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1、 第四节第四节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开一、泰勒公式一、泰勒公式二、泰勒级数二、泰勒级数三、将函数展开幂级数三、将函数展开幂级数返回第四节第四节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开 问题导言：计算特殊数 值，以及一些基本初等函数的函数值具有广泛的应用价值. 解决这些值计算的一种有效方法是利用函数逼近. 关于函数逼近首先要考虑两方面问题：一是何种类型函数来逼近给定的函数. 二是以何种方式来逼近给定函数. 用函数逼近的最简单形式莫过于幂级数. 在此主要讨论如何将一个函数表达成幂级数. 定理（泰勒公式） 设函数f (x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数, 则当 时有泰勒展开式
2、一、泰勒公式 马克劳林公式 若在泰勒公式中令 ，则有（ 介于0与x之间）.此展开式称为马克劳林公式 .称为马克劳林多项式 . 称为余项. 且有拉格朗日型余项.常用的泰勒公式的充分必要条件是 二、泰勒级数 设函数f (x)在含x0的某区间(a,b)内具有任意阶导数， 由泰勒公式可知 即由此可知也即当 时,有 定理 设 f (x)在包含点 在内的某区间内有任意阶导数. f (x)在点 处的泰勒级数在该区间内收敛于f (x)的充分必要条件是在该区间内 定义 级数 ，称为f (x)在 处的泰勒级数. 级数 称为 f (x)的在x =0 处的麦克劳林级数. 函数 f (x) 的泰勒级数收敛于f (x)
3、也称为f (x) 可以展开成泰勒级数.泰勒级数展开的唯一性 设f (x)在 的某对称区间 内可以展开成 的幂级数将上式逐阶求导，有这样就证明了下述定理：以 代入上式，有 定理(唯一性定理) 若 f (x)在某区间内可以展开为 的幂级数则此幂级数必为其泰勒级数，也即其系数必定为泰勒系数1.求出f (x)的各阶导数2.计算3.写出 f (x)在 处的泰勒级数4.求出上述泰勒级数的收敛区间(R, R)，5.在收敛区间内证明6.写出展开式三、将函数展开成幂级数 1.直接展开法 用展开定理直接将 f (x)展开为泰勒级数的方法为直接展开法，其步骤为例 将 展开为马克劳林级数. 解 求出 的n 阶导数 .
4、 因此故函数 的马克劳林级数为其收敛区间为 .收敛半径为于是，有由比值法可知正项级数 收敛.对任取定的x，则对于任何介于0与x之间的 ，有所以，由收敛必要条件知所以有展开式例 将f (x)=sin x在x=0处展开为马克劳林级数.解故马克劳林级数为其收敛区间为 ，因为（ 位于0与x之间）.由于 为收敛级数，其通项的极限为零，或写为因此 ，故有 所谓间接展开法, 就是利用已知的幂级数展开式, 利用幂级数在其收敛区间内的四则运算、分析运算性质,即幂级数逐项加、减, 逐项求导、逐项积分等运算, 将所给函数展开为泰勒级数. 2. 间接展开法例 将 f (x)=cos x展开为麦克劳林级数.解 由两边求导得例 将 f (x)=ln(1+x)展开为马克劳林级数.解 因为上式两端积分得即所以解 因为于是所以积分得例 将 展开为马克劳林级数.常用的展开式公式 将函数间接展开成幂级数，通常还使用下述变换法若函数 f (x) 的幂级数展开为则有解 由例 将函数 展开成幂级数.将x 换成 可得函数的幂级数展开式. 例 求 在 处的展开式.解 令 ，则 . 由把上式中t 的改写为 ，即得
