《线性代数教学(清华大学)17.向量与方程组综合例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数教学(清华大学)17.向量与方程组综合例题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十七讲第十七讲第十七讲第十七讲 向量与方程组综合例题向量与方程组综合例题向量与方程组综合例题向量与方程组综合例题例例例例1 1 由第由第由第由第1414讲定理讲定理讲定理讲定理2: 2: 向量组向量组向量组向量组 1 1, , 2 2, , n n 可由向量组可由向量组可由向量组可由向量组 1 1, , 2 2, , , n n 线性表出线性表出线性表出线性表出 存在存在存在存在 n n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵 C C 使得使得使得使得 A = BC,A = BC, 其中其中其中其中 A = (A = ( 1 1, , 2 2, , n n), ), B =B = ( ( 1 1, , 2
2、 2, , n n) ) . .(1)(1) 如果如果如果如果 1 1, , 2 2, , n n 线性无关线性无关线性无关线性无关, , 则则则则 1 1, , 2 2, , n n 也线性无关也线性无关也线性无关也线性无关且且且且C C 必然可逆必然可逆必然可逆必然可逆. . 证明证明证明证明 由由由由 n =n = r(A) r(A) r(B), r(C)r(B), r(C) n n 可知可知可知可知 r(r(B B) = r(C) = n) = r(C) = n C C 可可可可逆且逆且逆且逆且 1 1, , 2 2, , n n 也线性无关也线性无关也线性无关也线性无关. .(2)(
3、2) 如果向量组如果向量组如果向量组如果向量组 1 1, , 2 2, , n n 线性无关线性无关线性无关线性无关, , 那么那么那么那么 1 1, , 2 2, , n n 线线线线性性性性无关无关无关无关 C C 可逆可逆可逆可逆 |C| |C| 0 0 证明证明证明证明 ) ) 如果如果如果如果 1 1, , 2 2, , n n 线性无关线性无关线性无关线性无关, , 由由由由(1(1) )可知可知可知可知 C C 可逆可逆可逆可逆. . ) ) 如果如果如果如果 C C 可逆可逆可逆可逆, , 由由由由 B = ACB = AC-1 -1 得到两个向量组等价得到两个向量组等价得到两
4、个向量组等价得到两个向量组等价, , 故故故故 r(A)r(A)= n, = n, 所以所以所以所以 1 1, , 2 2, , n n 线性无关线性无关线性无关线性无关. .1例例例例2 2 设设设设 1 1, , 2 2, , n n 线性无关线性无关线性无关线性无关, , 讨论向量组讨论向量组讨论向量组讨论向量组 1 1+ + 2 2, , 2 2+ + 3 3, , , n n+ + 1 1 的线性相关性的线性相关性的线性相关性的线性相关性. .解解解解 因为因为因为因为 1 1, , 2 2, , n n 线性无关线性无关线性无关线性无关, , 且且且且由例由例由例由例1(2)1(2
5、)可知向量组可知向量组可知向量组可知向量组 1 1+ + 2 2, , 2 2+ + 3 3, , n n+ + 1 1 线性无关线性无关线性无关线性无关 C C 可逆可逆可逆可逆 |C| |C| 0, 0, 这里这里这里这里n n 为奇数为奇数为奇数为奇数. .也可用待定系数法讨论也可用待定系数法讨论也可用待定系数法讨论也可用待定系数法讨论 x x1 1( ( 1 1+ + 2 2)+)+x x2 2( ( 2 2+ + 3 3)+)+x xn n( ( n n+ + 1 1) ) = 0 = 0 有非零解的情况有非零解的情况有非零解的情况有非零解的情况, , 最后也是化为系数矩阵最后也是化
6、为系数矩阵最后也是化为系数矩阵最后也是化为系数矩阵 C C 的讨论的讨论的讨论的讨论. .2例例例例3 3 设有两个秩为设有两个秩为设有两个秩为设有两个秩为 r r 的向量组的向量组的向量组的向量组则则则则( ). ( ). (A)(A) 向量组向量组向量组向量组 A A 和和和和 B B 等价；等价；等价；等价；(B)(B) 若若若若 s = t = r, s = t = r, 则向量组则向量组则向量组则向量组 A A 和和和和 B B 等价；等价；等价；等价；(D)(D) 若向量组若向量组若向量组若向量组 A A 可由可由可由可由 B B 线性表出线性表出线性表出线性表出, , 则向量组则
7、向量组则向量组则向量组 A A 和和和和 B B 等价等价等价等价. . 3例例例例4 4 设设设设 A A 是是是是 mm n n 矩阵矩阵矩阵矩阵, , 且且且且 m m n,n, 则则则则下列结论中成立的是下列结论中成立的是下列结论中成立的是下列结论中成立的是 ( ( ) )(A) AX = O (A) AX = O 没有非零解；没有非零解；没有非零解；没有非零解； (B) AX = O (B) AX = O 必有非零解；必有非零解；必有非零解；必有非零解； (C) AX = b (C) AX = b 必有唯一解；必有唯一解；必有唯一解；必有唯一解； (D) AX = b (D) AX
8、= b 必有无穷解；必有无穷解；必有无穷解；必有无穷解； (E) AX = b (E) AX = b 必无解必无解必无解必无解. .4例例例例5 5 设有两个设有两个设有两个设有两个 n n 维向量组维向量组维向量组维向量组若若若若 r(Ar(A1 1) = p, ) = p, r(Ar(A) = q, ) = q, 则下列条件中不能判定则下列条件中不能判定则下列条件中不能判定则下列条件中不能判定 A A1 1 是是是是 A A 的极大的极大的极大的极大线性无关组的是线性无关组的是线性无关组的是线性无关组的是 ( ) ( ) (1) (1) p = q, p = q, 且向量组且向量组且向量组
9、且向量组 A A1 1 线性无关；线性无关；线性无关；线性无关；(2) p = q = s(2) p = q = s；(3) s = q, (3) s = q, 且向量组且向量组且向量组且向量组 A A 和和和和 A A1 1 等价；等价；等价；等价； (4) (4) p = q, p = q, 且向量组且向量组且向量组且向量组 A A 可由可由可由可由 A A1 1 线性表出；线性表出；线性表出；线性表出；5例例例例6 6 设设设设 A A 是是是是 mm n n 矩阵矩阵矩阵矩阵, , 则下列结论中成立的是则下列结论中成立的是则下列结论中成立的是则下列结论中成立的是( ( ): ): (A
10、) (A) 若若若若 r(Ar(A) = n, ) = n, 则则则则 AX = 0 AX = 0 有非零解有非零解有非零解有非零解. .(B) (B) 若若若若 r(Ar(A) = n, ) = n, 则则则则 AX = 0 AX = 0 仅有零解仅有零解仅有零解仅有零解. .(C) (C) 若若若若 r(Ar(A) = n, ) = n, 则则则则 AX = b AX = b 无解无解无解无解. .(D) (D) 若若若若 r(Ar(A) = n, ) = n, 则则则则 AX = b AX = b 有解有解有解有解. . (E) (E) 若若若若 r(Ar(A) = n, ) = n,
11、则则则则 AX = b AX = b 有唯一解有唯一解有唯一解有唯一解. .(F) (F) 若若若若 r(Ar(A) = n, ) = n, 则则则则 AX = b AX = b 有无穷多解有无穷多解有无穷多解有无穷多解. .例例例例7 7 设设设设 A A 是是是是 mm n n 矩阵矩阵矩阵矩阵, , 则下列结论中成立的是则下列结论中成立的是则下列结论中成立的是则下列结论中成立的是( ( ): ): (A)(A) 若若若若 AX = 0 AX = 0 仅有零解仅有零解仅有零解仅有零解, , 则则则则 AX = b AX = b 有唯一解有唯一解有唯一解有唯一解; ; (B) (B) 若若若
12、若 AX = 0 AX = 0 有非零解有非零解有非零解有非零解, , 则则则则 AX = b AX = b 有无穷多解有无穷多解有无穷多解有无穷多解; ;(C) (C) 若若若若 AX = b AX = b 有无穷多解有无穷多解有无穷多解有无穷多解, , 则则则则 AX = 0 AX = 0 仅有零解仅有零解仅有零解仅有零解; ; (D)(D) 若若若若 AX = b AX = b 有无穷多解有无穷多解有无穷多解有无穷多解; ; 则则则则 AX = 0 AX = 0 有非零解有非零解有非零解有非零解. .6例例例例8 8 设设设设 A A 是是是是 mm n n 矩阵矩阵矩阵矩阵, , 则下
13、列结论中成立的是则下列结论中成立的是则下列结论中成立的是则下列结论中成立的是( ): ( ): (A) (A) 若若若若 r(Ar(A) = m, ) = m, 则则则则 AX = 0 AX = 0 有非零解有非零解有非零解有非零解. .(B) (B) 若若若若 r(Ar(A) = m, ) = m, 则则则则 AX = 0 AX = 0 仅有零解仅有零解仅有零解仅有零解. .(C) (C) 若若若若 r(Ar(A) = m, ) = m, 则则则则 AX = b AX = b 无解无解无解无解. .(D) (D) 若若若若 r(Ar(A) = m, ) = m, 则则则则 AX = b AX
14、 = b 有解有解有解有解. . (E) (E) 若若若若 r(Ar(A) = m, ) = m, 则则则则 AX = b AX = b 有唯一解有唯一解有唯一解有唯一解. .(F) (F) 若若若若 r(Ar(A) = m, ) = m, 则则则则 AX = b AX = b 有无穷多解有无穷多解有无穷多解有无穷多解. .例例例例9 9 若若若若 A A 为为为为 mm n n 实矩阵实矩阵实矩阵实矩阵, , r(Ar(A) = n m, ) = n m, 则则则则 ( ( ) ) 成立成立成立成立. .(A) (A) A AT TA A = 0; (B) = 0; (B) AAAAT T
15、0;0;(C) (C) 秩秩秩秩(AA(AAT T) = m ; (D) ) = m ; (D) 秩秩秩秩(A(AT TA) = n.A) = n. 7例例例例1010 设设设设 n n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵 A A 的行列式的行列式的行列式的行列式 A A 0, 0, 记记记记 A A 的前的前的前的前 n n 1 1 列形列形列形列形成的矩阵为成的矩阵为成的矩阵为成的矩阵为 A A1 1, , A A 的第的第的第的第 n n 列为列为列为列为 b. b. 问线性方程组问线性方程组问线性方程组问线性方程组 A A1 1X = b X = b 有解否有解否有解否有解否? ? 为什么为什么
16、为什么为什么? ?答答答答 无解无解无解无解, , 因为因为因为因为 r(Ar(A1 1) ) n n 1, 1, r(Ar(A1 1, b) = , b) = r(Ar(A) = n, ) = n, 系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵与增广矩阵的秩不等与增广矩阵的秩不等与增广矩阵的秩不等与增广矩阵的秩不等. . 例例例例1111 设设设设 A A 是是是是3 3 4 4矩阵矩阵矩阵矩阵, , 已知已知已知已知 r(Ar(A) = ) = 2, 2, 且且且且 X X1 1 = ( 1, 1, 1, 1)= ( 1, 1, 1, 1)T T, , X X2 2 = ( 1,-1, -1, 1)=
17、 ( 1,-1, -1, 1)T T, , X X3 3 = (-1, -1, 1, 1)= (-1, -1, 1, 1)T T 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 AX = b AX = b 的三个解的三个解的三个解的三个解, , 求求求求 AX = b AX = b 的通解的通解的通解的通解. .解解解解 因为因为因为因为 = = X X1 1-X-X2 2= (0, 2, 2, 0)= (0, 2, 2, 0)T T, , = = X X1 1-X-X3 3= (2, 2, 0, 0)= (2, 2, 0, 0)T T 是是是是 AX = 0 AX
18、= 0 的两个线性无关解的两个线性无关解的两个线性无关解的两个线性无关解, , 又又又又 4-r(A) = 2, 4-r(A) = 2, 所以所以所以所以 , , 是齐是齐是齐是齐次线性方程组次线性方程组次线性方程组次线性方程组 AX = 0 AX = 0 的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系, , 于是于是于是于是 AX = b AX = b 的通解：的通解：的通解：的通解：X = X = X X1 1+k+k1 1(0,2,2,0)(0,2,2,0)T T+k+k2 2(2,2,0,0)(2,2,0,0)T T, , 其中其中其中其中 k k1 1, k, k2 2 为任意常数为任意常数为任意常数为任意常数. .8第十七讲第十七讲 作业题作业题习题四习题四24(1), 25, 269
