解析几何教程（廖华奎王宝富）课后习题

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1、第一章向量代数习题1.11 . 试证向量加法的结合律，即对任意向量a,Z,c成立(a + b)+c = a + (b + c).证明：作向量而= a ,就 =),丽 =， ( 如下图) ，则(a + b) + c = (AB + BC) + CD = AC + CD = AD,a + (b + c) = AB + (BC + CD) = XB + BT) = AD,故(a+ 5)+ c = a + (Z + c).2 . 设a,b,c两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 a + 8 + c = 0.证明：必要性，设a ,b ,c的终点

2、与始点相连而成一个三角形AABC ,则 a +5+ c = AB + 8C + C4 = AC + C4 = 4 4 = 0.充分性，作向量通= 4 ,前：=心丽 =。，由于0 = 4 + + 0 =通+丽+函=*+而=而，所以点4与。重合，即三向量a,b,c的终点与始点相连构成一个三角形。3 . 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。证明：设三角形A 4 5 c三边A 5,5C ,C A的中点分别是。,E / （如下图），并且记a = AB,b = BC,c = CA ,则根据书中例1.1.1,三条中线表示的向量分

3、别是CD = -(c-b),A E = -(a-c),liF = -(b -a ),2 2 2所以，而+亚+丽=（，一）） + 1 （ 4 -。） + ,（万一” ） =0 ,故由上题结论得三角形2 2 2的三中线CD,AE,5JF可以构成一个三角形。4 . 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。证明：如下图，梯形A3C。两腰中点分别为E ,尸，记向量血= 4 ,而 = 方，则而 =仇而向量觉与AB共线且同向，所以存在实数2 0 ,使得DC = A AB.现在而= + ，而= -Z + ； la ,由于E是5 C

4、的中点，所以丽 = ! ( 而 + 而) = 1 ( + ”+ 之” 一方 ) = (1+ 丸必=1(1 + 4)通. 且2 2 2 2|F E| = 1（I+2）|A B| = |（|A B|+A |A B|）= |（|A B|+|D C|）.故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。5 . 试证命题1.1.2o证明：必要性，设Q,),c共面，如果其中有两个是共线的，比如是处 ) ，则处方线性相关，从而a ,),c线性相关。现在设a 1 ,c两两不共线，则向量c可以在两个向量a,5上的进行分解，即作以c为对角线，邻边平行于a,方的平行四边形，则存在实数；使得c = Aa +

5、9,因而a,Z,c线性相关。充分性，设a g ,c线性相关，则存在不全为零的数队, 右, 感，使得占。+ 七 ) +43c = 0。不妨设质H 0 ,则向量c可以表示为向量a,8的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量c平行于由向量处决定的平面，故a 1 ,c共面。6. 设A ,8,C是不共线的三点，它们决定一平面口，则点P在n上的充要条件是存在唯一的数组( 九, 切使得OP = AOA + uOB + vOC, / * 、- (*)A + /z + v = l,其中，。是任意一点。P在A46C内的充要条件是( * ) 与；lNO,NO,vNO同时成立。证明：必要性

6、，作如下示意图，连接AP并延长交直线5 c于R。则由三点5,R ,C共线，存在唯一的数组自使得丽 =占丽+七/，并且%+网=1。由三点A,P,R共线，存在唯一的数组 / 使得而= 6丽 + 4。左，并且/,+ /,= 1 。于是 OP = l.OA + LOR = LOA + Lk.dB + Lk1OC , 设2 = Zp/ = l2kx,v = l2k2,由k1冉，i，，2的唯一性知道(4,出) 的唯一性，则OP = AOA + juOB + vOC,且 P + + i = 4+ 12kl + l2k2 = 1 o充分

7、性，由已知条件有0A = 204 + uOB + vOC = AOA + pOB + (1 -2 -ju)OC= A(OA-OC) + /i(OB-OC) + OC = 2CA + + OC ,得到CP = ACA + Q，因而向量。八瓦, 心后共面，即尸在A,5 ,C决定的平面上。如果P在A45C内，则尸在线段AR内，R在线段5 c内，于是0 4 %,&，（4 1，则0 九4 = (0, 3,4),c = ( 2 ,3 ,-l),求下列向量的坐标：( 1 ) 2a Z + c ； ( 2 ) 3a + 2b + 4c。解：( 1 ) 2a - Z + c = 2(1,5,2) - (0,

8、-3,4) + (-2,3, -1) = (0,16, -1).( 2 ) 3a + 2b + 4c = 3(1,5,2) + 2(0, 3,4) + 4( 2,3, 1) ( 11, 9 , 2).4 . 判断下列各组的三个向量a,A,c是否共面？能否将c表示成a,方的线性组合？若能表示，则写出表示式。( 1 )a = (5,2,1),=(-1,4,2),c = (-1,-1,5);( 2 ) a = (6,4,2),6 = (-9 ,6,3),c = (-3,6,3);( 3 ) a = (1,2,-3),。= ( 2,-4,6),c = (1,0,5).解：( 1 )设自4+心力 +

9、右c =。，即 (5,2,1) + Jt2(-1,4,2) + (-1,-1,5) = 0 ,则有5A - 七一3 =0，- 2M+ 4 - -& = 0,该方程组只有零解& = 4 3 =0,所以三向量不共面。k + 2k 2 + 5A3 = 0.(2 ) 设 kla + k2b + kic = 0 ,即 56,4,2) + &(-9 ,6,3) + = ( 3,6,3) = 0 ,则有6七一 9八一3七=0, ,12 3， 2JI -3k -k =0UJt.+6jt2+6Jl, = 0 ,该方程组等价于1 2 3 由此得到12 3， 2 尤+3 七+3 七=0.12 占 +

10、 + 3阳 =0. 1,23刈 = 一 , 以 , 左 = 一24 只要不为零，占, 七就不为零，所以三向量共面。取用 =1，1，4 *7 J 1 , 4 J则占 =一L七 =一2 ,所以c = -a + - b ,即c可表示成a,力的线性组合。2 3 2 3(3 )设 kw+kzb + k3c = 0 ,即 kx(1,2,-3) + k2(-2,-4,6) + k3(1,0,5) = 0 ,则有- 2鼠 +鼠 =0, r2叫1一24七3=0 , 该方程组等价于Jkj.-2ok?2 =0,方程组有非零解( 2 , 1 , 0 ) ,所以-3ki + 6k2 + 5k = 0. 3

11、三向量共面。由于右只能为零，故c不能表示成明 ) 的线性组合。5 .在AABC中，设。,E是边BC的三等分点，试用瓶和衣表出而与彳后。6 .设在一平面n上取一个仿射标架。迫必，II上三点( 巧,= 2,3,共线当aJi 1且仅当x2 y2 1 = 0. 8 1证明：三点6 (巧,yj,i = l,2,3,共线当且仅当月月职，即土二也 = 2二 & .展Z - 占 K - J1开得 xty2 + x2y3 + x3yi- xly3- x3y2 - x2j, = 0.aJi 1x2 y2 1 =0 展开行列式得 xxy2 + x2j3 + x3 j(

12、- x1y3 - x3y2 - x2yx = 0.故命题成与y3 1立。7 .在AA5C中，设P,Q,R分别是直线4B,5C,CA上的点，并且AP = APB,BQ = piQC,CR = vRA.证明P,Q, R共线当且仅当2/v = -1.证明：作如下示意图，Q由于P,Q,R分别是直线A5,6C,CA上的定比分点，所以; 建仿 ) (2a 5Z)。6解：(3a + 2Z ) (2a-5 ) = 6同2 10时一 Ua b= 54-40-11 2 3cos- = 14-3373.63 .已知a + 38与7。一5垂直，。一48与7一28垂直，求N(a,) ) 。解：因为。+ 3与7。一 5垂

13、直，。一 4力与7。一 2垂直，所以(a + 3) (7 5 ) = 7同 J i s时 + 16a 5 = 0,V(a- 4bH7a-2b) = 7af+8bf-30a 6 = 0得到同2 =B= 2a方，于是故N(a,) = %.1 1 1 ab 2 34 .证明：对任意向量a,b都有|a + Z |2 + |a -Z|2 = 2 同2 + 2时 .当a与分不共线时，说明此等式的几何意义。证明：|a + Z |2 + a-b =(a + b) (a + b) + (a-b) (a-b)= |a|2 +叶 + 2a Z + 同2 + 时 -2a b = 2|2 + 2|Z|.当a与力不共

14、线时; 此等式的几何意义是以a与为邻边的平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。5 .下列等式是否正确？说明理由（习惯上把a a记为a2） o( 1 ) aa =a2; ( 2 ) a(b b) = ab2;( 3 ) a(a b) = a2b; ( 4 ) (a b)2 =a2b2;( 5 ) (a b)c = a(b c) ; ( 6 ) c a=c b,c 丰。= a= b.解：(1 )错误，因为左边表示向量，右边是数。(2 )正确，因为b b = b2。( 3 ) 错误，因为左边向量与。共线，而右边向量a?。与共线。(4 )错误，因为(a A)? =a，2co

15、sN(a,Z)Ha2/2。( 5 ) 错误，因为左边向量(a勿，与c共线，而右边向量。3 c)与a共线。( 6 ) 错误，因为c a =c b,c，0 = c 3 - 5)= 0 =，与。一垂直。6 .证明：三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。证明：设三角形A4BC的两条边AB,3C的垂直平分线交于一点。，D ,E ,F为A3,8C,C4边的中点，以。为始点，为A,5,C,O,E,尸终点的向量记为a, ,c ,d ,e j。则d =，(a + Z),e = (A + c),/ = (c +a), AB = ba,BC = c b,CA = a c.2 2 2由于OD,OE

16、是4 4 3。的垂直平分线，所以 AB d = -(b2- a2) = 0, BC e = (c2b2) = 0, a2=c2=b2,由此得到2 2CA/ =( / - ， 2) = 0,说明。尸是。4的垂直平分线，即三角形的垂直平分线交于一点,2且交点到三顶点的距离相等。7 .证明：设，生。不共面，如果向量r满足r a = 0 / b =,r c = 0,则，= 0。证明：因为不共面，所以可设广=X Q+ y + zc。则r r = r (xa + yb + zc) = xra + yr + zrc = 0,故 r = 0。8 .用几何方法证明：若a”的， M血也，

17、也; ，。都是实数，则有Ja：+b；+c： + 也； + 公+c； + +击 ; + d + c ；之 J(G + 42 + , + )2 +(，1 +2 + , + J +(C + 2 + + +J 等号成立的充分必要条件是at : Z , :c, = a2:b2 ： c2 = = a :bn : cn且%， %，，也也，也 ;c”, 2 , ,c “ 分别同号。证明：设在直角坐标系下，向量q =(% ,4,q ),i = l,2, .则由三角不等式得|%+ 2 + + %|4 k l i+同 +1。 ,并且等号成立的条件是向量a,

18、 = = 1,2,，同向，将坐标代入就有Ja： + 年 +c： + Ja： + 状 +c； H -1 - Ja； +b； +c；N yj(at +a2 H -f-an)2 +(Zt +Z, H -+ (ci +c2-i-|- c)2 等号成立的充分必要条件是al:bl:cl= a2:b2:c2= - = al l:bn: cn且,。2 ,，叫；，i，方2,；。1 ,。2,C” 分别同 v o习题1.41 .设优表示向量。在与向量6 / 0垂直的平面上的投影，则有axb = ax b。证明：由于a表示向量a在与向量b r 0垂直的平面上的投影(如下图) ，则山a

19、 /构成的平行四边形的面积与力构成的矩形的面积相等，axA ,axb的方向相同，因而,axb = a x b。2 .证明：(axb)2 = a2b2-(a b ) 证明：(axb)2 = a2b2sin2 Z(a,b),a2b2-(a b)2 = a2b2- a2b2 cos2 Z(a,Z) = a2b2 sin2 Z (a,6),故(4、刀2=/ /一(4 ) ) 2。3 .证明：若 a x )= cx d , a xc = Zxd,贝 ij a-d 与 -c 共线。证明：(a -d )x (b -c ) = a x b -a x c -d x b + dxc = a x b -c x

20、.d -a x c + bxd = 0 .故a - d与。- c共线。4 .证明：(a A)x(a+b) = 2(axb),并说明其几何意义。证明：(a - ) )x(a + Z ) = a x a + a x D x a - xA = O + axb + ax/-O = 2(axb).以a ,b为邻边的平行四边形的对角线构成的平行四边形的面积等于a,力为邻边的平行四边形的面积的2倍。5 .在直角坐标系中，已知a = (2,3,-l),b = ( l,- 2 ,3 ),求与a ,b都垂直，且满足如下条件之一的向量c ：(1) c为单位向量；(2) c d = 1 0 ,其中d = (2 ,1

21、-7 )。解：因为向量c与a ,b都垂直，所以可设c = 而axb =ei e2 e32 3 - 11 -2 3= (7,-7,-7), |ax6| = 7V3 ( 1 )因为c为单位向量,所以 |c| = l ,即 W|axM = l ,同 =- - -7 = ,故axb 7V3C = 1(1,一1,一1) O( 2 )由 rf = (2 ,l-7 ) , c d = 10 ,得 2(14-7 + 49 ) = 10,2 = ,于是28c = ：(1,-1,- 1)。46.用向量法证明：(1)三角形的正弦定理一 = _ = _L；sin A sin B sin C(2)三角形面积的海伦

22、(H e r o n )公式，式中。=竺竺 , A为三角形的面积，其中2a ,b ,c为三角形三边的长。证明：(1)设角A,仅C对应边表示的向量为a, ,c ,由向量外积的模的儿何意义知道| a x & | = | & x c | = cxa于是同B|sinC = |Z?|c|sinA = |c|a|sinB，, a故-sin Ab _ csinB sinC(2) A2 =-|axZ|2 = - ( a V - ( a Z )2) = -(a2b2- a2b2 cos2 Z(a,6)4 4 4= A (4 5 2 (a2 +62 - C2)2) = (2Q +2 + 力2 。2)(2。5一力

23、2 +。2)= (a +Z)2 - c2)(c2 -(a -b )2) = (ab-c)(a + b-c)(c + a -b )(c -a + b )16 16=p(p-a)(p-b)(p-c).7 .证明 Jacobi 恒等式ax(bxc) + bx(cxa) + cx(axb) = O a证明：由双重外积公式a x (Z x c ) + / x (c x a ) + c x (a x Z )=(a c)b (a b)c + (b a)c (b c)a + (c b)a (c a)b = 0。8 .设a H 0,0尸=x ，求满足方程a xx =b的点P的轨迹。解：由外积的定义及外积模的儿

24、何意义，点尸的轨迹在与垂直的平面上，且与过点Ob7平行于0的直线的距离为的直线，而且 a ,x ,。保持右手系。习题 1.51 . 证明：(Q x ) c = (力 x c ) a = (c X Q)力。证明：如果共面，贝l l (a x b) c =(x c ) a = (c x a )方=0。如果a ,A ,c不共面，则| (a x ) c = (bxc) a | = | (c x a ) b, a也c , 办 ,c ,a , c ,a用符合相同的右手或左手规则，因而(a x力)c ,S x c ) a ,(c x a )力有相同的符号，故(a x ) ) c = (x c ) =

25、 (CXQ) 6。2 .证明：a, b, c不共面当且仅当a x九方x c ,c x a不共面。证明：j (axb)x(bxc) (cxa) = (axb) c b- (axb) Z c (cxa)= (axb) c b (cxa) = (axb) c b (CX ) = (Q X方)c 2,所以(Q X) c = 0 = (a x b) x S x c ) (c x a ) = 0。故。，力 ,c不共面当且仅当a x ) ,5 x c ,c x a 不共面。3 . 在右手直角坐标系中，一个四面体的顶点为4 (1,2,0) ,8(-1,3 ,4 ) ,。

26、(一1,一2,-3 ) ,。(0,-1,3 ) ,求它的体积。解：因为-2 1 4(AB, AC, AD )= -2 -4 -3 = 5 9,-1 -3 3所以四面体45co的体积匕B C P = (AB, AC, AD ) = y .4 .证明Lagrange恒等式(axb) (c x r f ) =a c a db c b d证明 :(axb) (cxd) = a bx(cxd) = a (b d)c-(b c)da c a d=3 c)(b d)-(a d)(b c)= 。b c b a5 .证明：(a + A ,5 + c ,c + a ) = 2(a, b, c)。证明：因为(a

27、,仇d + e) = (axb) (d + e) = (axb) d + (axb) e = (a9b9d) + (a9b9e)，所以(a + 5 , + c ,c + a ) = (a + , + C,C) + (G + 3 ,) + c ,a )=(a + A也c ) + (a + ) ,c ,c ) + (a ,) + c ,a ) + S ,Z + c ,a )=(。+ 力,仇c ) + S ,5 + c ,a ) =。 ) + ( 仇仇c ) + S ,A ， a ) + S， c ,a )=2(a9b9c) o6 .证明：(a ,) ， c x d ) + S ,c ,a x d

28、) + (c ,a ,A x d ) = O。证明：左边= (a x b) x c d + (& x c ) x a d + (cxa)xb d= (a c)b-(b c)a + (b a)c-(c a)b + (c b)a - (a b) c d = 0 d = 0 =右边。7 .证明：对任意四个向量a ,b,c ,d 有(b9c9d)a + (c, a, d)b + (。也d ) c + (,a ,c ) d = 0。证明：因为(c ,d ) a + (,a ,c ) d = (b, c, d)a + (c, b, a)d = (bxc) d a- (cxb) a) d二 (x c )

29、d a- (bxc) a) d = (bxc)x(axd), 同理(c, a, d)b + (a, b, d)c = (a, d , c)b + (d , a, b)c = (a9d9c)b - (a9d9b)c = (axd)x(bxc)所以( ,c ,d ) a + (c ,a ,d ) + (,A ,d ) c + (d a ,c ) d = (bx c ) x (a x d ) + (a x d ) x (8x c ) = 0。8 .证明：若a与不共线，贝i j Qx (a x ) 与万x (a x) 不共线。证明：因为与不共线，所以a x 6 w 0.山于 a x (a x ) )

30、x 6 x (a x f t ) = a x (a x f t ) (a xb)b - a x (axb) b(a x b)=一 a x (x f t ) b(axb) = (a x f e ) x a b(axb) = (a x )(a x 8) (a x b)= (a x ) ) 2(a x 6 ) w 0,因而a x 3 x 0 )与万x (x 8)不共线。9 .已知a ,尸都是非零实数，向量a ,) ,c的混合积(a ,b,c ) = ，如果向量r满足r a = a ,r b = /3 , r c = 0,求此向量r。解：由条件得到，(/a a ) = 0 ,而且r c = 0 ,因此

31、可设，= a A ) x c ,现在两边分别与作内积，则有a = r a = Aa (JJa - ab)xc = -aA(aybc) = -aapk ,2 = ，故 /=(-b-a)xc oaJ3 p a10.设0件2，。3不共面，证明：任一向量。可以表示成a - ( -(述2，。3 ) C + (。 ,6彳， C ) 4 + ) 。3 )。(e19e29e3)证明：因为6 建2，。3不共面，所以任一向量。可以表示成。=工6+ y e 2+ z /。两边分别与向量6 2X 6 3 ,6 3 X 6 1,4 x e 2作内积，得到(4 , 6 2 , 6 3 ) = X ( C , 0 2 ，

32、，3 ), ( 4 , 6 3 , 6 ) = y ( 6 , 0 2 *3 )， ( ，，1 ,e? ) = Z (C(, 2?3)因而 = - - -(a,e2,ejei+(a,eei)e2+(a,el,e2)e).必必)11.设a ,),c不共面，设向量r满足r a = a ,r方= 月,r c = y ,那么有r = - (abxc + flcxa + yaxb)。(a,b,c)证明：因为a,A,c不共面，所以axA,6xc,cxa不共面，从而可设r = x(bxc) + y(cxa) + z(axb),两边分别与a,Z,c作内积，则有a = a r = xa (bxc),/3 =

33、b r = yb (cxa),y = c r = zc (axb), 于是r = 5 (abxc+ Scxa + yaxb)。(a,b,c)第二章直线与平面习题2.11 . 求通过两点4(2,3,4)和5(5,2,-1)的直线方程。解：直线的方向向量为彳月= (3 ,-1 ,-5 ),所以直线的方程为二二2 二3 = 三3 1 52 . 在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。过点(-1,2,0),(-2,-1,4),(3,1,-5)；( 2)过点(3,1 - 2)和z轴;( 3)过点(2,0,-1)和(一1,3,4),平行于y 轴；( 4)过点( 1,-5,4 ) ,

34、平行于平面3x 2y + 5 = 0。解：( 1)平面的方位向量为匕= (一1,一3,4),%=(4,-1,一5 ) ,所以平面的参数方程x = -1 -2 + 4/, j = 2 - 32 - /,z = 42-5/.平面的普通方程为x+1 y -2 Z-1 -3 4 = 0,即 19 x + lly + 13z 3 = 0.4 -1 -5( 2)平面的方位向量为匕=(3,1,-2),% = (0,0,1)，所以平面的参数方程x = 3 + 3A,4 = 0 ,则齐次方程组1Atx + Bty + C, z + Dtw = 0 ,A, x + B, y + C , z + O , w = 0

35、 ,/ ；1 二有解（乙, 典心, 1 ），由齐次线性方程组有A3X + B3y + C3z + O 3 w = 0 ,A4X + B4y + C4z + D4W = 0 ,解的条件得到A&44B?B、%= 0 O2r 1 V 4 - 1 71 3 . 在直角坐标系中，给定点M （ l , 0 , 3 ）和知2 （ 0 , 2 , 5 ） ,直线/ ： =-=-设 M,%各为在 / 上的垂足，求弧以及加；弧的坐标。解：MM为向量向而 =（一 1,2 ,2 ）在直线l 的方向向量y = （ 2 ,1,3 ）的方向上的分国 M . M , v 6里，故 M . M2 -

36、-：- = , .H V 14过点M | （ l ,0 ,3 ）作与直线/ 垂直的平面n -它的方程为2 （ x - l ） + y + 3 （ N - 3 ） = 0 ,过点加2 （ 0 ,2 ,5）作与直线/ 垂直的平面口？，它的方程为2 x + y 2 + 3 （ z 5） = 0, 将直线的参数方程” = 1 + 2 ,7 = -1 + * = 3 分别代人口I, II2 方程中，得匕 = 2= ，所以M吟 ,-今加见咛1号）.7 7 7 7 7 7I V x = 0 I y + x = 0 I V = 014 . 求与三直线, L 都相交的直线所产生的曲面1 z -

37、l = 0 2 z + l = 0 z = 0的方程。解：与三直线都相交的直线设为/ , 交点可设为尸（孙2 ,1） ,0 （ ” ,-,-1） ,1? （左 ,0 ,0 ） ,由于三点共线，所以二七 =二 =一，即有机=4。n - k 一 -1直线 / 的方程 / 二七 =2 = 2 ，即| 二 3m -k m 1 y = kz9消去A得到直线/ 构成的曲面方程丁 = xz. 上 + 工 =1 上二 =115.证明：包含直线c ，且平行于直线c 的平面方程为x = 0 j = 0x v z 1111- - - F 1 = 0 o若2d是， / 之间的距离，证明f = + 7

38、H 2 a b c d a b c+ = 1 y 7证明：包含直线乙： 48 C 的平面方程可设为；lx+ 4（）+ & - 1） = 0 ,它的法向量! x = 0n b c为（九K,幺），它又与直线乙平行，此直线的方向向量是乙= （ %0,c） ,所以c b = 0(a,0,c) (A,) = 0 ,得到a4 + = 0 ,于是平面方程为 +1 = 0 b c a b c直线内的方向向量是匕=(0,仇 -c),经过点P(0,0,c)。直线与经过点0(0,0,-c),|(pe,v.,v,)|所以两直线的距离为2d = L L 2 J ,网x%|0 0 2c(PQ,VX,V2)= 0 b

39、 -c =-2abc， vxv2 = (0,b,-c)x(a,0,c) = (bc,-ac,-ab)a 0 c1 Sc)2 + (ac)2 + (a1)2 4J7 - 4(abc)2习题2.31.在直角坐标系下，求下列直线方程。（ D 过点Af0（ -l,2,9）且垂直于平面3x + 2y z- 5 = 0 ；（ 2）过点M0（ 2,4,-l）且与三坐标轴夹角相等。解：（ 1）直线的方向向量是平面的法向量v = （ 3,2,-1） ,所以直线的方程为x + 1 y -2 Z-93 2( 2 )设直线的方向向量是y = ( X / , Z ) ,由于直线与三坐标轴的夹角相等，所以|v (l,O,

40、O)| = |v (0,1,0)| =卜(0,0,1)|,于是|X| = |V| = |Z。因此直线有 4 条，方程为x -2 _ j - 4 _ z + 1 x -2 _ y -4 _ z + 1= = ，，1 1 1 1 -1 1x - 2 _ y - 4 _ z + l x -2 _ j - 4 _ z + 1- = ， o1 1-11-1 -12 .在直角坐标系中，求平面-z + c = 0与xOy面的夹角。解：平面ax + Ay - z + c = 0的法向量为 =(。也一1 )，xOy面的法向量为nt = (0,0,1),所以夹角的余弦为cos。= 1

41、, 夹角为v2+z2 + 1八1210 = arccos , 或万一arccos . -.yja2 +b2 +1 la2 +b2 + 13 .求到两个给定平面的距离成定比的点的轨迹。解：设点M (x,y,z)到两平面的距离之比为 0。如果两平面平行，则选直角坐标系使得其中一个平面为xOy面，另一个平面的方程为z -d = 0 ,d 0 ,于是A|z| = |z- d |，当A = 1时，得N = 。当A w l时，得(1土A)z=d.2如果两平面相交，则选两平面的角平分面为两坐标面xOy和xOz，则两平面的方程可设为y + cz = f),y -c z = 0,c 0 ,于是无“+ cz| =

42、 -c z |,即(1 干4 )一(1 土左)cz = 0.4 .证明：空间中满足条件| 可+ | 引+0 0 )的点位于中心在原点，顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为a的八面体的内部。证明：条件用 + |y| + |z| 0)等价于八个不等式：x y n 0 ) ,这些点对于平面 x y z = a(a0)来说都在负侧，即包含原点的那一侧。故它们位于由八个平面x y z = a(a 0)构成顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为a的八面体的内部。5.在仿射坐标系中，设知2 (* 2 ，九山 )都不在平面II: A x + B y + C z + D = 0上，且证明：M 与A / ?在平面

43、口的同侧的充分必要条件是居 =A x1 + B yt + CZ I + O 与尸2 = A * 2 + 5 % + Cz2 + D同号。证明：(1)而而与平面口： A x + B y + Cz +0 = 0平行的充要条件是Ft- F2 = AX, + B yx + Cz1 + D - ( A x2 + B y2 + C z2 + D )= A (x1- x2)+ B (yl - y2) + C (zl-z2) = 0即居 =A X j + B yt + Cz1 + O H 0 与q = 4 * 2 + 8y 2 + Cz2 + 0。0 同号。(2 )如果而而与平面L I: A x +

44、 + Cz + D = 0不平行，则设直线M , M2与平面相交于点M ,且M M =一 / % 。因而A / 1与知2在平面口的同侧的充分必要条件是A 0。因为k = _ ,巧 + 孙 + 以 + = _ L 0 ,AX2 + B y2 + C z2 + D F2所以招 =A/ + 5/ + C +O 与尸2 = AX2 + 3 ,2 + Cz2 + D 同号。6 .在直角坐标系中，求与平面A x + 3 y + Cz + O = 0平行且与它的距离为d的平面方程。解：设点到平面A x + 8y + Cz + & = 0的距离为d ，则d A x- V B y + C z + DYIA2

45、 + B2+C2 因而所求平面的方程为A x + B y + C z + D d A2 + B2 + C2 = 0 .7 .求点M,(3 ,-l ,2 )到直线 12 x - ，+ z - 1 = 0 ,的距离。 x + j -Z 4 -l = 0解：直线方程的标准形式为所以直线经过点M(0, 1 ,0 ) ,方向向量为 (0,1,1),则A/Af, xv = (-2,3,3),点(3,- 1,2)到直线的距离为dM M _ V22=ViT.8.求下列各对直线之间的距离。x + 1 y-1 z + 5 x y -6 z + 5,c、X y + 2 z-1 x-1 j - 3

46、 z + 1(2 ) =- =- ,- =-=- ；2 -2 -1 4 2 -1fx + j z + l = 0, fx 2j + 3z 6 = 0,(3 ) x + j = 0, 2 x -j+ 3z-6 = 0.解：( 1 )两直线分别经过点,知2(0,6,-5),方向向量分别是v, = (一1,3,2),匕= (3,-9 ,-6 ),因此两直线平行，它们的距离为一直线的某点到另一直线的距离，所以A/,M, xv, = (10,-2,8)，它们的距离为d =MXM2 X。=华=2瓜V14( 2 )两直线分别经过点M(0，-2,l) , Af2(l,3 ,-1 )

47、,方向向量分别是匕 =(2,-2,-1),P2 = (4,2,-1) , MtM2= (1,5,-2), v, x v2 = (4,-2,12),(MlM2,vi,v2) = MiM2 (V,XV2) = -30 , 所以它们异面,它们的距离为|(Af !Af2, v, v2)| 30 15|! xv2| V164 V41(3 )两直线方程的标准形式可写为x y z-1 x y z-2T = H=_T?T = =r两直线分别经过点MI(0,0,l)Af2(0 ,0 ,-2 ),方向向量分别是匕=(1,一1,0),乙=(1 ,T ,T )，匕,匕不平行，知1知2 =(0,0,-3),

48、v,xv2 =(1,1,0), (A/,A/2,VI,V2) = A/(A/2 (v1xy2) = 0 ,所以它们相交，它们的距离为0。9.求下列各对直线的公垂线的方程。一、 1 y z 匕x y z(1) x -1 = =与一= 匕 = ；-3 3 2 1 -2(3) 0。I k 0 1 -k 0现在从两直线上分别任取一点,h,a),(s,-A s,-a)，则它们的中点( %,y,z)满足X = 号,y = = 0 ,这是公垂线段的垂直平分面的参数方程，所以中点轨迹是公垂线段的垂直平分面。13 . 设在直角坐标系中，平面口| 与口2的方程分别为2x - y + 2z - 3 = 0 和 3x

50、23x y 4z - 24 = 0.14 . 证明：两异面直线右的公垂线段的长度就是6，4之间的距离。证明：以公垂线为z轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为xOy面，两异面直线在xOy面上的投影直线的角平分线为x轴和y轴建立空间直角坐标系。则两异面直线的方程可设为A : - = = 与：式 = 巴，其中2a是两直线的距离即公垂线段1 1 k 0 2 1 -k 0的长度，4 0。现在从两直线上分别任取一点P(t,kt,a),Q (s,-ks,-a)，两点距离为|pg| = yj(t-s)2+k2(t + s)2 + (2a)2 2a,即公垂线段的长度是最小的，因此两异面直线

51、力右的公垂线段的长度就是L，之间的距离。第三章常见曲面习题3.11 .证明：如果M + /+ cZ d 。，那么由方程x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz+d = 0给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。证明：将方程配方得(x + a)2 + (y + b)2 + (z + c)2 = a2 + b1 + c2 - d ,由 a?+5?+c?-d 0 ,得到方程表示球心是(-a,-九 -c ) ,半径为加 + / - d的球面。2 . 求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0

52、),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为x2 + y2 + z2+ax +5y + cz + d = 0 ,得到9 + 3Q + d = 0, + ( - - - )2l + t2 + t4 l + t2+t4 l + t2+t4，2Z J -)2( l + , + )=_ = yl + z2 + z4 1 + + 即 + ( y ；)2 + z2 = ；,所以曲线在一个球面上。4. 适当选取坐标系，求下列轨迹的方程( 1)到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；( 2)到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；( 3)到定平面和定点等距离的点的轨迹。解( I)选直角坐标

53、系使得定点坐标为( 0,0,4 ) , (0 ,设定比常数为A 0。所以动点( x,y,z)满足/ + y2 + (z-a)2 = k2(x2 + y2 + (z + a)2),化简有(l-k2)x2 +(l-k2)y2 + (l-k2)z2-2a(l + k2)z + (l-k2)a2 = 0 ,当左= 1时，轨迹为平面z = 0。+ 即2当0左Hl忖，轨迹为球面* 2 + y2 + z2 2。TZ + fl2 =0o1 一 k( 2)选直角坐标系使得定点坐标为( 0,0,a),(0 , 0 ,设常数为无 0。所以动点( * ,7,2)满足 *2 + / +( z-a)2 + / + 仁

54、+ a)2 = k ,化简有4k2x2 + 4 k2y2 + (4k2 - 16a2)z2 + 4 k2a2- kA = 0.( 3)选直角坐标系使得定点坐标为( 0,0,a),定平面为z =- 。所以动点( x,y,z)满足yjx2 + y2 +(z-a)2 = |z + a| ) 化简有x2 + j2 = 4az.5 . 曲面S在柱面坐标系(& #)下的方程为y = R2 cos2，求S的直角坐标方程。解：将柱面坐标与直角坐标的关系x = Reosuyy = Rsin,z = v代入方程得到6 . 曲面S的直角坐标方程为一 + 丁2一3 = 2 5 ,试求其球面坐标方程。解：将球面坐标

55、与直角坐标的关系x = Rcosecos/,y = Reos8 sin3,z = Rsin0R入方程得到 x2 + y2- z2 = R2 cos2 6 R? sin? Q = 25,即 R2 cos 20 = 25.习题3.21 . 求半径为1 , 对称轴为x = = -的圆柱面方程.2 3解：圆柱面上的点( x , y , z ) 到对称轴x = 2 = Z 的距离是常数1 , 所以2 3|(“严皿2= 1 ,即有( 3 - 2 z ) 2 + ( z - 3 x ) 2 +( 2 x - y ) 2 = 14.V1 + 4 + 92 . 已知与圆柱面的三条母线为X = J = Z, X

57、 (x y 1尸=6,展开得到圆柱面方程x2 + y2 + z2 - xy - x z- yz + 3y -3 z = 0.r2 _ i_ v2 = o3 . 求母线方向为(2,-3,4 ) ,准线为4 一的柱面方程。z = 1解：柱面上的点( x , y , z ) 一定在经过准线上一点( * 0 ，九 * 0 ) 的母线上，所以x： + Jo = 9 ,z 0 = 1，* X = xo 4- 2ty = y0- 3/,z = z0 + 4t消去X 。 , y o, Zo, f 得到柱面方程：16x2 + 16y2 + 13Z2 + 24 yz - 16 xz + 16x - 24y -

58、 26z - 131 = 0.4. 已知圆柱面的对称轴为2x = l - y = z + l，点(1, 一 2,1)在此圆柱面上，求此圆柱面的方程。解：圆柱面上的点(x,y,z)与点(1,-2,1)到时称轴的距离相等，所以(x ,y -l,z-l)x(-l,2,2)| = |(l,-3,0)x(-l,2,2)| = 41,展开整理得 8 , + 5y2 + 5z2 + 4xy - 8yz + 4xz - 8x - 2 j - 2z - 39 = 0.X2 25. 求准线为7 + y = i的圆柱面方程。z = 0解：因为准线是椭圆，所以圆柱面的对称轴一定过椭圆的中心(0,0,0),母线方向不

59、可能平行于坐标面x O y ,可设为“, 机,1)。在准线上取三点(2,0,0),(0,1,0),( 百,9 ,0),它们到对称轴的距离都等于圆柱面的半径r ,于是|(2,0,0)x(/,/n,l)| = |(0,l,0)x(/,/n,l)|= (V3,1,0)x(/,/,1),得 4 + 4， 2 = 1 + /2 = + 3 + ( 一9 / ) 2 ,化简有4 23 + 4 / M = 显然/ 。0,所以机=0,/ = 土JJ.r = 1。加=0,因而圆柱面有两个|(x,y,z)x(士百,0,1)1=4 ,即(x士氐 )2 + 4 / =4.6 . 求以z轴为对称轴，坐标原点为顶点

60、，半顶角为生的圆锥面方程。6解：因为圆锥面以Z轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为工，所以圆锥面非常为6X2 + J2-Z2tan2- = O,即 3，+ 3y 2 - z? =0.67 . 求顶点在原点，准线为1 /( x 4)= 的锥面方程。z =九 w 0)解：锥面上的点(x,y,z) 一定在经过准线上某点(Xo，yo，Zo)的母线上，所以f（xo,yo） = O, =h, X。 = tx, 因此得到锥面方程/（ , 丝） =。 .Z ZJo = ty，z0 = tz8 . 求以原点为顶点，包含三条坐标轴的圆锥面方程。解：设圆锥面的对称轴的方向向量为（ / , 机, ），依照题意对称

61、轴的方向向量与三坐标轴的坐标向量的夹角的余弦的绝对值相等，所以有|（ 1,0,0）（ Z,/n,/i） | = |（ O,l,O）（ Z,/M,n） | = |（ 0,0,l）（ /,/,n） |即1 =帆| =同，对称轴的方向向量为（1,1,1）。因此圆锥面上的点（x,y,z）满足| （ x ： y , z ） ,化简得 xy yz xz = 0.即有四个圆锥面。7X2 + J2+Z2V3 V3x2 _ /= 19 . 求顶点为（0,1,0） ,准线为 4 的锥面方程。z = -5解：锥面上的点（x,y,z）一定在经过准线上某点（巧”打衣0）的母线上，所以因止匕得至锥面方程20X

62、2- 5J2-Z2 + 2JZ + 10J-2Z-5 = 0.孔 =l + f(y-1),z0=tz10 .证明：母线方向为( / , , , ) ，与球面x2 + _/ + z2 = 1外切的柱面方程为(lx + my + nz)2 (I2 + nt2 + n2)(x2 + j2 +z2 - 1) = 0 证明：依照题意知柱面是半径为1的圆柱面，对称轴为三 = 2 =三. 所以柱面上的点I m n（ x,y,z）满足- = 由公式”短 = 一人m疗得到V /2 + 机 +2（厂 + 机？ + 2）（*2 +）2+z2）-（/x + + n z）2 = 十旭？ + ,故柱面方程为（/

63、x + /wy + Az） ? -（ + 加2 + n2）（ x2 + j2 +z2 -1 ） = 0 o11 . 过x轴和y轴分别作动平面，交角。为常数，求交线的轨迹方程，并且证明它是一个锥面。解：过x轴和y轴的动平面方程可设为B.y + Gz = 0,A2x + C2z = 0. 它们的交线是B. y + C.1 z = 0,由于两平面的交角。是常数，所以A2X + C2z = 0.|cos6| = / 厂 ,交线方程中的系数按此关系消去得到轨迹方程：x2y2 - cos2 0（y2 + z2）（ x2 + z2） = 0 ,该方程明显是4次齐次方程，所以是锥面。12 . 证明:以。

64、（乙，孔。）为顶点的锥面方程是关于（ *一 *0） ,。一九） , （2 - 7 0 ）的齐次方程。证明：我们知道顶点在原点的锥面方程是关于x,y,z的齐次方程，所以将坐标系的原点平移到M o （ Xo， y0,Zo）,新坐标系的坐标用x,y,z,则x，= x - x,y = y - y0,z = z - z0,故锥面方程是关于x,y,z的齐次方程，即关于（ x - x0）,（y - j0） ,（ z - z0）的齐次方程。13 . 求下列曲线向各坐标面投影的投影柱面方程，和在各坐标面上的投影曲线，并作出曲线的简图：( 1)x2 + y2 = 4a2,( 2)x2 + 2y2

65、 + z2 = 5a2;x2 + y 2 + z2 = 4,( 3)x2 +(j -3 )2 +z2 = 4;x2 + y2 + z2 = 42,x2 + j2 - lax - 0.解：（ 1）向xOy面投影的投影柱面方程是/ + / = 4 7 ,在xOy面上的投影曲线是x2 + y2 = 4a2,z = 0.在方程组中消去x得到向yOz面投影的投影柱面方程是V + z2=a2,在yOz面上的投影曲线是y2 + z2 =a2,x = 0.在方程组中消去y得到向x O z面投影的投影柱面方程是x2- z2 = -a2,在xOz面上的投影曲线是卜2 = -a2,y = 0.（ 2）在方程组中分别

66、消去x,y,z得到向yOz,xOz,xOy面投影的投影柱面方程分别是72y- 3 = 0(|x| 2,|z| 2),x2+z2 = - ,2 j - 3 = 0(|x|4 2,|z| 2).在yOz, xOz, xOy面上的投影曲线方程分别是7J 2 j-3 = O / + / =J2”3 = 0/ = 。， 0 ( = 。， 3。，但 42).(3)在方程组中分别消去x ,y ,z得到向yOz,xOz,xOy面投影的投影柱面方程分别是Z4 -4 a2z2 + 4a2y2 = 0,z2 + 2ax-4a2 = 0,x2 + y2 - lax = 0。在yOz, xOz, xOy面上的投

67、影曲线方程分别是(z4 -4 a2z2 +4a2y2 = 0, fz2 + lax - 4a2 = 0, fx2 + j2 - lax = 0,x = 0, j = 0, z = 0.14. 设柱面的准线。的参数方程为x = /(Z),j = g(t),z = h(t),t e a,b ,母线方向为求柱面的参数方程。解：柱面上的点（x,y,z）在过准线上点（/ （ f） ,g ） ,/r（。）的母线上，所以柱面的方程为x = f(t) + ls,- y = g(t) + ms, t a,b ,s G ( -OO,+OO),这就是柱面的参数方程。Z = h(t) + ns习题3.31.求

68、曲线 +： =1绕z轴旋转所得的曲面方程。3 - x解：点（x,y,z）在旋转面上当且仅当它是曲线上点（X0,打a0）旋转而来:x； + y； = i,Z = * 2 , 7 ,消去Xo，X),N。得到旋转面的方程：x2 + y2= l ,由于曲线只是，+ y2苫一的=0,04ZW1的一部分，所以旋转面也是一部分：x2 + y2 = l, OZ12. 求直线二 =上 =上匚绕直线x = y = z旋转所得的曲面的方程。2 1 0解：设曲面上的点(x,y,z)是直线上的点( 工。 , ， ) / 。 ) 旋转来的，则*0 _ 义一 Z。- 1 2 1 0 |(X,J,Z)X(1,1,

69、1)| = |(X0,J0,Z0)X(1,1,1)|,x +J + Z = xo +Jo + zo,消去Xo，yo，Zo得到:9(J-Z)2+ (Z-X)2 + (X-J)2= (x + y + z 4广 + (2(x + j + z) - 5)2 + (x + j + z - 1)2整理得旋转面的方程：2x2 + 2y2 + 2z2 - 5xy - 5yz - 5xz + 5x + 5y + 5z - 7 = 0.3. 求曲线C : x = f(t),y = g(t),z = Mf)绕z轴旋转所得的曲面的参数方程。解：设曲面上的点(x,y,z)是曲线上的点(Xo，yo，Zo)( 对应的参数为

70、 ) 旋转来的，则X = = g(tn),z0 =岫 )，- x2 + y2 = x； + y；,z -z0 = 0所以曲面的参数方程可写为：X = l f2(t)+ g2(t) cos0, y = ( f ) + g2(f)sine,( 0 b c 0） ,a2- k b2- k d - k问当女取异于的各种实数值时，它表示怎样的曲面？解：由于a c 0 ,所以当左 Q , b2- k Q , c2- k a ,方程表示椭球面；当/2A。2时，a2- k 0 , b2- k 0 , c2- k A/2时，a2 - k 0,b2 - k 0,c2 - k “ 2时，a

71、2 - k 0,b2 - k 0,c2 - k 0 ,c 0。k所以动点(X,y,z)满足 +(z-c)2 =k z + ,K化简有/ + 72 + ( 1 - 1 ) /- 2 a 1 + )2 = 0.(3 )以定平面为xOy面，定直线为z轴建立直角坐标系。所以动点(x,y,z)满足 x2 + y2 = |z|,于是动点轨迹方程为工2 + y2 - Z2 = 0.(4 )设两直线异面，以两条定直线的公垂线为N轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为X。7面，两直线在xOy面上的投影直线的角平分线为x轴和y轴，建立直角坐标系，使得两直线的方向向量为(cos4,土sin 4,0),两直线分别过

72、点(0,0,下巴) 。所以动2 2 2点(x,y,z)满足(x ,j,z- )x(cos ,-sin ,0) = (x,j,z + )x(cos-,sin,0),2 2 2 2 2 2展开得化简得 xy sin a = az - 如果两直线平行，即a = 0,% ,则动点轨迹为平面z = 0。如果两直线相交，则a = 0 ,则动点轨迹为两相交平面：盯 =0。6. 设P是椭球面 +咚+、 = 1上的一点，向量。尸的方向余弦为( 乐力 ) , 且(T b cOP = r ,试证：1 = 4 + 勺+2 .1 r2 a b2 c2证明：由题意得到点P的坐标为P(r2,r,r v ) ,将

73、它代入椭球面方程得到2- +b2r2v2 2 1 A2+_ W_ = _ +37M椭球面的中心。引三条互相垂直的射线，与椭球面分别交于尸1 ，尸2 ，尸3 ,设 | 。巴卜匚( = 1 , 2 , 3 ) , 试证： + + = + 7 T + - . 2 a D c证明：设三向量的( i = 1 , 2 , 3 )的方向余弦为4 ，从, 匕( i = 1 , 2 , 3 ) ,由上题结论有 2 2 2 1 / 2 .=%+条+先=1 , 2 , 3 ) .由于三向量函( i = 1 , 2 , 3 )两两互相垂直所以矩阵4 Ai匕以2 2 V2 为正交矩阵，因而； +

74、九；+ ； = +4 ； + ； = 1 ,匕2 + V ； + V ； = 1 .4 3 。一从而得至 1J fl - r-H- - = H -H -r； 2 r； a2 b2 c28. 求与椭圆抛物面1 0 x ? + 2y2=z的交线为圆的平面。解：因为椭圆抛物面I O 1 ？ + 2 F =%开口朝z轴方向，交线为圆，所以平面的法向量不会平行于x O y坐标面，可设所求平面为n ： A x + 5 y + z + O = 0。由于空间的圆定是某球面与平面的交线，所以该圆可设为球面x2 + y2 + z2 + lax + 2by +

75、2cz + d = 0 与平面口的交线。交线向x O y坐标面的投影柱面是相同的，而它们的方程分别为10x2+ 2y2 + A x + By+ D = Q,( 1 +A2)X2 + (1 + B2)J2 + 2ABXJ+2(AD +a - cA)x + 2(B D + b-cB)y + D2- 2 c D + d = 0,比较它们的系数得到A 5 = 0 ， W- = g，于是 5 = 0 , 4 = 2. 平面方程：2 x + z = A。该平面要与椭圆抛物面相交，将平面方程代人椭圆抛物面方程中得1 0 / + 2 / 2 * = 兀

76、，该方程有解，经配方得到女满足：k 习题3 . 51 .求单叶双曲面彳 - + 合 - 需= 1上过点（ 2,3,-4）的直母线。解：单叶双曲面二+二一三= 1的直母线族为4 9 16u(F ) + v(l + ) 0, u(I - - ) + v(l ) = 0,(I) 2 4 3 及)2 4 3H ( l - ) + V ( - - - ) = 0 M ( l + - ) + V ( - - - ) = 0I 3 2 4 I 3 2 4将点(2,3,-4 )代入直母线族的方程中，得到的参数为v= 0 , ( I I )的参数为“+ 口 = 0,所以过点（2,3,-4）的直母线为2x

77、4- z = 0,y -3 =(IDJx - 2 = 0,4j + 3z = 0.Y J y J 17 12. 求直线族丁 =丁二看所形成的直纹面方程。解：直线族型= 彳=3改写为f x - 22 = -2z + 2,y - A = -z + i消去;l参数得到直纹面方程y2 + z2 + 2yz - x -2 j-4 z + 3 = 0。3. 求与以下三直线同时共面的直线所产生的曲面，,fx = 1 fx = -1 x -2 y+ 1 z + 2I.1 ： f2 /：- = -= -y = z 2 j = -z -3 4 5解：依题意，所求直线/ 应同时在过小4的

78、平面束中，即w (x-l) + j - z = 0v(x + l)+ y + z = 0，该直线经过点（ 1,一丫 , 一v） ,方向向量为（2,-一v）。由于，与4共面，所以x = a cos w 4-av sin ”，(I)0,5 0,c 0).直母线族为a b cx = tzcosw 4-avsinw,y = b sin u-bv cos 明z = -cv,(1)在中任取两条直母线， 4，对应的参数为0 2孙1。2，，2分别经过点 Af (acosi，Asin/,0 ) , A/2(acosw2,6sinw2, 0 )，方向向量是匕= 3 sin ”“ -Acos%

79、,。 ) ，v2 = (a sin w2,-ftcos w2,c ),显然两方向不共线，计算混合积a(cos w2 - coswj &(sinw2 - sin W j) 0(MiM29v1,v2)= a sin ux -bcosul cQsin% -bcosu2 c= abc(cosu2 - cos w,)2 + (sin u2 - sin u1)2= 2abc(l - cos(w2 -) 0.所以中任意两条直母线乙, ，2异面。同理可得(ID中任意两条直母线也异面。( 2 )在两族直母线中分别任取条，记为， ,4，对应的参数为o w 1， 2 sin w2,0 ) ,方向向量是匕

80、 =( sin i，-5cos”c )， v2 = (a sin u2, -b cos w2, -c )。如果% = u2，由于它们经过同个点, 所以，乙共面。如果, 工 2,则计算混合积( M /，匕# 2)=Q(CO S2 一 COS1)a sin uxa sin /(sin % - sin %) 0一)cos% c-b cos u2 -c= -aZccos2 ux - cos2 w2 + sin2 % - sin2 w2 = 0 ,所以A， 4共面。并且当 % = 2 + 万时，1， /2平行。5.设S是马鞍面，证明:(1 )同族中的任意两条直母线异面；(2 )异族中的任意两条

81、直母线相交；(3 )同族中的全体直母线平行于同一个平面。证明：设马鞍面的方程为二-2z,a 0,b 0.它的两族直母线为a bx = au + x = au+a ,(I)4 一) 匕及(H),2v2) o显然两方向不共线，即它们不可能平行。计算混合积所以异族中的任意两条直母线小乙相交。(v2 - t t j -b(v2 + !)0(M1M2,V1,V2) =a -b2% =0.a b2%(3 )由于(I)中任意直母线的方向向量为v, = (0,一方,2) , 它平行于平面x + ay = 0 ,所以中所有直母线平行于平面4 x + ay = 0。由于(II)中任意直母线的方向向量为% = (

82、%2y),它平行于平面x - =0 ,所以(II)中所有直母线平行于平面力= 0 O6.证明马鞍面的正交直母线的交点在一条双曲线上。证明：设马鞍面的方程为5 = 2 ,4 ( ),6 0 .由上一题的结论，马鞍面的相交a b直母线一定是异族的，所以在(I), (II)族中分别选直线使得它们正交：x = au + av9 x = av +au9(I) y = bu-bv 及(H) 一从+ 4 = 0,要得到正交直母线的交点的轨迹方程，只需在两族直母线中的参数按上述关系消去即可，于是得到7.己知平面ax + Z y + cz = O(abc+ 0 )与锥面xy

83、+ yz + zx = 0的交线是两条正交的直线，证明。证明：已给锥面方程变形为 = - 上 .设比值为左，得到锥面的直母线族乙：” 的方向向量为(A, A( A- o因为所求直母线在平面丁 +以 =0.ax + by + cz = 0(ac * 0 )匕所以有 % + bk(k - 1) + c(l 女) =0,即b l + (a -6 -，)A+，= 0.它的两个解就是所求直母线的参数储, 公，它们满足b + c c - -a a c-,k& = b 1 2 b由于两条直母线正交，所以+ k / * - 1)(一 - 1) + (1 - 占)(1 - -2)= 0,

84、将上述关系代入，得到 + 巴 + 巴 =0 ,即有1 +工 +,=0。b b b b a b c习题3.61 .用不等式组表达由下列平面或曲面所围成的空间区域，并作简图。(1) x2 + j2 = 16,z = x + 4,z = 0;(2) X2 + 16J2 + 9Z2 = 36,x2 + j2+z2 = 16 ( 在第I卦限内) 。解：(1) x2 + _f = 16 = * + 4 = 0分别是圆柱面，两平面，要使得它们围成一个空间有界区域，应该在圆柱面的内部，平面z - “ - 4 = 0的负侧，平面z = 0的正侧( 上侧) ,所以用不等式组表示区域为：x2 + j2 16,

85、z0.(2 )由于椭球面x? + 16y2 + 9 z2 =36整个都在球面x2 + _/ + z2 = 16的内部，所以它们在第I卦限内围成的区域应该在椭球面的外部，在球面的内部，所以用不等式组表示区域为：x2 + 16j2 + 9 z2 36, x2 + j2 + z2 0, j 0,z 0.2.作出由不等式组0 4 z 7 8 -X2- j2,0 y V 4-x2,0 x 2所确定的空间区域简图。第4章二次曲线和二次曲面习题41 .在直角坐标系xOy中，以直线/:4 x -3 y + 12 = 0为新坐标系的轴，取通过4(1,-3 )且垂直于 /的直线

86、为y 轴，写出点的坐标变换公式，并且求直线:3 x -2 j + 5 = 0在新坐标系中的方程。解：直线/:4“ - 3了 + 12 = 0的方向是(3 ,4 ),与它垂直的方向是(-4,3),新坐标系的x 轴的坐标向量取为(|,1 )y轴坐标向量取为 ( 一4二 33，与直线/ :4x-3y + 12 = 0垂直且的直线方程可设为3x + 4y + c = 0 ,由于过点4(1,一3 ) ,得到直线方程是3x + 4y + 9 = 0 ,两直线的交点(-3,0)是新坐标原点，所以点的坐标变换公式:3；H54- 5卜，35-

87、30+直线。：3x- 2)+ 5 = 0在新坐标系中的方程:3 4 4 3:3(X1- - jf-3) 2( x/ + jz) + 5 = 0，化简有 4 :x _ 18y _ 20 = 0.2 .作直角坐标变换，已知点4(6,-5),3(1,- 4)的新坐标分别为(1,一3),(0,2),求点的坐标变换公式。解：设同定向的点的坐标变换公式是：cosesin。一 sin。cos。xr a它的向量的坐标变换公式是:UVcos。 -sin 0sin。 cos。U山题意知向量彳万= ( 一5,1)变为万斤 = ( 一1 ,5 ),于是有cossin 0一 sin 6cos 6-1512 5.得

88、到sin。= 上 ,cos。= 三 .于是点的坐标变换公13 13式是:51312131213513a . 将点B (l,-4 )及它的像点(0 ,2 )代入得到bxyXab-cos。 sin 0xsin。 cos。它的向量的坐标变换公式是:V-cos。 sin 0sin 0 cos。V由题意知向量= (-5,1)变为ZH = ( 1 ,5 ),于是有-5一 cos6sin 0sin 0cose.得到sin 0 = -l,cos6 = 0.于是点的坐标变换公式是:yX-10yj+” . 将点3(1,- 4 )及它的像点(0 ,2 )代入得

89、到b： =：，所以点的坐标变换公式是:x-| 0 -33.设新I日坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为V2 , V2 ,X = -X H -V + 5,2 2)V2 ,72 , _y = - - X + j -3；x = -y + 3,y = x - 2.其中，（ * , /）与（7 , /）分别表示同一点的I日坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角6。解：（1）新坐标系的原点的旧坐标为x = 0,y = 0代入公式中计算的结果，即（5,-3）。由点的坐标变换公式知道是同定向的，于是转角e满足Si d- 沙。j由于7%04 6 2万，所以6 =匕 .4（2 ）

90、与上一问题同理，新坐标系的原点的旧坐标为（2,3）。转角。满足3元sin。=-l,cos8 = 0,由于0 4 6 2万，所以4.在右手直角坐标系? 中，设两直线：4 x + B,.y + G =0 = 1,2）互相垂直，取 , 4为右手直角坐标系方的。旷轴，O x轴，试求丐到力的点的坐标变换公式。解：由于两直线小4互相垂直，且“为右手直角坐标系4的o y 轴，0 %轴，即小，2在右手直角坐标系内下的方程为， | ：x = 0,，2 ： 0 时， 72到巧的点的坐标变换公式:x = J/ A；, 齐(4 * + J + G)

91、,+ 5：y = I / A-ix + 凡y + c2).+ B；A B当I I 0时，力到6的点的坐标变换公式:儿叫1X = , (A,x + Bty + G),加+ 5：*y = - -1 ? , (2x + 52y +。2)J A； + B；5.设。ABC为四面体，L , ,N依次是AA5C的三边A5,5C,CA的中点，取a, = O ; O A , O B , O C , ct, = O ; O L , O M , O N 。(1)求b1到？点的坐标变换公式和向量的坐标变换公式，再/到C F 求点( 向量)的坐标变换公式。(2 )求4 ,5 ,C,4瓦A e的巴坐标。解：(1)依

92、题意有瓦 =- ( O A + O B ) , O M = - ( O B + O C ) , O N = - ( O A + O C ) ,所2 2 20 11 01 1以巴到4点的过渡矩阵是A = ； 15 到点的坐标变换公式2到巴点的向量的坐标变换公式011101UVW，其中(u,v,w),(u,v,w)分别是向量tz在仿射坐标系a ,和0w力下的坐标。由以上关系得到O A = OL - OM + ON, OB = O L + OM - ON, OC = - O L + OM + 0 N ,1 1 -1所以巴到丐点的过渡矩阵是5 = - 1

93、11, 6到囚点的坐标变换公式1 -1 1xyz1-11向量的坐标变换公式一样。(2) A,5,C,AB,AC的? 坐标分别是A(l,O,O),B(O,l,O),C(O,O,l),Afi = (-1,1,0), AC = (-1,0,1)，由“ 到点和向量的坐标变换公式得到A,5 ,C,A5, AC的外坐标分别是= (0,2,-2), AC = (-2,2,0)6 .在右手直角坐标系丐 =0*1,62,63中，已给三个互相垂直的平面Hi :x + j + z - l = O , II2 : x - z +1 = 0, II3:X- 2J + Z +

94、 2 = 0 。确定新的坐标系a2 = , 使得口| , 巴, 口3分别为 yOz,zOx,xOy坐标面，且。在新坐标系的第一卦限内，求丐到外的点的坐标变换公式。解：由于三个平面口1,凡 , 口3分别为 / 。1。 , ，。，坐标面，所以坐标之间的关系可设为X = 土X + y + z T ) ,/=士x -z + l), z = x - 2y + z + 2),又。在新坐标系的第一卦限内，所以。在新坐标系的三个坐标都为正，于是xx + j + z-1), jz =x - z + 1), z = j=(x -2 y + z + 2),故叫到巴的点的坐标变换公式Xyz1飞1

95、一不1一耳V6732飞17T .Xyz4-yz1121211一正2一而- V31011n011需2X+)7 .在右手直角坐标系。盯z中，方程9x2 - 25y2 + 16z2 - 24xz + 80x + 60z = 0表示什么曲面？解：将方程9 *2 - 25y 2 + 16z2- 24xz + 80x + 60z = 0 进行配方,(3x -4 z)2 - 25y 之 + 20(4x + 3z) = 0 , 由于平面3x -4z = 0, j = 0,4x + 3z = 0,两两垂直，所以将它们分别作为新坐标系的坐标平面于是作坐标变换：1x

96、f = (3x -4z),. y = y, 将它们代入方程得到x _ 所以HH2 1 1 H2r v v x ir. = cosCr+ (l-cos。 ) 一z-v + sin-7-7H Hjr由此表达式e” e2，e3绕方向v = (1,1,1)右旋一得到所以坐标变换为yZ2 -12 2-1 22-1210.设/ 与右是两条不垂直的异面直线，分别通过，和4作两个互相垂直的平面，证明交线的轨迹是单叶双曲面。解：设异面直线的距离为2。，夹角为2a,0 a 之值，使二次曲面x1 + y2 - z1 + 2axz + 2byz - 2x - 4y + 2z = 0表示二次锥面。解：二次锥面的不变

97、量八# 0 ,，= ，所以1 0 a -1016- 2 ,I. = = 4a2 + Z 2 - 4aZ - 2a - 46 + 4 = 0.4 a b -1 1-1 -2 1 04.求出曲面方程(ax + by + cz +d)(atx + bxy + cz + &) = 0的简化方程。解：设平面：f(x ,y,z) = ax+by + cz + d = 0 ,fl(x,y,z) = aix + bly + clz + dJ = 0两平面的法向量为 =(a,b,c),nt = (%,4，C1),如果两平面重合，则简化方程为2 ” = o ,其中 *，= ax + 空或 + dn如果两平

98、面平行不重合，则 =共线，令xr =ax + by + cz于是 / （ x,y,z） =同（x + ：（ * 一 / i（x,y,z） = E |（ x + - ）），所以简化方程为同gj(x 一 ( - - - - j j )2) = 0.4 M EI如果两平面不平行，则以它们的角平分面为新坐标面建立新坐标系，单位法向量记为因而角平分面的方程为f(x, y, z) ft(x, y, z) f(x, y, z)I LF- iT x, y , z )l J=o , 它们的法向量分别是+ 前一个角平分面为y 0 z 面，后一个角平分面为x 0 z 面，因而

99、令*， 1 7 ( x, j , z ) ft(x, y, z)于是简化方程为k 里( | + ： x 2 -1 。y2) = 0 .5 . 证明：在直角坐标系。孙 z中，顶点在原点的二次锥面a1lx2 / + laxy + 2ayz + 2 a L = 0有三条互相垂直的直母线的充分必要条件是a” + a22 +。 33 = 0。证明：必要性，因为二次锥面的顶点为原点，且有三条互相垂直的直母线，所以选取该三条直母线为新坐标系( 原点不变) 的坐标轴，新坐标系下的方程变为：auxz + a22y2 + az2 + la2xy + 2a23yz + 2al3xz = 0新坐标系下的点( 1 ,

100、0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) 都在曲面匕应满足上述曲面的方程，因而得到a = 0 , * 2 = 0 ， 4 ； 3 = 0，即不变量/ 1 = a ” +a22 + o33 = 0 .充分性，因为曲面是二次锥面，所以可以选取适当的直角坐标系使曲面的方程是a2x, 2 + 62j, 2- c2z, 2 = 0,KSZ1 =a2 + Z 2- c2 = 0 , J f ( c , 0 , a) 即一直母线。的方向向量，则由向量( - 4 。 , 户二确定的直母线乙与直母线。垂直。现在以这两条直母线为新坐标系的坐标轴x , y 轴，在此坐标系下的

101、点( i, o, o) , ( ( ) , i, o) 在曲面上，所以曲面的方程为W z + 2a；， y + 23 z + 2X z = 0 / 尸 =。由此可见点( 0 , 0 , 1 ) 也在曲面上，它决定的直母线4与直母线4、， 2都垂直，故曲面上有三条互相垂直的直母线。习题4 . 41 , 求下列曲面的中心( 1 ) 14x2 4 - 1 4 y 2 + 8 z2 - Sxy - 4xz - 4 y z + 1 8 x - 1 8 y + 5 = 0 ;( 2) 5 x2 + 26 j2 + 1 0 z2 + 6xy + 14xz + 4yz - 8 x - 1 8 y - lO

102、 z + 4 = 0 ;( 3) x2 + j2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz - 2x + 2y - 2z - 3 = 0 .解：（ 1）曲面的中心满足14x - 4y - 2z + 9 = 0, 一4+ 14）一22-9 = 0,此方程组有唯一解（一；, ；,0） ,即为中心。-2x - 2j + 8z = 0,（ 2）曲面的中心满足5x + 3y + 7z - 4 = 0,- 3x + 26j + 2z-9 = 0,它等价于1 - 6y + 2z + 1 = 0,表示中心在该直线上。 llj + z + 3 = 0,7x + 2j + 10z-5 = 0, i（ 3）曲

103、面的中心满足x - j + z - l = 0,- -x + j - z + l = 0,等价于x - j + z -1 = 0 ,表示中心在此平面上。x - j + z - l = 0,2. 判断下列各二次曲面何者是中心曲面，何者是非中心曲面，并进一步区分是线心曲面、面心曲面还是无心曲血。（ 1） 3x2 + 5y2 + 3z2 - 4xj + 2xz - 2yz + 2x + 12 j + 10z + 20 = 0;( 2) 2x2 + 18y2 + 8z2 - 2xy + 24yz - 8xz -5x + 15y + 10z + 2 = 0;( 3) 4x2 - y2 - z2 +

104、2yz - 8x - 4j + 8z - 2 = 0.解：（ 1）曲面的矩阵（ 2）曲面的矩阵3 -2不变量 = - 2 51 -11-13=29 # 0 ,曲面是中心曲面。2 -6 -4-6 18 12-4 12 85 15 _- 52 2_5215T52不变量八 =-6-4-6 -45 12 = 0,所以曲面是非中心曲12 82面。曲面的中心满足- -6x + 18j + 12z + = 0,方程组等价于-4x + 12y + 8z + 5 = 0,即中心在一个平2-4x + 12j + 8z + 5 = 0,面匕所以是面心曲面。( 3)曲面的矩阵4 0 0 -414 0 0A= 0 1

105、1 -2 ,不变量八= 0 -1 1 = 0 ,曲面是非中心曲面，曲面0 1 - 1 4 30 1 -1-4 -2 4 -2中心满足4x - 4 = 0,-y + z -2 = 0,方程组无解，所以曲面是无心曲面。j - z + 4 = 0,3. 求下列各二次曲面的渐近锥面：( 1 ) 2xz + j2 - 2z2 - 1 = 0;( 2) x2 + y2 + z2 - 4xy - 4xz - 4 jz -3 = 0;( 3) 5x2 + 9y2 + 9z2 - 12xj - 6xz + I2x - 36z = 0.解：( 1 )曲面的不变量0 0 1= 0 1 0 = -1 # 0 ,所以曲

106、面是中心曲面，有渐近锥面，曲面的中心为原点，故1 0 -2渐近锥面方程为2xz + / - 2z2 = 0.( 2)曲面的中心满足x -2 y -2 z = 0,，- 2x + _y-2z = 0 ,原点是它的唯一解，曲面是中心曲面，故渐近锥面方程为-lx - 2j + z = 0,x1 + y2 + z2 - 4xj - 4xz - 4yz = 0.( 3)曲面的不变量5 -6 -3I3 = -6 9 0 = 0,所以曲面是非中心曲面，因此没有渐近锥面。-3 0 9习题4.51. 求下列二次曲面的奇向( 1) 9* 2 - 4 /- 9以2 + 18孙一40度 -

107、36 = 0;( 2) x2 + j2 + 4z2 + 2xy - 4xz - 4yz - 4x - 4j + 8z = 0.解：( 1 ) 曲面的不变量9 9 0八= 9 -4 一20 # 0 ,所以曲面没有奇向。0 -20 -9 1( 2 ) 曲面的不变量x + j - 2z = 0,-211-2-2-24= 0 ,所以曲面有奇向，奇向满足方程组 “ + 旷 22 = 0, 等价-2x - 2j + 4z = 0,于x + y - 2z = 0,所以平行于平面x + y - 2z = 0的方向都是奇向。2. 已知曲面 x2 + ly1 - z2 - 2xy - 2yz + 2xz - 4

108、x - 1 = 0 求与方向 1: ( 一1): 0 共挽的直径面方程。解：曲面的矩阵 1 -1 1 -2- 1 2 - 1 04 =1 - 1 - 1 0-2 0 0 -1与方向1: (-1): 0共枷的直径面方程x - y + z - 2 - ( - x + 2 j - z) = 0 ,即 2x - 3y + 2z - 2 = 0。3 . 已知曲面4x? + J? + z? + 4xy- 4XN - 2yz + x - y + 1 = 0 ,求过原点的直径面。解：曲面的矩阵则与方向X : y : Z共辄的直径面是X(4x + 2y-2z + -) + Y(2x + y - z - - )

109、+ Z(-2x - j + z) = 0 ,因为经过原点，2 2所以， X , 卜 =0即丫 = , 代入直径面的方程中得到(3% -2)(2* + 7 -2)= 0,由2 2此得直径面的方程2x + y - z = 0.4. 求曲面 S : X? + y + z = 0, S2 : x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 2z = 0 的公共的直径面。解：因为有中心的曲面的直径面都要经过中心，所以求出曲面的中心就可以解决问题。S j： x 2 + y + z = o与方向x： y： z共辄的直径面方程Xx + Ly + L z = o。1 2 2S2:x2

110、+ y2 + z2-2 x -2 y -2 z = 0 的中心满足方程组 x - 1 = 0, j - 1 = 0,z - 1 = 0 ,即中心是（1,1,1）,该中心应该在直径面上，所以x + ,y + L z =（）,故公共的直径面方2 2程是x 1 = 0.5. 求下列二次曲面的主方向与主径面，并且求出直角坐标变换，写出简化方程。（1） 14*2 + 14y2 + 8z2 - 4yz - 4xz - 8xy + 18x - 18y + 5 = 0;(2) 3x2 + 5 j2 + 3z2 - 2xy + 2xz - 2yz + 2x + 12 j + 10z + 20 = 0.解：（

111、1 ）曲面的矩阵14-4-29-414-2-9-2-2809-905不变量乙=36,4 =14-4-41414-2-2814-2-28=39 6, /3 = 362,14-4-29-414-2-9-2-2809-905= -4x362.A+特征方程是一分 + 3622 - 39 64 + 362 = 0 ,即(4 - 6)(公 -302 + 216) = 0,特征根是4 = 6 ,4 = 12,4 = 18.简化方程是6x + I2y2 + 18z2 4 = 0.特征根儿 =6的主方向满足方程组8X -4Y -2Z = 0,-4X + 8K - 2Z = 0,得到主方向 X :Z =1:1:2

112、, 0)4(1,1,2) = 0 对应的主经-2X -2Y + 2Z =0面是 x + y + 2z = 0.特征根4 = 12的主方向满足方程组2 X -4 Y -2 Z =0,-4X +2Y-2Z = 0 ,得到主方向 X : V : Z = 1:1: (-1),式 = 0 对应的-2X -2 Y -4 Z = 0主经面是x + j - z = 0.特征根4 = 18的主方向满足方程组-4X -4Y -2Z =0,-4X -4K -2Z = 0 ,得到主方向 X :Z = 1:(-1):0 ,式1， 1，0)= 18 对应-2X -2K -10Z =0的主经面是7 + 1 = 0.

113、曲面的中心是( 工, - 工, ( ) ) ，直角坐标变换是2 2xyZ1 1-/6 V31 1V6 V32 _ 1_,76 V3(2 )曲面的矩阵1 1-1 63 55 201-135 2016= 36.5特征方程是一；13 + 11万一 362 + 36 = 0 ,即(2 - 6)(公 54 + 6) = 0 ,特征根是4 = 2 ,4 = 3,4, = 6.简化方程是 2x” + 3 j,2 + 6z2 1 = 0.特征根儿 =2的主方向满足方程组X -Y + Z = 0,-X + 3K-Z = 0,得到主方向 X ：y :Z = 1 :0 :(-1 ), D4(l,

114、0,-l) = -4 对应的X -Y + Z =0主经面是X-N 2 = 0.特征根4 = 3的主方向满足方程组- y + z =o,-X + 2Y -Z = 0,得到主方向X ：y :Z = 1 :1 :1 ,式1,1,1) = 12对应的主经面x y = o是 x + y + z + 4 = 0.特征根4 = 6的主方向满足方程组-3X -Y + Z = 0,- X - Y - Z = 0 ,得到主方向X :Y :Z = 1:(-2) :1 ,式1，一2 /)=一6对应的主X -Y -3 Z =0经面是 x - 2y + z - 1 = 0.曲面的中心是（ -1 5已 13直角坐标变换是6

115、 3 6正01 72xyZ1羽11y/62飞17 T6. 证明：过中心曲面的中心的任何平面都是直径面。证明：设中心曲面的中心为原点，则过曲面的中心的平面方程为：Ax + By + Cz = 0因为中心曲面的不变量八M0，所以与任何方向X ：y :Z共粒的直径面均存在，可设为 i（X ,y,Z ） x + 2（X ,y,Z ） y + 3（ X,F ,Z）Z = 0。由于八二。，所以方程组%（x ,y ,z）= M, ( 2 + l)2 =c,a = b,c = 9a ,故所求曲线的方程是(x -2y-1)2 + (2x - j + I)2 = 9 .习题4 . 61. 写出下列二次曲面在已

116、知点处的切平面和法线的方程：(1 ) * 2 + /= 7，点(1,2,5)；(2 ) x2 + y2 + z2 - 4xy - 4xz-4yz + 2x + 2j + 18 = 0 点(1,2,3).解：(1 )点(1,2,5)在曲面 / + ? 2 = 2上，K (x , y , z) = x，尸2 (x , y , z) = y * 3 (x , y , z) = 一居(1,2,5) = 1,居(1,2,5)= 2,吊(1,2,5)= - ；切平面方程是l(x l)+2(y 2) L(z 5) = 0 ,即 2x + 4y - z - 5 = 0 .2法线方程是 = 二2 =2

117、4-1(2 ) (1,2,3) = -6,点(1,2,3)不在曲面上, 所以过点(1,2,3)有曲面的切锥,Ft(x,y,z) = x-2y-2z + l,F2(x,y,z) = -2x + y -2z + l ,F3(x,y,z) = -2x-2y + z ,居(1,2,3) = -8,F2(1,2,3) = -5,F3(1,2,3) = -3,切锥方程是-8(x-1)-5( j -2)-3(z 3)2 + 6(x -I)2 + (y-2)2 +(z-3)2- 4(x -1)(j -2)-4(x -l)(z-3)-4(y - 2)(z- 3)= 0 ,即 7 0 x2 + 3 1 y 2 +

118、 1 5Z2 + 56XJ + 24xz + 6yz - 3 24x - 198y - 126z + 5 4 9 = 0 .2. 在曲面工2 + 2 y 2 + 3 z2 + 2盯 + 2 x z + 4 y z - 8 = 0上求一点，使曲面在该点的切平面平行于某一坐标面。解：设切点是（ x “ ， x ” z。）则切平面方程是（X-X0） F,（X0,J0,Z0） + （J-y0） F2（ x0, y, z） + （ z- z0） F3（ x, y0, z0） = 0,（ 1 ）设切平面与y = 0平行，则有X o + K + Z。 = ， + (z0 + It)1 -2 = 0,即

119、 It2 + (2x0 - 12y0 + 4z0)t + x - 3jj + zj - 2 = 0,该方程的/ 有重根，由于(Xo，y0,Zo)是切点，则工；一3 / + 2：-2 = 0,于是-7+ (2x0-1 2 j0 + 4z0)f = 0,因而2x0- 12yo + 4z0 = 0,现在从直线的方程中按上述关系消去Xo，y0,Zo,得到参数f的关系：-7f = x -6 y + 2z,代入直线方程中，则有以下关系：x - 6 V + 2z 8x - 6 V + 2zxn = x + - = -, 7 72(x - 6y + 2z) 2x -5 y + 4z+ 7 = 一，2(x

120、-6 y + 2z) 2x - 12 j + llzz。 = z + - = - -，由于(x0，K”z。 )满足曲面方程，所以这些切线的轨迹方程是(8x 6y + 2z)2 - 3(2x-5j + 4z)2 + (2x - 12y + llz)2 -9 8 = 0.第五章正交变换和仿射变换习题5.11. 证明变换的乘法适合结合律，即crl(a2ai) = (rla2)ai.证明：设b , : S f S,i = l,2,3.,显然都是S的变换，对任给aw S ,有cr1(a2ai) (a) =月 (.4 )(4) = bJo qS ),(ata2)cr (a) = bj%。 /。 ) ,因此

121、。电力月 =(aia2)a3 (a),从而 C T (CT2(T3 ) = (TCr2 ) (cosg -sin V x - x,)J - y(J (sin。c o s e U - y。 /于是平面绕点。 ( 为”孔 ) 旋转。角的变换公式是:吟(cos。sine-sin 6 (x (l-cosOcos。J I -sin 8sin 0 V x jl-c o s叭加8 .证明：平面绕原点旋转的集合是平面的一个变换群。证明：记平面绕原点旋转的集合为G。恒等变换/ 是绕原点旋转角度上。的旋转，所以恒等变换/EG O设%分别是绕原点转角是4 , 2的旋转，则-sin gCOS 4( cos

122、2、产厂(sin2- sin 2 V x、c o se (y .设 P(x,y), CQ)(P)是 P (x,y),则-sin 4 ) ( cos %- sin 6 cos q JI sin %X、COS2 ,y jcosiq+ a) -sin(6 +、sin(q+62) cos(q +%)所以（ 702绕原点转角是4 +。2的旋转，即e G.设b分别是绕原点转角是。的旋转，则转角为-6 （或2万-6 ）的旋转就是o的逆变换，因此 7-1 G O故平面绕原点旋转的集合是平面的一个变换群。9 .证明：平面上运动的集合是平面的一个变换群。证明：由于运动是旋转与平移的乘积，所以恒等变换/ 也是

123、运动。运动在直角坐标系下的表示公式是xHyCOS0sin。-sin x)cose 乂设2外是两个运动，则xU 7COS4、sin 仇-sin 卿 x) + ( aAcos。 XCOS。2sin。2-sin 02cos2JOflt )2,于是2 b?的表示公式是-sin。 ) (cos%cos q J (sinqcos%)尻cos(q + 2)SinS + 4)_sin(q + 夕2)( xcos(6i+%) 乂JJ +cose?ksin2c o s 2八口-sin 3、因此乘积b 1 里也是运动。设运动b 的表示公式是( cos0 -sinV (a、yf) (sin cos6 JyJ b

124、)则解出的表达式有：cos 6一 sin 6sin V a、cos。八射( cos(-6) - sin(-6 )x ( cos。sin(-g) cos(-6) 、一sinCsin V 、cose人力因此。有逆变换cos(-e)、sin( 一夕 )-sinC-Vxcos(-6 )人力cos 0 sin 0sin。cos。故平面上运动的集合是平面的一个变换群。习题5.23%1. 平面绕原点旋转6 = 2巴，再平移y = (2 ,-1 ),写出变换公式,2并求出点(0,1)。37r解：平面绕原点旋转e = 的变换巧：平移y = (2,-1)的变换6 ：先绕原点旋转6

125、=二，再平移v = (2, 1 ) ,即为。2囚：2于是点(0,1)经此变换后的对应点的坐标是(3,- 1)。2. 求把点(3,1)变成点(-1,3)的绕原点的旋转，并求出曲线V 一+ 8+ 18 = 0经此旋转的对应曲线。解：设平面绕原点旋转的变换b ：(cos。-sinV ,= ，由于将点(3,1)变成点( -1 ,3 ),所以y J (sin cos。八力-1 ( cos。、3 J sing_sin3、COS0, 解此方程得到sin 0 = 1, cos 6 = 0故变换是:、 =110 ) y )，即7 = y,y，= x。曲线y 2 * + 8y + 18 = 0经此旋转的

126、对应曲线方程是x 2 y- 8x + 18 = 0 ,即 * 2 - y - 8x + 18 = 0。3. 设正交变换o在直角坐标系I中的公式为I7-32/!IV+33- V22V 22卫2女2若作直角坐标变换求在新坐标系中的公式。解：点P(x,y), P(x,y)在新坐标系中的坐标分别记为尸(x,_y),尸(x,y)，F是有以下关系:26、2V322222 ；将它们代入变换公式中得到:+I-7Xyzrk叵；2;-1-2b-2/IX上2交：&2V 22+=XMHI7，x，y*151-2V J21两边左乘矩阵 2732V32叵2的逆12 ，叵2 ,整理得到12 ，4在2一2四2=X、1+ 46

127、7 3 - 2 - VI-3V6、6 - 3 & + 2 0 +司这就是变换在新坐标系中的公式。4 . 平面上的点变换o把直角坐标系I变到直角坐标系II,并且使每一点尸在I下的坐标与它的像P 在n下的坐标相同，则o是正交变换。证明：设直角坐标系I为 0;e” e2 ，直角坐标系H为,并且/ = atle, + a2le2,则过渡矩阵A =卜 ”是正交矩阵。e? =+ 22,2， 227再设 OP = xex + ye2, OP = xe + ye2 = （atlx + al2y）el + （a2lx + a22y）e2.在直角坐标系I下，OP = 0 P -0 0 = xet + ye2 -

128、（aet +be2）= （ x* - a ） e, + （y - b）e2,于是得到点变换在直角坐标系I下的变换公式：b广 =川卜 + 卜，故该点变换是正交变换。5 .设平面上的点变换b在直角坐标系下的公式为其中4 = 3,是正交矩阵，证明o是正交变换。证明 : 设两点q（工1， 71（ 22（工2，， 2），b （ 4 ） =居的坐标（ x； ,y；） , cr（尸2） = P；的坐标（月 ,办则色7； = 1 u咐任一 , 因为.=（）是正交矩阵, 所以ATA = I o两点的距离是（xd P；,P） = （x2- x ；）2 + （ X - J ；）2

129、 = （ x； - x ； X - K ）；Si = （ /- 孙力 f ）（：o Y吃_ 占、i 乂乃- 九= (x2- xi)2 + (y2- yi)2= d2(Pl,P2).故o是正交变换。6 .设匹和分别是平面上对于直线。和，2的反射，设4与交于。点，且夹角为。，证明：工2 7是绕。点的旋转，转角为2 6。证明：以直线4为X轴，。点为坐标原点建立直角坐标系，设“( 尸) = 尸 , ( 尸 ) = 尸，由于 “ 和G分别是平面上对于直线1和， 2的反射，则|0P| = | 。产1= |0P |,且N

130、 (P 0尸” )=28,所以3 r是绕0点转角为2 P的旋转。此题也可以用写出变换公式来证明，请读者试一试。习题5.31 . 求把三点(0,0),(1,1)(1,-1 )分别变到点(2,3),(2,5),(3,7)的仿射变换。解：设仿射变换是6一小心心乂J依题意得到a = 2, = 3 ,且解以上方程组得22； ( 3 -1于是仿射变换是2 . 证明：在仿射变换下，两个不动点的连线上每一点都是不动点。证明：设P”尸2是仿射变换 b 的两个不动点，则b (P J =, ( 尸2)=尸2设a(O ) = O .尸 , 尸2的连线上的任一点P ,满足丽 =西 +

131、 (1一 ) 可，则O P = o-(OP) = 0 ,则称r是同位相似( 或相似) ，称。为位似中心，A称为位似系数。(1 )适当选取标架，求出位似工的公式；(2 )证明位似是仿射变换；(3 )证明位似保持角度不变；(4 )证明位似可以分解成某两个伸缩的乘积。解：(1 )以。为原点建立直角坐标系，设M(x,y), 由于前 =A而，*，= kxy =ky.( k 0 1 Ik 0 1(2 )位似T的变换矩阵是A = ,由于常数卡 0 ,所以A = 可逆,(0 k) (0 k)故位似是仿射变换。（ 3）设。用 1,。加 2 的夹角是e ，由于常数A o ，所以经位似变换后的向量的夹角

132、仍然是6 。k00k 0、0、（4）由于位似T 的变换矩阵4 =,所以位似：分解为两个伸缩与俨（）代、的乘积T = T2Tl0 1 八 0 k )7. 如果平面的一个点变换?，使得对应线段的长度之比为一个正常数左，则称f 为相似,称A 为相似系数。（1）证明相似是仿射变换；（ 2）证明相似把一个三角形变到一个与之相似的三角形；（ 3）证明相似可以分解成一个正交变换与一个位似的乘积。证明：建立直角坐标系。； 6,02，设点变换丁将不共线三点尸I，尸 2,总变成三点P；,P；,P；,由于点变换 / 将对应线段的长度之比是一个正常数 A ,所以|

133、P/P；| ：出产力=P 0（ i H j）. 三点P；,P；,P；不可能共线，否则，设 P：,P；, P；依次共线，则有出啊 +|P；P； | = P；P；，于是乂 I产 M I + | 尸 2尸 31）= A | 尸 I ，三点P i E E 依次共线，与假设矛盾，故三点P；,P；,P；不可能共线。该点变换将共线三点 Pt,P2,P3变成共线三点P：,P；,P；,不妨设|P M |+ |P2P31= 忸闾，则|4 间 + = |4 闾。于是点变换将直线变成直线。由以上结论得出点变换将三角形变成一个与之相似的三角形。（2）证明完毕。（ 1）设

134、T（O） = O ,T（et） = e,T（e2） = e2，则 = A |e j,卜； | = A 卜 21，e； L再设O （a ,b）, e； = 4 “+。 2色 , =% 2% + “ 2202，点尸（ x，y）变成尸（x ，，）。因而na2l/ 1 = . c s e T i n 。或(c o s 。a22) (s in 。 cos6 ) (s in 6sin 0 、一 c o s ?由于点变换将三角形变成一个与之相似的三角形，所以不妨假设N （ = e J = N （ 0 N；,e；） ,i = l , 2 , 则有关系

135、。声=无心力 =1,2 , 因而(x ,y ) (l,0 ) = ( x - a , = 1的切线2 y X。 a b与它的渐近线确定的三角形的面积是2 咳= a b为常数。24. 证明：双曲线的两条渐近线之间的切线段被切点等分。证明：设在直角坐标系下，双曲线的方程为=一4 = 1 ,作仿射变换 / = + 2 , / = -，则双曲线的方程变成孙 =1, xa b a b a b轴和y轴是双曲线的两条渐近线。双曲线上任何一点（巧”孔）的切线方程是M B+与了 = 2 ,它与坐标轴的交点分别是2 2 1 1（ ,0） ,（ 0, ） .它们的中点坐标是（

136、- , - ） = （ x0,y。），所以双曲线的两条渐近线之间Jo X。 Jo X。的切线段被切点等分。5 . 证明：所有内接于椭圆的四边形中面积最大的是以一对共朝直径和椭圆的交点为顶点的平行四边形。证明：作仿射变换将椭圆变成单位圆，由于圆的内接四边形中面积最大的是正方形，而对角线是- 对互相垂直的共枕直径，所以经过仿射变换的逆变换得到内接于椭圆的四边形中面积最大的是以一对共朝直径和椭圆的交点为顶点的平行四边形。6 . 下列概念中哪些是图形的度量性质，哪些是仿射性质：（ 1）等边三角形，（ 2）平行四边形，（ 3）多边形，（ 4）三角形的中线，（ 5）三角形的高线，（ 6）圆的半径。解

137、：图形的度量性质有：等边三角形，三角形的高线，圆的半径。图形的仿射性质有：平行四边形，多边形，三角形的中线。7 . 证明：如果平面的仿射变换r将一个圆变成它自身，则T是正交变换。证明：以圆的圆心为原点建立直角坐标系I = 。； ,02 ，由于平面的仿射变换T将个圆变成它自身，所以以为方向的共飘直径变成圆的共软直径，向量0,乙变成互相垂直的单位向量，于是直角坐标系I = 。;e|,e2变成直角坐标系 = 。;e； , 。由于仿射变换保持向量的线性关系不变，所以任何一点尸在I = O;e” ez中的坐标与像点尸在= 中的坐标相同。故这样的仿射变

138、换就是正交变换。习题5.51 .证明下述空间的点变换是第一类正交变换，并且求转轴。y231正1、2330I 3V23V243727证明：因为变换矩阵的每行的向量都是单位向量且两两之间是正交的，所以变换矩阵式正交矩阵。变换矩阵的行列式等于1 ,故该变换是第一类的正交变换。变换的两个不动点的连线就是转轴。显然原点是不动点，再求一个不动点，即解方程组、3X、231正1_2-31正13近4372转轴方程是y =z3-272 - V2-1 -Ty. 解得 x = 3 -2 jl,y = J I l,z = l ,所以旋3)X02 .在直角坐标系中，求出把点(0,0,0),(0,1

139、,0),(0,0,1)分别变成点(0,0,0),(0,0,1), (1,0,0)的正交变换公式。解：山于将原点变成原点，所以可设变换公式是yy. 其中变换矩阵是正交矩阵，将点代入得到 ua2i、生3132解此方程组得到/ 2a22 = a23 = a33 = 0,a32 = a33 = 1,由于矩阵是正交矩阵，可得到“ 1131= 加21=1,所以所求正交变换是，0+10 1、y0 0y1 0 人 zj3. 设 r是空间的第一类的正交变换，证明：对于空间的任意两个向量匕，有(1) T(VI)-CT(V2) = V , -v2;(2) cr(V1)x仪 % ) =仪匕 x%).证

140、明：取一个右手直角坐标系1 = 。； /必必，第一类正交变换。将1 = 。；4,62， 4 变成右手直角坐标系11 = 。；0( 6 ) ,(7( 02) ,3,10,19 。2 . 在射影平面元上，给了共线的四个通常点的仿射坐标，A (2,-4),JB (-4,5),C (4,-7),D (0,-l),求它们的交比(A,5;C,D)。4 1 2 1解：由于(4, 7) = (2,-4) ( 一4,5),(0,-1)= 2,-4) + 3(-4 ,5 ),所以(A,B；C,D) = ( - 1 ) 4 = - 1 4 2 23 .在射

141、影平面直上，设共点于。的三直线/I4 %的齐次坐标分别为(T，0,3),(3,1,-4),(1,1,2),求通过0的- - 条直线小使得交比( ， ”/2；，3，/4)= 一3。解：设直线乙的齐次坐标是，且31,。2，%)=丸( 一1，0,3) + (3,1,-4),而(1,1,2) = 2(-1,0,3)+ (3,1,-4 ),则( Z1, Z2; / Z4) = - 3 = i： ,巴 =- ：取； 1 = 6, = 一1 ,于是直线乙的齐次坐标是2 2 2 6(%,%,%)= (-9 ,-1,2 2 ),故直线的方程是9与 + x2- 22X3 = 0。4 . 设4,5,C ,

142、D ,E是共线的五点，且两两不同，证明(A,B;C,D )(A,B;D ,E)(A,B;E,C) = 1.证明：设 C = 4A +, = 44 + 2&E=4A + 3 B , 利用定理 6 3 1 , 则有(A,B;C,D) =今: 牛,(A,B;D,E) =今:F(A,B;E,C) =与 : 牛 ,儿14 2 4 2 4 3 4 3 4所以(A ,5;C ,D )(A ,5;D ,E )(A ,5;E ,C ) =5 . 设。是n上的通常点，/i，4%，是共点于。的四条不同直线，证明 ( 6 3 5 ) 式。证明：任取一条不过。点的直线 / , 设，.

143、= = 1 , 2 , 3 , 4 ）,则( 1， 2 ； 3 ， 4 ) = (A” ?!?；人3 4 4 )=& A4 A2由四个三角形 A O A . A , , A O A3A2, A O A , A4, A O A4A2 的边 4 1 A 3 , A ? A ? ， A1， A 4 A 2上的高A相同，可得到( “ l， 2 ； 3 ， 4 ) =A】4 . A 4 _ _ h , 4 4 . h , A JA3 A2 A4A2 h - A3A2 h - A4A2_ O A, - ( ? A3 s in Z( A1O A3) 0 Ax -OA4 s in Z( A1O A4)0 A3

144、 0 A2 s in Z( A3O A2) * 0 A4 - 0 A2 s in Z( A4O A2)_ s in N ( 4 0 4 ) . s in N ( A0 A4 ) _ s in / / ) . s in / ( 4儿)s inZ (A3O A2) s in N ( A4 0 A2 ) s in Z( Z, , /2) s in Z( Z4, Z2)6 . 证明：在欧氏平面上，已给一个圆上任意四个不同的固定点4 , 4 2 , A, ， A 4 ,则它们到圆上任意第五点尸的连线的交比（尸A ” P A2 ；尸4 3 ,尸A J是常数，与尸在圆上的位置无关。如果尸与4中某点重合，比

145、如儿 ,则用4处的切线替代尸4。证明：由上一题的结论得到:(P 4 ,网；PA3,PA4)= ：二寮 , ；：4；smN(A3PA2) sinZ(A4PA2)而对于圆周上的另点P我们有N AjP A/ = ZA, . P A. , （ I声j）,所以（尸A ”尸4 2 ；尸儿, , 尸A J =（产区”尸区2 ；尸区3 ,尸区尸。当产与4中某点重合时，用该点处的切线替代，仍然有同样的角度关系，所以结论依然成立。7 . 由四个点S ,尸， 0 , E （其中任意三点不共线）和山它们两两相连的六条直线构成的图形叫做完备四边形（如下图）。证明：两个点C ,

146、。调和分割两个点A, 5。证明：设F E与SC的交点为，先后考虑以S为中心的线束及以。为中心的线束，我们有：(A,B;C,D) = (SA,SB;SC,SD) = (F,E;H,D),(F ,E;H ,D) = (OF ,OE;OH ,0D) = (B ,A;C ,D),因此(A ,5;C ,0) = (5 ,A ;O ,O )。利用交比的性质( 2 ) ,得到(A,5;C ,0)2 = i。如果(A ,5;C ,D ) = (f , E ;,D ) = 1 ,利用交比的性质(3 ),则得到( 尸,H ;E ,D ) = O,于是简单比( 尸，E) = 0 ,因此尸= E ,这与已知条

147、件矛盾。所以(4 ,5 ;。, 。) = 一1,故两个点C ,。调和分割两个点。习题6.41 .证明：射影平面上的射影变换把直线变成直线。，为) 但、证明：设直线方程是( % ,4 , “ 3)X2 =( ) ，射影变换是夕X 2 = A X2 其中矩阵A是可逆的。于是直线方程变成(%，4，4)47 K = ，它仍然表示一条直线。kX32 . 求出把曲线( 1) 3 / +a2x2 +。33)2 ( 肛 +b2x2 +63x3)2 = 0,(2) 3 /1 +a2x2 +。33)(力巧 +b2x2 +。3工3)= 0,变成五个射影类之一的射影变换。解： (1 )如果左(a%

148、，4 ) =(4，52，方3) ，H 1，不妨设小工0 ,则令px. = a.x. px2 = x2,PX3 = / ，曲线方程化为2 2(1 + k2)xl2= 0,即有x f = o。如果( % ,0 2，3), (乙也也 ) 不共线, 则令px = axxx + a2x2 + 4 X 3， px2 = btxt + b2x2 + bx, a 2 # 0 ,曲线方程化为 p2(xi2 xz, b b2I = x3,x *： = 0 o3. 在射影平面上，求出把直线X = 0,吃 =。， *3 = 0分别变)= 0 ,即为直线atxx +b：.x2 +c

149、,.x3 = 0,(/ = 1,2,3)的射影变换。解：设所求的射影变换是但、p x2 = A x2 ，其中矩阵A是可逆的，设矩阵A的逆矩阵是A - 1 =（ 0由已知条件得到(%，4，C 1)x； , (0,l,0)p2A 1（。2，0 2，。2）* ；、只，X3?(1,0,0)4-1 x；3( 叫 (0,0,1)04 x2f = ( 包3也，。3)X2p所以0、0因此A = a20 0 Pl 0 ，0 p3,故射影变换是/ ，x、， t 、一 1 ( n n / x% b2 cx p、 0 0 x.习题6.51 .在射影平面上给了五个点 A l , 5 2 , 0,-

150、1,C0,2,-1 , D l,4,-2,E 2,3,-2 ,求由它们所确定的二次曲线。解：设二次曲线的方程是J L 1 1 44 4 +tzx? + 2a.,x.x, + 2a,x,x, + 2tz,x,x. = 0 ,JO 。 I J ZJ 4 J将五个点的坐标代入方程，得到a ” + a 2 2 2a I2 = ,+ 4 3 - 4/ 3 = 0， =即区 3 =4 。I12/，。33 = 5。 2，7 。2X2X = 1Z 7 11 1L于是二次曲线的方程是2x1； + + 10x? +4占 / + 9x,x. + 9x.x. = 0。X J 1 4 1 J / J2 . 求点Pl,2

151、,1关于二次曲线：工；一后+ 工；一2 / 2 -4 *送3 = 0的配极。T -1解：二次曲线的矩阵是-1 一1、一 2 0-2、0 ，所以点Pl,2,1关于二次曲线的配极是1T -1(1 2 1) -1 -11-2 00 x2= 0 即 3 / + 3七 + * 3 = 0。1 八 * 3 ,3 . 证明：非退化二次曲线的中心（若有的话）的配极是无穷远直线。证明：过中心O任作一直线/ 与二次曲线交于两点A , B , O是A 5的中点，因此。关于A , B的调和点是直线/ 上的无穷远点，于是非退化二次曲线的中心（若有的话）的配极是无穷远直线。4 . 假定是圆锥曲线，任取

152、- 直线 / 及 / 上的一点A ,作点A关于的配极乙，它交/于点5 ,点B的配极。交直线0于点C且通过A o这样，我们作出三角形A 5C，它的边是对顶点的配极，这个三角形叫自配极三角形。证明：如果取直线a= 0 ,*2 = 0 ,“ 3 = 0作自配极三角形的边，那么圆锥曲线的方程将有形式：ax + Px = 0.证明：5 C ,A C ,A 5的方程分别是占= 0 ,“ 2 = 0 ,*3 =。，因为5 c是点4的配极,所以5 c的方程又应为(1 0 0) .2 22113 tt23“ 33,即 anxx +。 2%2 +。13七 =0于是Q =。= 0 ,同理得到Q

153、 Q 0。因此圆锥曲线的方程将有形式：ax + px + / x； = 0.5. 证明：圆锥曲线焦点的配极是准线。证明：在欧氏平面上取一直角坐标系，使得圆锥曲线的方程是标准方程，以抛物线为例,此时方程为*2 = 2 p y ,焦点是（ 0 , ） ,准线方程是y = -于是焦点的配极方程是1 00 1 0 02%P即P / +日 = 0，它在直角坐标系的方程2是）=-勺也就是准线方程。6. 用下述方法山任意点S作圆锥曲线的切线（如下图）：直线1和直线2是任意作的,其余的直线根据图中的编号顺序作出，直线8和直线9就是切线，说明这种作法的理由。证明：山

154、习题6.3的第7题知道直线1,2与直线7的交点分别是直线1,2与圆锥曲线的交点及点S的第4调和点，因此直线7是点S的极线，直线7与圆锥曲线的交点也在点S的极线上，从而这两交点的极线也通过点S。而曲线上的点的极线是切线，所以直线8,9就是切线。7. 证明：双曲线上的无穷远点的配极是它的渐近线，从而双曲线上无穷远点的切线是渐近线。证明：因为双曲线的中心的极线是无穷远直线，所以无穷远点的极线通过中心。又因为双曲线上的无穷远点的极线通过它自身，所以这极线的方向是渐进方向，于是极线是渐近线。另法：设双曲线方程是则无穷远点是(1, 1,0),渐近线方程是X, x2 = 0 o无穷远点(1,1,0)的极线方程是00、(1 1 0)0配极是它的渐近线。0X2=0 ,即与干* 2 = 0 ,所以双曲线上的无穷远点的0

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解析几何教程（廖华奎王宝富）课后习题

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