子年龄和是565642=4842=48岁。岁。4 4年前母子年龄和是年前母子年龄和是484842=4042=40岁。又根据岁。又根据4 4年前，妈妈年龄是女儿的年前，妈妈年龄是女儿的3 3倍，倍，把女儿年龄看作把女儿年龄看作1 1份，妈妈的年龄就有这样的份，妈妈的年龄就有这样的3 3份，共有份，共有3 31=41=4份。所以份。所以4 4年前女儿的年龄是年前女儿的年龄是404=10404=10岁，妈妈今年的年龄是岁，妈妈今年的年龄是1031034=344=34岁。岁。【练习【练习4】1，3年前，哥哥的年龄是弟弟的年前，哥哥的年龄是弟弟的2倍。倍。3年后，哥弟俩的年龄和是年后，哥弟俩的年龄和是

319、30岁。哥哥今年多少岁？岁。哥哥今年多少岁？2，5年前，小明的年龄是小红的年前，小明的年龄是小红的3倍。倍。5年后，小明和小红年龄和是年后，小明和小红年龄和是44岁。今年小明多少岁？岁。今年小明多少岁？3，7年前，姐姐的年龄是妹妹的年前，姐姐的年龄是妹妹的4倍。倍。7年后，姐妹俩的年龄和是年后，姐妹俩的年龄和是48岁。姐姐今年多少岁？岁。姐姐今年多少岁？【例题【例题5】 明明今年12岁，强强今年7岁，当两人的年龄和是45岁时，两人各多少岁？【思路导航】明明和强强的年龄差为明明和强强的年龄差为12127=57=5岁，这是一个不变量。当两人的年龄和是岁，这是一个不变量。当两人的年龄和是4545岁时

320、，明明比强强还是大岁时，明明比强强还是大5 5岁，如果从两人的年龄和岁，如果从两人的年龄和4545岁里减去两人的岁里减去两人的年龄差年龄差5 5岁，得到的就是两个强强的年龄。所以，强强的年龄是（岁，得到的就是两个强强的年龄。所以，强强的年龄是（45455 5）2=202=20岁，明明的年龄是岁，明明的年龄是20205=255=25岁。岁。【练习【练习5】1，小红今年，小红今年4岁，小平今年岁，小平今年10岁，当两人的年龄和是岁，当两人的年龄和是30岁时，两人各多少岁？岁时，两人各多少岁？2，聪聪今年，聪聪今年2岁，妈妈今年岁，妈妈今年28岁。当母子俩的年龄和是岁。当母子俩的年龄和是42岁时，两

321、人各多少岁？岁时，两人各多少岁？3，兰兰今年，兰兰今年12岁，婷婷今年岁，婷婷今年14岁，当两人的年龄和是岁，当两人的年龄和是40岁时，两人各多少岁？岁时，两人各多少岁？第30讲 用还原法解题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 “一个数加上一个数加上3 3，乘，乘3 3，再减去，再减去3 3，最后除以，最后除以3 3，结果还是，结果还是3 3，这个数是几？，这个数是几？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做把它叫做“还原问题还原问题”。解答还原问题

322、，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，直到问题解决。同时，可利用线段图表格帮助理解题意。解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，直到问题解决。同时，可利用线段图表格帮助理解题意。【例题【例题1】 一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。【思路导航】我们可以从最后的结果我们可以从最后的结果432432出发倒着推想。最后是乘出发倒着推想。最后是乘8 8得得432432，如果不乘，如果不乘8 8，那应该是那应该是4328=54

323、4328=54；如果不加上；如果不加上1515，应该是，应该是545415=3915=39；如果不减去；如果不减去2424，那应该是那应该是393924=6324=63。因此，这个数是因此，这个数是6363。【练习【练习1】1，一个数加上，一个数加上3，乘，乘3，再减去，再减去3，最后除以，最后除以3，结果还是，结果还是3。这个数是几？。这个数是几？2，一个数的，一个数的4倍加上倍加上6减去减去10，再乘，再乘2得得88，求这个数。，求这个数。3，一个数缩小，一个数缩小2倍，再缩小倍，再缩小2倍得倍得80，求这个数。，求这个数。【例题【例题2】 一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，

324、还剩8米。这段布原来长多少米？【思路导航】根据题意，画出线段图。根据题意，画出线段图。从上面的线段图可以看出：剩下的从上面的线段图可以看出：剩下的8 8米和余下的一半同样多，那么原长的米和余下的一半同样多，那么原长的一半是：一半是：82=1682=16米，原来长：米，原来长：162=32162=32米。米。【练习【练习2】1，某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这时还剩，某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这时还剩10只西瓜。原有西瓜多少只？只西瓜。原有西瓜多少只？2，某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡前剩下

325、的一半，这时离乙地还有，某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡前剩下的一半，这时离乙地还有40千米。甲、乙两地相距多少千米。甲、乙两地相距多少千米？千米？3，有一箱苹果，第一次取出全部的一半多，有一箱苹果，第一次取出全部的一半多1个，第二次取出余下的一半多个，第二次取出余下的一半多1个，箱里还剩下个，箱里还剩下10个。箱里原有多少个苹果？个。箱里原有多少个苹果？【例题【例题3】 甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的本数同样多。乙原来比丙多多少本？【思路导航】因为乙给丙因为乙给丙5 5本后，两人同样多，可知乙比丙多本后，两人同样多，可知

326、乙比丙多52=1052=10本，而这本，而这1010本中又本中又有有3 3本是甲给的，所以原来乙比丙多本是甲给的，所以原来乙比丙多10103=73=7本。本。【练习【练习3】1，小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明，小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航个，小明给小航6个后，三人的个数同样多。个后，三人的个数同样多。2，甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组，甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组本后，乙组又送给丙组6本，这时三个组的图书本数同样多。原来乙组和丙组哪组的图书多，本，这时三个组的图书本数同样多。原来乙

327、组和丙组哪组的图书多，多几本？多几本？3，甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙，甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙张，乙给丙23张，丙给甲张，丙给甲3张，那么他们每人各有张，那么他们每人各有30张。原来张。原来3人各有年历卡多少张？人各有年历卡多少张？【例题【例题4】 李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋？【思路导航】根据题意，画出线段图。根据题意，画出线段图。从图上可以看出，最后剩下的从图上可以看出，最后剩下的6565个鸡蛋加上个鸡蛋加上1010个正好是余下的一半，

328、余下个正好是余下的一半，余下的一半为的一半为65+10=7565+10=75个，所以上午卖出后余下个，所以上午卖出后余下752=150752=150个；个；150150个加上个加上1010个个就是总数的一半，所以总数的一半是就是总数的一半，所以总数的一半是150+10=160150+10=160个，总数为：个，总数为：1602=3201602=320个。个。同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习4】1，竹篮内有若干个李子，取它的一半又，竹篮内有若干个李子，取它的一半又1枚给第一人，再取余下的一半又枚给第一人，再取余下的一半又2枚给第二人，还剩枚给第二人，还剩6枚。竹篮内原有李子多少枚？枚

329、。竹篮内原有李子多少枚？2，王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多，王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多10元存入银行，又拿出余下的一半多元存入银行，又拿出余下的一半多5元买米、米，剩下元买米、米，剩下80元买菜。王叔叔拿工资多少元？元买菜。王叔叔拿工资多少元？3，妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了一半多，妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了一半多2个，第二天吃了剩下的一半少个，第二天吃了剩下的一半少2个，还剩下个，还剩下5个。妈妈买了多少个橘子？个。妈妈买了多少个橘子？【例题【例题5】小红、小青、小宁都喜爱画片，如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画

330、片张数同样多。已知他们共有画片150张，他们三人原来各有画片多少张？【思路导航】三人画片进行交换，其总张数是不会改变的。交换以后三人张数相等，那三人画片进行交换，其总张数是不会改变的。交换以后三人张数相等，那每人应有：每人应有：1503=501503=50张。再对照题中条件，把各人的画片还原，便可得张。再对照题中条件，把各人的画片还原，便可得到他们三人原来画片的张数。到他们三人原来画片的张数。小红：小红：505011=6111=61张；张；小青：小青：5050111120=5920=59张；张；小宁：小宁：505020205=355=35张。张。【练习【练习5】1，三筐苹果共放，三筐苹果共放9

331、0千克，如果从甲筐取出千克，如果从甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出千克放入乙筐，从乙筐取出20千克放入丙筐，从丙筐取出千克放入丙筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这千克放入甲筐，这时三筐苹果就同样重。甲、乙、丙筐原来各有苹果多少千克？时三筐苹果就同样重。甲、乙、丙筐原来各有苹果多少千克？2，三年级三个班共有学生，三年级三个班共有学生156人，若从一班调人，若从一班调5人到二班，从二班调人到二班，从二班调8人到三班，从三班调人到三班，从三班调4人到一班，这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有人到一班，这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有学生多少人？学生多少人？3，小林、小方、军军、小敏四

332、个好朋友都爱看书，如果小林给小方，小林、小方、军军、小敏四个好朋友都爱看书，如果小林给小方10本书，小方给军军本书，小方给军军12本书，军军给小敏本书，军军给小敏20本，小敏再给小林本，小敏再给小林14本，四个人书的本，四个人书的本数同样多。已知他们共有本数同样多。已知他们共有112本书，他们本书，他们4人原来各有多少本书？人原来各有多少本书？第31讲 用假设法解题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 假设是数学中思考问题的一常见的方法，有些应用题乍看很难求出答案，但是如果我们合理地进行假设，往往会使问题得到解决。所谓假设法就假设是数学中思

333、考问题的一常见的方法，有些应用题乍看很难求出答案，但是如果我们合理地进行假设，往往会使问题得到解决。所谓假设法就是依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，作适当的调整，从而找到正确答案。我国古代趣题是依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，作适当的调整，从而找到正确答案。我国古代趣题“鸡兔同笼鸡兔同笼”就是运用假设法解决问题的一个就是运用假设法解决问题的一个范例。范例。解答解答“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题的基本关系式是：问题的基本关系式是：兔数兔数= =（总脚数每只鸡脚数（总脚数每只鸡脚数鸡兔总数）鸡兔总数）（每只兔子脚数每只鸡脚数）（每只兔子脚数每只鸡脚数）用假设法解答类似用假设法解答类

334、似“鸡兔同笼鸡兔同笼”的问题时，可以根据题意假设几个量相同，然后进行推算，所得结果与题中对应的数量不符合时，要能够正确地运用的问题时，可以根据题意假设几个量相同，然后进行推算，所得结果与题中对应的数量不符合时，要能够正确地运用别的量加以调整，从而找到正确的答案。别的量加以调整，从而找到正确的答案。【例题【例题1】 鸡、兔共30只，共有脚84只。鸡、兔各有多少只？【思路导航】假设全是鸡，共有脚：假设全是鸡，共有脚：302=60302=60只；只；比实际少：比实际少：848460=2460=24只；只；这是因为把这是因为把4 4只脚的兔子都按只脚的兔子都按2 2只脚的鸡计算了。只脚的鸡计算了。每把

335、一只兔子算作一只鸡，少算：每把一只兔子算作一只鸡，少算：4 42=22=2只脚，现在共少算了只脚，现在共少算了2424只脚，说只脚，说明把：明把：242=12242=12只兔子按鸡算了。只兔子按鸡算了。所以，共有兔子所以，共有兔子1212只，有鸡只，有鸡303012=1812=18只。只。【练习【练习1】1，鸡、兔共，鸡、兔共100只，共有脚只，共有脚280只。鸡、兔各多少只？只。鸡、兔各多少只？2，鸡、兔共，鸡、兔共50只，共有脚只，共有脚160只。鸡、兔各几只？只。鸡、兔各几只？3，鸡、兔共，鸡、兔共45只，鸡的脚比兔的脚多只，鸡的脚比兔的脚多60只。鸡、兔各多少只？只。鸡、兔各多少只？【

336、例题【例题2】 鸡、兔共笼，鸡比兔多30只，一共有脚168只，鸡、兔各多少只？【思路导航】因为鸡比兔多因为鸡比兔多3030只，则可以把只，则可以把3030只鸡的脚从总数中去掉，剩下的鸡兔就同只鸡的脚从总数中去掉，剩下的鸡兔就同样多了。每一对鸡和兔共样多了。每一对鸡和兔共4 42=62=6只脚，用只脚，用6 6去除剩下的鸡兔总脚数，就可去除剩下的鸡兔总脚数，就可求出兔的只数。求出兔的只数。兔的只数：（兔的只数：（168168230230）（4 42 2）=18=18只；只；鸡的只数：鸡的只数：181830=4830=48只。只。【练习【练习2】1，鸡兔共笼，鸡比兔多，鸡兔共笼，鸡比兔多25只，一

337、共有脚只，一共有脚170只。鸡、兔各几只？只。鸡、兔各几只？2，买甲、乙两种戏票，甲种票每张，买甲、乙两种戏票，甲种票每张4元，乙种票每张元，乙种票每张3元，乙种票比甲种票多买了元，乙种票比甲种票多买了9张，一共用去张，一共用去97元。两种票各买了几张？元。两种票各买了几张？3，鸡兔共有脚，鸡兔共有脚48只，如果将鸡的只数与兔的只数互换则共有脚只，如果将鸡的只数与兔的只数互换则共有脚42只。鸡、兔各几只？只。鸡、兔各几只？【例题【例题3】 某学校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分。共有12道题，王刚得了84分。王刚做错了几题？【思路导航】这类题实与鸡兔同笼同类，还用假设法进行思考

338、。这类题实与鸡兔同笼同类，还用假设法进行思考。若全做对，应得若全做对，应得912=108912=108分，现在少了分，现在少了10810884=2484=24分。为什么会少分。为什么会少2424分，分，因为做错一题，不但得不到因为做错一题，不但得不到9 9分，反而需要倒扣分，反而需要倒扣3 3分，里外少了分，里外少了1212分，所以分，所以错了错了2412=22412=2题。题。【练习【练习3】1，某小学进行英语竞赛，每答对一题得，某小学进行英语竞赛，每答对一题得10分，答错一题倒扣分，答错一题倒扣4分，共分，共15题，小华得了题，小华得了102分。小华答对几题？分。小华答对几题？2，运输衬衫

339、，运输衬衫400箱，规定每箱运费箱，规定每箱运费30元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿100元。运后运费为元。运后运费为8880元，损失了几箱？元，损失了几箱？3，某车间生产一批服装共，某车间生产一批服装共250件，生产件，生产1件可得件可得25元，如果有元，如果有1件不符合要求，则倒扣件不符合要求，则倒扣20元。生产后得到费用元。生产后得到费用5350元，有几件不符合要求？元，有几件不符合要求？【例题【例题4】 水果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小红每天吃2块水果糖，1块巧克力糖，若干天后，水果糖还剩下7块，巧克力糖正好吃完。原来水果糖有几块？【思路

340、导航】水果糖的块数是巧克力糖的水果糖的块数是巧克力糖的3 3倍，如果小红每天吃倍，如果小红每天吃1 1块巧克力糖，块巧克力糖，3 3块水果块水果糖，那若干天后，两种糖正好同时吃完。现在小红每天吃糖，那若干天后，两种糖正好同时吃完。现在小红每天吃2 2块水果糖，少块水果糖，少吃吃3 32=12=1块，结果若干天后水果糖还剩下块，结果若干天后水果糖还剩下7 7块。所以共吃了块。所以共吃了71=771=7天，水天，水果糖有果糖有27277=217=21块。块。【练习【练习4】1，小英家有些梨和苹果，苹果的个数是梨的，小英家有些梨和苹果，苹果的个数是梨的3倍，爸爸和小英每天各吃倍，爸爸和小英每天各吃1

341、个苹果，妈妈每天吃个苹果，妈妈每天吃1个梨。若干天后，苹果还剩个梨。若干天后，苹果还剩9个，而梨恰巧吃完。原来苹果有多少个？个，而梨恰巧吃完。原来苹果有多少个？2，某商店有些红气球和黄气球，红气球的只数是黄气球的，某商店有些红气球和黄气球，红气球的只数是黄气球的4倍。每天卖出倍。每天卖出2只红气球和只红气球和1只黄气球，若干天后，红气球剩下只黄气球，若干天后，红气球剩下12只，黄气球刚好卖完。红只，黄气球刚好卖完。红气球原来有多少只？气球原来有多少只？3，四（，四（3）班有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔是彩色粉笔的）班有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔是彩色粉笔的7倍。每天用去倍。每天用去2盒白

342、粉笔和盒白粉笔和1盒彩色粉笔，当彩色粉笔全部用完时，白色粉笔还剩盒彩色粉笔，当彩色粉笔全部用完时，白色粉笔还剩10盒。原来白色粉笔有多少盒？盒。原来白色粉笔有多少盒？【例题【例题5】 学校买来8张办公桌和6把椅子，共花去1650元。每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？【思路导航】假设学校买的全部是办公桌，根据假设学校买的全部是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的每张办公桌的价钱是每把椅子的2 2倍倍”，则买，则买6 6把椅子的价钱只能买把椅子的价钱只能买62=362=3张办公桌，那么张办公桌，那么16501650元就相当于元就相当于8 83=113=11张办公

343、桌的价钱。张办公桌的价钱。所以，每张办公桌：所以，每张办公桌：165011=150165011=150元元每把椅子：每把椅子：1502=751502=75元。元。【练习【练习5】1，买，买4张办公桌张办公桌9把椅子共用把椅子共用252元，元，1张桌子和张桌子和3把椅子的价钱正好相等。桌、椅单价各多少元？把椅子的价钱正好相等。桌、椅单价各多少元？2，学校买来，学校买来4个篮球和个篮球和5个排球，共用了个排球，共用了185元。已知元。已知1个篮球比个篮球比1个排球贵个排球贵8元，那么篮球每个多少元？排球每个多少元？元，那么篮球每个多少元？排球每个多少元？3，小明买，小明买2个乒乓球和个乒乓球和4个

344、皮球共用去个皮球共用去52元，元，6个乒乓球的价钱相当于个乒乓球的价钱相当于1个皮球的价钱。乒乓球、皮球的单位各多少元？个皮球的价钱。乒乓球、皮球的单位各多少元？第32讲 平均数问题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 在日常生活中，我们会遇到下面的问题：有几个杯子，里面的水有多有少，为了使杯中水一样多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反在日常生活中，我们会遇到下面的问题：有几个杯子，里面的水有多有少，为了使杯中水一样多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们所讲的复几次，直到几个杯子里的

345、水一样多。这就是我们所讲的“移多补少移多补少”，通常称之为平均数问题。，通常称之为平均数问题。解答平均数应用题关键是要求出总数量和总份数，然后再根据解答平均数应用题关键是要求出总数量和总份数，然后再根据“总数量总数量总份数总份数= =平均数平均数”这个数量关系式来解答。这个数量关系式来解答。【例题【例题1】 用4个同样的杯了装水，水面的高度分别是8厘米、5厘米、4厘米、3厘米。这4个杯子里水面的平均高度是多少厘米？【思路导航】根据已知条件，先求出根据已知条件，先求出4 4个杯子里水的总厘米数，再用总厘米数除以杯子个杯子里水的总厘米数，再用总厘米数除以杯子的个数就可以求出平均每个杯子里水面的高度

346、。的个数就可以求出平均每个杯子里水面的高度。（8 85 54 43 3）3=53=5厘米厘米【练习【练习1】1，小华期末测试语文、数学、英语、社会分别得了，小华期末测试语文、数学、英语、社会分别得了90分、分、96分、分、92分、分、98分，这四门的平均分是多少？分，这四门的平均分是多少？2，某校，某校14年级分别有年级分别有260人、人、300人、人、280人、人、312人，平均每个年级有多少人？人，平均每个年级有多少人？3，甲筐有梨，甲筐有梨32千克，乙筐有梨千克，乙筐有梨38千克，丙、丁筐共有梨千克，丙、丁筐共有梨50千克，平均每筐多少千克？千克，平均每筐多少千克？【例题【例题2】 幼儿

347、园小朋友做红花，小华做了7朵，小方做了9朵，小林和小宁合做了12朵。平均每个小朋友做了多少朵？【思路导航】根据已知条件，先求出做花的总朵数，再用花的总朵数除以人数就可求出根据已知条件，先求出做花的总朵数，再用花的总朵数除以人数就可求出平均每人做花的朵数。平均每人做花的朵数。（7 79 91212）4=74=7朵朵【练习【练习2】1，一个书架上第一层放书，一个书架上第一层放书52本，第二层和第三层共放本，第二层和第三层共放70本，第四层放了本，第四层放了46本，平均每层放书多少本？本，平均每层放书多少本？2，某工厂第一、二车间共有工人，某工厂第一、二车间共有工人180人，第三车间有人，第三车间有

348、103人，第四车间有人，第四车间有81人。平均每个车间多少人？人。平均每个车间多少人？3，商店有蓝色气球和红色气球共，商店有蓝色气球和红色气球共43只，黄气球有只，黄气球有20只，绿气球有只，绿气球有33只。平均每种气球多少只？只。平均每种气球多少只？【例题【例题3】 植树小组植一批树，3天完成。前2天共植113棵，第3天植了55棵。植树小组平均每天植树多少棵？【思路导航】要求植树小组平均每天植树的棵数，必须知道植树的总棵数和植树的天数，要求植树小组平均每天植树的棵数，必须知道植树的总棵数和植树的天数，植树的总棵数用前植树的总棵数用前2 2天植的天植的113113棵加上第棵加上第3 3天植的天

349、植的5555棵：棵：11311355=16855=168棵，植棵，植树的天数为树的天数为3 3天。所以，平均每天植树：天。所以，平均每天植树：1683=561683=56棵。棵。【练习【练习3】1，小佳期中考试语文、数学总分为，小佳期中考试语文、数学总分为197分，外语考了分，外语考了91分，小佳三门功课的平均成绩是多少分？分，小佳三门功课的平均成绩是多少分？2，小红、小青的平均身高是，小红、小青的平均身高是103厘米，小军的身高是厘米，小军的身高是115厘米，三个人的平均身高是多少厘米？厘米，三个人的平均身高是多少厘米？3，一个同学读一本故事书，前，一个同学读一本故事书，前4天每天读天每天读

350、25页，以后每天读页，以后每天读40页，又读了页，又读了6天正好读完。这个同学平均每天读多少页？天正好读完。这个同学平均每天读多少页？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题4】 辆摩托车从甲地开往乙地，前2小时每小时行驶60千米，后3小时每小时行驶70千米。平均每小时行驶多少千米？【思路导航】根据已知条件，先求这辆摩托车行驶的总路程：根据已知条件，先求这辆摩托车行驶的总路程：602602703=330703=330千米，千米，再求行驶的总时间：再求行驶的总时间：2 23=53=5小时。所以，平均每小时行驶：小时。所以，平均每小时行驶：3305=663305=66千千米。米。【练习【练习4

351、】1，小华家先后买了两批小鸡，第一批的，小华家先后买了两批小鸡，第一批的20只每只重只每只重60克，第二批的克，第二批的30只每只重只每只重70克。小华家的小鸡平均多重？克。小华家的小鸡平均多重？2，少先队员为饲养场割草，第一组，少先队员为饲养场割草，第一组7人，平均每人割草人，平均每人割草13千克，第二组千克，第二组5人，平均每人割人，平均每人割25千克。平均每人割草多少千克？千克。平均每人割草多少千克？3，一小组同学量身高，其中，一小组同学量身高，其中2人都是人都是124厘米，另外厘米，另外4人都是人都是130厘米。这组同学的平均身高是多少？厘米。这组同学的平均身高是多少？【例题【例题5】

352、 数学测试中，一组学生的最高分是98分，最低分是86分，其余5名学生的平均分为92分。这一组学生的平均分是多少分？【思路导航】要求平均分，应用总分数要求平均分，应用总分数总人数总人数= =平均分，依题意，总分数为：平均分，依题意，总分数为：98988686925=644925=644分，总人数为：分，总人数为：1 11 15=75=7人。人。所以，这组学生的平均分为：所以，这组学生的平均分为：6447=926447=92分。分。【练习【练习5】1，一组同学进行立定跳远，最远的跳了，一组同学进行立定跳远，最远的跳了152厘米，最近的跳了厘米，最近的跳了144厘米，其余厘米，其余6名同学都跳了名同

353、学都跳了148厘米。这一组同学的平均跳厘米。这一组同学的平均跳远成绩是多少？远成绩是多少？2，一组学生测量身高，最高的是，一组学生测量身高，最高的是150厘米，最矮的是厘米，最矮的是136厘米，其余厘米，其余4名同学都是名同学都是143厘米。这组同学的平均身高是多少？厘米。这组同学的平均身高是多少？3，音乐考试中，一组学生中有，音乐考试中，一组学生中有2人得了最高分人得了最高分90分，分，1人得了最低分人得了最低分70分，其余分，其余5名同学都得了名同学都得了78分。这组学生的平均成绩是多少？分。这组学生的平均成绩是多少？第33讲 平均数问题小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一

354、反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 前面我们已经向同学们介绍了用基本数量关系式来求平均数的方法了，如果题目中没有直接告诉我们总数量以及总份数，那又该怎么办呢？这类前面我们已经向同学们介绍了用基本数量关系式来求平均数的方法了，如果题目中没有直接告诉我们总数量以及总份数，那又该怎么办呢？这类题可以拓宽同学们的解题思路，从而提高解题的能力。题可以拓宽同学们的解题思路，从而提高解题的能力。解答平均数问题的关键是要找准问题与条件，条件与条件之间相对应的关系，通常要先确定总数量以及与总数量相对应的总份数，再求平均数。解答平均数问题的关键是要找准问题与条件，条件与条件之间相对应的关系，通常要先确定总数量

355、以及与总数量相对应的总份数，再求平均数。【例题【例题1】 华华3次数学测验的平均成绩是89分，4次数学测验的平均成绩是90分。第4次测验多少分？【思路导航】根据根据3 3次数学测验平均成绩是次数学测验平均成绩是8989分，可求出分，可求出3 3次测验的总成绩是次测验的总成绩是893=267893=267分；根据分；根据4 4次数学测验平均成绩是次数学测验平均成绩是9090分，可以求出分，可以求出4 4次测验的总成绩是次测验的总成绩是904=360904=360分，最后求出第分，最后求出第4 4次测验成绩是：次测验成绩是：360360267=93267=93分。分。也可以这样想：也可以这样想：4

356、 4次测验的平均成绩比次测验的平均成绩比3 3次的平均成绩多了次的平均成绩多了909089=189=1分，分，4 4次共多出了次共多出了14=414=4分，那么第分，那么第4 4次的测验成绩就是次的测验成绩就是89894=934=93分。分。【练习【练习1】1，有，有4个采茶小队，甲、乙、丙三个小队平均每队采个采茶小队，甲、乙、丙三个小队平均每队采20千克，甲、乙、丙、丁四个队平均每队采千克，甲、乙、丙、丁四个队平均每队采22千克。丁队采了多少千克千克。丁队采了多少千克？2，期中考试后，王英的语文、数学平均成绩是，期中考试后，王英的语文、数学平均成绩是92分，加上英语后，三门的平均成绩是分，加

357、上英语后，三门的平均成绩是93分。英语考了多少分？分。英语考了多少分？3，明明、红红两人的平均体重是，明明、红红两人的平均体重是32千克，加上英英的体重后，他们的平均体重就上升了千克，加上英英的体重后，他们的平均体重就上升了1千克。英英重多少千克？千克。英英重多少千克？【例题【例题2】 宁宁期中考试语文、数学、自然的平均分是91分，英语成绩公布后，他的平均分提高了2分。宁宁英语考了多少分？【思路导航】 宁宁语文、数学、自然的平均分是宁宁语文、数学、自然的平均分是9191分，可以求出三门功课的总分为分，可以求出三门功课的总分为913=273913=273分；英语成绩公布后，四门功课的平均分为分；

358、英语成绩公布后，四门功课的平均分为91912=932=93分，总分分，总分为为934=372934=372分，所以，英语成绩为分，所以，英语成绩为372372273=99273=99分。分。【练习【练习2】1，小英，小英4次数学测验的平均分是次数学测验的平均分是92分，分，5次数学测验的平均分比次数学测验的平均分比4次的平均分提高次的平均分提高1分。小英第分。小英第5次测验得多少分？次测验得多少分？2，小王、小张、小刘三人体育测试平均成绩是，小王、小张、小刘三人体育测试平均成绩是82分，如果加上小顾，四人平均成绩就提高了分，如果加上小顾，四人平均成绩就提高了4分。小顾体育测试分数是多少？分。小

359、顾体育测试分数是多少？3，一个同学读一本书，共，一个同学读一本书，共10天读完，平均每天读天读完，平均每天读8页。前页。前5天他平均每天读天他平均每天读6页，后页，后4天这个同学平均每天读多少页？天这个同学平均每天读多少页？【例题【例题3】 有7个数的平均数为8，如果把其中一个数改为1，这时7个数的平均数是7。这个被改动的数原来是几？【思路导航】改动前，改动前，7 7个数的平均数为个数的平均数为8 8，这，这7 7个数的总和是个数的总和是87=5687=56；改动后；改动后7 7个数的个数的平均数是平均数是7 7，这时，这时7 7个数的总和是个数的总和是77=4977=49，改动前后总和相差了

360、，改动前后总和相差了565649=749=7，这说明原数比，这说明原数比1 1多了多了7 7，因而原数为，因而原数为1 17=87=8。【练习【练习3】1，有，有5个数的平均数是个数的平均数是5，如果把其中一个数改为，如果把其中一个数改为2，这，这5个数的平均数是个数的平均数是4。这个被改动的数原来是几？。这个被改动的数原来是几？2，期中考试中小明，期中考试中小明4门功课的平均分是门功课的平均分是94分，由于老师批改的错误，其中有一门功课的成绩被改为分，由于老师批改的错误，其中有一门功课的成绩被改为87分，这时分，这时4门功课的平均分是门功课的平均分是92分。这个被改动分。这个被改动的成绩原来

361、是多少？的成绩原来是多少？3，有，有3个数的平均数是个数的平均数是3，如果把其中一个数改为，如果把其中一个数改为10，那么这，那么这3个数的平均数是个数的平均数是5。这个被改动的数原来是多少？。这个被改动的数原来是多少？【例题【例题4】 有4个数，这4个数的平均数是21，其中前两个数的平均数是15，后3个数的平均数是26。第二个数是多少？【思路导航】根据根据“4“4个数的平均数是个数的平均数是15”15”可以得出可以得出4 4个数的总数就是个数的总数就是214=84214=84；又根据；又根据“前前2 2个数的平均数是个数的平均数是1515，后，后3 3个数的平均数是个数的平均数是26”26”

362、可以得出它们的总数为可以得出它们的总数为152152263=108263=108，其中第二个数被重复算了一次，所以总数就多出了，其中第二个数被重复算了一次，所以总数就多出了10810884=2484=24，这多出的，这多出的2424就是第二个数。就是第二个数。【练习【练习4】1，有，有4个数，它们的平均数是个数，它们的平均数是34，其中前，其中前3个数的平均数是个数的平均数是30，后，后2个数的平均数是个数的平均数是36。第三个数是多少？。第三个数是多少？2，有，有4个数，平均数是个数，平均数是100，前两个数的平均数是，前两个数的平均数是95，后，后3个数的平均数是个数的平均数是98。第二个

363、数是多少？。第二个数是多少？3，小林的语文、数学、英语、社会，小林的语文、数学、英语、社会4门测试的平均分是门测试的平均分是89，前，前3门的平均分为门的平均分为92，后两门的平均分为，后两门的平均分为88。小林英语测试多少分？。小林英语测试多少分？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题5】 甲地到乙地相距30千米，爸爸骑自行车从甲地到乙地每小时行15千米，从乙地到甲地每小时行10千米。求爸爸往返的平均速度。【思路导航】求爸爸往返的平均速度，必须知道总路程和总时间，总路程是两个全程，求爸爸往返的平均速度，必须知道总路程和总时间，总路程是两个全程，即即302=60302=60千米；总时间是

364、去的时间与返回的时间的和，即千米；总时间是去的时间与返回的时间的和，即301530153010=53010=5小时。所以，爸爸往返的平均速度是：小时。所以，爸爸往返的平均速度是：605=12605=12（千米（千米/ /小时）。小时）。【练习【练习5】1，摩托车驾驶员以每小时，摩托车驾驶员以每小时20千米的速度行了千米的速度行了60千米，返回时每小时行千米，返回时每小时行30千米。往返全程的平均速度是多少千米？千米。往返全程的平均速度是多少千米？2，一辆汽车以每小时，一辆汽车以每小时20千米的速度上坡，行了千米的速度上坡，行了120千米，然后用每小时千米，然后用每小时30千米的速度返回。求这辆

365、汽车全程的平均速度。千米的速度返回。求这辆汽车全程的平均速度。3，某生产小组一天的工作任务都是生产，某生产小组一天的工作任务都是生产300个零件。第一天以每小时个零件。第一天以每小时30个的速度完成任务，第二天以每小时生产个的速度完成任务，第二天以每小时生产60个的速度完成任务。在这两天的工个的速度完成任务。在这两天的工作时间内，平均每小时生产多少个？作时间内，平均每小时生产多少个？第34讲 简单推理（一）小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 小文比小林高，小林比小佳高，那我们可以推断，小文一定比小佳长得高，这也是一种推理。与前面推理题不同

366、的是，这种推理解答时不需要或小文比小林高，小林比小佳高，那我们可以推断，小文一定比小佳长得高，这也是一种推理。与前面推理题不同的是，这种推理解答时不需要或很少用到计算，而要求我们根据题目中给出的已知条件，通过分析和判断，得出正确合理的结论。很少用到计算，而要求我们根据题目中给出的已知条件，通过分析和判断，得出正确合理的结论。做推理题时，要根据已知条件认真分析，为了找到突破口，有时先假设一个结论是正确的，然后验证它是不是符合所给的一切条件，若没有矛盾，说做推理题时，要根据已知条件认真分析，为了找到突破口，有时先假设一个结论是正确的，然后验证它是不是符合所给的一切条件，若没有矛盾，说明推理正确，否

367、则再换个结论来验证。明推理正确，否则再换个结论来验证。【例题【例题1】 红红、聪聪和颖颖都戴着太阳帽去参加野炊活动，她们戴的帽子一个是红的，一个是黄的，一个蓝的。只知道红红没有戴黄帽子，聪聪既不载黄帽子，也不戴蓝帽子。请你判断红红、聪聪和颖颖分别戴的是什么颜色的帽子？【思路导航】从已知条件中可知，从已知条件中可知，“聪聪既不戴黄帽子，也不载蓝帽子聪聪既不戴黄帽子，也不载蓝帽子”是个关键条件，是个关键条件，因为因为3 3个人戴的帽子只有红、黄、蓝三种颜色，因此排除黄、蓝两种颜色，个人戴的帽子只有红、黄、蓝三种颜色，因此排除黄、蓝两种颜色，聪聪只能戴红帽子；又根据聪聪只能戴红帽子；又根据“红红没戴

368、黄帽子红红没戴黄帽子”可知红红戴蓝帽子，因此可知红红戴蓝帽子，因此颖颖只能戴黄帽子。颖颖只能戴黄帽子。【练习【练习1】1，爸爸买回，爸爸买回3双袜子，其中双袜子，其中2双是花袜子，双是花袜子，1双是红袜子，爸爸塞了一双花袜子给妹妹，又塞了一双红袜子给哥哥，把剩下的双是红袜子，爸爸塞了一双花袜子给妹妹，又塞了一双红袜子给哥哥，把剩下的1双藏在自己手中，让兄妹俩猜是什么颜色的，谁猜对就把袜子给谁。你们说，谁肯定会猜对？双藏在自己手中，让兄妹俩猜是什么颜色的，谁猜对就把袜子给谁。你们说，谁肯定会猜对？2，黄颖、李红和马娜都穿着新衣服，她们穿的衣服一个是花的，一个是粉红的，一个是蓝的。已知黄颖穿的不是

369、花衣服，李红既不穿蓝衣服，也不，黄颖、李红和马娜都穿着新衣服，她们穿的衣服一个是花的，一个是粉红的，一个是蓝的。已知黄颖穿的不是花衣服，李红既不穿蓝衣服，也不穿花衣服。她们分别穿什么颜色的衣服？穿花衣服。她们分别穿什么颜色的衣服？3，某班学生中，如果有红色铅笔的人就没有黄色铅笔，没有红色铅笔的人有蓝色铅笔，那有黄色铅笔的人，一定有蓝铅笔吗？，某班学生中，如果有红色铅笔的人就没有黄色铅笔，没有红色铅笔的人有蓝色铅笔，那有黄色铅笔的人，一定有蓝铅笔吗？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题2】 一个正方体有六个面，每个面分别涂有红、绿、黄、白、蓝、黑六种颜色，你能根据这个正方体的三种不同的摆

370、法，判断出这个正方体每一种颜色对面各是什么颜色吗？【思路导航】 如果直接思考某种颜色对面是什么颜色比较困难，可以换一种思维方式，如果直接思考某种颜色对面是什么颜色比较困难，可以换一种思维方式，想想某种颜色对面不应该是哪种颜色。想想某种颜色对面不应该是哪种颜色。从图（从图（1 1）中可看出红色的对面肯定不是黑色和白色；从图（）中可看出红色的对面肯定不是黑色和白色；从图（2 2）可看出红）可看出红色对面肯定不是黄色和绿色，所以红色的对面是蓝色。色对面肯定不是黄色和绿色，所以红色的对面是蓝色。从图（从图（2 2）可看出黄色对面肯定不是绿色和红色；从图（）可看出黄色对面肯定不是绿色和红色；从图（3 3

371、）可以看出黄色）可以看出黄色对面肯定不是蓝色和白色，所以黄色对面是黑色。剩下的白色的对面肯定对面肯定不是蓝色和白色，所以黄色对面是黑色。剩下的白色的对面肯定是绿色。是绿色。【练习【练习2】1，有一个正方体，每个面上分别写着，有一个正方体，每个面上分别写着1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察，结果如下：这个正方体每个数的对，有三个人从不同的角度观察，结果如下：这个正方体每个数的对面是什么数？面是什么数？2，一个正方体，每个面上分别写有，一个正方体，每个面上分别写有A、B、C、D、E、F，根据它三种不同的摆法，判断这个正方体每个字母的对面是什么？，根据它三种不同的摆法，判断这个正方体每

372、个字母的对面是什么？3，把一个正方体的六个面分别编上，把一个正方体的六个面分别编上16六个数字，现在用这样的四个小正方体拼成一个长方体，相对两个面分别是几和几？六个数字，现在用这样的四个小正方体拼成一个长方体，相对两个面分别是几和几？【例题【例题3】 已知某月中，星期二的天数比星期一的天数多，而星期三的天数比星期四的天数多。那么这个月最后一天是星期几？【思路导航】我们可以这样想：一周有我们可以这样想：一周有7 7天，一个月最多有天，一个月最多有3131天，天，317=4317=4周周33天，天，这说明一个月中，无论是星期几，最少有这说明一个月中，无论是星期几，最少有4 4个，最多有个，最多有5

373、 5个。这样问题可以个。这样问题可以转化为：某月星期二和星期三都是转化为：某月星期二和星期三都是5 5个，而星期一和星期四都是个，而星期一和星期四都是4 4个。根据个。根据转化的条件，我们可画出下面的月历表：不难看出，这个月是小月，最后转化的条件，我们可画出下面的月历表：不难看出，这个月是小月，最后一天是星期三。一天是星期三。同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习3】1，某年二月，星期日的天数最多，那么这个月最后一天是星期几？，某年二月，星期日的天数最多，那么这个月最后一天是星期几？2，某月中，星期日的天数比星期六的天数多，而星期四的天数比星期三的天数多。那么这个月最后一天是星期几？，某

374、月中，星期日的天数比星期六的天数多，而星期四的天数比星期三的天数多。那么这个月最后一天是星期几？3，某月中，星期四的天数比星期五的天数多，星期二的天数比星期一的天数多。这个月的第一天是星期几？，某月中，星期四的天数比星期五的天数多，星期二的天数比星期一的天数多。这个月的第一天是星期几？【例题【例题4】 王帆、李昊、吴一凡三人中，有一人看了地球奥秘这部科技片。当老师问他们三个谁看了这部科技片时：王帆说：“李昊看了。”李昊说：“我没有看。”吴一凡说：“我没有看。”如果知道他们三人中有两人说了假话，有一人说的是真话，你能判断谁看了这部影片吗？【思路导航】我们可以这样想：假设是王帆看了这部影片，那么王

375、帆说的是假话，李昊我们可以这样想：假设是王帆看了这部影片，那么王帆说的是假话，李昊和吴一凡说的是真话，这样与三人中有两人说了假话、一人说了真话不符，和吴一凡说的是真话，这样与三人中有两人说了假话、一人说了真话不符，因而王帆没看这部影片；因而王帆没看这部影片；假设是李昊看了这部影片，那么王帆和吴一凡说了真话，李昊说了假话，假设是李昊看了这部影片，那么王帆和吴一凡说了真话，李昊说了假话，这与两人说了假话、一人说了真话不符，因而李昊没看这部影片；这与两人说了假话、一人说了真话不符，因而李昊没看这部影片；假设吴一凡看了这部影片，那么王帆和吴一凡说了假话，只有李昊一人说假设吴一凡看了这部影片，那么王帆和

376、吴一凡说了假话，只有李昊一人说了真话，因而我们可以断定是吴一凡看了这部影片。了真话，因而我们可以断定是吴一凡看了这部影片。【练习【练习4】1，王峰、朱红、王艺三人中，有一人打碎了玻璃，当老师问谁打碎玻璃时：，王峰、朱红、王艺三人中，有一人打碎了玻璃，当老师问谁打碎玻璃时：王峰说：王峰说：“朱红打碎的。朱红打碎的。” 朱红说：朱红说：“我没打碎。我没打碎。” 王艺说：王艺说：“我没打碎。我没打碎。”他们三人中有两人说了假话，有一人说的是真话。你能判断是谁打碎了玻璃吗？他们三人中有两人说了假话，有一人说的是真话。你能判断是谁打碎了玻璃吗？2，小张、小王、小李三人参加宴会，他们分别喝了一杯酒、两杯酒

377、、三杯酒，当小吴问他们各喝了几杯时：，小张、小王、小李三人参加宴会，他们分别喝了一杯酒、两杯酒、三杯酒，当小吴问他们各喝了几杯时：小张说：小张说：“我喝了两杯。我喝了两杯。” 小李说：小李说：“我喝得最少。我喝得最少。” 小王说：小王说：“我喝的杯数不是偶数。我喝的杯数不是偶数。”他们三人只有一人讲得不对，他们各喝了几杯？他们三人只有一人讲得不对，他们各喝了几杯？3，运动场上，有，运动场上，有1、2、3、4四个班正在进行接力赛对于比赛胜负，在一旁的张明、王浩、李哲进行猜测。四个班正在进行接力赛对于比赛胜负，在一旁的张明、王浩、李哲进行猜测。张明说：张明说：“我看一班只能得第三，冠军肯定是三班。

378、我看一班只能得第三，冠军肯定是三班。”王浩说：王浩说：“三班只能得第二，至于第三名，我看是二班。三班只能得第二，至于第三名，我看是二班。”李哲说：李哲说：“肯定四班第二，一班第一。肯定四班第二，一班第一。”而真正的结果，他们每人的预测只对了一半。请你根据他们的猜测，推出比赛结果。而真正的结果，他们每人的预测只对了一半。请你根据他们的猜测，推出比赛结果。同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题5】 张老师、王老师和李老师三位老师，其中一位老师教美术，一位老师教音乐，一位老师教书法。已知：（1）张老师比教音乐的老师年龄大；（2）王老师比教美术的老师年龄小；（3）教美术的老师比李老师年龄小。问：

379、三位老师各教什么课？【思路导航】我们可画出一张空白表，用我们可画出一张空白表，用“”“”表示是，用表示是，用“”“”表示不是：表示不是：【练习【练习5】1，小王、小李和小徐三人中，一位是教师，一位是工人，一位是工程师。现在知道：，小王、小李和小徐三人中，一位是教师，一位是工人，一位是工程师。现在知道：（1）小徐比工人年龄大；）小徐比工人年龄大；（2）小王和教师不同岁；）小王和教师不同岁；（3）教师比小李年龄小。）教师比小李年龄小。请问：小王、小李和小徐各自做什么工作？请问：小王、小李和小徐各自做什么工作？2，刘艺、王天、张明三个男孩都有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行男女混合双打。事先规定

380、：兄妹俩不可搭伴；第一盘由刘艺和小红对张，刘艺、王天、张明三个男孩都有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行男女混合双打。事先规定：兄妹俩不可搭伴；第一盘由刘艺和小红对张明和小英；第二盘中由张明和小平对王天和刘艺的妹妹。小红、小英、小平各是谁的妹妹？明和小英；第二盘中由张明和小平对王天和刘艺的妹妹。小红、小英、小平各是谁的妹妹？3，甲、乙、丙三位老师分别教语文、数学、英语课。，甲、乙、丙三位老师分别教语文、数学、英语课。（1）甲上课全用汉语；）甲上课全用汉语；（2）英语老师是一位学生的哥哥；）英语老师是一位学生的哥哥；（3）丙是一位女教师，她比数学老师泼。）丙是一位女教师，她比数学老师泼。请问：

381、三位老师各教什么课？请问：三位老师各教什么课？第35讲 巧求周长小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方形、正方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方形、正方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？计算公式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后

382、再利用周长公式进行对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。计算。将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长或宽。正方形，图形周长就会减少几个长或宽。【例题【例题1】 下图是一个楼梯的侧面图，求此图形的周长？【思路导航】如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台

383、阶同样高的地方，把每层台阶如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台阶的高度向右移到和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼梯侧的高度向右移到和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼梯侧面图就转化为一个长方形，然后我们利用长方形周长计算公式求出此图形面图就转化为一个长方形，然后我们利用长方形周长计算公式求出此图形的周长。的周长。（2 23 3）2=102=10米。米。【练习【练习1】1，下图是一个楼梯的侧面，如果在阶梯上铺地毯，要计算地毯的长度，可以怎样测量？，下图是一个楼梯的侧面，如果在阶梯上铺地毯，要计算地毯的长度，可以怎样测量？2，如下图所示，小明和小玲同

384、时从学校到少儿书店，小明沿，如下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A路线行走，小玲沿路线行走，小玲沿B路线行走。如果两人速度一样，谁先到少儿书店？为什么？路线行走。如果两人速度一样，谁先到少儿书店？为什么？3，下图是一个，下图是一个“凹凹”字形的花园，求花园的周长。（单位：米）字形的花园，求花园的周长。（单位：米）【例题【例题2】 下图是由6个边长2厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？【思路导航】 这题我们可以用平移的方法将它转化为一个长方形，如下图：这题我们可以用平移的方法将它转化为一个长方形，如下图：这个长方形的长含有这个长方形的长含有4 4个小正方形的边长，长为个小

385、正方形的边长，长为24=824=8厘米；宽含有厘米；宽含有2 2个小个小正方形的边长，宽为正方形的边长，宽为22=422=4厘米。这个长方形的周长为：（厘米。这个长方形的周长为：（24242222）2=242=24厘米。厘米。【练习【练习2】1，下图是由，下图是由5个边长为个边长为3厘为的正方形组成的图形，求此图形的周长厘为的正方形组成的图形，求此图形的周长2，下图是由，下图是由6个边长为个边长为2厘米的正方形组成的，求此图形的周长。厘米的正方形组成的，求此图形的周长。3，用，用24个边长是个边长是1厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米？厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形

386、的周长是多少厘米？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题3】 两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减少了6厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米？【思路导航】根据题意，画出下图。根据题意，画出下图。当两个正方形拼成一个长方形时，组成两个正方形的当两个正方形拼成一个长方形时，组成两个正方形的8 8条边就减少了条边就减少了2 2条，条，而已知两条边的和是而已知两条边的和是6 6厘米，那么一条边长就是厘米，那么一条边长就是62=362=3厘米。所以，原来厘米。所以，原来正方形的周长是：正方形的周长是：34=1234=12厘米。厘米。【练习【练习3】1，把两个大小相同

387、的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的周长和减少，把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的周长和减少10厘米。原来一个正方形的周长是多厘米。原来一个正方形的周长是多少？少？2，把一个正方形剪成两个大小相同的长方形后，两个长方形的周长和比原来正方形的周长增加，把一个正方形剪成两个大小相同的长方形后，两个长方形的周长和比原来正方形的周长增加28分米。原来正方形的周长是多少？分米。原来正方形的周长是多少？3，把边长是，把边长是48厘米的正方形剪成三个同样大小的长方形，算一算，每个长方形的周长是多少厘米？厘米的正方形剪成三个同样大小的长方形，算一算，每个长方形的周长是多

388、少厘米？【例题【例题4】 一个正方形，边长是5厘为，将9个这样的正方形如下图一样拼成一个大正方形，问：拼成的大正方形的周长是多少？【思路导航】从图上可以看出，从图上可以看出，9 9个小正方形拼成的大正方形共有个小正方形拼成的大正方形共有3 3排，每排由排，每排由3 3个小正个小正方形组成。已知小正方形的边长是方形组成。已知小正方形的边长是5 5厘米，所以大正方形的边长就是厘米，所以大正方形的边长就是53=1553=15厘米，大正方形的周长就是厘米，大正方形的周长就是154=60154=60厘米。厘米。【练习【练习4】1，把，把16个边长为个边长为3厘米的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的

389、周长是多少厘米？厘米的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少厘米？2，把，把6个边长为个边长为4厘米的小正方形如下图拼成一个长方形，这个长方形的周长为多少厘米？厘米的小正方形如下图拼成一个长方形，这个长方形的周长为多少厘米？3，把，把6个长为个长为3厘米、宽为厘米、宽为2厘米的小长方形如下图拼成一个大长方形，这个大长方形的周长是多少？厘米的小长方形如下图拼成一个大长方形，这个大长方形的周长是多少？【例题【例题5】 将一张边长为36厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片，这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？【思路导航】将边长将边长3636厘米的正方形，沿竖

390、直方向剪一刀，周长的和就比原来大正方形厘米的正方形，沿竖直方向剪一刀，周长的和就比原来大正方形周长增加周长增加2 2个边长；再沿水平方向剪一刀，又增加个边长；再沿水平方向剪一刀，又增加2 2个边长，一共增加个边长，一共增加2222个边长。所以这个边长。所以这4 4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了364=144364=144厘米。厘米。【练习【练习5】1，将一张边长为，将一张边长为12厘米的正方形纸，剪成厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形，那么这个完全一样的小正方形，那么这4个小正方形周长之和比原来的大正方形的周长个小正方形周长之和比原

391、来的大正方形的周长增加了多少厘米？增加了多少厘米？2，把一个边长为，把一个边长为20厘米的正方形，如下图剪成厘米的正方形，如下图剪成6个完全一样的小长方形，这个完全一样的小长方形，这6个小长方形周长的和与原来的正方形相比，增加了多少厘米？个小长方形周长的和与原来的正方形相比，增加了多少厘米？3，将一个长为，将一个长为8分米，宽为分米，宽为6分米的长方形如下图剪成分米的长方形如下图剪成6个完全一样的小长方形，这个完全一样的小长方形，这6个小长方形周长之和比原来的正方形周长增加了多少分米？个小长方形周长之和比原来的正方形周长增加了多少分米？第36讲 巧求周长小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一

392、反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 在解答比较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式往往行不通，这时灵活地运用所学知识在解题中显得相当的重要。在解答比较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式往往行不通，这时灵活地运用所学知识在解题中显得相当的重要。解答稍复杂的有关长方形、正方形周长的问题，首先要仔细观察，认真思考，想想已知条件和要求问题之间有什么联系，应该先求什么，再求什么，解答稍复杂的有关长方形、正方形周长的问题，首先要仔细观察，认真思考，想想已知条件和要求问题之间有什么联系，应该先求什么，再求什么，然后灵活运用长方形、正方形周长公式进行计算。

393、然后灵活运用长方形、正方形周长公式进行计算。【例题【例题1】 把长130厘米的铁丝围成一个长方形，接头处重合2厘米，要使长比宽多18厘米，长和宽各是多少厘米？【思路导航】把长把长130130厘米的铁丝围成一个长方形，去掉接头处重合的厘米的铁丝围成一个长方形，去掉接头处重合的2 2厘米，可知围成厘米，可知围成的长方形的周长为的长方形的周长为1301302=1282=128厘米。因为长方形的周长厘米。因为长方形的周长= =（长宽）（长宽）22，所以长与宽的和为所以长与宽的和为1282=641282=64厘米。又因为题目中还告诉长与宽的差为厘米。又因为题目中还告诉长与宽的差为1818厘米，因此这道题

394、可以转化为和差应用题来解。厘米，因此这道题可以转化为和差应用题来解。13-2=12813-2=128厘米厘米1282=641282=64厘米厘米长：（长：（64641818）2=412=41厘米厘米宽：（宽：（64641818）2=232=23厘米厘米【练习【练习1】1，如图：已知这个长方形的周长为，如图：已知这个长方形的周长为38厘米，阴影部分为正方形，求长方形的长和宽。厘米，阴影部分为正方形，求长方形的长和宽。2，小华家给长方形的院子装上了篱笆墙，由于门宽，小华家给长方形的院子装上了篱笆墙，由于门宽2米，所以篱笆墙共长米，所以篱笆墙共长16米，而这个长方形的宽是长的一半。长和宽各是多少米？

395、米，而这个长方形的宽是长的一半。长和宽各是多少米？3，一个周长为，一个周长为20厘米的正方形，从中间剪开成为两个大小相等的长方形。这两个长方形周长共多少厘米？厘米的正方形，从中间剪开成为两个大小相等的长方形。这两个长方形周长共多少厘米？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题2】 一根铁丝长80厘米，围成一个边长为8厘米的正方形，余下的铁丝围成一个长为14厘米的长方形。这个长方形的宽是多少厘米？【思路导航】 要求长方形的宽是多少，必须先求出这个长方形的周长是多少，也就是这要求长方形的宽是多少，必须先求出这个长方形的周长是多少，也就是这根铁丝余下的长度。根铁丝余下的长度。（1 1）正方形的周

396、长：）正方形的周长：84=3284=32厘米厘米（2 2）长方形的周长：）长方形的周长：808032=4832=48厘米厘米（3 3）长方形的宽：）长方形的宽：48248214=1014=10厘米厘米【练习【练习2】1，一根铁丝长，一根铁丝长100厘米，围成一个边长为厘米，围成一个边长为10厘米的正方形，余下的铁丝围成一个宽为厘米的正方形，余下的铁丝围成一个宽为10厘米的长方形。这个长方形的长是多厘米的长方形。这个长方形的长是多少厘米？少厘米？2，一根绳子长，一根绳子长78厘米，围成一个长厘米，围成一个长12厘米，宽厘米，宽9厘米的长方形，余下的围成一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？厘米

397、的长方形，余下的围成一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？3，一根铁丝围成一个边长为，一根铁丝围成一个边长为7厘米的正方形，余下的正好围成一个长为厘米的正方形，余下的正好围成一个长为12厘米、宽为厘米、宽为10厘米的长方形。这根铁丝长多少厘米？厘米的长方形。这根铁丝长多少厘米？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题3】 一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽都是4厘米。长方形的长是多少厘米？【思路导航】根据长方形的周长是正方形的根据长方形的周长是正方形的2 2倍，我们就应先求出正方形的周长，然后倍，我们就应先求出正方形的周长，然后根据它们之间的关系，求出长方形的周长，

398、再求出长方形的长。根据它们之间的关系，求出长方形的周长，再求出长方形的长。（1 1）正方形的周长：）正方形的周长：44=1644=16厘米厘米（2 2）长方形的周长：）长方形的周长：162=32162=32厘米厘米（3 3）长方形的长：）长方形的长：3223224=124=12厘米。厘米。【练习【练习3】1，一个长方形的周长是正方形的，一个长方形的周长是正方形的4倍，正方形边长与长方形的宽为倍，正方形边长与长方形的宽为6厘米。长方形长多少厘米？厘米。长方形长多少厘米？2，一个长方形的周长是正方形的，一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽为倍，正方形的边长与长方形的宽为10厘米

399、。长方形的长是多少厘米？厘米。长方形的长是多少厘米？3，一张长方形纸，长，一张长方形纸，长28厘米，宽厘米，宽15厘米，剪下一个最大的正方形后，余下的长方形纸周长是多少？厘米，剪下一个最大的正方形后，余下的长方形纸周长是多少？【例题【例题4】 三个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长是48厘米，求每个长方形的周长。【思路导航】要求每个长方形的周长必须先求出每个长方形的长和宽，长方形的长正好要求每个长方形的周长必须先求出每个长方形的长和宽，长方形的长正好是正方形的边长，宽是把正方形的边长平均分成是正方形的边长，宽是把正方形的边长平均分成3 3份，其中的份，其中的1 1份，根据正份，根

400、据正方形的周长是方形的周长是4848厘米，可求出它的边长为厘米，可求出它的边长为484=12484=12厘米，那么长方形的周厘米，那么长方形的周长是（长是（12124 4）2=322=32厘米。厘米。【练习【练习4】1，四个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长为，四个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长为64厘米，长方形周长是多少？厘米，长方形周长是多少？2，六个同样大小的长方形正好拼成一个如下图的正方形，正方形周长为，六个同样大小的长方形正好拼成一个如下图的正方形，正方形周长为48厘米，每个长方形周长是多少？厘米，每个长方形周长是多少？3，明明用学具盒里的三个同样大小

401、的长方形拼成了一个大长方形，已知大长方形的周长是，明明用学具盒里的三个同样大小的长方形拼成了一个大长方形，已知大长方形的周长是60厘米，长是宽的厘米，长是宽的4倍，求小长方形的周长。倍，求小长方形的周长。同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题5】 一张长方形的纸，长是28厘米，宽是15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，再剪下一个最大的正方形。最后余下的长方形周长是多少？【思路导航】根据题中的要求，我们可以画出一张示意图。根据题中的要求，我们可以画出一张示意图。观察图形，我们发现：第一次剪下的以宽为标准的边长为观察图形，我们发现：第一次剪下的以宽为标准的边长为1515厘米的正

402、方形，厘米的正方形，这时长边还剩下这时长边还剩下282815=1315=13厘米；第二次剪下的以长边剩下的厘米；第二次剪下的以长边剩下的1313厘米为边厘米为边长的正方形，这时最后剩下的长方形宽是长的正方形，这时最后剩下的长方形宽是151513=213=2厘米，长为厘米，长为1313厘米，即厘米，即周长是：（周长是：（13132 2）2=302=30厘米。厘米。【练习【练习5】1，一张长为，一张长为25厘米，宽为厘米，宽为10厘米的长方形，先剪下一个最大的正方形，余下的长方形的周长是多少？厘米的长方形，先剪下一个最大的正方形，余下的长方形的周长是多少？2，一张长方形纸，长为，一张长方形纸，长为

403、32厘米，宽为厘米，宽为15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，又剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，又剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？多少？3，下图甲、乙两图形，哪个图形的周长长些？，下图甲、乙两图形，哪个图形的周长长些？第37讲 面积计算小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积= =长长宽，正方形的面积宽，正方形的面积= =边长边长边长。利用这

404、些知识我们能解决许多有关面积的边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。问题。在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此，敏在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。【例题【例题1】 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。这个正方形木板的面积是多少平方米？【思路导航】要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如

405、图），那么只能选要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3 3米。米。正方形的面积：正方形的面积：33=933=9米。米。【练习【练习1】1，把一张长，把一张长6厘米，宽厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？2，把一块长，把一块长2米、宽米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少？分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面

406、积是多少？3，将一张长，将一张长10厘米、宽厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？【例题【例题2】 学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米。花坛的面积是多少平方米？【思路导航】 要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。根据绿篱总长是要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。根据绿篱总长是2020米，可求出花坛的边长为米，可求出花坛的边长为204=5204=5米，所以花坛的面积是：米，所以花坛的面积是：55=2555=25平方米。平方

407、米。同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习2】1，一个正方形的周长为，一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？2，运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长，运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长400米，求游泳池的面积是多少平方米。米，求游泳池的面积是多少平方米。3，在公园里有两个花圃，它们的周长相等。其中长方形花圃长，在公园里有两个花圃，它们的周长相等。其中长方形花圃长40米，宽米，宽20米，求另一个正方形花圃的面积。米，求另一个正方形花圃的面积。【例题【例题3】 求下面图形的面积。

408、（单位：厘米）【思路导航】这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形。如下图：割成两个长方形。如下图：从图上可以看出，左边长方形的长为从图上可以看出，左边长方形的长为4 4厘米，宽为厘米，宽为2 2厘米，面积为厘米，面积为42=842=8平平方厘米；右边长方形的长为方厘米；右边长方形的长为3 3厘米，宽为厘米，宽为1 1厘米，面积为厘米，面积为31=331=3平方厘米。平方厘米。所以，这个图形的面积为：所以，这个图形的面积为：8 83=113=11平方厘米。平方厘米。想一想：这道题还可以怎样画辅

409、助线，分割后求面积呢？想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？【练习【练习3】计算下面图形的面积。（单位：厘米）计算下面图形的面积。（单位：厘米）【例题【例题4】有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米。如果把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少？【思路导航】如果两个长方形没有叠放，那么它们的面积就是如果两个长方形没有叠放，那么它们的面积就是832=48832=48平方厘米，现平方厘米，现在两个长方形重叠了一部分，重叠部分是个边长在两个长方形重叠了一部分，重叠部分是个边长3 3厘米的正方形，面积是厘米的正方形，面积是33=933=9平方厘米，因此，这个图形的面积是平方厘米，因此，这

410、个图形的面积是48489=399=39平方厘米。平方厘米。同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习4】1，两张边长，两张边长8厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如下图），桌面被盖住的面积是多少？厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如下图），桌面被盖住的面积是多少？2，求下图中阴影部分的面积。（单位：分米），求下图中阴影部分的面积。（单位：分米）3，一个长方形与一个正方形部分重合（如下图），求没有重合的阴影部分面积相差多少？（单位：厘米），一个长方形与一个正方形部分重合（如下图），求没有重合的阴影部分面积相差多少？（单位：厘米）【例题【例题5】一个长方形若长增加2厘米，面积就增加1

411、0平方厘米，若宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米。求原来长方形的面积。【思路导航】从图上可以看出，长增加从图上可以看出，长增加2 2厘米，面积就增加厘米，面积就增加1010平方厘米，说明原来长方平方厘米，说明原来长方形的宽是形的宽是102=5102=5厘为；宽减少厘为；宽减少3 3厘米，面积就减少厘米，面积就减少1818平方厘米，说明原来平方厘米，说明原来长方形的长是长方形的长是183=6183=6厘米。所以，原来长方形的面积是：厘米。所以，原来长方形的面积是：65=3065=30平方厘平方厘米。米。【练习【练习5】1，一个长方形，若长减少，一个长方形，若长减少5厘米，面积就减少厘米，面积就

412、减少50平方厘米，若宽增加平方厘米，若宽增加7厘米，面积就增加厘米，面积就增加28平方厘米。原来长方形的面积是平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？多少平方厘米？2，一个正方形若边长都增加，一个正方形若边长都增加4厘米，面积就增加厘米，面积就增加56平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？3，一个长方形，若宽增加，一个长方形，若宽增加6分米就是一个正方形，面积就增加了分米就是一个正方形，面积就增加了66平方分米，求原来长方形的面积。平方分米，求原来长方形的面积。第38讲 最佳安排小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教

413、学视频同步教材教学视频 我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗？合理地安排时间，往往会达到事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗？合理地安排时间，往往会达到事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最佳安排。叫做最佳安排。小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1 1）要做哪几件事：（）要做哪几件事：（2 2）做每件事需要的时间；（）做每件事需要的时间；（3 3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。什

414、么，哪些事可以同时做。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。【例题【例题1】 明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？【思路导航】经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包

415、可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示：整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示：从图上可以看出，洗水壶要从图上可以看出，洗水壶要1 1分钟，接着烧开水要分钟，接着烧开水要1212分钟，在等水开的同分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需1515分钟。分钟。【练习【练习1】1，红红早晨起来刷牙洗脸要，红红早晨起来刷牙洗脸要4分钟，读书要分钟，读书要8分钟，烧开水要分钟，烧开水要10分钟，冲牛奶分钟，冲牛奶1分钟，吃早饭分钟，吃早饭5分钟。红红应怎样合理安排？分钟。红红应怎样合理安排？起床多少分钟就能上学了？起床多少

416、分钟就能上学了？2，玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要，玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开水要分钟，烧开水要12分钟，买茶叶分钟，买茶叶5分钟，洗茶杯要分钟，洗茶杯要1分钟，冲茶要分钟，冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？3，小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间，小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间5分钟，把衣服和水放入洗衣机要分钟，把衣服和水放入洗衣机要1分钟，洗衣服自动洗涤要分钟，洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要分钟，擦鞋要3分钟。怎分

417、钟。怎样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题2】 贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？【思路导航】 先放第一、二两个烧饼贴第一面，过先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3 3分钟后，拿下第一个，并把第二个分钟后，拿下第一个，并把第二个翻过去，并放上第三个烧饼；过翻过去，并放上第三个烧饼；过2 2分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过1 1分钟把第三个烧饼翻过来；再过分钟把第三个烧饼翻过来

418、；再过1 1分钟取下第一个烧饼，再过分钟取下第一个烧饼，再过1 1分钟三个烧分钟三个烧饼全贴完了，只用了饼全贴完了，只用了8 8分钟。分钟。3 32 21 11 11=81=8分钟分钟【练习【练习2】1，用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要，用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙第二面需要分钟，烙第二面需要1分钟。现在在烙三个饼，最少需要多分钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？少分钟？2，烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要，烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？分钟，那么烤

419、三个面包最少需要多少分钟？3，小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放，小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面要分钟，另一面要1分钟，可小红烙分钟，可小红烙6个饼只用了个饼只用了5分钟，她是怎么做的？分钟，她是怎么做的？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题3】 甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一台收割机进行收割，甲的麦地需要收割4小时，乙的麦地需要收割1小时，丙的麦地需要收割3小时，丁的麦地需要收割2小时。怎样安排四人的顺序，他们花的总时间最少？最少时间是多少？【思路导航】所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时

420、间的总和，因为各自收割所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和，因为各自收割的时间不变，所以在安排收割的顺序时，应该使等的时间尽可能少，即应的时间不变，所以在安排收割的顺序时，应该使等的时间尽可能少，即应该安排收割时间少的人先用，顺序是：乙、丁、丙、甲，过程可用下表表该安排收割时间少的人先用，顺序是：乙、丁、丙、甲，过程可用下表表示：示：从表中可以看出，四人收割的时间为：从表中可以看出，四人收割的时间为：1 12 23 34=104=10小时，三人等的时小时，三人等的时间为：间为：131322223=103=10小时，所以，最少时间为小时，所以，最少时间为101010=2010=20

421、小时。小时。【练习【练习3】1，甲、乙、丙三人都要到同一水龙头下取水，甲需要用，甲、乙、丙三人都要到同一水龙头下取水，甲需要用2分钟，乙需要用分钟，乙需要用4分钟，丙需要用分钟，丙需要用1分钟。怎样安排，他们花的总时分钟。怎样安排，他们花的总时间最少？最少时间是多少？间最少？最少时间是多少？2，卫生室里有四名同学等候医生治病，甲打针要，卫生室里有四名同学等候医生治病，甲打针要3分钟，乙换纱布需要分钟，乙换纱布需要4分钟，丙涂红药水需要分钟，丙涂红药水需要2分钟，丁点眼药水需要分钟，丁点眼药水需要1分钟。怎样安排，他们在医分钟。怎样安排，他们在医院等候的时间和最少？最少是多少分？院等候的时间和最

422、少？最少是多少分？3，三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用，三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用4分钟，乙需要用分钟，乙需要用6分钟，丙需要用分钟，丙需要用2分钟。怎样安排他们购买的顺序，使他们所花的总时间最少？最少分钟。怎样安排他们购买的顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少？是多少？【例题【例题4】 在一条公路上每隔50千米有一个粮库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存有20吨粮食，丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行？【思路导航】这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越

423、多。反之，如果移动的这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多。反之，如果移动的货物重量小路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之间的距离相等货物重量小路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之间的距离相等都是都是5050千米，一般原则是千米，一般原则是“少往多处靠少往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较。集中存在粮食较多的库房比较节约，甲、乙两仓库粮食合起来是节约，甲、乙两仓库粮食合起来是3030吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用110503=1500110503=15

424、00元，元，乙粮库需要乙粮库需要1205020=20001205020=2000元，共用元，共用150015002000=35002000=3500元。元。同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习4】1，一条公路上每隔，一条公路上每隔20千米有千米有1个仓库，共有个仓库，共有5个仓库。个仓库。1号仓库存有号仓库存有20吨货物，吨货物，2号仓库存有号仓库存有30吨货物，吨货物，5号仓库存有号仓库存有70吨货吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所存的货物集中在一个仓库中，如果每吨货物运物，其余两个仓库是空的。现在要把所存的货物集中在一个仓库中，如果每吨货物运1千米要千米要1元运费，那么最少要花

425、多少运费？元运费，那么最少要花多少运费？2，一条公路有四个储油站，它们之间都相隔，一条公路有四个储油站，它们之间都相隔100千米。甲储油站有千米。甲储油站有50吨油，乙储油站储有吨油，乙储油站储有10吨油，丙储油站有吨油，丙储油站有20吨油，丁储油站是空的。现在如果吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油集中于一个储油站，每吨油运想把所存的油集中于一个储油站，每吨油运1千米要千米要2元运费，那么最少要花多少运费？元运费，那么最少要花多少运费？3，一条公路有三所小学分别为，一条公路有三所小学分别为A、B、C，在什么地方设一个汽车站，才能使用三个学校的学生上学放学所行的总路程最少？，在什么地方设

426、一个汽车站，才能使用三个学校的学生上学放学所行的总路程最少？【例题【例题5】 小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？【思路导航】要使过河时间最少，应抓住以下两点：（要使过河时间最少，应抓住以下两点：（1 1）同时过河的两匹马相差时间）同时过河的两匹马相差时间尽可能小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间；（尽可能小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间；（2 2）过河后应）过河后应骑时间少的那匹马回来。因此，赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起骑时间

427、少的那匹马回来。因此，赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起过河，再骑甲马返回，共需过河，再骑甲马返回，共需3 32=52=5分钟；然后骑丙马赶丁马一起过河后，分钟；然后骑丙马赶丁马一起过河后，再骑乙马返回，再骑乙马返回，7 73=103=10分钟；最后骑在甲马背上赶乙马一起过河，不再分钟；最后骑在甲马背上赶乙马一起过河，不再回来，共需回来，共需3 3分钟。所以，分钟。所以，4 4匹马都赶到对岸去最少时间是匹马都赶到对岸去最少时间是5 510103=183=18分分钟。钟。【练习【练习5】1，明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁，明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需

428、头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过河需分钟，乙牛过河需2分钟，丙牛过河需分钟，丙牛过河需5分钟，丁牛分钟，丁牛过河需过河需6分钟。每次只能赶两头牛过河，要把分钟。每次只能赶两头牛过河，要把4头占都赶到对岸去，最少要多少分钟？头占都赶到对岸去，最少要多少分钟？2，小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁，小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁4匹马，甲马过河需匹马，甲马过河需7分钟，乙马过河要分钟，乙马过河要2分钟，丙马过河要分钟，丙马过河要3分钟，丁马过河要分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马分钟。每次只能两匹马过河，要把过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要多少分钟？匹马都赶到对岸去，最少要多少分

429、钟？3，小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要，小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，乙牛过河要分钟，乙牛过河要2分钟，丙牛过河要分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要分钟，丁牛过河要4分钟，戊牛分钟，戊牛过河要过河要5分钟，己牛过河要分钟，己牛过河要6分钟。每次只能三头牛过河，要把分钟。每次只能三头牛过河，要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？第39讲 抽屉原理小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 把把1212个苹果放到个苹果放到1111个抽屉中去，那

430、么，至少有一个抽屉中放有两个苹果，这个事实的正确性是非常明显的。把它进一步推广，就可以得到数学里重个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中放有两个苹果，这个事实的正确性是非常明显的。把它进一步推广，就可以得到数学里重要的抽屉原理。要的抽屉原理。用抽屉原理解决问题，小朋友一定要注意哪些是用抽屉原理解决问题，小朋友一定要注意哪些是“抽屉抽屉”，哪些是，哪些是“苹果苹果”，并且要应用所学的数学知识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十，并且要应用所学的数学知识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十分复杂，甚至无从下手的题目才能顺利地解答。分复杂，甚至无从下手的题目才能顺利地解答。【例题【例题1】 敬老院买

431、来许多苹果、橘子和梨，每位老人任意选两个，那么，至少应有几位老人才能保证必有两位或两位以上老人所选的水果相同？【思路导航】根据抽屉原理，要保证必有两个或两个以上的苹果放在同一抽屉中，苹果根据抽屉原理，要保证必有两个或两个以上的苹果放在同一抽屉中，苹果总数至少要比抽屉数多总数至少要比抽屉数多1 1。这里，我们可以马敬老院老人人数看作抽屉原。这里，我们可以马敬老院老人人数看作抽屉原理中的苹果数，关键是看抽屉数了。理中的苹果数，关键是看抽屉数了。因为三种水果任选两个的搭配有：苹果因为三种水果任选两个的搭配有：苹果苹果；苹果苹果；苹果橘子；苹果橘子；苹果梨；橘子梨；橘子橘子；橘子橘子；橘子梨；梨梨；梨

432、梨共梨共6 6种，所以，既然有种，所以，既然有6 6个抽个抽屉，必须至少有屉，必须至少有7 7个苹果才能保证两个或两个以上的苹果放在同一抽屉里，个苹果才能保证两个或两个以上的苹果放在同一抽屉里，即至少要即至少要7 7位老人。位老人。同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习1】1，学校图书室买来许多故事书、科技书和连环画，每个同学任意选两本。那么，至少应有几个同学，才能保证有两个或两，学校图书室买来许多故事书、科技书和连环画，每个同学任意选两本。那么，至少应有几个同学，才能保证有两个或两个以上同学所选的书相同？个以上同学所选的书相同？2，布袋中有红、黄、橙三种颜色的木块若干块，每个小朋友任意

433、摸两块木块。那么，至少有多少个小朋友，才能保证有两个或两个以上小朋友所选，布袋中有红、黄、橙三种颜色的木块若干块，每个小朋友任意摸两块木块。那么，至少有多少个小朋友，才能保证有两个或两个以上小朋友所选的木块相同？的木块相同？3，一个袋子里有红、黄、橙、紫四种颜色的小球，每人任意摸三个球，那么至少有几人才能保证有两个或两个以上的人所选的小球相同？，一个袋子里有红、黄、橙、紫四种颜色的小球，每人任意摸三个球，那么至少有几人才能保证有两个或两个以上的人所选的小球相同？【例题【例题2】 幼儿园大班有41个小朋友，老师至少拿几件玩具随便分给大家，才能保证至少有一个小朋友能得两件玩具？【思路导航】 414

434、1个小朋友相当于个小朋友相当于4141个抽屉，玩具的件数相当于苹果。根据抽屉原理，玩个抽屉，玩具的件数相当于苹果。根据抽屉原理，玩具的件数应比具的件数应比4141多多1 1，所以至少要拿，所以至少要拿4242件玩具。件玩具。【练习【练习2】1，小明家有，小明家有5口人，小明妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果？口人，小明妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果？2，某学校共有，某学校共有15个班级，体育室至少要买几个排球分给各班，才能保证至少有一个班能得两个排球？个班级，体育室至少要买几个排球分给各班，才能保证至少有一个班能得两个排球？3，某校有，某

435、校有370名名1992年出生的学生，那么，至少有几个学生的生日是同一天？年出生的学生，那么，至少有几个学生的生日是同一天？【例题【例题3】 盒子里混装着5个白色球和4个红色球，要想保证一次能拿出两个同颜色的球，至少要拿出多少个球？【思路导航】 如果每次拿如果每次拿2 2个球会有三种情况：（个球会有三种情况：（1 1）一个白球，一个红球；（）一个白球，一个红球；（2 2）两）两个白球；（个白球；（3 3）两个红球。不能保证一次能拿出两个同颜色的球。）两个红球。不能保证一次能拿出两个同颜色的球。如果每次拿如果每次拿3 3个球会有四种情况：（个球会有四种情况：（1 1）一个白球，两个红球；（）一个白

436、球，两个红球；（2 2）一个）一个红球，两个白球；（红球，两个白球；（3 3）三个白球；（）三个白球；（4 4）三个红球。这样每次都能保证拿）三个红球。这样每次都能保证拿出两个同颜色的球，所以至少要拿出出两个同颜色的球，所以至少要拿出3 3个球。个球。同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习3】1，箱子里装着，箱子里装着6个苹果和个苹果和8个梨，要保证一次能拿出两个同样的水果，至少要拿出多少个水果？个梨，要保证一次能拿出两个同样的水果，至少要拿出多少个水果？2，书箱里混装着，书箱里混装着3本故事书和本故事书和5本科技书，要保证一次能拿出两本同样的书，至少要拿出多少本书？本科技书，要保证一次

437、能拿出两本同样的书，至少要拿出多少本书？3，书箱里混装着，书箱里混装着3本故事书和本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出本科技书，要保证一次一定能拿出2本故事书，至少要拿出多少本书？本故事书，至少要拿出多少本书？【例题【例题4】 一个布袋里装有红、黄、蓝袜子各5只，问一次至少取出多少只，才能保证每种颜色至少有一只？【思路导航】我们从最不利的情况着手，如果先取我们从最不利的情况着手，如果先取5 5只全是红的，那么只了再取只全是红的，那么只了再取5 5只；如只；如果果5 5只又全是黄的，这时，再取只又全是黄的，这时，再取1 1只一定是蓝的了，这样取只一定是蓝的了，这样取52521=111=11

438、只才只才能保证每种颜色至少有能保证每种颜色至少有1 1只。只。【练习【练习4】1，抽屉里放着红、绿、黄三种颜色的球各，抽屉里放着红、绿、黄三种颜色的球各3只，一次至少摸出多少只才能保证每种颜色至少有一只？只，一次至少摸出多少只才能保证每种颜色至少有一只？2，书箱里放着，书箱里放着4本故事书，本故事书，3本连环画，本连环画，2本文艺书。一次至少取出多少本书，才能保证每种书至少有一本？本文艺书。一次至少取出多少本书，才能保证每种书至少有一本？3，盒子里放有，盒子里放有3枝绿铅笔，枝绿铅笔，3枝红铅笔和枝红铅笔和5枝蓝铅笔，如果闭上眼睛摸一次，必须摸几枝才能保证至少有枝蓝铅笔，如果闭上眼睛摸一次，必

439、须摸几枝才能保证至少有1枝蓝铅笔？枝蓝铅笔？同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题5】 三（2）班有50个同学，在学雷锋活动中，每人单独做了些好事，他们共做好事155件。问：是否有人单独做了4件或4件以上的好事？【思路导航】根据条件可知：三（根据条件可知：三（2 2）班有）班有5050个同学，假如每个同学做个同学，假如每个同学做3 3件好事，那就做件好事，那就做了了350=150350=150件好事，而他们做的好事是件好事，而他们做的好事是155155件，就多做了件，就多做了155155150=5150=5件，件，所以完全可能有一个同学做了所以完全可能有一个同学做了4 4件或件或4 4件

440、以上好事。件以上好事。【练习【练习5】1，幼儿园小班共有，幼儿园小班共有30个小朋友，他们每人自己都有一些玩具，他们共有玩具个小朋友，他们每人自己都有一些玩具，他们共有玩具92件。问：是否有人单独有件。问：是否有人单独有4件或件或4件以上玩具件以上玩具？2，童星幼儿园有，童星幼儿园有6个班，他们在植树节中每班都种了一些树，他们共种了个班，他们在植树节中每班都种了一些树，他们共种了14棵树，问：是否有班级种了棵树，问：是否有班级种了3棵或棵或3棵以上的树？棵以上的树？3，明明、华华、颖颖三人各有一些铅笔，他们共有铅笔，明明、华华、颖颖三人各有一些铅笔，他们共有铅笔14枝。问：是否有人有枝。问：是

441、否有人有5枝或枝或5枝以上的铅笔？枝以上的铅笔？第40讲 一题多解小学数学小学数学 三年级三年级 奥数举一反三奥数举一反三 同步教材教学视频同步教材教学视频 一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法，经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活。一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法，经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活。在进行一题多解的练习时，要根据题目的具体情况，首先确定思维的起点，然后沿着不同的思考方向，就能找到不同的解题方法。在寻求一题多解时，在进行一题多解的练习时，要根据题目的具体情况，首先确定思维

442、的起点，然后沿着不同的思考方向，就能找到不同的解题方法。在寻求一题多解时，还应该特别选择解决问题的简便方法和最佳途径。还应该特别选择解决问题的简便方法和最佳途径。同步教材教学视频同步教材教学视频【例题【例题1】 有一个正方形池塘，四周种树，每边种8棵，每个顶点种一棵，每两棵树之间距离都相等。四周一共种了多少棵树？【思路导航】方法一：根据条件可知，每边种方法一：根据条件可知，每边种8 8棵，棵，4 4边就是边就是84=3284=32棵，但每边起点一棵，但每边起点一棵算了两次，一共多算了棵算了两次，一共多算了4 4棵，所以四周一共种了棵，所以四周一共种了32324=284=28棵树。棵树。方法二：

443、我们可以先数正方形的一组对边，包括两个顶点的，每边种方法二：我们可以先数正方形的一组对边，包括两个顶点的，每边种8 8棵；棵；再数另一组对边的，不数两个顶点的，每边种再数另一组对边的，不数两个顶点的，每边种8 82=62=6棵。所以，一共有：棵。所以，一共有：828262=2862=28棵。棵。方法三：把正方形四边拉直，每边种方法三：把正方形四边拉直，每边种8 8棵，就是把每边分成了棵，就是把每边分成了7 7等份，等份，4 4边边共分成了共分成了2828等份，每一等份对应一棵树，所以共有等份，每一等份对应一棵树，所以共有2828棵树。棵树。同步教材教学视频同步教材教学视频【练习【练习1】1，在

444、一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一根，每两根篱笆之间的距离相等，每边有，在一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一根，每两根篱笆之间的距离相等，每边有12根篱笆，四周一共围了多少根篱笆，四周一共围了多少根篱笆？根篱笆？2，有一个三角形花圃周围种松树，每个顶点种一棵，每边种，有一个三角形花圃周围种松树，每个顶点种一棵，每边种10棵，每两棵之间距离相等，四周一共种了多少棵？棵，每两棵之间距离相等，四周一共种了多少棵？3，少先队员表演节目，围成一个正方形，每个顶点站，少先队员表演节目，围成一个正方形，每个顶点站1人，已知每边站人，已知每边站6人，一共站了多少人？人，一共站了多少人？【例题【例题

445、2】 一瓶花生油连瓶一共重800克，吃掉一半油，连瓶一起称，还剩550克。瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？【思路导航】 方法一：根据条件可知，花生油和瓶的重量油方法一：根据条件可知，花生油和瓶的重量油800800克变为克变为550550克，是因为吃克，是因为吃掉了一半油，半瓶油的重量是掉了一半油，半瓶油的重量是800800550=250550=250克，一瓶油的重量是克，一瓶油的重量是2502=5002502=500克，油瓶的重量是克，油瓶的重量是800800500=300500=300克。克。方法二：根据条件可知，半瓶油连瓶重方法二：根据条件可知，半瓶油连瓶重550550克，从克，从5505

446、50克中减去半瓶油的重克中减去半瓶油的重量量800800550=250550=250克，克，550550250=300250=300克即为瓶的重量，油的重量为：克即为瓶的重量，油的重量为：800800300=500300=500克。克。方法三：根据方法三：根据“并瓶油连瓶共重并瓶油连瓶共重550550克克”可求出一瓶油和两个瓶共重可求出一瓶油和两个瓶共重5502=11005502=1100克，所以瓶重：克，所以瓶重：11001100800=300800=300克，油重克，油重800800300=500300=500克。克。【练习【练习2】1，一袋大米，连袋共重，一袋大米，连袋共重50千克。吃掉

447、一半后，连袋剩下千克。吃掉一半后，连袋剩下27千克。大米重多少千克？袋重多少千克？千克。大米重多少千克？袋重多少千克？2，一筐苹果连筐共重，一筐苹果连筐共重85千克，倒去一半后，连筐共重千克，倒去一半后，连筐共重45千克。苹果和筐各重多少千克？千克。苹果和筐各重多少千克？3，一筐橘子，连筐共重，一筐橘子，连筐共重45千克。先拿一半送给幼儿园，再拿出剩下的一半给敬老院的老人，余下的橘子连筐重千克。先拿一半送给幼儿园，再拿出剩下的一半给敬老院的老人，余下的橘子连筐重15千克。橘子和筐各重多少千克？千克。橘子和筐各重多少千克？【例题【例题3】 甲班有42人，乙班有35人，开学时来了25位新同学，怎样

448、分才能使两班学生人数相等？【思路导航】 方法一：根据已知条件，我们可求出转来了方法一：根据已知条件，我们可求出转来了2525位同学后的总人数为：位同学后的总人数为：4242353525=10225=102人，再求出平均每班为人，再求出平均每班为1022=511022=51人，再根据甲班乙班原有人，再根据甲班乙班原有的人数分别求出甲班分了：的人数分别求出甲班分了：515142=942=9人，乙班分了：人，乙班分了：515135=1635=16人。人。方法二：根据已知条件，我们可先求出乙班比甲班少方法二：根据已知条件，我们可先求出乙班比甲班少424235=735=7人，那么人，那么2525位新同学

449、中我们可先分位新同学中我们可先分7 7人给乙班，使乙班和甲班一样多，这样就剩下人给乙班，使乙班和甲班一样多，这样就剩下25257=187=18人。剩下的人。剩下的1818人，我们再平均分给两班，每班各分人，我们再平均分给两班，每班各分182=9182=9人。人。所以，甲班共分了所以，甲班共分了9 9人，乙班共分了人，乙班共分了9 97=167=16人。人。【练习【练习3】1，小明有，小明有18枝铅笔，小红有枝铅笔，小红有15枝铅笔，妈妈又买来枝铅笔，妈妈又买来13枝铅笔，怎样分，才能使两人铅笔一样多？枝铅笔，怎样分，才能使两人铅笔一样多？2，甲仓库有粮食，甲仓库有粮食420吨，乙仓库有粮食吨，

450、乙仓库有粮食370吨，又运来粮食吨，又运来粮食180吨，怎样分，才能使两仓库粮食一样多？吨，怎样分，才能使两仓库粮食一样多？3，有甲、乙两筐苹果，甲筐有苹果，有甲、乙两筐苹果，甲筐有苹果25千克，乙筐有苹果千克，乙筐有苹果18千克，又买来千克，又买来13千克苹果，怎样分才能使两筐苹果一样多？千克苹果，怎样分才能使两筐苹果一样多？【例题【例题4】 从小青家经小红和小强家到学校有450米，从小青家到小强家有390米，从学校到小红家有320米。从小红家到小强家有多少米？【思路导航】根据题意，画出线段图。根据题意，画出线段图。方法一：从小青家到学校有方法一：从小青家到学校有450450米，到小强家有米

451、，到小强家有390390米，说明小强家到学校米，说明小强家到学校有有450450390=60390=60米，又因为小红家到学校有米，又因为小红家到学校有320320米，所以小红家到小强家有米，所以小红家到小强家有32032060=26060=260米。米。方法二：根据上面线段图和已知条件可知：方法二：根据上面线段图和已知条件可知：从小青家到学校有从小青家到学校有450450米，从学校到小红家有米，从学校到小红家有320320米，说明小青家到小红家米，说明小青家到小红家有有450450320=130320=130米。又因为小青家到小强家有米。又因为小青家到小强家有390390米，所以小红家到小强

452、米，所以小红家到小强家有家有390390320=260320=260米。米。方法三：根据上面线段图和已知条件可知：方法三：根据上面线段图和已知条件可知：从小青家到小强家有从小青家到小强家有390390米，从学校到小红家有米，从学校到小红家有320320米。我们可求出小青家米。我们可求出小青家到学校与小红家到小强家的距离为到学校与小红家到小强家的距离为390390320=710320=710米，从中减去小青家到学米，从中减去小青家到学校的距离校的距离450450米，就是小红家到小强家的距离：米，就是小红家到小强家的距离：710710450=260450=260米。米。【练习【练习4】1，亮亮经过

453、小明、小丹家到电影院共，亮亮经过小明、小丹家到电影院共500米，从亮亮家到小丹家是米，从亮亮家到小丹家是270米，从小明家到电影院是米，从小明家到电影院是410米。从小明家到小丹家多米。从小明家到小丹家多少米？少米？2，小敏外出旅游乘车回家，从汽车站经医院、商店到家共，小敏外出旅游乘车回家，从汽车站经医院、商店到家共1000米，从汽车站到商店是米，从汽车站到商店是620米，从医院到家是米，从医院到家是690米。那么医院到商店多少米？米。那么医院到商店多少米？3，有两块木板，一块长，有两块木板，一块长70厘米，另一块长厘米，另一块长80厘米。如果把两块木板重叠后钉成一块木板，全长厘米。如果把两块

454、木板重叠后钉成一块木板，全长130厘米。重叠部分长多少厘米？厘米。重叠部分长多少厘米？【例题【例题5】 小青以均匀的速度在公路上散步，从第1根电线杆走到第10根电线杆共用了12分钟，如果她走24分钟，应走到第几根电线杆？【思路导航】方法一：根据题意，画出线段图。方法一：根据题意，画出线段图。从图上可以看出，由于每个间隔所用的时间无法直接求出，因而只有从时从图上可以看出，由于每个间隔所用的时间无法直接求出，因而只有从时间关系上加以考虑，间关系上加以考虑，2424分钟正好是分钟正好是1212分钟的分钟的2 2倍，就相当于小青先走倍，就相当于小青先走1212分分钟，又继续走钟，又继续走1212分钟。

455、注意第分钟。注意第1010根（图中根（图中A A处）既是前处）既是前1212分钟的终点，又分钟的终点，又是后是后1212分钟的起点，显然被重复算了一次。因此，小红如果走分钟的起点，显然被重复算了一次。因此，小红如果走2424分钟，应分钟，应走到走到1021021=191=19根电线杆处。根电线杆处。【例题【例题5】 小青以均匀的速度在公路上散步，从第1根电线杆走到第10根电线杆共用了12分钟，如果她走24分钟，应走到第几根电线杆？【思路导航】方法二：根据题意，画出线段图。方法二：根据题意，画出线段图。由图可知，由图可知，1212分钟走到第分钟走到第1010根电线杆，共走了根电线杆，共走了101

456、01=91=9个间隔，个间隔，2424分钟正分钟正好是好是1212分钟的分钟的2 2倍，那么倍，那么2424分钟就走了分钟就走了92=1892=18个间隔。个间隔。要求应走到第几根电线杆，我们要加上起点要求应走到第几根电线杆，我们要加上起点B B点那根电线杆，因而应走到点那根电线杆，因而应走到第第18181=191=19根电线杆。根电线杆。【练习【练习5】1，玲玲上楼，从一楼到三楼用，玲玲上楼，从一楼到三楼用6分钟，如果她走分钟，如果她走12分钟，应走到几楼？分钟，应走到几楼？2，路的一旁插着彩旗，如果从第一面旗走到第，路的一旁插着彩旗，如果从第一面旗走到第4面旗要用面旗要用12分钟，那么走分钟，那么走24分钟能从第一面走到第几面？分钟能从第一面走到第几面？3，小芳和妈妈用均匀的速度在马路上散步，他们从第，小芳和妈妈用均匀的速度在马路上散步，他们从第1根电线杆走到第根电线杆走到第12根电线杆，整整用了根电线杆，整整用了8分钟。仍用这样的速度，再走分钟。仍用这样的速度，再走8分钟，他们会走到第几分钟，他们会走到第几根电线杆？根电线杆？