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1、第三章第三章 杆件的内力杆件的内力3.1内力与截面法内力与截面法3.2内力方程内力方程内力图内力图3.3分布载荷与剪力、分布载荷与剪力、弯矩的微分关系弯矩的微分关系3.4组合内力图组合内力图1v第一、二章研究刚体力学，研究构件外力与约束力第一、二章研究刚体力学，研究构件外力与约束力v第三章开始研究变形体力学，研究内力与变形第三章开始研究变形体力学，研究内力与变形v未知力：未知力：1 1）外力：主动力、约束力）外力：主动力、约束力2 2）内力内力： 变形固体没有受力之前变形固体没有受力之前, ,内部各点之间存在相互内部各点之间存在相互作用力以保持固体一定的形状；变形固体受力后，其内作用力以保持固
2、体一定的形状；变形固体受力后，其内各点之间的相对位置发生变化，产生变形，各点之间产各点之间的相对位置发生变化，产生变形，各点之间产生相互作用力，称为生相互作用力，称为“附加内力附加内力”，简称，简称“内力内力”。杆件的基本变形杆件的基本变形：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲轴向拉压、扭转、剪切和弯曲2一、一、内力特点：内力特点：1）由外力引起，随外力增大而增大；2）变形固体内各部分的内力连续分布。v求内力的方法求内力的方法：截面法（1平衡法，2力简化法）3.1内力与截面法内力与截面法3二、二、截面法截面法1、平衡法步骤：、平衡法步骤：1）截开：将杆一截为二，弃一留一；2）代替：用内力代替舍去部分对保
3、留部分的作用；3）平衡：建立平衡方程求解内力。4内力主矢：内力主矢：其分量为：轴力剪力内力主矩：内力主矩：其分量为：扭矩弯矩2力简化法力简化法无论杆件截面上的内力分布如何复杂，应用力系简化理论，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得到一主矢和一主矩，分别称为内力主矢和内力主矩。5v工程实例：工程实例：轴向拉压杆的受力特点受力特点：作用于杆件上的外力或外力的合力作用线与杆轴重合。变形特点：变形特点：直杆沿轴线方向伸长或缩短。3.2内力方程内力方程内力图内力图一、轴力方程与轴力图一、轴力方程与轴力图6v轴力的大小轴力的大小：由平衡方程求解轴力的正负轴力的正负：拉力为正拉力为正压力为负压力为负轴力的
4、单位轴力的单位：N；kN1、轴力（方程）轴力（方程）2、轴力图、轴力图：轴力沿杆轴线的变化规律。7例如：图示一多力杆，已知例如：图示一多力杆，已知FP1=2.5kN，FP2=4kN，FP3=1.5kN，求，求11、22截面的轴力。截面的轴力。8例例3-1图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、F的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力FN1：设置截面如图ABCDFAFBFCFDOABCDFAFBFCFDFN19同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：FN2= 3FFN3= 5FFN4= F轴力图如右图BCDFBFCFDFN2CDFCFDFN3DFDFN4FNx2F3
5、F5FF+10注意注意：1）轴力图画在受力图正下方；）轴力图画在受力图正下方；例例3-2试绘制图示杆件的轴力图。试绘制图示杆件的轴力图。解：解：AB段：FN1= FP1=6kNBC段：FN2= FP1FP2=12kNCD段：FN3=FP4=4kN2）图中标明各段轴力大小、正负、图中标明各段轴力大小、正负、单位；单位；3）图中阴影线垂直于杆轴；图中阴影线垂直于杆轴；4）凡有集中力作用处，轴力发生凡有集中力作用处，轴力发生突变，其突变值等于集中力大小；突变，其突变值等于集中力大小；11轴力(图)的简便求法：自左向右:轴力图的特点：突变值=集中载荷遇到向左的F，轴力FN 增量为正；遇到向右的F，轴力
6、FN 增量为负。5kN8kN3kN+3kN5kN8kN12讨论题讨论题以下关于轴力的说法中以下关于轴力的说法中, ,哪一个是错误的？哪一个是错误的？(A).(A).拉压杆的内力只有轴力；拉压杆的内力只有轴力； (B).(B).轴力的作用线与杆轴重合；轴力的作用线与杆轴重合；(C).(C).轴力是沿杆轴作用的外力；轴力是沿杆轴作用的外力；(D).(D).轴力与杆的横阶面和材料无关。轴力与杆的横阶面和材料无关。131、扭转变形的工程实例：、扭转变形的工程实例：（a）汽车方向盘轴汽车方向盘轴（b）机械传动轴机械传动轴二、动力传递与扭矩图二、动力传递与扭矩图14扭转杆件的受力特点：受到在垂直于杆轴的平
7、面内的力偶作用。扭转杆件的受力特点：受到在垂直于杆轴的平面内的力偶作用。变形特点：杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动。变形特点：杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动。152、扭转外力偶矩的计算、扭转外力偶矩的计算2.1外力偶矩直接计算外力偶矩直接计算162.2传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率(单位千瓦）、转速与外力偶矩的关系：其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（r/mim）1PS=735.5Nm/s,1kW=1.36PS电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：17扭矩图扭矩图：扭矩沿轴
8、线的变化规律。扭矩的大小扭矩的大小：由平衡方程求解扭矩的正负扭矩的正负：右手螺旋法则扭矩的单位扭矩的单位：Nm；kNm扭转杆的内力扭转杆的内力：扭矩T3、扭矩和扭矩图、扭矩和扭矩图18例例3-4已知：一传动轴，已知：一传动轴，n =300r/min，主动轮输入，主动轮输入P1=500kW，从，从动轮输出动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。，试绘制扭矩图。nA B C DM2M3M1M4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩19nA B C DM2M3M1M4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）M2AM2M3ABM420绘制扭矩图绘制扭矩
9、图BC段为危险截面。段为危险截面。xT4.789.566.37nA B C DM2M3M1M4211、工程实例：、工程实例：（a）桥梁结构中的主梁桥梁结构中的主梁（b）火车的轮轴）火车的轮轴受弯杆件的受力特点受力特点：作用于杆上的外力垂直于杆轴。受弯杆件的变形特点变形特点：杆轴由直线变为曲线。三、静定梁的弯曲内力计算三、静定梁的弯曲内力计算22v梁梁：以弯曲变形为主的杆件。v静定梁静定梁：梁的外力和内力均可仅由静力平衡方程求解。v平面弯曲平面弯曲：如果梁的横截面具有一根纵向对称轴y，则各横截面的y轴组成一纵向对称面。当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，梁的轴线由位于纵向对称面内的直线变为曲线
10、。2、概念、概念23静定梁的三种基本形式：静定梁的三种基本形式：（1）简支梁（2）外伸梁（3）悬臂梁超静定梁：超静定梁：仅由静力平衡方程无法全仅由静力平衡方程无法全部确定梁的所有外力和内力。部确定梁的所有外力和内力。M集中力偶集中力偶q(x)分布力分布力集中力集中力Fq均布力均布力243、剪力和弯矩、剪力和弯矩求内力的方法求内力的方法：截面法例如求图示AB简支梁中m-m上的内力。可用截面法切开，取左段或右段分析。梁的内力梁的内力：剪力 和弯矩M25弯矩弯矩：使梁段下凸者为正，反之为负。内力的单位内力的单位：剪力：N；kN弯矩：Nm；kNmv内力的正负：内力的正负：剪力剪力：对梁段有顺时针转动趋
11、势者为正，反之为负。Fs(+)Fs()Fs()Fs(+)M(+)M(+)M()M()26例例3-5 一悬臂梁，尺寸如图示。一悬臂梁，尺寸如图示。求截面求截面1- -1、2- -2上的内力。上的内力。解：解：1.取取1-1截面，并取右段研究截面，并取右段研究2.取取2-2截面，并取右段研究截面，并取右段研究27解题步骤解题步骤：1.受力分析，画出受力图，由平衡方程求支座约束力；受力分析，画出受力图，由平衡方程求支座约束力；2.建立坐标系建立坐标系,分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量的取值范围；的取值范围；3.根根据据剪剪力力方方程程，求求各各控控制制面面的的
12、剪剪力力值值，以以x为为横横坐坐标标，以以Fs为为纵纵坐坐标标，绘剪力图，正剪力画在轴线上方，负剪力画在轴线下方；绘剪力图，正剪力画在轴线上方，负剪力画在轴线下方；4.根根据据弯弯矩矩方方程程，求求各各控控制制面面的的弯弯矩矩值值，以以x为为横横坐坐标标，以以M为为纵纵坐坐标标绘绘弯矩图，正弯矩画在轴线上方，负弯矩画在轴线下方。弯矩图，正弯矩画在轴线上方，负弯矩画在轴线下方。4剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图28解：解：1.求支座约束力由平衡方程得2.分段列内力方程AC段：例例3-6试绘出简支梁受集中力作用时的剪力图和弯矩图。 CB段：293.定点作图 x 0
13、a l FSF b / lF b / l-F a / l-F a / l M 0 -Fa b / l 04.内力最大值 若ba, 30例例3-7试绘图示悬臂梁受均布荷载作用时的剪力图和弯矩图。解：解：本例不需求支座约束力，取悬臂端为研究对象，列出内力方程：根据方程定点作图31由图中可见， x 0 l /2 l FS 0 - q l /2 M 0- q l2 /8- ql2 /2321公式推导：公式推导：如图示（a）梁上作用荷载，其中分布载荷q=q(x), 设向上为正，取梁上dx微段分析，在微段上认为分布荷载均布，集度为q(x)，微段上左、右截面均有剪力与弯矩作用（图b）。3.3分布载荷与剪力、
14、弯矩的微分关系分布载荷与剪力、弯矩的微分关系33略去高阶微量，有上三式表明：剪力图上任一点的切线斜率等于梁上该点的分布荷载的集度；弯矩图上任一点的切线斜率等于梁上该点的剪力。34v结论：结论：3)凡有集中力作用处，剪力图发生突变，其差值等于集中力凡有集中力作用处，剪力图发生突变，其差值等于集中力的大小；凡有集中力偶作用处，弯矩图发生突变，其差值的大小；凡有集中力偶作用处，弯矩图发生突变，其差值等于集中力偶的大小。等于集中力偶的大小。b）集中力偶作用处；）集中力偶作用处；355)若已知剪力在x=a处的值FS(a)和axb区间的横向分布载荷q(x)，则x=b处的剪力FS(b)可通过积分求得上式也表
15、明A、B两截面的剪力差值等于这两个截面间梁上分布载荷图的面积，分布载荷方向向上对应的面积为正值，反之面积为负值。362简易法作梁的内力图简易法作梁的内力图（1）求出支反力，并建立FS-x、M-x 坐标系。（2）确定特殊点截面及其上的FS、M值，并标在FS-x、M-x 坐标系中，其中特殊点包括端点、分区点（外力变化点）和驻点等。（3）应用微分方程，确定特殊点截面之间的FS,M 图形状。（4）连接各特殊点截面间的图线，完成剪力图和弯矩图。37二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外外力力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0Fs Fs0x斜直线增函数xFsxFs降函数Fs
16、Fs1xCFs2Fs1Fs2=F自左向右突变xFsC无变化斜直线xxM降函数曲线xM凹形xM凸形自左向右折角自左向右突变x折向与F同向M与m同MxM2M1M增函数38例例3-9 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解解: : 利用内力和外力的关系及特 殊点截面的内力值来作图。 特殊点特殊点( (控制截面控制截面):):端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqA39aaqaqA左端点：左端点：线形：线形：根据；及集中载荷点的规律确定。分区点分区点A：M 的驻点的驻点：右端点：右端点：Fsxqaxqa2M40例例3-10 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力左端点A：B点左：B点
17、右：C点左：M 的驻点：C点右：右端点D：qqa2qaFRAFRDFsxqa/2qa/2qa/2+ABCDMqa2/2xqa2/2qa2/23qa2/8+413用叠加法画剪力图和弯矩图用叠加法画剪力图和弯矩图叠加原理叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理叠加方法叠加方法步骤：步骤：分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。42例例3-9按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）qqFF=+A
18、AABBBM2x+xM+xM1+=+433.4组合内力图组合内力图组合变形：组合变形：两种或两种以上基本变形的组合。组合变形中的每一种基本变形都是相互独立，互不影响的，可用叠加原理将组合变形分解为几种基本变形再分别作其内力图。适用范围适用范围：材料处于线弹性及小变形条件。44例例3-10如图所示悬臂梁，在其自由端受到一与水平方向成角的力F的作用，试分析其受力情况,并绘制其内力图。解解:（1）外力分析自由端受到集中力F作用，建立如图所示的坐标系，并分解到x轴和y轴上，分别得Fx=Fcos，Fy=Fsin。Fx沿梁的轴线方向，所以称为轴向力，Fy在梁的横向平面内，称为横向力。所以是轴向拉伸和平面弯曲的组合。45（2）内力分析 距离A端x处将该悬臂梁截开，其受力图如右图。列平衡方程可得：（3）绘制内力图4647
